复合函数求积分例题

复合函数求积分例题
复合函数的求积分例题一般都可以通过换元法来解决。

以下是一个具体的求解过程：
例题：求函数$f(x) = \sin^2(x^3 + 2x)$的积分$\int f(x)dx$。

解：首先，我们将内部函数的复合形式$x^3 + 2x$简化为一个
新的变量$t$，即$t = x^3 + 2x$。

然后，对$t$进行求导，可以
得到$dt = (3x^2 + 2)dx$。

我们可以从这个导数关系来得到
$dx$的表达式：$dx = \frac{dt}{3x^2 + 2}$。

接下来，我们需要将原函数中的$x$替换为$t$来得到一个新的表达式。

由于$x$是$t$的函数，我们将$f(x)$写为$f(t)$，即$f(t) = \sin^2(t)$。

综上所述，原函数可以表示为$\int f(x)dx = \int f(t)dx = \int
\sin^2(t) \cdot \frac{dt}{3x^2 + 2}$。

对于新的被积函数$\sin^2(t) \cdot \frac{dt}{3x^2 + 2}$，我们可以使用简单的三角恒等式$\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$来
进行简化。

因此，被积函数可以重写为$\frac{1 - \cos(2t)}{2}
\cdot \frac{dt}{3x^2 + 2}$。

最后，我们将$t$替换回$x$，得到$\frac{1 - \cos(2x^3 + 4x)}{2} \cdot \frac{dt}{3x^2 + 2}$。

现在，我们可以对这个被积函数进行求积分，得到最终的结果。

请注意，由于这个被积函数的积分形式相对复杂，解析解并不容易得到。

因此，可能需要借助数值积分方法来进行近似计算。