2020学年高中数学学期综合测评(二)(含解析)新人教A版必修2(2021-2022学年)

学期综合测评(二）
对应学生用书P１07本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,满分1５０分,考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共1２小题，每小题５分,共６0分)
1．已知圆ｘ２+y2-2x+my－４＝0上两点Ｍ，Ｎ关于直线2x＋y=0对称，则圆的半径为（)
A.9
B.3
C.2错误! D．2
答案B
解析由题意知圆的圆心坐标为错误!,又点Ｍ，N关于直线2x+y＝0对称,所以该直线过圆心,即2－＼ｆ(m，2）＝0,解得m=４．此时该圆方程为(x－1)2＋(y+2）2=9，所以该圆的半径为３.
2.用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥,其截面图形不可能是（）
Ａ．钝角三角形 B.等腰梯形
C．平行四边形Ｄ.正五边形
答案 C
解析①若截面过棱PB,PE,则截面△PBE与△ABE是全等三角形,且∠ＢＡＥ＝108°，所以截面△PＢＥ是钝角三角形，如图1.
②在平面PAB内作MN∥ＡＢ，分别交ＰA,PB于点M，Ｎ,连接ＣE，则CＥ∥AＢ，所以MN∥CＥ,且MN≠CE．又由题意及作图知ME＝NC，所以四边形CEMN是等腰梯形，如图２.
③用平行于底面的平面截该棱锥，其截面图形是正五边形，如图3.综上所述，不可能的截面图形是平行四边形.
３．△OAB的斜二测直观图如图所示，则△ＯAB的面积为(）
ﻬ
Ａ.错误! B.1 C．2 D．4
答案 C
解析三角形OAB为直角三角形，OＢ=２，ＯA＝２,∴S=错误!未定义书签。

OA·OB=２．
4.过不重合的Ａ(m2+2,m2－3)，Ｂ(3-ｍ-m２，2ｍ）两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为
( )
A.-1
B.－2
Ｃ．－1或２Ｄ．1或－2
答案B
解析过A（m2+2，m2-3)，B(３-ｍ－m2，2ｍ）两点的直线ｌ的斜率k=m2－3－2m
m2+２-3+m+m2
＝错误!未定义书签。

．且m2＋2≠3-ｍ-m2,即m≠-1．
∵直线l的倾斜角为４5°,∴k＝错误!未定义书签。

=1,化为整式方程为m2+３m＋2=0,解得m=－１（舍)或m＝－2，∴ｍ＝－2.
５.圆ｘ2＋y2-2ｘ+4y＝０与直线y－２tx+2t＋1＝0(t∈R)的位置关系为(）
A．相离Ｂ．相切
C.相交
D.以上都有可能
答案 C
解析圆x2+y2－２x＋４ｙ＝0的圆心为（1，-2),半径为错误!未定义书签。

.因为y-２tｘ+2ｔ＋1=０(t∈R)，所以直线恒过点（1，－1）.因为错误!未定义书签。

=1<5,所以点(1，－1)在圆内，故直线与圆相交．
6．在三棱锥A-BCD中，E,Ｆ分别是AB,ＣD的中点,AＣ＝ＢD＝2，且直线BD与ＡＣ所成的角为60°,则线段ＥF的长度为()
A.1 B． 2 C.1或＼r(2）Ｄ.1或错误!
答案Ｄ
解析如图,取ＢC的中点G,连接EG，FG，则∠EGF或其补角为ＢD与ＡC所成的角.∵BD与AＣ所成的角为６0°，∴∠EGF=60°或∠EGF＝120°.∵BD＝AC＝2,
∴EG=FG＝1.∴当∠EGF＝６0°时,EF=1；当∠EGF＝１20°时,EF＝1×错误!未定义书签。

×2=错误!未定义书签。

．故EF=1或ＥF=错误!未定义书签。

．
7．方程ｘ2＝ｙ2表示的图形是（ )
A．两条相交而不垂直的直线
Ｂ.一个点
C．两条垂直的直线
D．两条平行直线
答案 C
解析 x2=y2即（x+y)（x－ｙ)=０,∴y=±x．
8.将一张边长为 6 ｃｍ的正方形纸片按如图１所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,余下的部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心)模型，如图２放置.若正四棱锥的主视图是正三角形(如图３),则正四棱锥的体积是（)
A．错误!未定义书签。

ｃm3Ｂ．＼f（46，3)cｍ3
Ｃ．错误!cm3 D.错误!未定义书签。

cm3
答案A
解析∵正四棱锥的主视图是正三角形，设该正三角形的边长为a，则正四棱锥的高为错误!a,斜高为a.∵将一张边长为6
ﻬ cm的正方形纸片按题图1的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,∴错误!×6错误!=ａ+错误!未定义书签。

，a＝2２(cm)，∴正四棱锥的体积为错误!×ａ2×错误!未定义书签。

a=错误!(ｃm3）.
9.到定点（１,0,0）的距离小于或等于1的点的集合为(）
Ａ．{(x,ｙ，z)|（x－1)2＋y2+z2≤1}
B.{(x,y,z)|(x－1)２+y2+z2＝1｝
Ｃ．{(x，y,ｚ）|(x-1）2+y2+z2〈1｝
D．{（x，y,z)｜（x－1)2≤１}
答案 A
解析设动点坐标为(x,ｙ,z），
则错误!未定义书签。

≤１，
即(x-1）2+y2+ｚ2≤１,故选A．
10．直线l：8x－6y-3=0被圆O:ｘ2＋y２-2x＋a=0所截得弦的长度为错误!未定义书签。

，则劣弧所对的圆心角为（)
A．９0° B.12０° C．135° Ｄ．１5０°
答案B
解析圆O：x2＋y２－２ｘ+a=0,即(x-1)2＋y２=1－a,故a〈1,圆心(1，0)、半径为错误!.
又弦心距d=错误!＝错误!未定义书签。

，则错误!未定义书签。

＋错误!2=r2＝1－a,求得a＝0，所以圆O的半径r＝1，设劣弧所对的圆心角为θ，cosθ＝错误!=－错误!，所以θ＝120°.
11.在四棱锥P-AＢＣD中，PA⊥底面ABCD,底面四边形ABCD是矩形,且AＤ=3ＡB,E是底面的边BC上的动点,设错误!未定义书签。

=λ(０〈λ〈1）,则满足PE⊥DE的λ的值有( ）A．０个 B．１个 C.2个 D.3个
答案 C
解析如图,连接AE．∵ＰＡ⊥底面AＢＣD,ＤＥ⊂平面ABCD,∴ＰA⊥DE.又∵PE⊥DE,PA∩PE=P,∴ＤE⊥平面PAＥ，∴DＥ⊥AＥ,
∴点Ｅ在以AD为直径的圆上．∵ＡD=3ＡB,∴以AD为直径的圆与BC有两个交点，∴满足PE⊥ＤE的λ的值有2个.故选Ｃ．
12．在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1,０,2)，（1,2,0),（１，2,1），（0，２,2），若正视图以yＯz平面为投射面，则该四面体左(侧)视图面积为( ）Ａ．错误!未定义书签。

B．１ C.２ D.４
答案B
解析若正视图以yOz平面为投射面,则该四面体左（侧）视图为三角形,底高分别为1，２,面积为1.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共２0分）
１３.若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积的比为_______＿．
答案3∶1∶2
解析设球的直径为2Ｒ，则V柱=πR2·2R=2πR3,V锥=错误!πR2·２R＝错误!Ｒ３,V球＝错误!未定义书签。

πR３．V柱∶V锥∶V球＝3∶１∶2．
14.设圆Ｃ:(x－3）2＋(ｙ-5）２＝5,过圆心Ｃ作直线l交圆于A,Ｂ两点,交ｙ轴于点Ｐ，若A恰好为线段ＢP的中点，则直线ｌ的方程为_＿＿_＿___.
答案 2x-y-1=0或２x+y－11=0
解析因为点Ａ为PＢ的中点,而点Ｃ为AＢ的中点，因此，点C为PB的一个四等分点．而C （３，5），Ｐ点的横坐标为０,因此A,B的横坐标分别为2,4,将A的横坐标代入圆的方程,可得A(２，3）或A(2，７）,根据直线的两点式得到直线l的方程为2x-y-1＝０或2ｘ+ｙ-1１＝0．１5．在平面直角坐标系xOｙ中,已知圆x2+ｙ2=4上有且仅有三个点到直线１２x－5ｙ+c=0的距离为1，则实数ｃ的值为＿＿______.
答案±１3
解析由圆ｘ２+ｙ2=4,可知圆心为坐标原点,半径长为2．由于圆上有且仅有三个点到直线１2x－5y＋c＝0的距离为1,故圆心到直线的距离为1，即d=错误!=1，解得ｃ=±１3．
16．如图,正方体ＡBＣD-Ａ1B1C1D１的棱长为１，线段B１Ｄ1上有两个动点Ｅ，F，且EF＝错误!未定义书签。

．给出下列命题:
①AＣ⊥ＢE;②EＦ∥平面ABCＤ;③三棱锥A-BEF的体积为定值;④异面直线AE与ＢF所成的角为定值．其中正确的命题的序号为__＿＿____．
答案①②③
解析①连接DB，由题意知AC⊥平面DD１B1Ｂ,故ＡC⊥BE,正确;②由正方体AＢＣD－A1Ｂ1C１Ｄ1的两个底面平行，且EF⊂平面Ａ1B1C１Ｄ１，得EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ＡＢCD,正确；③由几何体的性质及题图知，△BＥF的面积是定值，点Ａ到面ＤD1B1B距离是定值，故三棱锥Ａ－BＥF的体积为定值,正确；④由题图知,当F与B1重合时，令上底面的中心为点Ｏ,点E与O重合,则此时两异面直线ＡＥ与BF所成的角是∠A1AO,当E与Ｄ1
ﻬ重合时,点Ｆ与O重合，则此时两异面直线AＥ与BF所成的角是∠ＯBC1,∠Ａ１AO≠∠ＯBC1，故异面直线AE与BF所成的角不是定值.综上可知，①②③正确．
三、解答题（本大题共６小题,共70分)
1７．（本小题满分10分)已知一个组合体的三视图如下图所示，请根据具体数据来求此几何体的体积(单位：cｍ)．
解由三视图知,此几何体是下面是一个圆柱，中间是一个圆柱,上面是一个与中间圆柱同底的圆锥的组合体．由条件中尺寸可知
V圆锥＝错误!未定义书签。

Sｈ＝＼f(１，3）π×22×2=＼f（8,３)π(cm3).
V圆柱中＝Sh=π×22×１0=４0π(cｍ3）,
V圆柱下=Sh＝π×６2×2＝72π（cm3).
∴此组合体的体积V＝V圆锥+V圆柱中＋V圆柱下
＝错误!未定义书签。

π+４0π＋７2π=错误!π(cm３).
18．(本小题满分１2分)如图,C,D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD＝2＼r(3)，AC=ＢC,F是ＡB上一点,且AF＝错误!ＡＢ,将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABＤ内的射影E在BD上,已知CE=错误!．
(1）求证：AＤ⊥BＣ;
（２）求三棱锥A-ＣFD的体积．
解（１）证明:依题意,得AD⊥BD,CE⊥平面ABＤ，
∴CE⊥AD．
∵ＢD∩CE=E,∴ＡD⊥平面BCD,
∴AＤ⊥BC．
（2)由题意可知∠AＤＢ=９０°，AB=2AD=2错误!,
∴ＡD＝错误!未定义书签。

，
∴DB=错误!未定义书签。

＝错误!＝3．
∴S△ABＤ=＼ｆ（１，2）×错误!×3＝错误!.又∵AF＝错误!AB，
∴Ｓ△FＡD=错误!未定义书签。

S△ABD＝错误!．
∵CE⊥平面AＢD,
∴V A－CＦD＝V C－AＦD=错误!未定义书签。

·S△FAＤ·CＥ=错误!未定义书签。

×错误!×错误!=错误!未定义书签。

.
１９.（本小题满分12分)如图，已知圆O：x2+y2＝1和定点A（２，1）,由圆O外一点Ｐ(ａ，b）向圆O引切线PQ,切点为Q，且满足|PＱ|=|PA|．
（1）求实数ａ,b间满足的等量关系；
(２)求线段ＰQ长的最小值；
(３)若以P为圆心的圆P与圆O有公共点,试求圆P的半径长最小时圆P的方程.
解 (1）如图，连接OP.∵Q为切点,∴PQ⊥ＯQ．
由勾股定理，有｜PＱ|2＝｜OP｜２－｜OQ|2.
又由题意知｜PQ|＝|ＰA｜，故｜PＱ｜２=|PA|２,
即（a２＋b2)-12＝(a－2）2＋(b-１)2，
化简得实数ａ，b间满足的等量关系为2a+b－３=0.
(２）解法一：由２a+ｂ-3=0，得b=-2ａ+3.
ﻬ｜PQ｜＝错误!未定义书签。

=＼r(ａ2+－2ａ+3２-１）
=错误!
＝ 错误!未定义书签。

．
当ａ＝错误!未定义书签。

时，|P Ｑ|mi ｎ＝2＼r （5）
5,
即线段PQ 长的最小值为错误!.
解法二:由(1）知，点Ｐ在直线l ：2x ＋y-３＝０上， 所以|ＰＱ|ｍin =｜PA|min ，即求点A 到直线l 的距离． 所以｜PQ|m ｉｎ ＝错误!=错误!未定义书签。

. (3)解法一:设圆P 的半径长为R ．
∵圆P 与圆Ｏ有公共点,圆O 的半径长为1， ∴|Ｒ-1|≤|O Ｐ|≤R ＋１，
即R≥｜|O Ｐ|－１｜且R≤｜OP|+1. 而|OP|＝错误!＝错误! ＝错误!．
当a ＝＼ｆ（6,5)时,|OP|min =错误!． 此时,b ＝-2a+3=错误!,Ｒm ｉｎ=错误!－１.
故半径长取最小值时圆P 的方程为错误!未定义书签。

2
+错误!２
=错误!2
．
解法二:∵圆P 与圆O 有公共点,∴圆P 半径长r 最小时,与圆Ｏ外切（取小者),而这些半径长的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1,圆心P 为过原点与ｌ垂直的直线l′与ｌ的交点P 0.
∴r min ＝错误!-1＝错误!－1.
又直线l′的方程为x －2y=0，结合直线ｌ：2x+y －３＝0，得方程组错误!未定义书签。

解得错误!未定义书签。

即Ｐ0错误!.
ﻬ故所求圆的方程为错误!
２
+错误!未定义书签。

2
=错误!２
．
20.（本小题满分１2分)已知以点Ｐ为圆心的圆经过点A(－1,０)和Ｂ(3,4)，线段ＡB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D,且｜C Ｄ｜=4错误!．
（1)求直线ＣD 的方程; (2)求圆P 的方程;
(３)设点Ｑ在圆Ｐ上，问：使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论． 解 （1)∵A(-1,０）和B （3，4)∴ｋAB ＝１,
由题意知直线AB与ＣD垂直，
故k CD·k AB=-1,∴ｋCD＝－1.
又由题意知,线段CD经过线段ＡB的中点（1,2），所以CD的直线方程为x+ｙ-3＝０．
(２)设圆心Ｐ(ａ,b）,则由P在CＤ上,得
a+ｂ-3=0．①
∵直径|CD｜=4１0，
∴｜ＰA|=2错误!未定义书签。

.
∴(a+1）2+b2＝４0.②
由①②解得错误!未定义书签。

或错误!
∴圆心P(－3,6)或P（5,-2).
∴圆P的方程为（x＋3)２+(y－6）2=４0或（ｘ－５)2＋(y＋2）2＝４0.
（3）圆P上共有两个点Q使△ＱAB的面积为8.
证明：∵|AB|=错误!未定义书签。

=４错误!，
∴当△QAＢ的面积为8时,点Q到直线AB的距离为2错误!未定义书签。

．
又圆心Ｐ到直线ＡB的距离为4错误!未定义书签。

,圆P的半径长r＝２错误!未定义书签。

,且4错误!＋２错误!>2错误!未定义书签。

，
∴圆P上共有两个点Q使△QAＢ的面积为8．
21.
（本小题满分１2分)如图,在四棱锥P－AＢＣD中，底面AＢCD为平行四边形，∠ＡＤＣ＝4５°，AD＝ＡＣ＝１，Ｏ为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2,M为PD的中点.
(１)求证:PＢ∥平面ACM；
（2)求证:AD⊥平面PAC;
（3)求直线AM与平面AＢCD所成角的正切值.
解
(1)证明:如图,连接BＤ,MO,在▱AＢCＤ中,因为O为AC的中点，所以O为BD的中点.
又M为PD的中点,所以PＢ∥MO．
因为PB⊄平面ACM，ＭO⊂平面ACM，所以ＰB∥平面ＡCM.
(2)证明：因为∠ADC＝４5°,且AD＝AC＝1,
所以∠ＤAC=９0°，即ＡD⊥ＡＣ.
又PＯ⊥平面AＢＣD,AD⊂平面ABCＤ,
所以PO⊥AＤ.
又ＡＣ∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.
（3）取DＯ的中点N,连接MN,AN．
因为M为PD的中点,
所以MN∥ＰＯ,且ＭＮ=错误!未定义书签。

PＯ＝1.
由PO⊥平面ABＣD，得MN⊥平面ABCＤ,
所以∠MAN即为直线AM与平面ABＣD所成的角．
在Rt△DAO中,AD=１,AO=错误!，所以ＤO＝错误!，
从而AＮ=错误!未定义书签。

ＤO＝错误!．
在Ｒt△ＡNM中,tan∠ＭAN＝错误!未定义书签。

=错误!＝错误!未定义书签。

，即直线ＡM与平面ABCＤ所成角的正切值为错误!.
ﻬ22．(本小题满分１2分）已知圆C：x2+y2-２x＋４y－4=０，是否存在斜率为１的直线ｌ,使以l 被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线l的方程;若不存在,请说明理由．解假设直线l存在,设l的方程为y＝x+m,
由错误!未定义书签。

得
2x2+２（m＋1)ｘ+m2+4m-4＝0．(*)
设Ａ(x1,ｙ1），B(x２，y2），则
x１+x2＝－(ｍ+1),x１x2=错误!.
∵以ＡB为直径的圆为
(x-x1)(x-x２）+(y－y1）（y－y２）=0,
若它经过原点,则ｘ1ｘ2＋y１y２=0.
又ｙ1y２＝(ｘ1＋m)(x2+ｍ）
=ｘ1ｘ２+m(ｘ1＋x２)＋m2，
∴2ｘ1x2+ｍ(x1＋ｘ２)+m2=0，
∴m２+3m－4＝0,解得ｍ＝-4或ｍ=1.
当m=－４或ｍ=１时，(＊)式的Δ>0，
∴所求直线l的方程是ｘ-y-4=０或x－y+１＝０.
ﻬ。