两角差的余弦公式教学设计

教学设计：两角差的余弦公式
人教版高中数学必修4第三章第一节
一、教学目标
1.知识与技能
（1）能够推导两角差的余弦公式；
（2）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；
（3）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2.过程与方法
创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，讲解例题，总结方法，巩固练习.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角差公式的结构及其功能，提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点
重点: 两角差余弦公式的探索和简单应用
难点：两角差的余弦公式的推导.
三、教学方法
1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距
四、教学过程
1、创设情境
我们在初中时就知道02cos 452=，03cos302
= ，由此我们能否得到()c o s 15c o s 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于
cos 45cos30-呢？ 显然根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！
若已知α、β的三角函数值，那么()cos αβ-的值是否确定？它与α、β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题.
2、讲授新课
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。

思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能
否用向量的知识来证明？
（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-
[展示课件]在直角坐标系作出单位圆，利用向量的方法求解（如教材图3.1）. 学生思考：以上推导是否有不严谨之处？
教师引导学生分析其中的过程发现（具体见课件）：上述证明仅仅是对α与β为锐角的情况，但α与β为任意角时上述过程还成立吗？
当αβ-是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角[0,2)θπ∈，使c o s c o s (θαβ=-
若[0,)θπ∈，则∙−→−OA −→
−OB =cos cos()θαβ=-
若[,2)θππ∈，则2(0,]πθπ-∈，且∙−→−OA −→−OB =cos(2)cos cos()πθθαβ-==-. 结论归纳: 对任意角α与β都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
这个公式称为：差角的余弦公式 βα-C
注意：1.公式的结构特点
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos()αβ-
3.知识应用
例1.利用差角余弦公式求0cos15的值
分析: ()000000cos15cos 4530
cos(6045)cos(135120)cos(150135)=-=-==-=- 思考：你会求0sin 75的值吗?
例2.已知3cos 5α=- , ),2(ππα∈,求cos()4
πα-的值. 4、课堂小结
1、两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
2、牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα
3、公式中的α、β可以是单角，也可以是复角；应用时要注意角的变换;如2()();βαβαβ=+--()66ππ
αα=+
- 等。

5、布置作业。