期末复习100题

1．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-= 则||a b +=
．
2．已知向量a ＝（2，3），b ＝（－4，7），则a 在b
方向上的投影为 . 3．已知||1a = ，||2b = ，()a a b ⊥+
，则a 与b 夹角的度数为 ．
4．【原创】设向量|a |=1，(2)a b + ⊥(2)a b - ，()a a b ⋅+
=0，则a 与b 的夹角
为 ．
5．已知向量b a ,满足6)()2(-=-∙+b a b a ，且2,1==b a ，则a 在b 上的投影为
_______________．
6．在ABC ∆中，90C ∠=︒，(,1)AB k = ，(2,3)AC =
，则k 的值等于 ．
7．在ABC ∆中，||3,||4,||5AB AC BC ===，O 为ABC ∆的内心，且,
AO AB BC λμ=+
则λμ+ = ．
8．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．
9．已知ABCDEF 为正六边形，若向量)1,3(-=AB ，则=-DE DC ；
EC FE +=
（用坐标表示）．
10．已知点A （－1，1）、B （0,3）、C （3，4），则向量AB 在AC 方向上的投影为 ．
11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．已知2
2
,sin 2sin a b bc C B -==，则角A 为__________．
12．已知ABC ∆中，设三个内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且6
,3,1π
=
==A b a ,
则c = .
13．在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
6cos b a
C a b
+=，则tan tan tan tan C C
A B
+=_______． 14．如图：在ABC ∆中，AB BC ⊥，4(31)AB =+，6C π
∠=
，
512ADB π
∠=
，则CD
的长为 ．
15．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，
B
D
C
A
cos 63
A =
， 则b = ．
16．在ABC ∆中，若21,3,3
b c C a π
==∠=
=，则 . 17．在三角形ABC 中，若A=60°，AB=4，AC=1，D 是BC 的中点，则AD 的长为 ． 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知22,sin 2sin a b bc C B -==，则角A 为__________.
19．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为 . 20．以下四个命题：
①在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且B a A b cos sin =，则4
π
=
B ；
②设b a ,是两个非零向量且a b a b ⋅=
，则存在实数λ，使得a b λ=；
③方程0sin =-x x 在实数范围内的解有且仅有一个；
④,a b R ∈且33
33a b b a ->-，则a b >；
其中正确的命题序号为 。

21．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，
cos 63
A =
， 则b =______ ．
22．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若π3A =，27cos 7
B =，2b =，则a =____.
23．在△ABC 中∠A=60°，b=1，S △ABC =3，则
A
a
cos = ． 24．在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos bc A 的值为 .
25．在ABC ∆中，角
A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知
sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=。

若23C π=
，则a
b
= 26．在ABC ∆中，若()
ac B b c a ⋅=⋅-+3tan 222，则角B= 。

27．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，且1,4,AB BC == 则边BC 上的中线AD 的长为 ；
28．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4
=B ．则边c 的长度为__________．．
29．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则角C = ．
30．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.
31．在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0
120,ABC ∆的面积为1534
，则B CB A
的值= .
32．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量
(,sin sin )
m a b A C =+-
，向量(,sin sin )n c A B =- ，且//m n ； （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设BC 中点为D ，且3AD =；求2a c +的最大值及此时ABC ∆的面积。

33．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
sin 1sin sin b C
a c A B
=-
++已知，且5,5b CA CB =⋅=-
，则ABC △的面积是 ．
34．已知ABC 的一个内角为120度，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的
面积为_________．
35．在锐角ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，21
=
∆ABC S ，则=BC .
36．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且
222743a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．
37．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知2b =,6
B π
=，4
C π
=
，则边
a=__________;△ABC 的面积等于 ．
38．在ABC ∆中，若22
2,8AB AC BC =+=，则ABC ∆的面积的最大值为
___________.
39．在A B C ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ，
120=A ，则=∆ABC S .
40．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ，
120=A ，则=∆ABC S .
41．已知正实数x ，y 满足xy=3，则2x+y 的最小值是 ．
42．不等式2
230x x --<的解集是
43．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________． 44．若(1,)x ∈+∞，则2
1
y x x =+
-的最小值是 ． 45．若关于x 的不等式2240x x a -+≤的解集是空集，则实数a 的取值范围是 ．
46．若b a ab b a +=+则）
（,log 43log 24的最小值是 ．
47．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ． 48．不等式222log (4)log (3)x x ->的解集为 .
49．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =_____________. 50．已知0,0>>y x ，11
2=+y
x ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
51．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则2x y
+的最大值为 ，
_____2
1
的取值范围-+x y ． 52．设x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-+≥+-,3,01,01x y x y x ,则z=2x-3y 的最小值是________．
53．设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，则4z x y =+的最大值为 ．
54．设,x y 满足约束条件220
8400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨
⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最
大值为8，则a b +的最小值为________。

55．设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤目标函数65z x y =+的最大值等
于 ．
56．设实数,x y 满足,
102,1,
x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩
则124y x z ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的最大值为 ． 57．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为
_____________．
58．如果实数,x y 满足线性约束条件20,3501,x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+-的最小值等
于 ．
59．若y x ,满足20449x y y x x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+≥⎩
，则y x z +=2的最小值为
60．设不等式组0,24,24≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
x x y x y 所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 ；若
直线1=-y ax 与区域D 有公共点， 则a 的取值范围是 ．
61．设等差数列{}n a 的前n 项为354,26,28,n S a a S +==则10a 的值为 ． 62．已知等差数列{}n a 的公差为3，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =
63．
1
21
,
12--的等差中项是
64．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ． 65．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = 66．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是
67．设等差数列{}n a 满足115=a ,312-=a ,{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ,则
lg M =__________．
68．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ． 69．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,293==S S ，则数列}{n a 的公差=d ；
=12S ．
70．设数列}{
n
a n
是公差为d 的等差数列，若12,293==a a ，则=d ；=12a 71．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于 ．
72．已知公差不为0的等差数列{a n }中，125a a a ，，依次成等比数列，
则1
5
a a = ． 73．已知数列{}n a 为等比数列，且3752a a a ⋅=，设等差数列{}n
b 的前n 项和为n S ，若55b a =，
则9S = ．
74．正项等比数列{}n a 中，42=a ，164=a ，则数列{}n a 的前9项和等于 ． 75．正项等比数列{}n a 中，42=a ，164=a ，则数列{}n a 的前9项和等于 ． 76．已知数列{}n a 的前n 项和5+=n n a S ，则数列{}n a 为等比数列，a 应满足： 。

77．已知数列{}n a 的首项21=a ，且)2(1-21≥=-n a a n n ，则n a ＝ 。

78．等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ，则=3a 79．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则
k = ．
80．在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ． 81．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ．
82．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
83．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体
的体积是 cm 3
．
84．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是 （ ） A ．
222+ B ．12
2
+ C ．22+ D ．12+ 85．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 ．
86．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的表面积为 ________；
87．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为__________．
88．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．
主视图
左视图
俯视图
89．已知球O 是棱长为6的正方体1111D C B A ABCD -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为___________.
90．长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，13AA =，棱AD 在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是 ．
91．空间中，两条不重合的直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是 ．
92．已知直二面角α− l −β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 ．
93．如图,直四棱柱1111-ABCD A BC D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1=2AA ,则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C 1
D α
11111
ABCD A B C D E F 11A B CD
B AE
C F
1
95．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =. D 是BC 的中点.
（1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.
96．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题： ① 若αβ∥，则l m ⊥； ② 若αβ⊥，则l m ∥； ③ 若l m ∥，则αβ⊥； ④ 若l m ⊥，则αβ∥．
以上命题中，正确命题的序号是 ．
97．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下四个结论：
①1D C ∥平面11A ABB ； ②11A D 与平面1BCD 相交； ③AD ⊥平面1D DB ；
④平面1BCD ⊥平面11A ABB ．
其中正确结论的序号是 ．
98．已知平面α，β，直线,m n .给出下列命题： ① 若m α ，,n m n β ，则αβ ； ② 若αβ ，,m n αβ ，则m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥； ④ 若αβ⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥.
其中是真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）． 99．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：
A
B C
D D 1 A 1
B 1
C 1
1
A 1
B 1
C D
A
C
B
①直线AM 与直线C 1C 相交； ②直线AM 与直线DD 1异面； ③直线AM 与直线BN 平行； ④直线BN 与直线MB 1异面．
其中正确结论的序号为 （填入所有正确结论的序号）．
100．如图，在一个︒60的二面角的棱上，有两个点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且4AB cm =，cm AC 6=，cm BD 8=，则CD 的长为 ；
A
B
C
D
α
β
γ
A
B
C
D 1
A 1
B 1
C 1
D M
N
参考答案
1． 【解析】
试题分析：由题根据所给向量满足的条件进行计算即可；
11||1,||2,||2,,||14212722
a b a b a b a b ==-=∴⋅=∴+=++⨯⨯⨯= ．
考点：平面向量数量积的运算性质
2．
565
【解析】
试题分析：a 在b 方向上的投影为82165
cos 565
a b a b θ⋅-+===
考点：向量的投影 3．
23
π
【解析】
试
题
分
析
：
()()
01a a b a a b a b ⊥+∴+=∴=- 112cos 12
23a b a b θθπ-∴===-∴=⨯
考点：向量的数量积 4．
23
π 【解析】
试题分析：∵(2)a b + ⊥(2)a b - ， ∴(2)(2)a b a b +⋅- =224a b - =224||||a b -
=0，
∴|b |=2||a =2， ∵()a a b ⋅+ =0，∴a b ⋅ =2a - =2
||a - =－1， ∴cos ,a b <> =||||
a b a b ⋅⋅
=12-，∵0≤,a b <> ≤π，∴,a b <> =23π
．
考点 平面向量数量积；向量垂直的充要条件 5．
1
2
【解析】
试题分析：设a 与b 的夹角为θ，∵向量a ，b 满足6)()2(-=-∙+b a b a ，且2,1==b a ，
∴22146a a b b a b +⋅+=+⋅+= ，∴a b ⋅ =1．∴cos θ=a b a b ⋅⋅
=1
2
，再由θ的范围为[0，
π]，
可得 θ=
3π，则a 在b 上的投影为11cos 32
π⨯= 考点：向量的数量积。

6．5 【解析】
试题分析：根据题意可知，(2,2)BC AC AB k =-=-
，由90C ∠=︒，所以2(2)60A C B C k ?-+= ，解得5k =．
考点：向量的减法，向量的数量积，向量垂直的条件． 7．
6
5
【解析】
试题分析：由题可知，O 为ABC ∆的内心，即O 为直角三角形内切圆的圆心，设半径为r ，以两条直角边轴建立直角坐标系，如图，2,3,4+=-=-=r CE r FB r CD ，由于CE CD =,故1=r ，于是有)1,1(=AO ，)43()03(，，，-==BC AB ，由BC AB AO μλ+=，则有
⎩⎨
⎧==μ
μλ413-31，解得41
127==μλ，，则λμ+ =65；
考点：向量的坐标表示 8．3-
【解析】
试题分析：因为()()2,11,1x y =++=-a +b ，所以2111x y +=⎧⎨+=-⎩，解得：1
2x y =-⎧⎨=-⎩
，所以
123x y +=--=-，所以答案应填：3-．
考点：向量加法的坐标运算． 9．)2,32(;32- 【解析】
试题分析：
如图所示，由已知(
)
AB=
3-1
，AB =2⇒
222DC-DE =DC -2DC DE+DE =4-222cos120+4=12DC-DE =23∴⋅⋅⋅⋅⋅∴
()
2=23-2EC FE EC EF FC AB +=-==
，
考点：向量的运算 10．2 【解析】
试题分析：由题意得：)3,4(),2,1(==AC AB ，向量AB
在AC 方向上的投影
24
33241|
|,c o s 2
2
=+⨯+⨯=
⋅=
AC AC AB b a AB ．
考点：向量的投影． 11．
3
π 【解析】
试题分析：因为sin 2sin C B =，由正弦定理可知，2c b =，又22a b bc -=，所以22
3a b =，
2222222
431cos 242
b c a b b b A bc b +-+-===，所以3A π
=． 考点：1．正弦定理；2．余弦定理．
12．1或2 【解析】 试
题
分
析
：
6
,3,1π
=
==A b a ，且
A ac c b a cos 2222-+=,6
cos
32312π
⋅-+=∴c c ，
即022
=--c c ，解得1=c 或2=c .
考点：1.余弦定理；2.一元二次方程的解法. 13．4 【解析】
试题分析：根据余弦定理，
C b
a
a b cos 6=+可化为222322c b a =+，)sin cos sin cos (tan tan tan tan tan B
B
A A C
B
C A C +=+
42sin sin sin cos sin 2222=⨯-+=⨯=ab
c c b a ab B A C C C 。

考点：正弦定理、余弦定理的应用。

14．16 【解析】
试题分析：,343126
C
B C A B π
∠=∴==+
,又512
ADB π
∠=，所以
()
(
)
4314
31tan 23
AB
BD ADB +===-∠+ ，431243416CD BC BD =-=+-+=．
考点：解三角形． 15．26 【解析】 试
题
分
析
：
由
正
弦定理得：
s i n
s
i
n
a b =
A B
，
所
以
s i n s i n 22s i n
c o s
6
2c o s 232
6
s i n s i n s i n
3
a a a
b a B A A A =
===A =⨯⨯=A A A ．
考点：1、正弦定理；2、二倍角的正弦公式．
16．1 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，由余弦定理，得22
22π
121cos
(3)3
a a +-⨯⨯⨯=，又0a >，解得1a =.
考点：余弦定理. 17．
21
2．
【解析】 试
题
分
析
：
AD
的
长
为
A B A C + 的一半，又因为
222
2161241cos6021AB AC AB AB AC AC +=+⋅+=++⨯⨯⨯︒= ，
所以AD=
212, 故答案为
212
． 考点：用向量的方法求线段的长度． 18．
3
π
【解析】
试题分析：因为sin 2sin C B =，由正弦定理可知，2c b =，又22a b bc -=，所以223a b =，
2222222
431cos 242
b c a b b b A bc b +-+-===，所以3A π
=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理. 19．
4
π
【解析】
试题分析：由正弦定理原等式变形为：sin sin sin
cos B A A B =因为：在ABC ∆中，0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin cos B B =即tan 1B =，所以4
B π
=
，答案为：
4
π
. 考点：1.正弦定理；2.三角函数值. 20．①②③④ 【解析】
试题分析：①根据题意，在ABC ∆中，由正弦定理可得：sin sin sin cos B A A B =，因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin cos B B =所以4
B π
=
所以，正确；②非零向量b a ,满足：cos a b a b a b θ== ，所以cos 1θ=±，所以a b ，则存在实数λ，使得a b λ=，正确；③画出sin y x =和y x =的图像，得到一个交点，所以正确；④原式变形为：
3333a a b b +>+，设()3
3f
x x x =
+，则转化为证明：()()f a f b >，则
()2330f x x '=+>，所以
()f x 在R 上单调递增，所以()()f a f b >得证，正确.综上正确的命题序号为：①②③④.
考点：1.正弦定理；2.平面向量；3.数形结合思想. 21．26 【解析】 试
题
分
析
：
由
正
弦
定
理
得
：
s i n
s
i
n
a b =A B
，
所
以
s i n s i n 22s i n c o s
2c o s
s i n s i n s i n
a a a
b a B A A A ====A A A A 6
23263
=⨯⨯
=． 考点：1、正弦定理；2、二倍角的正弦公式． 22．7 【解析】
试题分析：
2721
cos ,(0,)sin 77B B B π=
∈⇒=，由正弦定理得：
2sin sin sin 3,7.
sin sin 21
7
a A
b A
a b B B
π
⨯====
考点：正弦定理 23．213 【解析】 试题分析：1
2,sin 6034cos 2
ABC a a S bc c A D ==?\=
， 2222cos 60132213cos a
a b c bc a A
\=+-=\== ．
考点：余弦定理． 24．
432
【解析】
试题分析：由余弦定理得4843
48936162cos 222=-+=-+=bc a c b A ，
cos bc A =⨯
=48
432443
2 考点：余弦定理
25．3
5
【解析】
试题分析：由题意知，∵sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=22
sin B ．
由正弦定理可得 2
2ab bc b += ，即 a+c=2b ，∴c=2b-a ，∵C=
23
π
，由余弦定理可得 ()
2
22222cos
3b a a b ab π-=+- ，可得53a b = ．∴35
a b = ． 考点：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，以及二倍角公式
点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数中的公式 26．
23
3
π
π或
【解析】
试题分析：由余弦定理得222
2cos a c b ac B +-= ，所以3
2c o s t a n B B
=
，所以
()3
sin ,0,2
B B π=
∈ ， 所以B=
23
3
π
π或
考点：本题考查余弦定理，同角三角函数之间的基本关系 点评：解决本题的关键是掌握余弦定理，灵活应用 27．3 【解析】 试题分析：由2A B C B A C
π++=⎧⎨
=+⎩解得:3B π
=,因为D 为BC 的中点，所以在ABD ∆中，由余
弦定理，可得：
22212212cos
5233
AD π
=+-⨯⨯⨯=-=，所以3AD =.
考点：1.等差数列;2.三角形余弦定理.
28．4
【解析】∵cosB ＝
14，故sinB ＝154
由余弦定理：42
＝a 2
＋（2a ）2
－2a ×2a ×14
解得a ＝2，从而c ＝4
考点：解三角形，余弦定理 29．
23
π 【解析】
试题分析：由正弦定理可得::7:8:13a b c =，所以可设7,8,9a k b k c k ===，由余弦定理
()()()222
2227891cos 22782
k k k a b c C ab k k +-+-===-⨯⨯，所以23C π
=。

考点：正、余弦定理. 30．
3
2π
【解析】由ab c b a c b a =++-+))((，得ab c b a =-+2
2)(，即ab c b a -=-+222，
则2
122cos 222=-=-+=ab ab ab c b a C ，又π<<C 0 ,32π
=∴C .
考点：余弦定理.
31．332
【解析】
试题分析：1531
sin 1542bc A bc =⇒=，又AB=3，所以3,5c b ==，由余弦定理得
222
2cos 2591549a b c bc A =+-=++=，所以22233
cos 22a c b BC BA ac B +-===
考点：余弦定理，向量数量积 32．（Ⅰ）3
B π
=；（Ⅱ）当3
π
θ=
时，2a c +的最大值为43，133
sin 22
S ac B =
=
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由共线向量的定理可得等式()(sin sin )(sin sin )0a b A B c A C +---=，然后运用正弦定理将其全部转化为边长c b a ,,的等式关系，再由余弦定理即可得到B 的余弦值，进而求出其大小；（Ⅱ）设BAD θ∠=，在BAD ∆中，运用正弦定理得出c a ,与角θ的关系，进而运用三角函数的辅助角公式将c a 2+化简为)6
sin(34π
θ+
的形式，然后根据
角θ的取值范围和正弦函数的图像与性质即可得出所求的最大值，进而求出此时的ABC
∆的面积即可.
试题解析：（Ⅰ）因为//m n
，故有()(sin sin )(sin sin )0a b A B c A C +---=，由正弦定
理可得()()()0a b a b c a c +---=，即222
a c
b a
c +-=.由余弦定理可知
2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===，因为(0,)B π∈，所以3B π=.
（Ⅱ）设BAD θ∠=，则在BAD ∆中，由3
B π
=可知2(0,
)3
πθ∈，由正弦定理及3AD =有
22sin sin()sin 33BD AB AD
ππ
θθ===-；
所
以
22
s i n ,
2
s i n (
3
B D A B
π
θθθθ==-=+，所以
24sin ,3cos sin a BD c AB θθθ
====+，
从
而
223cos 6sin 43sin()6a c πθθθ+=+=+.由2(0,)3
π
θ∈可知5(,)666πππθ+∈，所以
当6
2
π
π
θ+
=
，即3
π
θ=
时，2a c +的最大值为43；此时23,3a c ==，所以
133
sin 22
S ac B =
=
. 考点：1、共线向量；2、正弦定理；3、余弦定理；4、正弦函数的图像及其性质. 33．153 【解析】
试题分析：根据题意由正弦定理得：1b c
a c a b
=-++即：222b c a bc +-=，所以由余弦定理得：
2221cos 222
b c a bc A bc bc +-===又因为：0A π<<，所以3A π
=,因为5CA CB =- 即：
5cos 5a C =-即：
222552a b c a ab +-=-与22
25cos 310c a c π+-=联立解得：12c =，所以ABC △的面积是：
1
512sin 1532
A ⨯⨯⨯=，所以答案为：153． 考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．三角形的面积公式． 34．153
【解析】
试题分析：由△ABC 三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a ，a+4，a+8（a ＞0）， ∴a+8所对的角为120°，
∴cos120°=222(4)(8)1
2(4)2
a a a a a ++-+=-+，
整理得：a 2
-2a-24=0，即（a-6）（a+4）=0，
解得：a=6或a=-4（舍去），
∴三角形三边长分别为6，10，12， 则S △ABC =
1
2
×6×10×sin120°=153． 故选C
考点：正弦定理，余弦定理． 35．1 【解析】由=•AB •AC •sinA=
，得sinA=，故cosA=，
当cosA=
时，由余弦定理求得BC 2
=AB 2
+AC 2
﹣2AB •AC •cosA=1+2﹣2=1，故BC=1．
36．55
【解析】 试
题
分
析
：
ABC
∆面积
222244242222
11121sin 1cos ()4(2)22224b a S bc A b A b b b b a b -==-=-=--， 由222
743a b c ++=得242
242143214(2)153********b S b b b b -=--=-+-
当
2163=
15b 时ABC ∆面积取最小值5
5
考点：余弦定理，二次函数最值 37．62+；13+ 【解析】
试题分析：由已知)sin())(sin(sin C B C B A +=+-=π，由正弦定理得
=+⨯==
6
s i n
)
s i n (2s i n
s i n πC B B A b a
2
6)22
232221(4)sin cos cos (sin 4+=⨯+⨯=+C B C B ；
(
)
=⨯
+==
2
226sin 2
1
C ab s 13+
考点：正余弦定理 38．3 【解析】
试题分析：222842
cos 22AC BC AB C AC BC AC BC AC BC
+--===⋅⋅⋅.
0C π<< ()
2
2
2
24sin 1cos 11C C AC BC AC BC ⎛⎫
∴=-=-=- ⎪⋅⎝⎭⋅. 222,4AC BC AC BC AC BC +≥⋅∴⋅≤ ,当且仅当AC BC =时取""=.
()
2
11
1
sin 4164322
2
ABC S AC BC C AC BC ∆∴=
⋅=⋅-≤
-=.
考点：1余弦定理;2同角三角函数关系式;3基本不等式. 39．3 【解析】
试题分析：由正弦定理可知，1
sin 30sin sin 2
a c C C A C =⇒=⇒=︒，所以30B =︒ ，所以=
∆ABC S 11
sin 232sin 30322
ac B =⋅⋅︒=. 考点：正弦定理. 40．3 【解析】
试题分析：由正弦定理可知，1
sin 30sin sin 2
a c C C A C =⇒=⇒=︒，所以30B =︒ ，所以=
∆ABC S 11
sin 232sin 30322
ac B =⋅⋅︒=. 考点：正弦定理. 41．26 【解析】
试题分析：由题333,222226,y x y x x x x x
=∴+=+≥⨯=当且仅当62x =时，等号成
立；
考点：均值不等式 42．()1,3- 【解析】
试题分析：试题分析：2
230x x --<变形为()()13013x x x +-<∴-<<，所以解集为
()1,3-
考点：一元二次不等式解法 43．22 【解析】
试题分析：由题可知，1log log log 222==+xy y x ，即2=xy ，由不等式有
222=≥+xy y x ，即y x +的最小值为22；
考点：①对数的运算②基本不等式 44．221+
【解析】
试题分析：因为(1,)x ∈+∞，所以10x ->，2
1y x x =+-2(1)11
x x =-++-221?，当且
仅当21x =+时取等号，故答案为221+． 考点：基本不等式． 45．()()+∞-∞-,22,
【解析】
试题分析：根据二次不等式的解集为空集，说明对应的二次函数函数值大于零恒成立，所以对应的判别式小于零，所以有21640a -<，解得a 的取值范围为()()+∞-∞-,22, ． 考点：一元二次不等式． 46．7+4． 【解析】
试题分析：∵log 4（3a+4b ）=log 2，∴
=
，∴
，
∴3a+4b=ab ，a ，b ＞0．∴＞0，解得a ＞4．
a+b=a+
=
+7≥7+
=
，当且仅当a=4+2
时取等
号．
∴a+b 的最小值是7+4． 考点：基本不等式
点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质． 47．2 【解析】
试题分析：222
1()13a ab b a b ab
-+=⇒+=+，而
2
()2
a b ab +≤，所以
22
2()1()()42232a b a b a b a b +-+≤⇒+≤⇒-≤+≤，即a b +的最大值是2
考点：基本不等式求最值 48．()1,0 【解析】
试题分析：
22
22log (4)log (3)43001x x x x x ->⇒->>⇒<<，结果写解集形式，本题易遗漏30x >这一隐含条件. 考点：解对数不等式
49．12 【解析】
试题分析：由题意得：1为2
230x x a -+=的根，所以1a =，从而
2112310122x x x m -+<⇒
<<⇒=
考点：一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系
50．)2,4(- 【解析】由
11
2=+y x 可得，211222(
)222
y x y x xy y x ++==⋅⋅≤， 所以28y x +≥由m m y x 222+>+恒成立．
故可得2
28m m +<．所以42m -<<．
【命题意图】本题考查基本不等式、恒成立．考查分析转化能力． 51．8；⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--2
1,3．
【解析】
试题分析：不等组表示的平面区域如图所示，令y x z +=，则z x y +-=表示的是斜率是
1-，截距为z 的平形直线系，当截距最大时，z 最大，当直线过点C 时，截距最大，由⎩
⎨
⎧=+-=-0320
2y x y x ，得⎩⎨⎧==21y x ， 3max =z ，y x +2的最大值为823=，
2
1
-+x y 表示的是点()y x ,与点()1,2-连线的斜率，设()1,2-D ，
21-=AD k ， 31
3-=-=CD
k ， 因此
21-+x y 的取值范围⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--21,3．
考点：线性规划的应用． 52．-6 【解析】
试题分析：约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-+≥+-,3,01,01x y x y x 对应的区域为直线10,10,3x y x y x -+=+-==围成
的三角形区域，
当z=2x-3y 过10,3x y x -+==交点()3,4时取最小值-6 考点：线性规划 53．5 【解析】
试题分析：约束条件对应的可行域为由直线0,23,21x y x y x y -=+=-=围成的三角形及内部，当4z x y =+过直线0,23x y x y -=+=交点()1.1时取得最大值5 考点：线性规划问题 54．4 【解析】
试题分析： 画出可行域（如图），因为，，所以，平移直线
=0，经过点A （1，4）时，取得最大值。

由
=8得，
=4，由均值定理
得a+b
=4。

考点：单线性规划的应用，均值定理的应用。

55．27 【解析】
试题分析：根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，经过分析，可知该题中所求的最优解为(2,3)，所以目标函数的最大值为max 625327z =??．
考点：线性规划． 56．
2
1 【解析】
试题分析：由题可知，做出函数的可行域如图，当目标函数经过点A 时，取得最大值，即
2
1
)41(211=⨯=z ；
考点：简单的线性规划
57．6
【解析】
试题分析：满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 的可行域是以()1,0A - 、()3,0B 、()1,2C 为
顶点的三角形区域，y x z +=2的最大值为必在顶点处取得，经验证，在点()3,0B 处
y x z +=2取得最大值6.
考点：1.线性规划. 58．3- 【解析】
试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:l 0x y +=，上下平移直线l ，当l 过点(2,1)B -时，z 取得最小值3-.
考点：简单的线性规划. 59．3. 【解析】
试题分析：不等式表示的平面区域如图，把y x z +=2转化为z x y +-=2表示的斜率为2
-截距为z 的平行直线，当截距最小时，z 最小，当直线过点A 时，截距最小，由⎩
⎨
⎧=+=-9440
2y x y x ，
得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==2343y x ，因此 32
3
432min =+⋅=z .
考点：线性规划的应用. 60．
47
;[,)34
+∞ 【解析】 试题分析：由24
24x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得44(,)33B .易得(0,4),(0,2A C .所以区域D 的面积为
1442233S =⨯⨯=.直线BD 的斜率为4
(1)7
34403
k --==-，直线1=-y ax 与区域D 有公共点，
所以7
4
a k ≥=.
x
y
–1–2
1234
–1
–21
2345
A C B
O
x
y
y=ax -1
–12
1
2
3
4
–1–2
12
345
D A C
B
O
考点：不等式组表示的平面区域. 61．37 【解析】
试题分析：设等差数列的公差为d ，则3512626a a a d +=+= ①
41143446282
d
S a a d ⨯=+
=+= ②
由①②解之得：11,4a d ==所以101919437a a d =+=+⨯=． 考点：等差数列的性质和前n 项和公式． 62．-9 【解析】
试题分析：设等差数列}{n a 的首项为1a ，因为1a ，3a ，4a 成等比数列，所以412
3a a a =即
)33()32(1121⨯+=⨯+a a a ，解得121-=a ，所以92-=a ，答案为-9．
考点：等差数列与等比数列的性质 63．2 【解析】
试题分析：由等差中项的性质可知等差中项为22
121
12=-+
-，答案为2．
考点：等差中项的性质 64．2 【解析】
试题分析：123231a a a a ++=∴= ，567693a a a a ++=∴= 264422a a a a +=∴= 考点：等差数列性质 65．2 【解析】
试题分析：123231a a a a ++=∴= ，567693a a a a ++=∴= 264422a a a a +=∴= 考点：等差数列性质 66．15 【解析】
试题分析：由等差数列性质794121215a a a a a +=+∴= 考点：等差数列性质 67．2 【解析】
试题分析：由115=a ,312-=a 得公差311
2125
d --=
=--,所以
()(
)
1152212,
n a n n =+--=-
故
()()()2
2119220101001002
n n n S n n n n -=+
-=-+=--+≤,所以
100M =,lg 2M =.
考点：等差数列的通项及前n 项和. 68．66 【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，可知36396,,S S S S S --成等差数列，即
662(15)15153S S -=+-,解得666S =.
考点：等差数列的性质. 69．
20,9
2 【解析】
试题分析： 由等差数列的前n 项和，设数列}{n a 的首项为1a 公差为d ，可得
()()()13112
91331432121214292
12202
92999191292
a S a d S d S a d ⨯-⎧⎧
==+=⎪⎪⨯-⎪⎪⇒∴=⨯+⨯=⎨⎨⨯-⎪⎪==+=⎪⎪⎩⎩ 考点：等差数列的前n 项和 70．
1
9
，20 【解析】
试题分析：由题意()93
91212111593,1292093912999
a a a a d a -===+-⋅=∴=- 考点： 等差数列的通项和性质
71．n 2 【解析】
试题分析：设数列{}n a 的公比为q ，则有2
2
(21)(21)(21)q q +=+?，解得1q =，所以
n S 2n =．
考点：等比数列的定义，数列的求和问题． 72．9 【解析】 试
题
分
析
：
设
等
差
数
列
的
公
差
为
d
，由已知得
2121511114,((4),d d d a a a a a a a a d =++⋅==++，，)整理得，122d d a =，由0d ≠得
12d a =.所以，
5111
111
4429a a d a a a a a ++⨯===. 考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的性质.
73．18 【解析】
试题分析：
2
3755522a a a a a ⋅=⇒=，又50a ≠，所以52a =，即52b =，因此19959()
9182b b S b +=
==
考点：等差数列性质，等比数列性质
74．1022 【解析】
试题分析：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q > ，因为42=a ，164=a ，所以，
24216
44
a q a =
== 因为0q > ，所以，214
2,22
a q a q ==
== ()91092122210242102212
S -=
=-=-=-
所以答案应填：1022. 考点：等比数列. 75．1022 【解析】
试题分析：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q > ，因为42=a ，164=a ，所以，
24216
44
a q a =
== 因为0q > ，所以，214
2,22
a q a q ==
== ()91092122210242102212
S -=
=-=-=-
所以答案应填：1022. 考点：等比数列. 76．01≠≠a a 且
【解析】11(1)n n n n a S S a a --=-=- 数列{}n a 是等比数列
1a ∴≠且0a ≠
77．12
1
-n +
【解析】由递推公式求通项，采用构造法。

变形得112(1)n n a a --=- 设1n n b a =-，有1111b a =-=
12n n b b -=
112n n b -∴=⨯ 121n n a -∴=+
78．4 【解析】 试题分析：由题意得：
4251133421515151
2()14
6222a a q q q q a a a a q q q --+=⇒=⇒=⇒==⇒=⇒=--或舍 考点：等比数列 79．4 【解析】 试题
分析：由题意得：
22
12111=((1))((2
k k a a a a k d
a a k d k k ⇒+-=+-⇒+
=+
42k k ⇒==-或（舍）
考点：等差数列
80．64 【解析】
试题分析：设公比为q ，则42332320a q a q --=，即42280q q --=，得24q =或22q =-（舍去），所以47341664a a q ==⨯=； 考点：1．等比数列的通项公式； 81．
3
2
；π3． 【解析】
试题分析：该几何体的正方体内接正四面体，如图中红色，此四面体的所有棱长为2，因此底面积为
()
2
3
24
32
=
=
S ，顶点在底面上射影是底面的中心，高()
33
2263222
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-=
h ，
多面体的体积3
1332233131=⋅⋅==
Sh V ； 多面体的外接球的直径是正方体的对角线3，表面积ππ32342
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛．
考点：由三视图求表面积和体积． 82．
53
3
【解析】 试题分析：由三视图可知该几何体是在三棱柱的基础上截去同底的三棱锥得到的，三棱柱底面为正三角形，边长为2，高为2，三棱锥高为1，因此剩余的体积为53
3
考点：三视图与几何体体积 83．
6
1 【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体是三棱锥，底面三角形是等腰三角形，底边为1，高为1，棱锥的高为1，因此体积为6
1 考点：三视图及棱锥体积 84．C 【解析】
试题分析：斜二测直观图中一个底角为45°且腰和上底均为1，所以另一底边长为21+，平面图形是直角梯形与两底边垂直的腰长为2，面积为22+ 考点：斜二测画法
85．72 【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为直三棱柱，底面为边长为6的直角三角形，高为4，所以体积为1
664722
V =
⨯⨯⨯= 考点：三视图及棱柱体积
86．12π 【解析】 试题分析：由题意可知球心O 到平面α的垂线和平面α截球O 的球面所得圆的半径与球体的半径成直角三角形，球体半径是直角三角形的斜边，所以由题目中给出的数，求得球体半径为3R =
，根据球表面公式24R π，得到表面积为12π。

考点：球体的表面积 87．3824+
【解析】
试题分析：由三视图可知该 正三棱柱的底面是边长为4，高为2，故该正三棱柱的表面积为
2
3122+
4224834
⨯⨯⨯=+. 考点：1.三视图；2.几何体的表面积. 88．82π- 【解析】
试题分析：根据题中所给的三视图，可知该几何体为一个正方体除去四分之一的圆柱，故其体积为1842824
V p p =-
鬃=-. 考点：根据三视图求几何体的体积. 89．π6 【解析】
试题分析：正方体边长为6，体对角线为63，球心到平面1ACD 的距离为1
6336
⨯
=，内球球的半径为3，所以截面小圆半径为()
2
2
33
6r =-
=，因此截面圆面积为π6
考点：1.正方体与其内切球的联系；2.球的截面圆问题 90．1324≤≤S . 【解析】
试题分析：四边形ABCD 和11A ADD 的面积分别为4和6，长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成. 显然，4min =S . 若记平面ABCD 与平面α所成角为θ，则平面11A ADD 与平面α所成角为
θπ
-2
. 它们在平面α内的射影分别为θcos 4和
θθπ
sin 6)2
cos(
6=-，所以，)sin(132sin 6cos 4ϕθθθ+=+=S （其中，3
2tan =
ϕ），因此，132max =S ，当且仅当ϕπ
θ-=
2
时取到. 因此，1324≤≤S .
考点：三角函数的化简和求值. 91．平行或相交或异面 【解析】
试题分析：在正方体中各侧面的面对角线与底面所成的都相等，在这些对角线中平行的、相交的、异面的都有，所以答案为平行或相交或异面． 考点：空间中直线与平面的位置关系 92．
3
6 【解析】 试题分析：（等体积法）如图：
β
C
D
α
A
B
由条件求出2,3==CD BC ，6
2
121213131=
⨯⨯⨯⨯=⋅=
∆-AC S V BCD BCD A ，h h h S V ABC ABC D 63
13213131=⨯⨯⨯⨯==∆-，而BCD A ABC D V V --=，所以36=h 答案为3
6
． 考点：等体积法求点到平面的距离 93．60° 【解析】
试题分析：由直四棱柱1111-ABCD A BC D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1=2
AA 可得12,BD = 由11AB A B 知1ABD ∠就是异面直线11A B 与1BD 的夹角,且
111
cos ,2
AB ABD BD ∠=
= 所以1ABD ∠=60°,即异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于60°．
考点：1正四棱柱；2异面直线所成角
6 3
【解析】 试题分析：11616
133423
AEF ABF V S d S h d d =
⨯=⨯∴=⨯∴=
考点：等体积法求点到面的距离 95．（1）33535（2）130
65
【解析】
试题分析：（1）利用空间向量求线面角：直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值为平面11A C D
的法向量1n 与1DB
夹角余弦值的绝对值（2）利用空间向量求二面角：二面角111B A D C --的大小的余弦值为平面
11B A D
的法向量2n 与平面11A C D 的法向量1n
夹角余弦值的绝对值，本题
关键利用空间向量求平面法向量
试题解析： 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，
∴分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,
D 是BC 的中点，∴(1,2,0)D ， （1）111(0,4,0),(1,2,3)AC
A D ==-
， 设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z = ，则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪
⎩
， 即111140230y x y z =⎧⎨
+-=⎩，取111
3
01x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩，
∴平面
11A C D
的法向量1(3,0,1)n =
，
而1(1,2,3)DB =-
，
111111
335
cos ,35n DB n DB n DB ⋅∴<>==
⋅
，
∴直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值为335
35；
（2）11(2,0,0)A B = ，1(1,2,3)DB =-
设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z = ，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩
， 即222220230x x y z =⎧⎨
-+=⎩，取222
32x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩，
∴平面
11B A D
的法向量2(0,3,2)n =
，
121212
130
cos ,65n n n n n n ⋅∴<>==
⋅
，
∴二面角111B A D C --的大小的余弦值130
65．
考点：空间向量求线面角，利用空间向量求二面角 96．①③ 【解析】
试题分析：①由直线l ⊥平面α，αβ∥得直线l ⊥平面β，又直线m ⊂平面β，所以l m ⊥； ②αβ⊥时，l m 与位置关系可为平行，相交，异面；
③由直线l ⊥平面α，l m ∥得直线m ⊥平面α，又直线m ⊂平面β，所以αβ⊥； ④l m ⊥时，αβ与置关系可为平行，相交. 考点：线面平行与垂直关系判定 97．①④ 【解析】
试题分析：对于①，因为平面11A ABB ∥平面11D CDC ，而⊂C D 1平面11D CDC ，故C D 1与平面11A ABB 没有公共点，所以1D C ∥平面11A ABB ，即①正确；对于②，因为11D A ∥BC ，所以11D A ⊂平面1BCD ，所以②错误；对于③，只有D D AD 1⊥，而AD 与平面1BCD 内其他直线不垂直，所以③错误；对于④，在正方体1111ABCD A B C D -中，容易知道⊥BC 平面11A ABB ，而BC ⊂平面1BCD ，所以平面⊥1BCD 平面11A ABB ，所以④正确.故应填①④.
考点：1.空间中直线与平面之间的位置关系； 98．③④ 【解析】
试题分析：①α与β可能平行，所以该命题为假命题；②m 与n 可以相交、异面、平行，所
以该命题为假命题；
考点：1.线面、面面平行的判定与性质；2.线面、面面平行的判定与性质； 99．②④ 【解析】
试题分析：由异面直线判定定理知：①直线AM 与直线C 1C 异面；②直线AM 与直线DD 1异面；④直线BN 与直线MB 1异面，因为直线BN 与直线AE 平行,（E 为DD 1中点），所以③直线AM 与直线BN 异面．
考点：异面直线判定定理 100．217
【解析】
试题分析：过A 点作BD 的平行线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F,连结FC ，根据题意，可知AC=6cm,AF=8cm, 60CAF ? 所以，由余弦定理，可知CF=213，根据题意，可知
DF=4cm, 90CFD
? ,故有5216217CD =+=．
考点：空间关系，二面角的平面角，线段长度的求解．。