高考数学知识点讲座 考点33 椭圆(含解析)新人教A版

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点33 椭圆
加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用
一.考纲目标
椭圆的定义、标准方程、几何性质；椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法。

二.知识梳理
1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，122
22=+b x a y （0>>b a ）
3．椭圆的性质：由椭圆方程122
22=+b
y a x (0>>b a )
(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，
简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =
⇒e =1<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在
0=e 时的特例 ,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在
1=e 时的特例
4（*）.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆,其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 5（*）．椭圆的准线方程
对于12222=+b
y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 2
2:=
对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 2
2:=
焦点到准线的距离c
b c c a c c a p 2
222=-=-=（焦参数） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
6（*）．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率,
焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式： ⎩
⎨⎧-=+=020
1ey a MF ey a MF
（ 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点）
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关,可以记为：左加右减，上减下加
7（*）.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ
⎩
⎨⎧==b y a x
三.考点逐个突破 1.椭圆的标准方程
例1.（1）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为1
3，则椭圆方程
为( )
A.x 2
144＋y 2
128＝1 B.x 2
36＋y 2
20＝1 C.x 2
32＋y 2
36＝1 D.x 2
36＋y
2
32＝1 [答案] D
[解析] 2a ＝12，∴a ＝6，∵e ＝c a ＝13
，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2
＝32，故选D.
（2）已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2
－2x －15＝0的半径，
则椭圆的标准方程是( )
A.x 2
4＋y 2
3＝1 B.x 2
16＋y 2
12＝1 C.x 2
4＋y 2
＝1 D.x 2
16＋y 2
4＝1 [答案] A
[解析] 由x 2
＋y 2
－2x －15＝0得，(x －1)2
＋y 2
＝16， ∴r ＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，
∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2
＝3.故选A.
2.椭圆的定义
例2. （1）已知圆(x ＋2)2
＋y 2
＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
[答案] B
[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．
（2）已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2
4＋y
2
3＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重
心G 的轨迹方程为( ) A.x 2
36＋y
2
27＝1(y≠0) B.4x 2
9＋y 2
＝1(y≠0) C.9x 24＋3y 2
＝1(y≠0) D ．x 2
＋4y
2
3
＝1(y≠0)
[答案] C
[解析] 椭圆C ：x 2
4＋y 2
3＝1中，a 2＝4，b 2
＝3，
∴c 2
＝a 2
－b 2
＝1，∴焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设G(x ，y)，P(x 1
，y 1
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋1＋x 1
3
y ＝y
1
3
，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝3x y 1＝3y ，
∵P 在椭圆C 上，∴
3x
2
4
＋
3y 2
3
＝1，∴9x 2
4
＋3y 2
＝1.
当y ＝0时，点G 在x 轴上，三点P 、F 1、F 2构不成三角形， ∴y≠0，∴点G 的轨迹方程为9x 2
4＋3y 2
＝1.(y≠0)．
3.椭圆的离心率
例3.(1)个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是 6，且a>b ，则椭圆x 2
a 2＋y
2
b 2＝1的离心率e 等于
A.
32 B.133 C.5
3
D.13
[答案] C
[解析] 由题意可知⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝5，
a·b＝6，又因为a>b ，
所以解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝2，所以椭圆的半焦距为
c ＝5，
所以椭圆的离心率e ＝c a ＝5
3
，故选C.
(2)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝1
2，则
此椭圆的离心率为________． [答案]
5
3 [解析] ∵PF 1→
·PF 2→
＝0，∴PF 1⊥PF 2，在Rt △PF 1F 2中，tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝1
2，
设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴x ＝2a
3，
∵|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
，∴x 2
＋4x 2
＝4c 2
， ∴
209a 2＝4c 2
，∴e ＝c a ＝53
. (3) 已知1m ＋2n ＝1(m>0，n>0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x 2
m 2＋y
2
n 2＝1的离心率是________．
[答案]
32[解析] ∵m>0，n>0∴1＝1m ＋2n
≥22
mn
， ∴mn≥8，当且仅当1m ＝2
n
，即n ＝2m 时等号成立，
由⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝2m ，mn ＝8，
解得m ＝2，n ＝4.
即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8，∴离心率e ＝n 2
－m 2
n ＝32.
4.椭圆中的最值问题
例4.直线l ：x －y ＝0与椭圆x 2
2＋y 2
＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大
值为________． [答案]
2
[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 2
2
＋y 2＝1中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2
－1)＝0得，a ＝
±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 2
2＋y 2
＝1中得，x 1＝－63，
x 2＝
6
3
， ∴|AB|＝1＋1|
63－(－63)|＝433
， ∴S △ABC ＝12|AB|·d＝12×433×6
2＝ 2.
5.椭圆与其他知识的综合
例5.（1）已知实数k 使函数y ＝coskx 的周期不小于2，则方程x 2
3＋y
2
k ＝1表示椭圆的概率为________．
[答案] 1
2
[解析] 由条件2π|k|≥2，∴－π≤k≤π，当0<k≤π且k≠3时，方程x 2
3＋y
2
k ＝1表示椭圆，
∴概率P ＝1
2
.
(2) 已知椭圆G ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率为6
3，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆
G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝6
3，解得a ＝23，
又b 2
＝a 2
－c 2
＝4，所以椭圆G 的方程为x 2
12＋y
2
4
＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 212＋y
24
＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2
－12＝0.①
设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则 x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，
y 0＝x 0＋m ＝m 4
.
因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4
－3＋
3m 4＝－1.
解得m ＝2，此时方程①为4x 2
＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， 所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB|＝32，
此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2
＝32
2，
所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d＝9
2
.
(3) P 为椭圆x 24＋y
2
3＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )
A ．3 B. 3 C ．23 D ．2
[答案] D
[解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2
－3|PF 1||PF 2|， 所以4＝42
－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→
|·cos60°＝4×1
2＝2，故选D.
6.综合运用
例6. (1)已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率为2
2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的
圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →
＝tOP →
(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →
|<25
3时，求实数t 的取值范围．
[解析] (1)由题意知：e ＝c a ＝2
2，
∴e 2
＝c 2
a 2＝a 2
－b 2
a 2＝12
，∴a 2＝2b 2
.
又∵圆x 2＋y 2＝b 2
与直线x －y ＋2＝0相切， ∴b ＝1，∴a 2
＝2，
故所求椭圆C 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则其方程为：y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －，x 22
＋y 2
＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2
－2＝0，
Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，∴k 2<12
.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)， ∴x 1＋x 2＝8k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2
－2
1＋2k
2.
∵OA →＋OB →＝tOP →
，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t(x ，y)，x ＝x 1＋x 2
t ＝
8k
2
1＋2k
2
，y ＝
y 1＋y 2t ＝1
t
[k(x 1＋x 2)－4k]＝
－4k
1＋2k
2
. ∵点P 在椭圆上，∴8k
2
2
t 2
1＋2k
2
2
＋2－
2t
2
1＋2k
2
2
＝2，
∴16k 2
＝t 2
(1＋2t 2
)．
∵|PA →－PB →
|<253，∴1＋k 2
|x 1－x 2|<253，
∴(1＋k 2
)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]<209
， 即(1＋k 2
)[64k
4
1＋2k
2
2－4·8k 2
－21＋2k 2]<
20
9
， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，解得：k 2>1
4，∴14<k 2<12.
又16k 2
＝t 2
(1＋2k 2
)，∴t 2
＝16k 2
1＋2k 2＝8－8
1＋2k
2，
∴83<t 2<4，∴－2<t<－263或26
3
<t<2. 故实数t 的取值范围是(－2，－263)∪(263
，2)．
(2) 已知椭圆G 的方程为x 2a 2＋y
2b
2＝1(a>b>0)，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，点
D(0,4)，若AC →·BC →
＝－3，|BD →
|＝2 5.
(1)求椭圆G 的方程；
(2)过点D 的直线l 交椭圆G 于M ，N 两点，若∠NMO ＝90°，求|MN|的长．
[解析] (1)∵A(－a,0)、B(a,0)、D(0,4)、C(0，b)， AC →·BC →
＝－3，|BD →
|＝25，
∴⎩⎨⎧
a ，·－a ，＝－3
a 2＋42
＝25
，
∴a 2
＝4，b 2
＝1，∴椭圆G 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)设M(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
1＋4y 2
1＝4，y 1－4x 1·y 1
x 1＝－1.⇒x 1＝±253，y 1＝2
3
，
∴直线l 的斜率k ＝± 5 则直线l 的方程为y ＝±5x ＋4，
由⎩⎨⎧
y ＝±5x ＋4
x 2
＋4y 2＝4
⇒21x 2
±325x ＋60＝0，
∴x 1＋x 2＝±32521，x 1x 2＝60
21.
∴|MN|＝1＋k 2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝
430
21
.。