二次函数与幂函数—2023年高考数学一轮复习

3.4二次函数与幂函数——2023年高考数学一轮复习
一、单选题
1．下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递减的是（ ）
A ．y =x 4+x 2
B ．y =e −|x|
C ．y =e x −e −x
D ．y =ln|x|
2．下列函数中，在 R 上单调递增的是（ ）
A ．f(x)=(12
)x
B ．f(x)=log 2x
C ．f(x)=|x|
D ．f(x)=x 3
3．下列函数值中，在区间 (0，+∞) 上不是单调函数的是（ ）
A ．y =x
B ．y =x 2
C ．y =x +√x
D ．y =|x −1|
4．设 a,b 为实数，则“ a >b >0 ”是“ πa >πb ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知幂函数 f(x)=x α 满足 2f(2)=f(16) ，若 a =f(log 42) ， b =f(ln2) ， c =
f(5
−
12)
，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A ．a >c >b
B ．a >b >c
C ．b >a >c
D ．b >c >a
6．已知 a =√2 ， b =31
3 ， c =log 32 ，则（ ）
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．c <a <b
D ．a <c <b
7．已知幂函数f(x)的图象经过点A(3，27)与点B(t ，64)，a =log 0.1t ，b =0.2t ，c =t 0.1，则
（ ） A ．c <a <b
B ．a <b <c
C ．b <a <c
D ．c <b <a
8．设a =31
3，b =61
6，c =log 32，则（ ）
A ．c <b <a
B ．b <c <a
C ．c <a <b
D ．a <c <b
9．已知a >0，b >0，且bln(a +1)=aln(b +2)，则下列不等式恒成立的个数是（ ）
①a 3<b
3
；②e b +e −a >e a +e −b ；③
a −1
b <b −1a ；④b a >b a
a
b .
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知函数 f(x) 满足：①对任意 x 1 、 x 2∈(0，+∞) 且 x 1≠x 2 ，都有
f(x 1)−f(x 2)
x 1−x 2
>0 ；②对定义域内的任意 x ，都有 f(x)=f(−x) ，则符合上述条件的函数是（ ） A ．f(x)=x 2+|x|+1
B ．f(x)=1x
−x
C ．f(x)=ln|x +1|
D ．f(x)=cosx
二、多选题
11．若 a >b >1 ， 0<c <1 ，则下列表达正确的是（ ）
A ．log a c >log b c
B ．log c a <log c b
C ．a c <b c
D ．c a >c b
12．已知实数a ，b ，c 满足a >b >c ，且a +b +c =0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．b 2>4ac
B ．1a +1b +1c >0
C ．(a −b)c >(a −c)c
D ．ln a−b a−c
<0
13．已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有（ ）．
A ．函数f(x)的定义域为R
B ．函数f(x)为非奇非偶函数
C ．过点P(0，12)且与f(x)图象相切的直线方程为y =12x +12
D ．若x 2>x 1>0，则f(x 1)+f(x 2)2>f(x 1+x 2
2) 14．下列结论正确的是（ ）
A ．∀x ∈R ， x +1x
≥2
B ．若 a <b <0 ，则 (1a )3>(1b
)3
C ．若 x(x −2)<0 ，则 log 2x ∈(0,1)
D ．若 a >0 ， b >0 ， a +b ≤1 ，则 0<ab ≤14
三、填空题
15．已知α∈{−2，−1，−12，1
2
，1，2，3}.若幂函数f(x)＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则
α＝ .
16．若幂函数y =x a 的图像过点(2， 8)，则a = ．
17．已知幂函数 y =f(x) 的图象过点 (4,1
2) ，则 f(x)= .
18．幂函数 f(x) 的图像过点 (3,√3) ，则 f(8)= .
19．若函数 f(x)=(m +2)x a 是幂函数，且其图象过点 (2，4) ，则函数 g(x)=log a (x +m) 的
单调增区间为 .
20．已知函数 f(x)={x 2+2x −1,x ≤0
3x +m,x >0 在R 上存在最小值，则m 的取值范围
是 .
21．已知函数 f(x)=2x 2−mx +3 在 (−2，+∞) 上单调递增，在 (−∞，−2] 上单调递减，则
f(1)= ．
22．已知函数 f(x)={3x +1,x ≤1
x 2−1,x >1 ，若 n >m ，且 f(n)=f(m) ，设 t =n −m ，则 t 的取
值范围为 .
23．函数 f(x)=x 2+2(a −1)x +2 在区间 [3,+∞) 上是增函数，则 a 的取值范围
是 .
24．命题“ ∀x ∈(0,+∞) ， x 2−2x −m ≥0 ”为真命题，则实数 m 的最大值为 ． 25．关于x 的不等式 mx 2+6mx +m +8≥0 在实数集 R 上恒成立，则实数m 的取值范围
是 ．
26．幂函数 f(x)=x −2 的单调增区间为 .
27．已知函数 f(x)={−x 2+2ax ，x ≤1
ax +1，x >1 ，若∈x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）成立，则
实数a 的取值范围是 ．
28．已知函数 f(x)={x 2−2ax +9,x ≤1,
x +4
x +a,x >1,
，若 f(x) 的最小值为 f(1) ，则实数 a 的取值范围是 四、解答题
29．已知集合 A ={x|2x 2−9x +4>0} ，集合 B ={y|y =−x 2+2x ，x ∈C R A} ，集合 C =
{x|m +1<x ≤2m −1} . （1）求集合 B ；
（2）若 A ∪C =A ，求实数 m 的取值范围.
30．已知二次函数 f(x)=ax 2+bx +c ，不等式 f(x)>−2x 的解集为 (1，3) .
（1）若方程 f(x)+6a =0 有两个相等的实根，求 f(x) 的解析式； （2）若 f(x) 的最大值为正数，求实数 a 的取值范围.
答案解析部分
1．B
对于A ，令f(x)=x 4+x 2，f(1)=2<f(2)=20，A 不符合题意；
对于B ，令f(x)=e −|x|，f(−x)=e −|x|=f(x)，则y =e −|x|为偶函数，当x >0时，y =e −|x|=
e −x =(1
e
)x ，则y =e −|x|在(0，+∞)上单调递减，B 符合题意；
对于C ，f(x)=e x −e −x ，f(−x)=e −x −e x ≠f(x)，C 不符合题意；
对于D ，当x >0时，y =ln|x|=lnx ，y =ln|x|在(0，+∞)上单调递增，D 不符合题意； 故答案为：B
【分析】由偶函数的定义以及指对幂函数的单调性判断即可.
2．D
对于A ， f(x)=(1
2
)x 在 R 上单调递减；
对于B ， f(x)=log 2x 定义域为 (0，+∞) ；不是 R 上的单调增函数； 对于C ， f(x)=|x| ，当 x ∈(−∞，0) 时， f(x)=−x 是减函数； 对于D ， f(x)=x 3 在 R 上单调递增. 故答案为：D
【分析】由指数函数、对数函数、幂函数以及一次函数的单调性对选项逐一判断即可得出答案。

3．D
由一次函数的性质可知， y =x 在区间 (0，+∞) 上单调递增； 由二次函数的性质可知， y =x 2 在区间 (0，+∞) 上单调递增； 由幂函数的性质可知， y =x +√x 在区间 (0，+∞) 上单调递增；
结合一次函数的性质可知， y =|x −1| 在 (0，1) 上单调递减，在 (1，+∞) 上单调递增． 故答案为：D ．
【分析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质进行判断可得答案。

4．A
由题意，函数 f(x)=πx 为单调递增函数，
当 a >b >0 时，可得 f(a)>f(b) ，即 πa >πb 成立，
当 πa >πb ，即 f(a)>f(b) 时，可得 a >b ，所以 a >b >0 不一定成立， 所以“ a >b >0 ”是“ πa >πb ”的充分而不必要条件. 故答案为：A.
【分析】由幂函数的单调性结合充分和必要条件的定义即可得出答案。

5．C
由 2f(2)=f(16) 可得 2⋅2α=24α ，∴1+α=4α ，
∴α=1
3 ，即 f(x)=x 13 .由此可知函数 f(x) 在 R 上单调递增.
而由换底公式可得 log 42=log 22log 24=12 ， ln2=log 22log 2
e ， 5−
12=1√5 ，
∵1<log 2e <2 ，∴log 22log 24<log 22
log 2e ，于是 log 42<ln2 ，
又∵1√5<1
2 ，∴5−12<log 4
2 ，故 a ， b ， c 的大小关系是 b >a >c .
故答案为：C.
【分析】 根据题意求出幂函数f(x)的解析式，判断f(x)是定义域上的单调增函数，再比较出a 、b 、c 的大小，即可得出结论.
6．C
由 a =√2>1 ， b =31
3>30=1 ，可得 a 6=(212)6
=23=8 ， b 6=(31
3)6
=32=9 ，
则有 a 6≤b 6 ，所以 1<a <b ； c =log 32<log 33=1 ，则 c <a <b . 故答案为：C
【分析】利用对数与指数函数的相关性质比较大小，即可得出答案。

7．B
设幂函数f(x)=x α，因为点A(3，27)在f(x)的图象上， 所以27=3α，α=3，即f(x)=x 3，
又点B(t ，64)在f(x)的图象上，所以64=t 3，则t =4，
所以a =log 0.14<0，0<b =0.24<1，c =40.1>1， 所以a <b <c ， 故答案为：B
【分析】 设幂函数的解析式为f(x)=x α，把点A(3，27)代入函数的解析式求得a 的值，即可得到函数的解析式，求出t 的值，从而比较a ， b ， c 的大小.
8．A
解：由题得a =313>30=1，b =61
6>60=1，c =log 32<log 33=1， a =
313
=√33=√96
=
916
>
616
=b ，
所以c <b <a . 故答案为：A
【分析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小，可得答案.
9．B
易知ln(a+1)a =ln(b+2)b >ln(b+1)b
.
设 f(x)=ln(x+1)x (x >0)，则 f′(x)=x
x+1
−ln(x+1)
x
2. 设 g(x)=x x+1−ln(x +1)(x >0)，则 g′(x)=1(x+1)2−1x+1=−x (x+1)
2<0. 所以 g(x)在 (0，+∞)上单调递减. 所以 g(x)<g(0)=0，即 f′(x)<0. 所以 f(x)在 (0，+∞)上单调递减.
因为 a >0， b >0，且 f(a)>f(b)，所以 0<a <b . 因为 y =x 3为增函数，所以 a 3<b 3，①恒成立. 设 y =e x −e −x ，则该函数为R 上的增函数.
因为 b >a ，所以 e b −e −b >e a −e −a ，即 e b +e −a >e a +e −b ，②恒成立.
a −1
b −(b −1a )=a −b +1a −1b =(a −b)⋅ab−1
ab .
因为 0<a <b ，所以 a −b <0，但ab 小于1时，③不恒成立. 因为当 b =2， a =1时， b a =b a
a
b ，所以④不恒成立.
故答案为：B
【分析】设f(x)=ln(x+1)
x(x>0)
，由导数可确定0<a<b，再根据y=x3，y=e x−e−x为增函数判断①②，做差判断③，特殊值判断④。

10．A
由题意得：f(x)是偶函数，在(0，+∞)单调递增，
对于A，f(−x)=f(x)，是偶函数，
且x>0时，f(x)=x2+x+1，对称轴为x=−12，
故f(x)在(0，+∞)递增，符合题意；
对于B，函数f(x)是奇函数，不合题意；
对于C，由x+1=0，解得：x≠−1，
定义域不关于原点对称，故函数f(x)不是偶函数，不合题意；
对于D，函数f(x)在(0，+∞)无单调性，不合题意；
故答案为：A
【分析】根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断，即可得出答案。

11．A,B
解：∵0<c<1，∴函数y=log c x在(0，+∞)上单调递减，
又∵a>b>1，∴log c a<log c b<log c1=0，∴1
log c a>
1
log c b，
即log a c>log b c，所以A符合题意，B符合题意，
∵幂函数y=x c在(0，+∞)上单调递增，且a>b>1，∴a c>b c，所以C不符合题意，∵指数函数y=c x在R上单调递减，且a>b>1，
∴c a<c b，所以D不符合题意，
故答案为：AB．
【分析】由对数函数的单调性即可得出选项A正确、B正确；由幂函数和指数函数的单调性即可判断出选项C和D错误，由此得出答案。

12．A,C,D
由a +b +c =0，可得b =−a −c ，则b 2−4ac =(a +c)2−4ac =(a −c)2>0， 所以b 2>4ac ，所以A 一定成立；
因为a +b +c =0，∴可取a =5，b =−2，c =−3，则1a +1b +1
c
<0，B 不一定成立；
由a >b >c ，可得a −c >a −b >0，又由a +b +c =0，所以c <0， 由幂函数y =x α的性质知(a −b)c >(a −c)c ，C 一定成立；
因为0<a−b a−c <1，根据对数函数的性质得ln a−b
a−c
<0，所以D 一定成立.
故答案为：ACD.
【分析】 利用完全平方公式比较大小，可判断A ；举反例即可判断B ；利用幂函数比较大小，可判断C ；利用对数函数比较大小，可判断D.
13．B,C
设f(x)=x α，将点(4，2)代入f(x)=x α，
得2=4α，则α=1
2
，即f(x)=x 12，
对于A ：f(x)的定义域为[0，+∞)，即A 不符合题意； 对于B ：因为f(x)的定义域为[0，+∞)， 所以f(x)不具有奇偶性，即B 符合题意； 对于C ：因为f(x)=x 1
2，所以f ′(x)=
12√x
， 设切点坐标为(x 0，√x 0)，则切线斜率为k =f ′(x 0)=2√x ，
切线方程为y −√x 0=2√x −x 0)，又因为切线过点P(0，1
2
)，
所以12−√x 0=2√x 0−x 0)，解得x 0=1， 即切线方程为y −1=12(x −1)，即y =12x +12
，
即C 符合题意；
对于D ：当0<x 1<x 2时，
[
f(x 1)+f(x 2)2]2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−
x 1+x 22
=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x
22=2√x 1x 2−x 1−x 24=−(√x 1−√x 2)2
4
<0，
即
f(x 1)+f(x 2)2<f(x 1+x 2
2)
成立，即D 不符合题意．
故答案为：BC ．
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域，判断奇偶性，即可判断选项A 、B 的正误；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P 求出切线方程，进而判断C 的正误；平方作差比较大小，进而判断D 的正误。

14．B,D
当 x <0 时， x +1
x
为负数，所以A 不正确；
若 a <b <0 ，则
1b <1
a
<0 ，考虑函数 f(x)=x 3 在R 上单调递增， 所以 f(1a )>f(1
b ) ，即 (1a )3>(1b
)3 ，所以B 符合题意；
若 x(x −2)<0 ，则 0<x <2 ， log 2x ∈(−∞,1) ，所以C 不正确；
若 a >0 ， b >0 ， a +b ≤1 ，根据基本不等式有 √ab ≤a+b 2,0<ab ≤(a+b 2)2
=14
所以D 符合题意. 故答案为：BD
【分析】 A ，当x<0时， x +1x
为负数；
B ，当a<b<0时，1b <1a <0 ，根据函数f(x)=x 3的单调性即可判定；
C ，可得0<x<2，由y =log 2x 的图象即可判定；
D ，由√ab ≤a+b 2,0<ab ≤(a+b 2)2
=14
即可判定． 15．-1
∵幂函数f(x)＝x α为奇函数，∴α可取－1，1，3， 又因为f(x)＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1。

故答案为：-1。

【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和减函数的性质，进而找出满足要求的实数α的值。

16．3
∵幂函数y =x a 的图像过点(2， 8)，∴2a =8=23，a =3， 故答案为3.
【分析】由幂函数的图象，把点的坐标代入计算出a的值即可。

17．x−12
设幂函数y=f(x)=xα，
因为y=f(x)的图象过点(4,1 2)
，
所以4α=12，
解得α=−1 2
所以f(x)=x−12，
故答案为：x−12
【分析】设幂函数y=f(x)=xα，根据其图象过点(4,12)，则有4α=12，解可得a的值，代入f（x）=x a中，可得函数的解析式，即可得答案．
18．2√2
解：由f(x)为幂函数，则可设f(x)=xα，
又函数f(x)的图像过点(3,√3)，则3α=√3，则α=12，
即f(x)=x12，则f(8)=812=2√2，
故答案为：2√2.
【分析】先设f(x)=xα，再由已知条件求出α=1
2，即f(x)=x
1
2，然后求f(8)即可.
19．(1，+∞)
函数f(x)=(m+2)x a是幂函数，则m+2=1，解得m=−1，f(x)=x a 又f(2)=4，则2a=4，解得a=2，即g(x)=log2(x−1)
令x−1>0，解得x>1，则g(x)的单调增区间为(1，+∞)
故答案为：(1，+∞)
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，可得结论. 20．[﹣3，+∞）
解：当x≤0时，f（x）＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2≥﹣2，
即有x＝﹣1时，取得最小值﹣2，
当x＞0时，f（x）＝3x+m递增，
可得f（x）＞1+m，
由题意可得1+m≥﹣2，
解得m≥﹣3，
故答案为：[﹣3，+∞）．
【分析】讨论当x≤0时，当x>0时，运用二次函数的单调性和指数函数的单调性，可得f（x）的范围，由题意即可得到所求m的范围．
21．13
函数f(x)=2x2−mx+3在(−2，+∞]单调递增，在(−∞，−2]单调递减，
所以x=−2时，f(x)有最小值，即m
4=−2，可得m=−8，
∴f(x)=2x2+8x+3，f(1)=2+8+3=13，
故答案为：13.
【分析】利用二次函数的对称轴方程，即可求出实数m的值，利用二次函数的解析式求出函数f (1)的值。

22．[√5−1,17 12]
画出f(x)图象如下图所示，
3×1+1=4 ，令 x 2−1=4(x >0) ，解得 x =√5 ，
由 n >m,f(n)=f(m) 得 3m +1=n 2−1 ， m =n 2−23
，且 1<n ≤√5 所以 t =n −m =n −n 2−23=−13n 2+n +23
(1<n ≤√5) ， 结合二次函数的性质可知，当 n =−12×(−13)=32 时， t 取得最大值为 −13×(32)2+32+23=1712
，当 n =√5 时， t 取得最小值为 −13×(√5)2+√5+23
=√5−1 . 所以 t 的取值范围是 [√5−1,
1712
] . 故答案为： [√5−1,
1712] 【分析】画出图像，令 x 2−1=4(x >0) ，解得 x =√5，由 n >m,f(n)=f(m)得m =n 2−23 ，且 1<n ≤√5， t =n −m =n −n 2−23=−13n 2+n +23
(1<n ≤√5)，再根据二次函数的性质求出最值即可得出 t 的取值范围。

23．[−2,+∞)
由题意知， f(x)=x 2+2(a −1)x +2 的对称轴方程为 x =1−a ，
因为该函数在区间 [3,+∞) 上单调递增，所以 1−a ≤3 ,解得 a ≥−2 .所以 a 的取值范围是
[−2,+∞).
故答案为：[−2,+∞)
【分析】根据二次函数的对称轴与单调性可得不等式，解之可得答案．
24．-1
∀x∈(0,+∞),x2−2x−m≥0，只需(x2−2x)min≥m，又当x=1时，y=x2−2x有最小值−1,所以m≤−1，m的最大值为-1.
故答案为：-1.
【分析】由题意∀x∈(0,+∞),x2−2x−m≥0，转化为(x2−2x)min≥m，只需求出函数y= x2−2x的最小值即可.
25．[0,1]
当m=0时，不等式变形为8≥0在实数集R上恒成立；
当m≠0时，由题意可知，{m>0
Δ=(6m)2−4m(m+8)≤0，解得0<m≤1.
综上所述0≤m≤1.
故答案为：[0,1]
【分析】对m进行分类讨论，当m=0时，关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在实数集R上恒成立，当m≠0时，若使得关于x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在实数集R上恒成立，则需对应的一元二次函数开口向上，且与x轴最多只有一个交点，即
{m>0
Δ=(6m)2−4m(m+8)≤0，解不等式组，即可. 26．(−∞,0)
因为幂函数f(x)=x−2在(0,+∞)是减函数，又因为函数f(x)=x−2=1
x2
是偶函数，所以函数
在(−∞,0)是增函数.
故答案为：(−∞,0)
【分析】由幂函数的性质可知函数在在(0,+∞)是减函数，并且根据偶函数的性质可知单调递减区间.
27．（-∞，1）∈（2，+∞）
若∈x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则说明f(x)在R上不单调．
①当a=0时, f(x)={−x2,x⩽1
1,x>1，其图象如图所示，满足题意
②当a<0时,函数y=−x2+2ax的对称轴x=a<0，其图象如图所示，满足题意
③当a>0时,函数y=−x2+ax的对称轴x=a>0,其图象如图所示,要使得f(x)在R上不单调
则只要二次函数的对称轴x=a<1,或{a⩾1
−12+2a×1>a×1+1
，
∴0<a<1或a>2，
综合得a的取值范围是(−∞,1)∈(2,+∞).
【分析】分类讨论a=0，a<0，a>0三种情况，结合题意可知函数不单调，继而求解出结果.
28．a≥2
当x>1，f(x)=x+4
x+a≥4+a
，当且仅当x=2时，等号成立.
当x≤1时，f(x)=x2−2ax+9为二次函数，要想在x=1处取最小，则对称轴要满足
x =a ≥1
并且 f(1)≤4+a ，即 1−2a +9≤a +4 ，解得 a ≥2 .
【分析】 x >1 ，可得 f(x) 在 x =2 时，最小值为 4+a ， x ≤1 时，要使得最小值为 f(1) ，则 f(x) 对称轴 x =a 在1的右边，且 f(1)≤4+a ，求解出 a 即满足 f(x) 最小值为 f(1) .
29．（1）∵2x 2−9x +4>0 ， ∴x <12 或 x >4 ，∴A =(−∞，12
)∪(4，+∞) ， ∁R A =[12，4] .
于是， y =−x 2+2x =−(x −1)2+1，x ∈[12
，4] ，解得 y ∈[−8，1] ， ∴B =[−8，1] . （2）∵A ∪C =A ，∴C ⊆A ．
若 C =∅ ，则 2m −1≤m +1 ，即 m ≤2 ，
若 C ≠∅ ，则 {
m >2
2m −1<12 或 {m >2m +1≥4
，解得 m ≥3 ， 综上，实数 m 的取值范围是 m ≤2 或 m ≥3 . 【解析】【分析】 (1)由 2x 2−9x +4>0，解得 x <12 或 x >4 ，可得A ，可得C R A ，利用二次函数的单调性可得 y =−x 2+2x 的值域，即可得出B ；
(2) AUC=A ，可得 C ⊆A ，当m+1≥2m-1， 即m≤2时， C =∅ ，满足条件；当m+1<2m-1， 即m>2时，C ⊆A ，可得2m-1<12
，或4≤m+1，解得m. 30．（1）解：∵不等式 f(x)>−2x 的解集为 (1，3) ，
∴x =1 和 x =3 是方程 ax 2+(b +2)x +c =0(a <0) 的两根，
∴{b+2a =−4c a
=3 ，∴b =−4a −2 ， c =3a . 方程 f(x)+6a =0 有两个相等的实根.
∴Δ=b 2−4a(c +6a)=0 ，∴4(2a +1)2−4a ×9a =0 ，∴a =−15
或 a =1 （舍）， ∴a =−15 ， b =−65 ， c =−35 ，∴f(x)=−15x 2−65x −35
. （2）由（1）知 f(x)=ax 2−2(2a +1)x +3a ，
∵a <0 ，∴f(x) 的最大值为 −a 2−4a−1a
，∵f(x) 的最大值为正数， ∴{a <0−a 2−4a−1a
>0 ，∴{a <0a 2+4a +1>0 ，解得 a <−2−√3 或 −2+√3<a <0 .
∴所求实数a的取值范围是(−∞，−2−√3)∪(−2+√3，0).
【解析】【分析】（1）根据“三个二次”的关系，结合根与系数的关系，以及二次函数图象特征求解即可；
（2）根据二次函数最值的解法，结合一元二次不等式的解法直接求解即可.。