11均值不等式 习题 难

均值不等式习题
一、选择题（共14小题；共70分）
1. 若a>1，则a+1
a−1
的最小值是( )
A. 2
B. a
C. 2√a
a−1
D. 3
2. 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为
( )
A. √3
2B. √2
2
C. 1
2
D. −1
4
3. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为
x
8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每天的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A. 60件
B. 80件
C. 100件
D. 120件
4. 下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A. x+1
2x B. x2−1+1
x2−1
C. 2x+2−x
D. x(1−x)
5. 设0<a<b，则下列不等式正确的是( )
A. a<b<√ab<a+b
2B. a<√ab<a+b
2
<b
C. a<√ab<b<a+b
2D. √ab<a<a+b
2
<b
6. 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是( )
A. 3
B. 4
C. 9
2D. 11
2
7. 已知a，b，c均为正数，且(a+c)(b+c)=2，则a+2b+3c的最小值为( )
A. √2
B. 2√2
C. 4
D. 8
8. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2
与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A. 5km处
B. 4km处
C. 3km处
D. 2km处
9. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托
盘各称一次，两次称得结果分别为a，b．设物体的真实质量为G，则( )
A. a+b
2=G B. a+b
2
≤G C. a+b
2
>G D. √ab<G
10. 已知a>−1，b>−2，(a+1)(b+2)=16，则a+b的最小值是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
11. 在下列函数中，最小值是2的是( )
A. y=x
5+5
x
(x∈R,x≠0) B. y=lgx+1
lgx
(1<x<10)
C. y =3x +(13
)x
(x ∈R )
D. y =sinx +
1sinx
(0<x <π
2)
12. 建造一个容积为 8 m 3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为
180 元和 80 元，那么水池的最低总造价为 ( )
A. 1000 元
B. 2000 元
C. 2720 元
D. 4720 元
13. 若函数 f (x )=ax 2
x−1(x >1) 有最大值 −4，则 a 的值是 ( )
A. 1
B. −1
C. 4
D. −4 14. 若 a >0，b >0，且 a +b =4，则下列不等式恒成立的是 ( )
A.
1
ab
≤14
B. 1
a
+1
b
≤1
C. √ab ≥2
D. a 2+b 2≥8
二、填空题（共4小题；共20分） 15. 若实数 x 满足 x >−4，则函数 f (x )=x +9
x+4 的最小值为 ．
16. 下列条件：① ab >0，② ab <0，③ a >0，b >0，④ a <0，b <0，其中能使 b
a +a
b ≥2 成立的条件的个数是 ．
17. 如图，建立平面直角坐标系 xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 km ，某
炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y =kx −1
20(1+k 2)x 2(k >0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．那么炮的最大射程为 km ．
18. 若正实数 a ，b 满足 (2a +b )2=1+6ab ，则
ab
2a+b+1
的最大值为 ．
三、解答题（共2小题；共26分）
19. 某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室．在温室内，左、右两边及后边与内墙各
保留 1 m 宽的通道，前边与内墙保留 3 m 宽的空地（如图所示），其余的地方（图中中间的小矩形）用来种植蔬菜，设矩形温室的一条边长为 x m ，蔬菜的种植面积为 S m 2，当 x 为何值时，S 取得最大值?最大值是多少?
20. 已知a,b,c∈(0,+∞)，且a+b+c=1，求证：
（1）(1
a −1)(1
b
−1)(1
c
−1)≥8；
（2）√a+√b+√c≤√3．
第一部分 1. D
2. C 【解析】由余弦定理知 cosC =a 2+b 2−c 2
2ab
=a 2+b 2−12
(a 2+b 2)
2ab
=
a 2+
b 24ab
≥2ab 4ab =1
2．
3. B
4. C
【解析】对于 A ，要分 x >0 和 x <0 两种情况，再分别用基本不等式求最值．对于B ，要分
x 2−1>0 和 x 2−1<0 两种情况，再用基本不等式求最值．对于D ，只有当 0<x <1 时，才能用基本不等式求最值．对于 C ，因为 2x >0，2−x >0，且 2x ⋅2−x =1，所以可以用基本不等式直接求得最值． 5. B
6. B
【解析】考察均值不等式，x +2y =8−x ⋅(2y )≥8−(
x+2y 2
)2，整理得 (x +2y )2+
4(x +2y )−32≥0，即 (x +2y −4)(x +2y +8)≥0，又 x +2y >0，所以 x +2y ≥4，当且仅当 x =2y 时，取得等号． 7. C 【解析】a +2b +3c =a +c +2(b +c )≥2√2(a +c )(b +c )=4． 8. A
【解析】设仓库到车站的距离为 x ，有已知得 y
1
=
20x
，y 2=0.8x ，则费用之和 y =y 1+
y 2=0.8x +20x
≥2√0.8x ⋅
20x
=8，当且仅当 0.8x =
20x
，即 x =5 时等号成立．
9. C
【解析】设天平左、右臂长分别是 l 1，l 2，则 l 1⋅G =l 2⋅a ，l 2⋅G =l 1⋅b ，两式相乘得 G 2=
ab ，所以 G =√ab ．由于 l 1≠l 2，故 a ≠b ，所以 a+b 2
>√ab =G
10. B
【解析】因为 a >−1，b >−2， 所以 a +1>0，b +2>0， 又 (a +1)⋅(b +2)≤(
a+1+b+22
)2
，即 16≤(
a+b+32
)2，
则 a +b ≥5，当且仅当 a +1=b +2，即 a =3，b =2 时等号成立． 11. C
12. B 【解析】设水池底面一边长为 x m ，则另一边为 4
x m ，总造价 y =4×180+(4x +16x
)×80=
320(x +4
x )+720≥1280+720=2000，当且仅当 x =4x ，即 x =2 时取等号． 13. B
14. D 【解析】4=a +b ≥2√ab （当且仅当 a =b 时，等号成立），即 √ab ≤2，ab ≤4，1
ab ≥1
4，选项A ，C 不成立；1
a +1
b =a+b ab
=4
ab ≥1，选项B 不成立；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =16−2ab ≥8，
选项D 成立． 第二部分 15. 2
【解析】因为 x >−4，
所以 x +4>0，
所以 f (x )=x +9x+4=x +4+9x+4−4≥2√(x +4)(9
x+4)−4=2， 当且仅当 x +4=9
x+4 即 x =−1 时取等号，故答案为：2． 16. 3
【解析】要使 b a +a b ≥2 成立，需 b a >0，即 a 与 b 同号，故①③④均能使 b a +a
b ≥2 成立． 17. 10
【解析】令 y =0，得 kx −
120
(1+k 2)x 2=0，由实际意义和题设条件知 x >0，k >0，故 x =
20k 1+k 2
=
20
k+1k
≤
202
=10，
当且仅当 k =1 时取等号，所以炮的最大射程为 10 km ． 18. 1
6
【解析】由题意可得：ab =(2a+b )2−1
6
，
故 ab
2a+b+1=1
6⋅(2a+b )2−12a+b+1
=1
6(2a +b −1)，
而 ab =
(2a+b )2−1
6
≤12(
2a+b 2
)2
，即 (2a +b )2≤4，
所以 2a +b 的最大值为 2， 所以 ab 2a+b+1
的最大值为 1
6
．
第三部分 19. 由题意，宽为 800x
，
S =(x −4)(
800x
−2)，
S =800−2x −3200x +8， S =808−2(x +
1600x
)，
S ≤808−2×2√x ⋅
1600
x
=648，
当且仅当 x =40 时，等于成立 所以最大为 648 m 2，x =40． 20. （1） 因为 a,b,c ∈(0,+∞)，
所以 a +b ≥2√ab ，b +c ≥2√bc ，c +a ≥2√ac ， (1
a −1)(1
b −1)(1
c −1)=
(b+c )(a+c )(a+b )
abc
≥2√bc⋅2√ac⋅2√ab
abc
=8．
（2） 因为 a,b,c ∈(0,+∞)，
所以 a +b ≥2√ab ，b +c ≥2√bc ，c +a ≥2√ac ， 2(a +b +c )≥2√ab +2√bc +2√ac ，
两边同加 a +b +c 得 3(a +b +c )≥a +b +c +2√ab +2√ac +2√bc =(√a +√b +√c)2
又 a +b +c =1，
所以 (√a +√b +√c)2
≤3， 所以 √a +√b +√c ≤√3．。