人教A版高中数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》Word精讲精析

1.1.1集合的含义与表示
精讲部分
学习目标展示
1. 元素与集合的概念
2. 集合中元素的性质
3. 集合的表示方法
4. 数学中常用数集及其记法
5. 集合的分类 衔接性知识
1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 奇 数；2k 表示所 偶 数。

2. 如果a
为实数，则
=a
,
=||
a ，当0a
≥
时，=a
，当
0a <
时，=a
-
3. 一元一次方程与不等式的解法
（1）一元二次方程(0)ax b a =≠的根为b
x a
=
（2）一元二次不等式(0)ax
b a >≠，
当0a
>时，它的解为b x a >
； 当0a <时，它的解为b x a
<。

4.一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的解法
例：求方程2
41670x -+=的根
（1）公式法
当2
40b ac ∆=->时，
方程有两个不相等的实数根2b x a
-±=；当
240
b a
c ∆=-=时，方程有两个相等的实数根
2b x a
=-
；当
240b ac ∆=-<时，方程有没有实数根。

解：2(16)4471440∆
=--⨯⨯=>，所以原方程的根为
167242x +==⨯
，或161242
x -==⨯
（2）配方法 解：
2
41670x -+=，2
744x x ∴-=，2
9(2)4x -=，322
x -=±
所以12x =或7
2
x =
（3）因式分解法
241670x -+=，(21)(27)0x x --=，210x -=或270x -=，所
以12x =或7
2
x =
基础知识工具箱
例1.已知集合
{|31,}M x x k k Z ==+∈，用∈与∉填空：
1M ，1M -，25M ，29M -
解：令311k
+=，得0k Z =∈，所以1M ∈；
令311k +=-，得2
3
k Z =∉，所以1M -∉；
令3125k
+=，得8k Z =∈，所以25M ∈；
令3129k +=-，得10k Z =-∈，所以29M -∈
例2.用描述法和列举法表示下列集合 （1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合； （3）不等式260x -+>的自然数根；（4）方程
2210x x -+=解集
解：（1）描述法表示为
2{|4}x R x ∈=或
2{|4,}
x x x R =∈或
2{|4}x x =，列举法表示为{2,2}-
（2）描述法表示为1{|}x R x x ∈=或1{|,}x x x R x =∈或1{|}x x x
=，
列举法表示为{1,1}-
（3）描述法表示为{|
3,}x x x N <∈或{|3}x N x ∈<，列举法表示为
{0,1,2}
(4) 描述法表示为2{|
210}x x x -+=，列举法表示为{1}
例3.用适当的方法表示下列集合 （1）二次函数
2(1)4y x =--的函数值组成的集合；
（2）函数2
1y x
=+的的自变量的值组成的数集合； （3）一次函数
y x =与24y x =-的图象的交点组成的集合。

（4）使
2
2
Z x ∈-的自然数x 组成的集合
解：（1）2{|
(1)4}{|4}y y x y y =--=≥-；
（2）2
{|1}{|0}x y x x x =+=≠ （3）{}(,)|(4,4)24y x x y y x ⎧⎫=⎧=⎨⎨⎬=-⎩⎩
⎭
（4）
2
2
Z x ∈-，21,2
x ∴-=±±，解得
0,1,3,4x =，所以使
2
2
Z x ∈-的自然数x 组成的集合为{0,1,3,4}
例4.已知集合2{|210,}P x kx x x R =++=∈
（1）若集合P 为单元素集，求实数k 的值； （2）若集合P 为空集，求实数k 的取值范围； （3）若集合
P 二元素集，求实数k 的取值范围。

解（1）当0k =时，1
{|210,}{}2
P x x x R =+=∈=-，P 为单元素集，
当0k
≠时，若集合P 为单元素集，则440k ∆=-=，解得1k =。

从而，实数k 的取值为0或1；
（2）若集合
P 为空集，则440k ∆=-<且0k ≠，解得1k >，从而实数
k 的取值范围为{|1}k k >
（3）若集合
P 二元素集，
则440k ∆=->且0k ≠，解得1k <且0k ≠，从而实数k 的取值范围为{|1k k <且0}k ≠
精练部分
A 类试题（普通班用） 1.已知集合{|
2,}A x x n n N ==∈，集合2
{|280}B x x x =--=，试判断
0,2-与集合A 与B 的关系
解：因为{}0,2,4,A =，{}0,2,4B =-
所以0,2A A ∈
-∉，0,2B B ∈-∈
2.下面集合中，可以表示方程组3
1
x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为
①{2,1}x
y == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}x y ⑤{(2,1)}
解：②⑤
3.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>
的自然数解所组成的集合
（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合
（3）集合{|1}A y y ==+
（4）集合{|
1}A x x ==+
（5）使
2
2
N x ∈-的整数x 组成的集合
解：（1）{}{}{}|3120,|4,0,1,2,3x x x N x x x N -+>∈=<∈=
（2）
{}(,)|0x y xy >
（3）{|1}{|1}A y y y y ==+=≥
（4）{|1}{|0}B
x x x x ==+=≥ （5）
2
2
N x ∈-，21,2x ∴-=，解得
3,4x =，所以使
2
2
Z x ∈-的自
然数
x 组成的集合为{3,4}
4.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值
解：0M ∈，0a ∴=或220a a -=
当
0a =时，220a a a -==，与集合的元素的互异性矛盾；
当2
20a a -=时，0a =或2a =，2a =与集合的元素的互异性相符合。

从而的实数a 的值为2 5.已知集合
2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是
（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？ 解：方程
220x x k ++=的判别式为44k ∆=-
（1）当0∆=，即1k =时，集合P 是单元素集； （2）当0∆<，即1k >时，集合P 是空集；
（3）当0∆
>，即1k <时，集合P 是二元素集。

B 类试题（尖子班用）
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A ．好看的书
B ．高尔基写的书
C ．学校图书馆的藏书
D ．语文书、数学书、英语书 解：A
2. 设集合{(1,2)}M =，则下列关系是成立的是（ ）
A ．1M ∈
B ．2M ∈
C ．(1,2)M ∈ C ．(2,1)M ∈ 解：C
A ．集合2{|1,}x x x R =∈中有两个元素
B ．集合{0}中没有元素
C
{|x x <
D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合
解：A
4．用描述法表示集合{1,2,3,4}为_______________ 解：{|14,}x x x N ≤
≤∈或{|04,}x x x N *≤≤∈等
5．方程 ax 2
＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13 }，则a ＝_______，c ＝_______.
解：方程ax 2
＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13 }，那么12 、13
是方程两根
即有⎩⎨⎧12 ＋13 ＝－5
a 12 ·13 ＝c a 得⎩⎨⎧a ＝－6c ＝－1 那么 a ＝－6，c ＝－1
6.下面集合中，可以表示方程组3
1
x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为
①{2,1}x
y == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}x
y ⑤{(2,1)}
解：②⑤
7.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>
的自然数解所组成的集合
（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3
）集合{|1}A y y ==+ （4
）集合{|
1}A x x ==+
解：（1）{}{}{}|3120,|4,0,1,2,3x x x N x x x N -+>∈=<∈=
（2）
{}(,)|0x y xy >
（3）{|1}{|1}A y y y y ==+=≥
（4）{|1}{|0}B
x x x x ==+=≥
8.已知使2|
2A x Z N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬-⎩⎭
的整数x 组成的集合 解：
2
2
N x ∈-，21,2x ∴-=，解得
3,4x =，所以使
2
2
Z x ∈-的自
然数
x 组成的集合为{3,4}
9.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值
解：0M ∈，0a ∴=或220a a -=
当
0a =时，220a a a -==，与集合的元素的互异性矛盾；
当2
20a a -=时，0a =或2a =，2a =与集合的元素的互异性相符合。

从而的实数a 的值为2
10.已知集合
2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是
（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？
解（1）当0k =时，1
{|210,}{}2
P x x x R =+=∈=-，P 为单元素集，
当0k
≠时，若集合P 为单元素集，则440k ∆=-=，解得1k =。

从而，实数k 的取值为0或1；
（2）若集合
P 为空集，则440k ∆=-<且0k ≠，解得1k >，从而实数
k 的取值范围为{|1}k k >
（3）若集合
P 二元素集，则440k ∆=->且0k ≠，解得1k <且0k ≠，
从而实数k 的取值范围为{|1k
k <且0}k ≠。