2024–2025学年九年级数学暑假提升讲义(北师大版)第19讲 探索三角形相似的条件(原卷版)

第19讲探索三角形相似的条件
模块一
思维导图串知识模块二
基础知识全梳理（吃透教材）模块三
核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2．掌握相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3；3．能熟练运用相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3。

知识点一、相似三角形
在
和中，如
果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
知识点二、相似三角形的判定定理
1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
3．判定定理（三）：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似）
要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）
考点一：两角对应相等，两个三角形相似例1．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE ∥AC ，∠DEF ＝∠A ．求证：△BDE ∽△EFC ．
【变式1-1】如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，E 是边AC 上一点，且BE BC =，过点A 作BE 的垂线，交BE 的延长线于点D ，求证：ADE ABC △△∽．
【变式1-2】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，点E 为AC 的中点，AD ⊥BC 于点D ，ED 延长后交AB 的延长线于点F ，求证：△AEF ∽△ABC ．
【变式1-3】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．
（1）求证：BAD CAD ∆∆∽；
（2）若点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于E ，⊥OF OB 交BC 边于点F ，求证：ABE COF ∆∆∽．
考点二：两边成比例且夹角相等，两个三角形相似例【变式2-1】如图所示，点
(1)求AC的长；
(2)若
25
3
AB ，求证：
【变式2-3】如图，在
（1）填空：∠ABC＝
（2）判断△ABC和△
考点三：三边对应成比例，两个三角形相似
例3.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
考点四：添一个条件使两个三角形相似
例4.如图，在ABC 中，AB AC >，点D 在AB 上（点D 与A ，B 不重合），若再增加一个条件就能使ACD ABC △∽△，则这个条件是________（写出一个条件即可）．
【变式4-1】如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．
【变式4-2】如图，已知,AC BD 相交于点O ，若补充一个条件后，便可得到AOB DOC ∆∆ ，则要补充的条件可以是________．
【变式4-3】如图所示，在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，如果要使△ABC ∽△ADC ，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）
考点五：判断三角形相似
例5.（23-24九年级上·四川眉山·期末）根据下列各组条件，不能判断ABC 和A B C ''' 相似的是（
）
A ．90
B B ∠='=︒，60A ∠=︒，30
C ∠'=︒
B ．60A ∠=︒，80
C ∠=︒，60A ∠'=︒，40B ∠'=︒
C ．5AB =，7BC =，10AC =；16A C ''=，14B C ''=，10
A B ''=D ．50A ∠=︒，8AB =，15AC =；50A ∠'=︒，30A C ''=，16A B ''=
【变式5-1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知在Rt ABC △和Rt A B C ''' 中，90C C '∠=∠=︒，则不能使两直角三角形相似的条件为（
）A ．A A '∠=∠B ．AC BC A C B C =''''C ．AC A C AB A B ''=''D ．AC B C AB A C ''=''
【变式5-2】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在ABC 纸片中，9057C BC AC ∠=︒==，，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【变式5-3】（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，12∠=∠，添加一个条件：①C E ∠=∠；②B ADE ∠=∠；③AC BC AE DE =；④AB AC AD AE
=．其中能判定ABC ADE △△∽的是（）．
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④考点六：三角形相似有关比例变形式
例6.（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE =︒∠，将ADC △绕点A 顺时针90︒旋转后，得到AFB △，连接EF ．下列结论中正确的个数有（）
①45EAF ∠=︒；②ABE ACD ∽△△；③EA 平分CEF ∠；④222BE DE DE +≡．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【变式6-1】如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE AC ⊥，垂足为F ，连接DF ，分析下列四个
结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④2CD AC =．其中正确的结论有（）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【变式6-2】（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，3DF FC =，连接AE AF EF 、、，那么下列结论中：①ABE 与EFC 相似；②ABE 与AEF △相似；③ABE 与AFD △相似：④AEF △与EFC 相似；⑤90AEF ∠=︒；其中错误的有（）个．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【变式6-3】（23-24九年级上·安徽·期中）如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连接BD DP 、，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①75DPC ∠=︒；②2CF AE =；③23DF BC =；④FPD PHB ∽△△；⑤2·AF EF EB =；其中正确结论的个数是（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2考点七：三角形相似的证明综合题
例7.（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，矩形ABCD 中，2BC AB <，点M 是BC 的中点，连接AM ．将ABM 沿着AM 折叠后得APM ∆，延长AP 交CD 于E ，连接ME ．
(1)求证：ME 平分PMC ∠．
(2)求证：EMC MAB ∽．
【变式7-1】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，点F 在CD 上，且3CF FD =．
(1)求证：ABE DEF △△∽；
(2)ABE 与BEF △相似吗？为什么？
【变式7-2】（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在Rt ABC △中，90＝BAC ∠︒，CD 平分BCA ∠，作AE CD ⊥交BC 于点E ，垂足为F ．作BG AE ⊥，垂足为G ．
(1)求证：2AC CF CD =⋅．
(2)求证：2AE AG BG CF ⋅=⋅．
【变式7-3】（2024·上海金山·二模）如图，已知：D 是ABC 的边BC 上一点，点E 在ABC 外部，且BAE CAD ∠=∠，ACD ADC ADE ∠=∠=∠，DE 交AB 于点F ．
(1)求证：AB AE =；
(2)如果AD AF =，求证：2EF BF AB =⋅．
一、单选题
1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）依据下列条件不能判定ABC 与A B C ''' 相似的是（
）
A ．48A ∠=︒， 1.5A
B =，2A
C =，48A '∠=︒， 2.8A B ''=， 2.1
A C ''=
B ．90
C C '∠=∠=︒，4AC =，5AB =，12A C ''=，15
B C ''=C ．90C C '∠=∠=︒，48A ∠=︒，42B '∠=︒
D ．10AB =，15AC =，12BC =， 1.5A B ''=， 2.25A C ''=， 1.8B C ''=2．（2024·云南昆明·二模）如图，已知12∠=∠，添加下列条件后，能判断ABC AD
E △△∽的是（）
A ．A
B B
C A
D D
E =B ．AB AE AD AC
=C ．B D ∠=∠D ．2
B ∠=∠3．
（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在ABC 中，点P 在AB 上，下列四个条件：①APC ACB ∠=∠；②ACP A ∠=∠；③::AP AC AC AB =；④··AB CP AP CB =，其中当APC △和ACB △相似时满足的条件有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，
连接EF ，H 为AE 的中点，过点H 作HD AC ⊥，交BC 于点D ，连接DE ，则与ABC 相似(不含ABC )的三角形个数为（）
A ．1
B ．4
C ．8
D ．2
5．（2024·天津和平·一模）如图，已知ABC ，=60B ∠︒，6AB =，8BC =．将ABC 沿图中的DE 剪开，剪下的阴影三角形与ABC 不相似的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
6．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知60A BCD E ∠=∠=∠=︒，则图中相似三角形是．
7．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，且4AB =，6AC =．当AD =时，ABC ACD ∽．
8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A B C D E 、、、、都是小正方
形的顶点，则图中所形成的三角形中，与ABC 相似的三角形是．
9．（23-24九年级上·四川成都·期末）某工件横截面如图1所示，已知AD BC ∥，AB CD =，B C ∠=∠．现将一根宽为2cm 的直尺分别按图2及图3的方式摆放（图3中，直尺恰好卡在AD 之间），测得 2.5cm AD =，8cm AE =，则该工件的内径BC 长为．
10．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ，BE 与AC 相交于点F ．
（1）若BE 平分CBD ∠，则BF 与AC 是否垂直？
（填“是”或“否”）；（2）图中与OBF 相似的三角形有（写出两个即可）
三、解答题
11．（2024·福建福州·一模）如图，ABC 中，点D 是边AB 上一点，DE BC ∥，连接BE ．从下列条件中，选择一个作为附加条件①E ABC ∠∠＝；②DE DB BA BC =；③DE BE AB AC
=，求证：EDB ABC △∽△．
12．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，试判断格点图形ABC 与DEF 是否相似，并说明理由．
13．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，E 为BC 上一点，连接AE ，作EF AE ⊥交AB 于F ．求证：AGC EFB △∽△．
14．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）根据下列条件，判断ABC 与A B C ''' 是否相似，并说明理由．
(1)5cm AB =，6cm BC =，7cm AC =，10cm A B ''=，12cm B C =''，14cm A C ''=；
(2)60A ∠=︒，50B ∠=︒，60'∠=︒A ，70C '∠=︒．
15．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）图1、图2均是54⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中ABC 的边BC 上确定一点E ，连接AE ，使ABE CBA △∽△；
(2)在图②中ABC 的边AB 上确定一点P ，在边BC 上确定一点Q ，连接PQ ，使PBQ ABC △∽△，且相似比为1:2．
16．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形ABCD 是正方形，点G 为边CD 上一点，连接AG 并延长，交BC 的延长线于点F ，连接BD 交AF 于点E ，连接EC ．求证：
(1)DAE DCE ∠=∠；
(2)EGC ECF △∽△．。