山东省济南市长清区万德中学九年级数学上学期开学试卷(含解析) 新人教版

2016-2017学年山东省济南市长清区万德中学九年级（上）开学数学
试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．计算a 3•（）2的结果是（ ）
A ．a
B ．a 3
C ．a 6
D ．a 9
2．下列式子：①﹣2＜0；②2x﹣3y ＜0；③x=3；④x +y ．其中不等式的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．一个等腰三角形有一个角是40°，则它的底角是（ ）
A ．40°
B ．70°
C ．60°
D ．40°或70°
4．把多项式4x 2y ﹣4xy 2﹣x 3分解因式的结果是（ ）
A ．4xy （x ﹣y ）﹣x 3
B ．﹣x （x ﹣2y ）2
C ．x （4xy ﹣4y 2﹣x 2）
D ．﹣x （﹣4xy+4y 2+x 2）
5．分式﹣
可变形为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
6．关于x 的方程（a ﹣1）x 2+x ﹣2=0是一元二次方程，则a 满足（ ）
A ．a ≠1
B ．a ≠﹣1
C ．a ≠±1
D ．为任意实数
7．下列数值中不是不等式5x ≥2x+9的解的是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
8．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，则对角线AC 的长是（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．2
9．一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为（ ）
A ．（x+4）2=17
B ．（x+4）2=15
C ．（x ﹣4）2=17
D ．（x ﹣4）2=15
10．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点．若△DBE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A 1B 1C 1，那么点A 的对应点A 1的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（2，4）C．（3，1）D．（2，5）
12．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
二、填空题(每小题3分，共18分)
13．分解因式：x3﹣6x2+9x=______．
14．当m=2016时，计算：﹣=______．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是______．
16．若关于x的不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是______．
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=______°．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是______．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分）
19．解方程
（1）﹣=1；
（2）2x2﹣3x﹣2=0．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．
证明：（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
23．已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
24．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，
连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
25．2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？
2016-2017学年山东省济南市长清区万德中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．计算a3•（）2的结果是（）
A．a B．a3C．a6D．a9
【考点】分式的乘除法．
【分析】先算出分式的乘方，再约分．
【解答】解：原式=a3•
=a，
故选A．
2．下列式子：①﹣2＜0；②2x﹣3y＜0；③x=3；④x+y．其中不等式的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】不等式的定义．
【分析】根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：①﹣2＜0；②2x﹣3y＜0是用不等号连接的式子，故是不等式．
故选：B．
3．一个等腰三角形有一个角是40°，则它的底角是（）
A．40° B．70° C．60° D．40°或70°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角==70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选D．
4．把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）
A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2
C．x（4xy﹣4y2﹣x2） D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提公因式﹣x，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．
【解答】解：4x2y﹣4xy2﹣x3
=﹣x（x2﹣4xy+4y2）
=﹣x（x﹣2y）2，
故选：B．
5．分式﹣可变形为（）
A．﹣B． C．﹣D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】先提取﹣1，再根据分式的符号变化规律得出即可．
【解答】解：﹣ =﹣=，
故选D．
6．关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义得到a﹣1≠0，由此可以求得a的值．
【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+x﹣2=0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
解点a≠1．
故选：A．
7．下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】不等式的解集．
【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并，系数化为1求出不等式的解集，再根据各选项确定答案．
【解答】解：移项得，5x﹣2x≥9，
合并同类项得，3x≥9，
系数化为1得，x≥3，
所以，不是不等式的解集的是x=2．
故选：D．
8．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线AC的长是（）
A．1 B．C．2 D．2
【考点】菱形的性质．
【分析】连结AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=2，则可判断
△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得OA=AB=，所以AC=2OA=2．
【解答】解：连结AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=2，
而∠DAB=60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴OA=AB=，
∴AC=2OA=2．
故选D．
9．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，
故选C
10．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）
A．8 B．10 C．12 D．14
【考点】三角形中位线定理．
【分析】首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根
据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和
△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．
【解答】解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE∥BC且DE=AC，
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：
6×2=12．
故选：C．
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（）
A．（4，3）B．（2，4）C．（3，1）D．（2，5）
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．【解答】解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），
即（2，5），
故选：D．
12．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
二、填空题(每小题3分，共18分)
13．分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
=x（x2﹣6x+9），
=x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
14．当m=2016时，计算：﹣= m﹣2 ．
【考点】分式的加减法．
【分析】由于是同分母的分式的加减，直接把分子相减即可求解．
【解答】解：原式=
=
=m﹣2，
故答案为：m﹣2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 3 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即点D到AB的距离DE=3．
故答案为：3．
16．若关于x的不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是m≤2 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】根据不等式组解集的确定方法：同大取大可得m+1≤3，解得m的范围．
【解答】解：解不等式x﹣m＞1，得：x＞m+1，
∵不等式组得解集是x＞3，
∴m+1≤3，
解得：m≤2，
故答案为：m≤2．
17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= 15 °．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD，
∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C==65°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，
故答案为：15．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是8 ．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，
∴OC=OD=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE=CEOC=OD=2，
∴四边形CODE的周长=2×4=8；
故答案为：8．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分）
19．解方程
（1）﹣=1；
（2）2x2﹣3x﹣2=0．
【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程，然后求解即可得出答案；
（2）根据十字相乘法把方程进行因式分解，然后求解即可．
【解答】解：（1）﹣=1，
去分母得：x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1），
解得：x=2，
经检验x=2是原方程的解，
则分式方程的解为x=2；
（2）2x2﹣3x﹣2=0，
（2x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=﹣，x2=2．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】将不等式组的两不等式分别记作①和②，由不等式①移项，将x的系数化为1，求出x的范围，由不等式②左边去括号后，移项并将x的系数化为1求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由不等式①移项得：4x+x＞1﹣6，
整理得：5x＞﹣5，
解得：x＞﹣1，…
由不等式②去括号得：3x﹣3≤x+5，
移项得：3x﹣x≤5+3，
合并得：2x≤8，
解得：x≤4，…
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．…
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，…
21．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．
解得x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1m．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．
证明：（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
【考点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．
【分析】（1）等腰三角形的三线合一，可证明BD=CD，因为AE∥BC，DE∥AB，所以四边形ABDE为平行四边形，所以BD=AE，从而得出结论．
（2）先证明四边形ADCE为平行四边形，再证明有一个角是直角即可．
【解答】证明：（1）在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴BD=AE，
∵BD=DC，
∴AE=DC．
（2）∵AE∥BC，AE=DC，
∴四边形ADCE为平行四边形．
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
23．已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
24．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，
连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
【考点】三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE=FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE BC，
∵延长BC至点F，使CF=BC，
∴DE FC，
即DE=CF；
（2）解：∵DE FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴DC=EF=．
25．2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5千米/小时，根据题意可得，高铁走千米比普快走1026千米时间减少了9小时，据此列方程求解；
（2）求出王老师所用的时间，然后进行判断．
【解答】解：（1）设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，
由题意得，﹣=9，
解得：x=72，
经检验，x=72是原分式方程的解，且符合题意，
则2.5x=180，
答：高铁列车的平均时速为180千米/小时；
（2）630÷180=3.5，
则坐车共需要3.5+1.5=5（小时），
王老师到达会议地点的时间为1点40．
故他能在开会之前到达．。