2016年乌鲁木齐数学理科二模卷及答案综述

2016年乌鲁木齐市高三数学理科二模卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．已知集合{}{}
2
|13,|4A x x B x x =<<=<，则A
B =（ ）
A ．()2,3-
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()2,4 2．复数
534i
i
+-对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
的x 的取值范围是（ ）
A ．12,
33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1223，⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
4． 若,x y 满足10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
5．已知α
是第二象限角，且sin 25πα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭，则3cos sin cos 4ααπα+=⎛⎫- ⎪⎝
⎭（ ）
A
．15
-
B
．5- C
．5 D
．15
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．100
B ．92
C ．84
D ．76
7．在平行四边形ABCD 中，0
2,1,60,AB AD DAB E ==∠=是BC 的中点，则AE DB ⋅=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．执行如图所示的程序框图，若4m =，则输出的结果为（ ）
A ．1
B ．
53 C ．2 D ．83
9．已知,x y 都是正数，且1x y +=，则
41
21
x y +++的最小值为（ ） A ．
1315
B ．2
C ．9
4 D ．3
10．设函数(
)[]cos ,0,2f x x x x π=+∈，若01a <<，则方程()f x α=的所有根之和为（ ）
A ．
43π B ．2π C ．83
π D ．3π 11．设1a b >>，则下列不等式成立的是（ ）
A ．ln ln a b b a >
B ．ln ln a b b a <
C ．b a ae be >
D ．b a
ae be <
12．设P 为双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>右支上一点，O 是坐标原点，以OP 为直径的圆与直线b
y x
a =的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A
．( B
．(
C
．)
∞ D
．)
∞
二、填空题（题型注释）
13．()()5
121x x ++的展开式中2
x 的系数是 .
14．若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，则此椭圆的内接正方形的边长为 .
15．已知四面体ABCD
满足2AB CD AC AD BC BD ======，则四面体ABCD 的外接球的表面
积是 .
三、解答题（题型注释）
16．在三角形ABC 中，角角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22,2sin a c b a A +===，则此三角形的面积ABC S ∆= .
17．已知数列{}
a 的前n 项和为S ，且21S a =-.
（Ⅰ）求数列{}
n a 的通项公式；
（Ⅱ）记2log n n b a =，求数列{}
n n a b 的前n 项和为n T .
18．如图，三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形，PC ⊥平面ABC ，PC AC =，E 为AC 中点，EF AP ⊥，垂足为F .
(Ⅰ)求证：AP FB ⊥；
（Ⅱ）求二面角A FC B --的平面角的余弦值.
19．在一次高三数学模拟测验中，对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：
（Ⅰ）在统计结果中，如果把“选修4-1”和“选修4-4”称为“几何类”，把“选修4-5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关？ （Ⅱ）已知本班的两名数学课代表都选答的是“选修4-5”，现从选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学中，按分层抽样的方法随机抽取7人，记抽取到数学课代表的人数为X ，求X 得分布列及数学期望. 附：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1. (Ⅰ)求点P 的轨迹E 的方程；
(Ⅱ)过点F 任作直线l ，交曲线E 于,A B 两点，交直线1x =-于点C ，M 是AB 的中点，求证：
||||||||CA CB CM CF ⋅=⋅.
21．已知函数()()2
ln 12x f x mx mx =++-，其中0m >. （Ⅰ）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3
x f x ≤；
（Ⅱ）试讨论函数()y f x =的零点个数.
22．如图，ABC ∆中，以BC 为直径的⊙O 分别交,AC AB 于点,,,E F BE CF 交于点H .
求证：（Ⅰ）过C 点平行于AH 的直线是⊙O 的切线；
（Ⅱ）2
BH BE CH CF BC ⋅+⋅=.
23．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆2cos ρθ=与圆
sin ρθ=交于,O A 两点.
（Ⅰ）求直线OA 的斜率；
（Ⅱ）过O 点作OA 的垂线分别交两圆于点,B C ，求||BC . 24．设函数()23f x x x =-.
（Ⅰ）若()1,0λμλμ+=>，求证：()()()1212f
x x f x f x λμλμ+≤+；
（Ⅱ）若对任意[]12,0,1x x ∈，都有()()1212||L f x f x x x -≤-，求L 的最小值.
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：∵{}
22B x x =-<<，∴()1,2A B =；故选B ．
考点：1.不等式的解法；2.集合的运算． 2．A 【解析】 试题分析：因为
i i
i i i i i i +=+=+-++=-+117
1717)4)(4()4)(35(435，所以对应的点为()1,1；故选A ．
考点：1.复数的除法运算；2.复数的几何意义．
3．A 【解析】
试题分析：∵()f x 是偶函数，∴()(
)f x f
x =，∴()1213f x f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，
再根据()f x 的单调性，得1|21|3x -<
，解得12
33
x <<；故选A ． 考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性．
4．B 【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线2
x
y =-
，可知当经过点()1,0A 时， 2z x y =+取最小值1；故选B ．
考点：简单的线性规划． 5．C 【解析】 试题分析：由552sin -
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ,得55cos -=α，又∵α是第二象限角, ∴tan 2α=-，∴原式
22cos tan 1tan 5ααα+==
+；故选C ． 考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式． 6．A
试题分析：由几何体的三视图，可知该几何体为截去一角的长方体，其直观图如图所示，所以其体积
11
66344310032
V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选A ．
B
C
D 1C 1
A 1M N
B 1
D
4
2
243
考点：1.三视图；2几何体的体积.． 7．C 【解析】
试题分析：()
12AE DB AB AD AB AD ⎛⎫
⋅=+
⋅- ⎪⎝⎭
2211322AB AB AD AD =-⋅-=；故选
C ．
考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积运算． 8．D 【解析】
试题分析：由2
34k k ≥+，解得1k ≤-或4k ≥.由框图可知，开始，0k =，4P =.第
一步，02422P =⨯=，011k =+=.第二步， 213
222P =⨯=，112k =+=.第三步，
325222P =⨯=，213k =+=.第四步，538222P =⨯=，314k =+=.第五步，因为
44k =≥，满足判断框内的条件，故输出结果为888
log 23
z ==
；故选D ． 考点：程序框图． 9．C 【解析】
试题分析：由题意知，20,10x y +>+>，()()214x y +++=，则
4121
x y +=++ ()()()
41141121215+54214214y x x y x y x y ⎡
+⎡⎤⎛⎫+++++=+≥+⎡⎤⎢⎢⎥ ⎪⎣⎦++++⎢⎝⎭⎣⎦⎣9
4
=， 当且仅当31
,32==
y x 时，1
12+++y x x 取最小值49；故选C ．
考点：基本不等式．
10．C
试题分析：()2sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，∵[]0,2x π∈，∴()[]2,2f x ∈- ，01a <<，方程()f x a =有两根12,x x ，由对称性，有
1236622x x πππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，∴1283
x x π+=；故选C ．
考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质． 11．D 【解析】
试题分析：令()()ln 0x f x x x =
>，则()21ln x
f x x
-'=，令()0='x f 则e x =， 当()e x ,0∈时，0ln 1>-x ，()0>'x f ，当[)+∞∈,e x 时，0ln 1<-x ，()0<'x f ， ∴函数()f x 的增区间为()e ,0，减区间为[)+∞,e ，又()+∞∈,1e ∴当b a e >>时，()()a f b f <，即a
a
b b ln ln <，即a b b a ln ln < 而e b a >>时，
b
b
a a ln ln <，即a
b b a ln ln >，故A 、B 不正确， 令()x e x g x
=，同理可知函数()x g 的增区间为[)+∞,1，减区间为()1,∞-
∴当1>>b a 时，()()b g a g >，即b
e a e b
a >，即a
b be ae <；故选D ． 考点：利用导数研究函数的单调性．
12．B 【解析】
试题分析：设()00,P x y ，交点(),A A A x y ，则()00:PA a
l y y x x b
-=-
-，与b y x a =联
立，得()()00002222
,a ax by b ax by A a b a b ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
，若要点A 始终在第一象限，需要000ax by +>即要
00b
x y a
>-恒成立，若点P 在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点P 在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时00y ≤，∴222002a x y b >，而2
220
021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，故
2222
022a b x b b
a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，只需22220a
b b a -≥，即a b ≥
，∴1e <≤B ．
考点：1.双曲线的结合性质；2.直线与圆的位置关系． 13．20 【解析】
试题分析：()
5
1x
+展开式的通项为15r r
r T C x +=，由题意可知，2x 的系数为
21
551220C C ⨯+⨯=；故填20．
考点：二项式定理． 14．
3
6
2 【解析】
试题分析：不妨设椭圆方程为122
22=+b y a x ()0a b >>，依题意得1b c ==，a =椭圆方程为2
212
x y +=，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为()00,x x ，代入椭圆方程，得3
60=
x ，所以正方形边长为362；故填362．
考点：椭圆的标准方程．
15．π7 【解析】
试题分析：在四面体A B C D 中，取线段CD 的中点为E ，连结BE AE ,，
2AC AD BC BD ====，则CD BE CD AE ⊥⊥,，在A E D Rt ∆中6=CD ,∴
AE =
同理210=BE ，取AB 的中点为F ,由BE AE =，得AB EF ⊥，在E F A Rt ∆
中，6=
AB ，1EF =,取EF 的中点为O ，则21
=
OF ,在OFA Rt ∆中OA =，OD OC OB OA ===,∴该四面体的外接球的半径是
2
7
，其外接球的表面积是π7；故填π7．
考点：1.球的表面积；2.多面体和球的组合． 16．
4
3
36- 【解析】
试题分析：由题意得，
2sin sin b a B A
==，而1=b ，∴21
sin =B ，又2b a c =+，B 不可
能是钝角，cos B =()2
2232cos 22a c ac b ac B ac ac
+---==
，即322ac ac -=，∴3363
23-=+=
ac ，∴ABC S ∆=B ac sin 2143
36-=
；故填4336-． 考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式． 17．（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）1222n n n T n +=⋅-+． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用⎩⎨⎧≥-==-2,1
,1n S S n S a n n
n n 的关系得到数列的递推关系，利用等比数列的
定义和通项公式进行求解；（Ⅱ）先利用对数运算求出n b ，再利用错位相减法进行求解．
试题解析：（Ⅰ）当1n =时，由1121S a =-得11a =，2n =时，由12221a a a +=-，22a =，
当2n ≥时，21n n S a =-，1121n n S a --=- ，两式相减，得122n n n a a a -=-， 即
1
2n
n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=. （Ⅱ）122log log 21n n n b a n -===-，令n n n c a b =，则()1
2
1n n c n -=-
记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，即()0
1
2
102122212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅
则()()1
2
3
120212222212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅， 两式相减，得()()()11212120222121212
n n n n n T n n ----=+++
+--⋅=
--⋅-
1222n n n +=-+-⋅ ∴1222n n n T n +=⋅-+
考点：1.n a 与n S 的关系；2.等比数列；3.错位相减法．
18．（Ⅰ）证明见解析；
【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的三线合一证得线线垂直，再利用线面垂直的性质和判定证得线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）连结BE ,由题意得BE AC ⊥,又∵PC ⊥平面ABC ， ∴PC BE ⊥,∴BE ⊥面PA C ,∴BE AP ⊥, 又∵EF AP ⊥，∴AP ⊥面BEF ,∴AP FB ^；
（Ⅱ）如图，以E 为坐标原点，分别以EB ,EC 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐 标系E xyz -.
由题意得()0,1,0A -，110,,2
2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)
B
，()0,1,0C ，
则()
BC =,113,,2
2FB ⎛⎫=- ⎪⎭
，设平面FBC 的法向量为(),,x y z =n ，
则00BC FB ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪
⎩n n ，即0
11
022
y y z ⎧+
=⎪
+-=，
令y =，则1x =
，
z =，于是(=n ，
易知，平面A FC 的法向量为()1,0,0EB ==p
, ∴cos ,31
⋅=
=
n p n p
n p ，即二面角A FC B --
考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用．
19．（Ⅰ）有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关；（Ⅱ）分布列略，3
1． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用列联表和2
K 公式求出2
K 值，再利用临界值表进行判定；（Ⅱ）先利用分层抽样确定各类同学的人数，列出随机变量的所有可能取值，求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，再求其期望值． 试题解析：（Ⅰ）由题意得22⨯列联表
()2
2421614488.145 6.63524182220
K ⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯
所以根据此统计有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关. （Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4—1”“选修4—4”和“选修4—5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，依题意知X 的可能取值为2,1,0
()513503182122123
16212212===C C C C C C X P , ()211623185117C C P X C ===,()121623
181
251
C C P X C ===, 所以X 的分布列为
其期望值为()3
1
=
X E . 考点：1.独立性检验思想的应用；2.分层抽样；3.随机变量的分布列和期望． 20．（Ⅰ）2
4y x =；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】 试题分析：（Ⅰ）先利用抛物线的定义判定动点的轨迹，再利用待定系数法求抛物线方程；（Ⅱ）先利用分析法将所证结论进行和合理转化，再设出直线方程，与抛物线方程进行联立，利用根与系数的关系的关系进行求解．
试题解析：（Ⅰ）依题意，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，∴点P
的轨迹E 是以F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，∴E 的方程为2
4y x =；
（Ⅱ）根据对称性只考虑AB 的斜率为正的情形，设点,,,A B M F 在准线上的投影分别为
11,,,A B N H ，要证CA CB CM CF ⋅=⋅，就是要证
CA CF CM
CB
=
，
只需证
11
CA CH CN
CB =
，即证11CA CB CN CH ⋅=⋅…①
设直线AB 的方程为1x my =+，代入2
4y x =，得2
440y my --=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y m +=…②，124y y =-…③， 在1x my =+中，令1x =-，得2y m -=
，即21,C m -⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 因此，要证①式成立，只需证：()()()12122c c c c y y y y y y y y +⎛⎫
-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭
只需证：12
1202
c y y y y y +-
=…④， 由②③两式，可知121224202c y y y y y m m +⎛⎫
-
=---= ⎪⎝⎭
， ∴④式成立，∴原命题获证．
考点：1.抛物线的定义和标准方程；2.直线与抛物线的位置关系． 21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当01m <<和1m >时，函数()y f x =有两个零点，当1
m =时，函数()y f
x =有且仅有一个零点．
【解析】 试题分析：（Ⅰ）作差构造函数，求导，利用导函数研究函数的单调性和最值进行求解；（Ⅱ）求导，讨论m 的取值范围，比较导函数的零点的大小，确定函数的极值，再由极值的正负判定函数零点的个数．
试题解析：（Ⅰ）当1m =时，令()()()3103
x g x f x x =--<≤，则()3
1x g x x -'=
+， 当10x -<≤时，3
0x -≥，10x +>，∴()0g x '≥，此时函数()g x 递增，
∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，当10x -<≤时，()3
3
x f x ≤…①
（Ⅱ）()11mx x m m f x mx
⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦'=+ …② 令()0f x '=，得10x =，21x m m =-，
⑴当1m =时，120x x ==，由②得()2
1x f x x
'=+…③
∴当1x >-时，10x +>，2
0x ≥， ∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数，
∴10x -<<时，()()00f x f <=，()00f =，0x >时，()()00f x f >=， 故函数()y f
x =，在1x >-上有且只有一个零点0x = ；
⑵当01m <<时，10m m -<，且11m m m
-<-， 由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-
- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫
--
≤ ⎪⎝
⎭
， 此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛
⎤
∈-
⎥⎝
⎦
，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥；
∴函数()y f
x =的增区间为11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m ⎛
⎤- ⎥⎝
⎦ 故，当1
0m x m
-
<<时，()()00f x f >=，当0x >时，()()00f x f >= ∴函数()y f
x =，1,x m m ⎛⎫
∈-
+∞ ⎪⎝⎭
有且只有一个零点0x =； 又2
22111ln 2f m m m m m ⎛
⎫⎛⎫-
=-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则()()2
22
111112t t t t t
ϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭ …④，易知，对()0,1t ∀∈，()0t ϕ'≤， ∴函数()y t ϕ=，01t <<为减函数，∴()()10t ϕϕ>=
由01m <<，知2
01m <<，∴()2
22111=ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-
--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…⑤ 构造函数()()ln 10k x x x x =-+>，则()1x
k x x
-'=
，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x >时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴
()()10k x k ≤=，∴有222111
ln 11m m m
≤-<+，则21
12m e m --<，
∴
2
11
1
1m
e
m m
m -
--<-，当2
1
1
11m e x m m
-
---<<时，()21
ln 11mx m +<--…⑥
而2221
12x mx x mx m
-<-<+…⑦ 由⑥⑦知()()22211
ln 11102x f x mx mx m m
=++-<--++=…⑧
又函数()y f x =在1
1,m m
m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增，2
1
1
11m e m m m -
--->
由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x m
m ⎛⎫
-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =
综上，当01m <<时，函数()()2
ln 12
x f x mx mx =++-有两个零点， ⑶当1m >时，10m m -
>，由②知函数()y f x =的增区间是1,0m ⎛⎤- ⎥⎝⎦
和1,m m ⎡
⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭，减区间是10,m m ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
…⑨ 由④知函数()y t ϕ=，当1t >为减函数，∴当1t >时()()10t ϕϕ<= 从而10f m m
⎛⎫-
< ⎪⎝
⎭；当2x m >时，12m m m ⎛
⎫
>-
⎪⎝⎭
其中，11mx +> ()()()()2ln 1ln 12022
x x
f x mx mx mx x m =++-=++->…⑩
又1x m m >-
时，函数()y f x =递增，∴01,2x m m m ⎛⎫
∃∈- ⎪⎝⎭
使得()00f x =， 根据⑨知，函数1,0x m ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，
有()0f x <；10,x m m ⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，()0f x =，∴函数()
1
1,y f x x m m
m ⎛⎫=∈-- ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =
综上所述：当01m <<和1m >时，函数()y f x =有两个零点，
当1m =时，函数()y f
x =有且仅有一个零点．
考点：1.函数的单调性和零点；2.导数在研究函数中的应用．
22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）连结EF ，延长AH 交BC 于D ，利用圆内接四边形的性质证明三角形相似，再证明线线垂直；（Ⅱ）连续利用割线定理进行证明． 试题解析：（Ⅰ）连结EF ，延长AH 交BC 于D ，过C 点平行于AH 的直线是CM ， ∵BC 是直径，∴90BEC BFC ∠=∠=︒，∴180AFH AEH ∠+∠=︒， ∵,,,A F H E 四点共圆，∴1=2∠∠，
又∵BFEC 是圆内接四边形，∴1=3∠∠，
∴2=3∠∠，而=C C ∠∠,∴ADC ∆∽BEC ∆, ∴=90ADC BEC ∠∠=︒, ∴AD BC ⊥, ∴CM BC ⊥,∴CM 是⊙O 的切线． （Ⅱ）∵180HDC HEC ∠+∠=︒,∴,,,H D C E 四点共圆， ∴BH BE BD BC ⋅=⋅, 同理CH CF CD BC ⋅=⋅, 两式相加++BH BE CH CF BD BC CD BC ⋅⋅=⋅⋅
()2=BD CD BC BC +⋅=
考点：圆内接四边形． 23．（Ⅰ）2；（Ⅱ）5．
【解析】 试题分析：（Ⅰ）联立两圆的极坐标方程，根据θ的几何意义进行求解；（Ⅱ）利用点A 的极坐标和BC 的关系设出点C B ,的极坐标，代入圆的方程和利用21,ρρ的几何意义进行求解． 试题解析：（Ⅰ）由=2cos =sin ρθ
ρθ
⎧⎨
⎩，得2cos =sin θθ，tan 2θ=，∴2OA k =
（Ⅱ）设A 的极角为θ，tan 2θ=，则sin θθ=
=
，
则1,2B ρθπ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭,代入=2cos ρθ得1=2cos 2sin 2ρθπθ⎛
⎫-== ⎪⎝
⎭
2,2C ρθπ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭,代入=sin ρθ得2π=sin +cos 2ρθθ⎛⎫==
⎪⎝
⎭，
∴12BC ρρ=+=
= 考点：圆的极坐标方程．
24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）作差，消元，利用配方法进行证明；（Ⅱ）作差，分解因式，利用[]12,0,1x x ∈确定123x x +-的最值即可． 试题解析：（Ⅰ）∵()()()1212f
x x f x f x λμλμ+-+⎡⎤⎣⎦
()()()()222
12121122333x x x x x x x x λμλμλμ⎡⎤=+-+--+-⎣
⎦ ()()2222
11221122
1212x x x x x x x x λλλμμμλμλμλμ=-++-=-+-
()2
120x x λμ=--≤ ∴()()()f λx μx λf x μf x ≤1212++
（Ⅱ）∵()()22
1211221212333f x f x x x x x x x x x -=--+=-+-
∵120,1x x ≤≤，∴1202x x ≤+≤，∴12331x x -≤+-≤-，
∴1233x x +-≤，∴使()()1212f x f x L x x -≤-恒成立的L 的最小值是3． 考点：作差法比较大小．。