2019版高考数学创新一轮复习浙江专用版文档：第四章

基础巩固题组
一、选择题
1．(一题多解)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为3
2，则C ＝( ) A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
解析 法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32， 即12×3×1×sin A ＝3
2，∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.故选C.
法二 由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C 3，
sin C ＝3
2，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝120°时，A ＝30°，
S △ABC ＝34≠3
2(舍去)．而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝3
2，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3
B.5π6
C.π6或5π6
D.π6
解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝23
3，
∴由正弦定理a sin A ＝b
sin B 可得， sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝1
2.
∵A ＝2π3，∴B ＝
π6. 答案 D
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－ sin A )，则A ＝( ) A.3π4
B.π3
C.π4
D.π6
解析 在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2，又a 2＝2b 2
(1－ sin A )，所以cos A ＝sin A ，
即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π
4，故选C. 答案 C
4．在△ABC 中，cos 2B
2＝a ＋c
2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的
形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形 解析 因为cos 2B 2＝a ＋c
2c ，
所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a
c ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a
c ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形． 答案 B
5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜ cos 2B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos 2A ＜cos 2B .所以“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的充分必要条件． 答案 C
6．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为
锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b
B ．b ＝2a
C ．A ＝2B
D ．B ＝2A
解析 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .
等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ， 2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，
因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . 答案 A 二、填空题
7．(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．
解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×3
2
3＝2
2，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°
8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14， 3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．
解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14＝16，所以c ＝4.
答案 4
9．(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b
c ＝________． 解析 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 将A ＝2π
3，a ＝3c 代入， 可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 整理得2c 2＝b 2＋bc .
∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2， 得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋b
c ，可解得b c ＝1. 答案 1
10．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________． 解析 依题意作出图形，如图所示，
则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .
由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14.
所以S △BDC ＝1
2BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.
因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－1
4 ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.
由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.
答案
152
104
三、解答题
11．(2018·浙江名校三联)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin B 2－cos B 2＝15. (1)求cos B 的值；
(2)若b 2－a 2＝ac ，求sin C
sin A 的值．
解 (1)由已知sin B 2－cos B 2＝15平方得1－sin B ＝1
25， 即sin B ＝24
25.
又sin B 2>cos B 2，B 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以B ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，
故cos B ＝－7
25.
(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即a ＝c －2a ·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－725，所以c ＝1125a ，故sin C sin A ＝c a ＝1125. 12．在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin B
sin C ；
(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解 (1)由正弦定理得
AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝
DC
sin ∠CAD .
因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以 sin B sin C ＝DC BD ＝12.
(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以 sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋1
2sin B .
由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝3
3， 即∠B ＝30°.
能力提升题组
13．(2018·金华十校模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，且sin A ＋sin C ＝2sin B ，则b 的值为( ) A ．4＋2 3 B ．4－23
C.3－1
D.3＋1
解析 由S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ＝3
2，得ac ＝6； 又由sin A ＋sin C ＝2sin B ，得a ＋c ＝2b .
而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2(1＋cos B )ac ＝(2b )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋32×6＝4b 2－
12－63⇒b ＝3＋1. 答案 D
14．(2017·广州调研)已知锐角三角形的边长分别为1，3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(8，10)
B ．(22，10)
C ．(22，10)
D ．(10，8)
解析 因为3>1，
所以只需使边长为3及x 的对角都为锐角并且满足构成三角形的条件即可，故
⎩⎨⎧12＋x 2>32，
12
＋32
>x 2
，
1＋x ＞3，1＋3＞x ，
即8<x 2
<10. 又因为x >0，所以22<x <10. 答案 B
15．(2018·绍兴调测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π
4，b ＝6，△ABC 的面积为3＋32，则c ＝________，B ＝________． 解析 ∵A ＝π4，b ＝6，△ABC 的面积为3＋32＝12bc sin A ＝12×6×c ×2
2，∴c ＝1＋3，则a ＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝2，于是cos B ＝
a 2＋c 2－
b 22a
c ＝1
2.
∵B ∈(0，π)，∴B ＝π
3.
答案 1＋3 π
3
16．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2A ＋π4的值．
解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，
故由sin B ＝35，可得cos B ＝4
5.
由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝313
13.
所以，b 的值为13，sin A 的值为313
13.
(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝213
13，
所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝12
13，
cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－5
13.
故sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2，2cos 2B ＋C 2＋
sin A ＝4
5.
(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值．
解 由2cos
2B ＋C
2＋sin A ＝45，得1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45，即sin A －cos A ＝－1
5，
又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有cos A ＝45，sin A ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，π4，
结合满足条件的△ABC 有且只有一个， 所以a ＝b sin A ，即2＝35b ，即b ＝10
3； 或a ≥b ，即0<b ≤2.
(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，
则b 的取值范围为(0，2]∪⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
103.
(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋a
sin A (sin B ＋sin C ) ＝2＋10
3[sin B ＋sin(A ＋B )]
＝2＋10
3[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ]
＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，
其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝10
10，
cos θ＝310
10，
l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝310
10时取到．
此时b ＝a
sin A sin B ＝10.。