(完整版)苏教版七年级下册期末数学测试试卷(比较难)及答案解析

（完整版）苏教版七年级下册期末数学测试试卷(比较难)及答案解析
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A ．3362a a a +=
B ．6318a a a =
C ．3332a a a =
D ．()32628a a -=- 答案：D
解析：D
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方逐项排查即可．
【详解】
解：A 、3332a a a +=，故A 错误；
B 、639a a a =，故B 错误；
C 、336a a a =，故C 错误；
D 、（-2a 2）3=（-2）3a 2×3=-8a 6，故D 正确；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
2．如图，属于同位角的是（ ）
A ．2∠与3∠
B ．1∠与4∠
C ．1∠与3∠
D ．2∠与4∠ 答案：A
解析：A
【分析】
根据同位角、内错角、同旁内角的意义进行判断即可．
【详解】
解：∠2与∠3是两条直线被第三条直线所截形成的同位角，因此选项A 符合题意． ∠1与∠4是对顶角，因此选项B 不符合题意．
∠1与∠3是内错角，因此选项C 不符合题意．
∠2与∠4同旁内角，因此选项D 不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提．
3．已知点()2,1M m +在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C
解析：C
【分析】
根据第一象限的点的坐标均为正，可得关于m 的一元一次不等式，解不等式再将不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】
点()2,1M m +在第一象限，
10m ∴+>，
解得1m >-．
将不等式的解集表示在数轴上，如图，
故选C ．
【点睛】
本题考查了象限内点的符号特征，解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，根据题意列出不等式是解题的关键．
4．若a ＜b ，则下列结论中，不正确的是（ ）
A ．a +2＜b +2
B ．a ﹣2＞b ﹣2
C ．2a ＜2b
D ．﹣2a ＞﹣2b 答案：B
解析：B
【分析】
根据不等式的性质逐项分析即可求得答案，不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】
A.∵a ＜b ，∴a +2＜b +2，A 选项正确，不符合题意；
B.∵a ＜b ，∴a ﹣2＜b ﹣2，B 选项不正确，符合题意；
C.∵a ＜b ，∴2a ＜2b ，C 选项正确，不符合题意；
D.∵a ＜b ，∴﹣2a ＞﹣2b ，D 选项正确，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
5．如果关于x 的不等式组2243(2)
x m x x -⎧⎪⎨⎪-≤-⎩的解集为1≥x ，且关于x 的方程1233m x x --=-有正整数解，则所有符合条件的整数m 的值有几个（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
答案：B
解析：B
【分析】
表示出不等式组的解集，由已知解集确定出m 的范围，表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数m 的值即可．
【详解】
解：不等式组整理得：41≥+⎧⎨≥⎩
x m x ， 由不等式组的解集为x ≥1，得到m +4≤1，即m ≤-3，
方程去分母得：m -1+x =3x -6， 解得：5+2
=m x ， 由方程有正整数解，故50+>m ，且5+m 能被2整除，
∴m =-3，
则符合条件的整数m 的值有1个．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 6．给出下列四个命题，①多边形的外角和小于内角和；②如果a ＞b ，那么（a ＋b ）（a －b ）＞0；③两直线平行，同位角相等；④如果a ，b 是实数，那么0()1a b +=，其中真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和、不等式的性质、平行线的性质和零指数幂判断即可．
【详解】
解：①多边形的外角和不一定小于内角和，四边形的内角和等于外角和，原命题是假命
题；
②如果0＞a ＞b ，那么（a +b ）（a -b ）＜0，原命题是假命题；
③两直线平行，同位角相等，是真命题；
④如果a ，b 是实数，且a +b ≠0，那么（a +b ）0=1，原命题是假命题．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和、不等式的性质、平行线的性质和零指数幂，难度较小．
7．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义变换法则如下：
()()1,,P x y x y x y =+-；且规定()()()11,,n n P
x y P P x y -=，n 为大于1的整数．如：()()11
,23,1P =-，()()()21111,21,2P P P P ==()3,1-()2,4=，()()()()()31211,21,22,46
2P P P P ===-，，则()20211,1P -=（ ） A ．()10100,2- B ．()101010102,2- C ．()10110,2 D ．()1011101122， 答案：C
解析：C
【分析】
根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得()20211
,1P -的值即可．
【详解】
解：P 1（1，-1）=（0，2），
P 2（1，-1）=P 1(P 1)=P 1(0，2)=（2，-2），
P 3（1，-1）=P 1（P 2）=P 1（2，-2）=（0，4）=（0,22），
P 4（1，-1）=P 1（P 3）=P 1（0，4）=（4，-4），
P 5（1，-1）=P 1（P 4）=P 1（4，-4）=（0，8）=（0,23），
P 6（1，-1）=P 1（P 5）=P 1（0，8）=（8，-8），
…
当n 为奇数时，Pn （1，-1）=（0，1
22n +），
∴()20211
,1P -=（0, 2021122+）=（0，21011）， ()20211,1P -应该等于()101102，
． 故选C ．
【点睛】 本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．
8．如图，ABC ∆中，,2,90AB a BC a B ==∠=，将ABC ∆沿BC 方向平移b 个单位得DEF ∆（其中,,A B C 的对应点分别是,,D E F ），设DE 交AC 于点G ，若ADG ∆的面积比CEG ∆的大8，则代数式()a a b -的值为（ ）
A ．8
B ．8-
C ．16
D ．16-
答案：B
解析：B
【分析】
根据平移的性质可得，AD=b ，则ABED S ab =长方形，由,2,90AB a BC a B ==∠=，可得2122ABC S a a a =⨯⨯=，根据题意可得，ADG ABC CEG ABED S S S S =-+长方形，再结合8ADG CEG S S =+即可求出()a a b -的值.
【详解】
∵,2,90AB a BC a B ==∠=， ∴2122
ABC S a a a =⨯⨯=， 由平移可知，AD=b ，
∴ABED S ab =长方形，
∵ADG ∆的面积比CEG ∆的大8，
∴8ADG CEG S
S =+， ∴ADG ABC CEG ABED S
S S S =-+长方形， ∴8CEG ABC CEG ABED S S S S +=-+长方形，
∴28ab a -=，
∴()8a a b --=，
∴()8a a b -=-.
故选B.
【点睛】
本题考查列代数式，平移的性质，因式分解的应用，解题的关键是根据题目中的条件得到ADG ABC CEG ABED S S S S =-+长方形.
二、填空题
9．计算：﹣x 2y •2xy 3＝___．
解析：342x y -
【分析】
根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可．
【详解】
解：233422x y xy x y -⋅=-，
故答案为：342x y -．
本题主要考查了单项式乘以单项式，解题的关键在于能够熟练掌握单项式乘以单项式的计算法则．
10．命题“同旁内角相等，两直线平行”是__________________（填“真”或“假”）命题﹒ 解析：假
【分析】
利用平行线的判定对命题进行判断即可确定答案．
【详解】
同旁内角互补，两直线平行是真命题．
故答案为∶假﹒
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小． 11．如图，五边形ABCDE 中，125A ∠=︒，则1234∠+∠+∠+∠的度数是______．
解析：305︒
【分析】
根据补角的性质，得5∠；再根据多边形外角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】
如图，延长EA ，518055A ∠=︒-∠=︒
∴12343605305∠+∠+∠+∠=︒-∠=︒
故答案为：305︒．
【点睛】
本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握补角、多边形外角和的性质，从而完成求解．
12．若ab =2，a -b =3，则代数式ab 2-a 2b =_________．
解析：6
用提公因式法将ab 2-a 2b 分解为含有ab ，a -b 的形式，代入即可．
【详解】
解：∵ab =2，a -b =3，
∴ab 2-a 2b =-ab （a -b ）=2×3=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了用提公因式法因式分解，解题的关键是将ab 2-a 2b 分解为含有ab ，a -b 的形式，用整体代入即可．
13．关于x 、y 的方程组13+317x y m x y m
-=+⎧⎨=+⎩ 的解x 与y 满足条件x ＋y ≤5，则3m ﹣4的最大值是_____．
解析：－85
． 【分析】
由x ＋y≤5得出关于m 的不等式，解之可得m 的取值，得出m 的最大值，即可求得结论．
【详解】
解：解方程组13+317x y m x y m -=+⎧⎨=+⎩
①②， ①＋②得，2x ＋2y ＝2＋10m ，
∵x ＋y ≤5，
∴1＋5m ≤5，
解得：m ≤45
， ∴3m ﹣4的最大值为3×45﹣4＝﹣85
， 故答案为﹣85
． 【点睛】
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标为：(,3)A a 、(3,2)B --，若线段AB 最短，则a 的值为______．
答案：B
解析：-3
【分析】
点B 是一个定点，(,3)A a 表示直线y =3上的任意一点，根据垂线段最短确定AB 与直线y =3垂直，然后即可确定a 的值．
【详解】
解：∵点(3,2)B --是一个定点，(,3)A a 表示直线y =3上的任意一点，且线段AB 最短，
∴AB与直线y=3垂直．
∴点A的横坐标与点B的横坐标相等．
a=-．
∴3
-．
故答案为：3
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中根据点的坐标确定点的位置和垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题关键．
15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．
答案：108°
【分析】
如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
【详解】
∵五边形是正五边形，
∴每
解析：108°
【分析】
如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
【详解】
∵五边形是正五边形，
∴每一个内角都是108°，
∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，
∴∠COD=36°，
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为108°
【点睛】
本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.
16．如图所示，已知点D E F 、、分别是AB BC CD 、、的中点，12
DEF S ∆=
厘米2，则ABC S ∆=___________平方厘米.
答案：4
【分析】
△DEF 和△EFC 等底同高，那么面积应相等，同理可得所求的面积等于所给的面积的8倍．
【详解】
∵F 为CD 中点，
∴DF=FC ，
∴S △DEF=S △EFC ，
同理：S △DEC=S △BD
解析：4
【分析】
△DEF 和△EFC 等底同高，那么面积应相等，同理可得所求的面积等于所给的面积的8倍．
【详解】
∵F 为CD 中点，
∴DF=FC ，
∴S △DEF =S △EFC ，
同理：S △DEC =S △BDE ,S △ADC =S △BCD ，
∴S △ABC =8S △DEF =8×12=4.
故答案为4.
【点睛】
本题考察三角形中线的性质和三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质.
17．计算：
（1）1202101(1)(2020)2π-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭
（2）()()22320.42m m x y x y ÷
答案：（1）-4；（2）
【分析】
（1）先算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再算加减法，即可求解； （2）先算积的乘方，再算除法，即可求解．
【详解】
解：（1）原式=
=-4；
（2）原式=
=．
【点
解析：（1）-4；（2）20.04x
【分析】
（1）先算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再算加减法，即可求解；
（2）先算积的乘方，再算除法，即可求解．
【详解】
解：（1）原式=()121-+--
=-4；
（2）原式=62420.164m m x y x y ÷
=20.04x ．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，整式的除法，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及幂的乘方运算，是解题的关键．
18．因式分解
（1）()2
1812a b a b ---（） （2） 32232xy x y x y -+ 答案：（1）；（2）
【分析】
（1）提取公因式即可得到答案；
（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式求解即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】
解析：（1）()()a b a b ---6332；（2）()xy y x -2
【分析】
（1）提取公因式()6a b -即可得到答案；
（2）先提取公因式xy ，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】
解：（1）原式()()632a b a b =---⎡⎤⎣⎦
()()6332a b a b =--- ；
（2）原式()
222xy y xy x =-+
()2
xy y x =-．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法． 19．解方程组或不等式
（1）2341
x y x y -=⎧⎨-+=-⎩；
（2）
213x --51
2
x +≤1．
答案：（1）；（2） 【分析】
（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可，
（2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】 （1） ①②得： 解得 将代入①：
解析：（1）1
5x y =-⎧⎨=-⎩；（2）1x ≥-
【分析】
（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可，
（2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】
（1）2341x y x y -=⎧⎨-+=-⎩
①②
①+②得：22x -= 解得1x =-
将1x =-代入①：23y --= 解得5y =-
∴原方程组的解为：1
5x y =-⎧⎨
=-⎩
；
（2）
213x --51
2
x +≤1
去分母，2(21)3(51)6x x --+≤ 去括号，421536x x ---≤ 移项合并同类项，1111x -≤ 化系数为1：1x ≥-
∴不等式的解集为：1x ≥-．
【点睛】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确的计算是解题的关键．
20．利用数轴解不等式组3(2)41213x x
x x --≤-⎧⎪
+⎨-≤⎪⎩
，并判断32是否是该不等式组的解．
答案：1≤x≤4，不是 【分析】
分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再进一步判断是否在此范围即可． 【详解】 解：，
解不等式①，得：x≥1， 解不等式②，得
解析：1≤x ≤4，不是 【分析】
分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再进一步判断32是否在此范围即可． 【详解】
解：3(2)41213x x x
x --≤-⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①
②， 解不等式①，得：x ≥1， 解不等式②，得：x ≤4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
∴不等式组的解集为1≤x ≤4， ∵324，
∴32
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．三、解答题
21．如图， AC平分∠MAE，交DB于点F．
（1）若AB∥CE，∠BAE=50°，求∠ACE的度数；
（2）若∠AFB=∠CAM，说明∠ACE=∠BDE的理由．
答案：（1）∠ACE=65°；（2）理由见解析．
【分析】
（1）利用角平分线的定义求出∠MAC的度数，再根据平行线的性质求解即可；
（2）先说明∠AFB=∠EAC，然后利用平行线的判定与性质求证即可．
解析：（1）∠ACE=65°；（2）理由见解析．
【分析】
（1）利用角平分线的定义求出∠MAC的度数，再根据平行线的性质求解即可；
（2）先说明∠AFB=∠EAC，然后利用平行线的判定与性质求证即可．
【详解】
解：（1）∵∠BAE=50°，
∴∠MAE=130°．
∵AC平分∠MAE，
∴∠MAC=∠EAC=65°．
∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠MAC=65°；
（2）∵∠AFB=∠CAM，∠MAC=∠EAC，
∴∠AFB=∠EAC，
∴AC∥BD，
∴∠ACE=∠BDE．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．题目难度不大，掌握平行线的性质与判定方法是解决本题的关键．
22．小宇骑自行车从家出发前往地铁2号线的B站，与此同时，一列地铁从A站开往B 站．3分钟后，地铁到达B站，此时小宇离B站还有2400米．已知A、B两站间的距离和小宇家到B站的距离恰好相等，这列地铁的平均速度是小宇骑车的平均速度的5倍．（1）求小宇骑车的平均速度
（2）如果此时另有一列地铁需10分钟到达B 站，且小宇骑车到达B 站后还需2分钟才能走到地铁站台候车，那么他要想乘上这趟地铁，骑车的平均速度至少应提高多少？（假定这两列地铁的平均速度相同）
答案：（1）小宇骑车的平均速度是米/分；（2）至少应提高米/分 【分析】
（1）设小明骑车的平均速度是x 米/分，、两站间的距离和小宇家到站的距离恰好相等，列出方程 3x+2400=3×5 x ，解方程即可得
解析：（1）小宇骑车的平均速度是200米/分；（2）至少应提高100米/分 【分析】
（1）设小明骑车的平均速度是x 米/分，A 、B 两站间的距离和小宇家到B 站的距离恰好相等，列出方程 3x +2400=3×5 x ，解方程即可得解；
（2）设小明的速度提高y 米/分，根据题意列出一元一次不等式(102)(200)2400y -⨯+≥，即可得出答案；
【详解】
解：（1）设小宇骑车的平均速度是x 米/分． 根据题意，得3240035x x +=⨯ 解得200x =
答：小宇骑车的平均速度是200米/分． （2）设小宇骑车的平均速度提高y 米/分． 根据题意，得(102)(200)2400y -⨯+≥ 解得100y ≥．
答：小宇骑车的平均速度至少应提高100米/分． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键．
23．对x 、y 定义了一种新运算T ，规定(),2ax by
T x y x y
+=+（其中a ，b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()01
0,1201
a b T ⨯+⨯=⨯+，
已知()1,12T -=-，()4,21T =． （1）求a ，b 的值； （2）求()2,2T -．
（3）若关于m 的不等式组()(
)2,544,32T m m T m m p ⎧-≤⎪
⎨->⎪⎩恰好有4个整数解，求p 的取值范围．
答案：（1），；（2）；（3）． 【分析】
（1）根据题中的新定义列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值；
（2）利用题中的新定义将，代入计算即可； （3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示
解析：（1）1a =，3b =；（2）2-；（3）11
23
p -≤<-． 【分析】
（1）根据题中的新定义列出关于a 与b 的方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值； （2）利用题中的新定义将2x =-，2y =代入计算即可；
（3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有4个整数解，确定出p 的范围，再解不等式组即可． 【详解】
解：（1）根据题意得： 2421242
a b a b -=-⎧⎪
⎨+=⎪⨯+⎩①②， 解得：1
3
a b =⎧⎨=⎩；
（2）由（1）得：()3,2x y
T x y x y
+=+ ∴()232
2,222(2)2
T -+⨯-=
=-⨯-+；
（3）根据题意得：()
()23544454332232m m m m
m m p m m
⎧+-⎪
⎪+-⎨+-⎪>⎪+-⎩①②，
由①得：12m -；由②得：935
p
m -<
， ∴不等式组的解集为19325
p m --
<， 不等式组恰好有4个整数解，即0m =，1，2，3，
93345
p
-∴<
， 解得：11
23
p -
≤<-． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则、理解新定义的意义是解本题的关键．
24．如图，△ABC 和△ADE 有公共顶点A ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠BAC =45°，∠DAE =30°． （1）若DE //AB ，则∠EAC ＝ ；
（2）如图1，过AC 上一点O 作OG ⊥AC ，分别交A B 、A D 、AE 于点G 、H 、F ． ①若AO ＝2，S △AGH ＝4，S △AHF ＝1，求线段OF 的长；
②如图2，∠AFO 的平分线和∠AOF 的平分线交于点M ，∠FHD 的平分线和∠OGB 的平分
线交于点N，∠N+∠M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．
答案：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定
解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定义求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得结论．
【详解】
解：（1）如图，
∵AB∥ED
∴∠E=∠EAB=90°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°-45°=45°．
故答案为：45°．
（2）①如图1中，
∵OG⊥AC，
∴∠AOG=90°，
∵∠OAG=45°，
∴∠OAG=∠OGA=45°，∴AO=OG=2，
∵S△AHG=1
2•GH•AO=4，S△AHF=1
2
•FH•AO=1，
∴GH=4，FH=1，
∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．
②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．理由：如图2中，
∵MF，MO分别平分∠AFO，∠AOF，
∴∠M=180°-1
2（∠AFO+∠AOF）=180°-1
2
（180°-∠FAO）=90°+1
2
∠FAO，
∵NH，NG分别平分∠DHG，∠BGH，
∴∠N=180°-1
2
（∠DHG+∠BGH）
=180°-1
2
（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）
=180°-1
2
（180°+∠HAG）
=90°-1
2
∠HAG
=90°-1
2
（30°+∠FAO+45°）
=52.5°-1
2
∠FAO，
∴∠M+∠N=142.5°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知
识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO 表示出∠M ，∠N ．
25．（数学经验）三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
（1）①如图1，△ABC 中，∠A ＝90°，则△ABC 的三条高所在的直线交于点 ； ②如图2，△ABC 中，∠BAC ＞90°，已知两条高BE ，AD ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC 的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）． （综合应用）
（2）如图3，在△ABC 中，∠ABC ＞∠C ，AD 平分∠BAC ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ． ①若∠ABC ＝80°，∠C ＝30°，则∠EBD ＝ ；
②请写出∠EBD 与∠ABC ，∠C 之间的数量关系 ，并说明理由． （拓展延伸）
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图4，M 是BC 上一点，则有
=ABM BM
ACM CM
∆∆的面积的面积．
如图5，△ABC 中，M 是BC 上一点BM =1
4
BC ，N 是AC 的中点，若三角形ABC 的面积是m
请直接写出四边形CMDN 的面积 ．（用含m 的代数式表示）
答案：（1）①A ；②见解析；（2）①25°；②2∠EBD ＝∠ABC ﹣∠ACB ；（3）m ． 【分析】
（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②分别延长BE ，DA ，两者交于F ，连接CF 交BA 的延长线
解析：（1）①A ；②见解析；（2）①25°；②2∠EBD ＝∠ABC ﹣∠ACB ；（3）9
20
m ． 【分析】
（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；
②分别延长BE，DA，两者交于F，连接CF交BA的延长线于H，CH即为所求；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线的性质可以得出∠BAE＝1
2
∠BAC＝35°，再由直角三角形的性质得∠ABE＝55°，即可求解；
②由三角形内角和定理和角平分线的性质求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理：S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝
a，S△ABN＝S△CBN＝1
2m，再求出S△CDM＝
3
4
S△BCD＝
33
84
m a
，S△ACM＝
3
4
S△ABC＝
3
4
m，利用
面积关系求解即可.
【详解】
解：（1）①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A＝90°，
∴△ABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
②如图，分别延长BE，DA，两者交于F，连接CF交BA的延长线于H，CH即为所求；
（2）①∵∠ABC＝80°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝1
2
∠BAC＝35°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE＝80°﹣55°＝25°，
故答案为：25°；
②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD＝∠ABC﹣∠ACB
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD，
∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE＝∠ABC+∠BAD﹣90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝1
2
∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴∠BAD ＝90°﹣12∠ABC ﹣1
2∠ACB ，
∴∠EBD ＝∠ABC +∠BAD ﹣90°＝∠ABC +90°﹣1
2∠ABC ﹣1
2∠C ﹣90°=1
2∠ABC ﹣1
2∠C ， ∴2∠EBD ＝∠ABC ﹣∠ACB ， 故答案为：2∠EBD ＝∠ABC ﹣∠ACB ； （3）连接CD ，如图所示： ∵N 是AC 的中点， ∴
1ADN CDN S AN
S CN
==△△， ∴S △ADN ＝S △CDN ， 同理：S △ABN ＝S △CBN ， 设S △ADN ＝S △CDN ＝a ， ∵△ABC 的面积是m ， ∴S △ABN ＝S △CBN ＝1
2m ， ∴S △BCD ＝S △ABD ＝12m ﹣a ， ∵BM ＝1
4
BC ，
∴1
3BM CM =， ∴
13BDM CDM
S BM S
CM =
=，1
3
ABM ACM
S
BM S
CM =
=， ∴S △CDM ＝3S △BDM ，S △ACM ＝3S △ABM ，
∴S △CDM ＝34S △BCD ＝34×（1
2m ﹣a ）＝3384m a -，S △ACM ＝34S △ABC ＝34m ，
∵S △ACM ＝S 四边形CMDN +S △ADN ＝S △CDM +S △CDN +S △ADN ，
即：333
484m m a a a =-++，
解得：a ＝
3
10
m ， ∴S 四边形CMDN ＝S △CDM +S △CDN ＝33339
84101020
m m m m -⨯+=，
【点睛】
本题主要考查了三角形的高，三角形的中线，三角形内角和，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。