精编新版2019年《指数函数和对数函数》单元测试模拟考试题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试试题指数函数和对数函数
（含答案）
学校：
__________
第I卷（选择题）
请点击修改第
I卷的文字说明
一、选择题
1．根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为
（A，C为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A
件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（）
（A）75，25 （B）75，16 （C）60，25 （D）60，16（2011北京理）
2．已知全集U=R，函数y=的定义域为集合A，函数()
2
log2
y x
=+的定义域
为集合B，则集合()
U
A B=
ð
A．()
2,1
-- B．(]
2,1
-- C．()
,2
-∞- D．()
1,
-+∞
3．若1
a>，1
a≠，且0
x y
>>，n N
∈，则下列八个等式：①()
log log
n
a a
x n x
=；
②()()
log log
n n
a a
x x
=；③
1
l o g
l o g
a a
x
x
⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
；④
l o g
l o g
l o g
a
a
a
x x
y y
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；⑤
1
l o g
a
x
n
=；⑥
1
l o g l o g
a a
x
n
=；⑦l o g
a
n x n
a x
=；⑧
log log a
a x y x y
x y x y
-+=-+-．其中成立的有 （ ） A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
4．有下列命题：
○
1log (0,1)a N b a a =>≠与(0,1)b
a N a a =>≠是同一个关系式的两种不同表达形式； ○
2对数的底数是任意正数； ○
3若(0,1)b
a N a a =>≠，则log a N
a N =一定成立；
○
4在同底的条件下，log a N b =与b
a N =可以互相转化． 其中，是真命题的是 （ ） A ．○1○2 B ．○2○4 C ．○1○2○3 D ．○1○3○4 5．对于函数①
()()
12lg +-=x x f ，②()()2
2-=x x f ，③()()2cos +=x x f .判断如下
三个命题的真假：命题甲：()2+x f 是偶函数；命题乙：()()2,∞-在区间
x f 上是减函数，在区间()+∞,2上是增函数；命题丙：()()x f x f -+2在()+∞∞-,上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）（07北京） A ．①③ B ．①② C ． ③
D ． ② D
6．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫
⎝⎛的实数x 的取值范围是（ ）
A ．()1,1-
B ．()1,0
C ．()()1,00,1 -
D ．()()+∞-∞-,11, (07福建) C ．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
7．设m N ∈
，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ．
{}0,3,14,30
8．已知函数()()x x f a
-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()
2
1log x x g a -=的单
调减区间是
9．若函数(2)x
f 的定义域是[1,1]-,则2(lo
g )f x 的定义域为 ;
10．一个幂函数()y f x =
的图像过点，另一个幂函数()y g x =的图像过点(8,2)
--， ⑴求这两个幂函数的解析式；⑵判断这两个幂函数的奇偶性.
11. ⑴3
4
()f x x =，13
()g x x =；⑵()y f x =无奇偶性；()y g x =是奇函数.
11．已知函数21
22(),[1,)x x f x x x ++
=
∈+∞，
⑴试判断()f x 的单调性，并加以证明；⑵试求()f x 的最小值. 【例1】⑴增函数；⑵
72
. 12．函数2
()23f x x x =-+,则(2)x f 与(3)x
f 的大小关系是 . 13．若3()3lo
g 2x f x x =++,则1
(30)f -= .
14．求函数3
22
--=x x a y 的单调减区间.
15．函数122
x
y -=是由函数1()4
x
y =经过怎样的变换得到的?
16．函数)54ln(2
-+=x x y 的单调递增区间是
17．若2
1a b a >>>，则log log log b
a b b b a a
、、的大小关系为____________（小→大） 18．根据表格中的数据，可以判定方程
20x e x --=的一个零点所在的区间为
))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；
19．设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为___ ____.
20．若关于x 的方程052)3(4=+++x
x
a 至少有一个实根在区间]2,1[内，则实数a 的取值范围为____▲]523,4
33
[---
_______ 21．关于x 的不等式kx x x x ≥-++3922在]5,1[上恒成立，则实数a 的范围为 ． 22．若全集R U =，函数13-=x
y 的值域为集合A ，则=A C U ____________
23．已知幂函数的图像经过点
），（333
3
，则)(x f 的表达式为 24．若幂函数m
x y =的图像在10<<x 时位于直线x y =的上方，则正实数m 的取值范围是
25．若)(x f y =是幂函数，且满足2
2
)2()4(=
f f ，则=)3(f ．
26．幂函数f (x )的图象经过点)2
，则(9)f 的值等于 ．
27．设集合{|A x y ==,{|2}x B y y ==，则A B ⋂=
02]（， 28．已知幂函数)(x f 经过点)2,2(，则=)4(f __________；
29．下列命题是假命题的是_________（填写序号）
○
1. m R ∃∈，使得243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上递减 ○
2. 0,a ∀>函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 ○
3. ,R αβ∃∈，使得cos()cos cos αβαβ+=+ ○
4. R φ∀∈，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数 30． 函数2
23
()f x x α
α--=（常数Z α∈）为偶函数，且在(0,)+∞上是单调递减函数，
则α的值为_________.
31．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π
立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元. （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .(2011年高考山东卷理科21)（本小题满分12分）
32．下列命题是假命题的是 （1）存在,m R ∈使得()()243
1m m f x m x -+=-⋅是
幂函数，且在()0,+∞上递减。

（2）任意0,α>函数()2
ln ln f x x x a =+-有零点。

（3）存在,αβR ∈,使得()cos αβ+=cos cos αβ+。

（4）任意R ϕ∈,函数()()sin 2f x x ϕ=+
33． 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ▲ ．
34．若函数f(x)=23x
x +的零点所在的一个区间是（a-1，a ），（Z a ∈），则a= .
35．已知3
.022
2,3.0log ,3.0===c b a ,则c b a ,,从小到大的顺序是 ▲ ．
36．
求值：00sin 40(tan10= ▲ .
37．若函数||
3([,])x y x a b =∈的值域[1,9]，则22
2a b a +-的取值范围是_________
三、解答题
38．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足t t g 280)(-=（件），价格近似满足
102
1
20)(--
=t t f （元）． （Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间)200(≤≤t t 的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．
39．（本题满分15分）
如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB ，设AB 延长线与海平面交于点O ．测量船在点O 的正东方向点C 处，测得塔顶A 的仰角为30︒，然后测量船沿CO 方向航行至D
处，当1)CD =米时，测得塔顶A 的仰角为45． （1）求信号塔顶A 到海平面的距离AO ；
（2）已知52AB =米，测量船在沿CO 方向航行的过程中，设DO x =，则当x 为何值时，使得在点D 处观测信号塔AB 的视角ADB ∠最大．
A
B
O D
C
40．设a >0，f (x)=
x
x a
a e e +是R 上的偶函数. （1）求a 的值；
（2）求证：f (x)在（0，+∞）上是增函数.
41．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4吨时，按每吨1.8元收费；当每户每月用水量超过4吨时，其中4吨按每吨为1.8元收费，超过4吨的部分按每吨3.00元收费。

设每户每月用水量为x 吨，应交水费y 元。

（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系；
（Ⅱ）某用户1月份用水量为5吨，则1月份应交水费多少元？
（Ⅲ）若甲、乙两用户1月用水量之比为5:3，共交水费26.4元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费。

42．已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 内种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取
ABC θ∠=．
（1）用θ及R 表示1S 和2S ； （2）求1
2
S S 的最小值．
43．游泳池中相邻的两条泳道11B A 和22B A (看成两条互相平行的线段)分别长90米,甲在泳道11B A 上从1A 处出发,以3米/秒的速度到达1B 以同样的速度返回1A 处,
然后重复上述过
程;乙在泳道22B A 上从2B 处出发,以2米/秒的速度到达2A 以同样的速度游回2B 处,然后重复上述过程.(不考虑每次折返时的减速和转向时间).两人同时开始运动. (Ⅰ)设甲离开池边21B B 处的距离为y 米,当时间[]60,0∈t (单位:秒)时,写出y 关于t 的函数解析式；
(Ⅱ)请判断从开始运动起到3分钟为止,甲乙 的相遇次数.
44．已知函数x
x x f 21
)(2-=
（1）试判断)(x f 的奇偶性；
（2）试判断)(x f 的单调性；
（3）若当0>m , 2
0π
θ≤
≤时，恒有
0)22()sin 4(cos 2<--++m f m f θθ，求
m 的取值范围.
45．（I
）计算21 103
23(3)(0.01)1)8
---+-+
（II
）计算21log 32.5log 6.25lg0.01ln
2+++
（III ）已知3log 2,35b
a ==，用,a b
表示3log
46．求x 的值： （1）33log 4x =-； （2）25log 3
x =-；
1B 1
2B
（3）22(21)log (321)1x x x -+-=； （4）234log [log (log )]0x =．
47．已知1
(1)(
)()1
x x f f x x x +--=-,求()f x . 48．已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a ＞0，a ≠1). (I)求函数f (x )的定义域、值域；
(II)是否存在实数a ，使得函数f (x )满足：对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0.
49．诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增。

假设基金平均年利率为 6.24%r =。

资料显示：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19800万美元。

设()f x 表示为第x (*
x ∈N )年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1999年记为(1)f )。

(Ⅰ）用(1)f 表示(2)f 与(3)f ，并根据所求结果归纳出函数()f x 的表达式。

(Ⅱ）试根据()f x 的表达式判断网上一则新闻 “2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由。

(参考数据：10
1.0624 1.83=，10
1.0312 1.36=）
50．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n 个月的累计产量为1
()(1)(21)2
f n n n n =+-吨，但如果月产量超过96吨，将会给环境造成危害.
（1）请你代表环保部门给该厂拟定最长的生产周期.
（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a 万元的环保税，已知每吨产品售价0.6万元，第n 个月的工人工资为282()155
g n n n =--万元，若每月都赢利，求出a 的范围.。