高中数学 1.5投影变换教案 湘教版选修4-2

§1.5投影变换
教学目标:
一、知识与技能：
1、理解投影变换的定义及其几何意义；
2、掌握投影变换的矩阵表达式，并能初步运用；
3、理解可逆变换的存在条件
二、方法与过程
1、借助例题的探究，发现投影变换的矩阵形式，寻求逆变换的存在条件；
2、体会从具体到抽象再到具体的思想方法
三、情感、态度与价值观
1、培养学生探究精神和合作精神，体验探索的乐趣和成功的喜悦，从而激发学生学习数学的兴趣；
2、让学生感受数学的符号美，领会数学公式的美学意义。

教学重点:
投影变换矩阵的表达式的推导和简单应用
教学难点：
1、探索可逆变换的存在条件；
2、投影变换矩阵形式的生成思路。

教学过程
一、新课引入
在必修2中，我们已经学过立体几何的平行投影，知道物体在灯光
或者日光的照射下，会产生影子。

如果把正午的太阳光近似看作垂
直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根处，而它
们的正视图可以用图来表示。

在图中，树木投影前后可以看作是一
个平面几何变换。

问题：能用矩阵来刻画这个几何变换吗？
x,），它垂直投影到x轴上时，横坐标保持不变，纵坐标变解：实际上，对平面上的任意一点（y
为0，特殊地，x 轴上的点原地不动。

因此，垂直投影前后可以看作
是一个几何变换T ，并且有⎩⎨⎧==0
``y x x 。

所以变换T 对应的矩阵为
M=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0001 二、讲解新课：
1、投影变换
设平面上一条给定的直线l ，对平面上任意一点P ，过P 作PP`垂直于直线l ，与直线l 交于P`，则P`称为P 在l 上的投影。

将平面上每个点P 变到它在l 上的投影的变换称为平面到直线l 上的投影变换。

在平面上建立了直角坐标系，求平面到直线l ：的投影变换矩阵
解 如图所示，设为P （y x ,）在直线l 上的投影为P`（``,y x ）。

（A ，B ）是直线l 的法向量。

l ⇔⊥∥（A ，B ）),()`,`(B A t y y x x =--⇒
⎩⎨⎧+=+=tB
y y tA x x `` t 是待定系数 P`（``,y x ）在直线l 上，有0``=+By Ax
2
20)()(B A By Ax t tB y B tA x A ++-=⇒=+++ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+++=++-=+-++=++-=y B A A x B A AB B B A By Ax y y y B A AB x B A B A B A By Ax x x 22222222222222`` 所求矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+-+2222222222
B A A B A AB B A AB B A B 旋转、反射、位似、伸缩变换都是将平面变到整个平面上不同的点。

而投影变换则不同，它将整个平面变到一条直线上，而且，与直线垂直的任何一条直线上所有的点都被投影到直线上同一个点。

2、投影是否有逆变换
投影是否有逆变换？为什么？
如图，在任意一条垂直于l 的直线m 上任取两个不同的点P 1，P 2，则T 将P 1，P 2变到l 上同一点P 0。

（P 0是l ，m 的交点）
平面上任何一个变换T 只能将P 0变到一个点，不可能将P 0同时
送回到两个不同的点P 1，P 2。

因此T 没有逆变换。

由此可见，并非所有的由矩阵决定的变换都有逆变换，要使平面
上的变换T 有逆变换，必须满足两个条件：
1、平面上不同的点被变换T 变到不同的点；
2、变换T 将平面变到整个平面，也就是说：平面上每一个点Q 都是平面上某一点P 的像T （P ）。

同时满足这两个条件的变换，称为可逆变换。

可逆变换一定有逆变换。

如果T 是由矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛d c b a 决定的变换，则变换前后的点的坐标（y x ,），（``,y x ）之间有关系⎩⎨⎧+=+=dy
cx y by ax x `` ① 如果对任意``,y x ，将①看成以y x ,为未知数的二元一次方程都有唯一一组解，那么变换T 就是可逆变换。

三、范例讲解
例 设变换T 是平面到直线l ：x y =上的投影，求下列图形在变换T 作用下的像。

（1）直线1l ：x y 2=； （2）直线2l ：x y -=
（3）正方形OABC ，其中O （0，0），A （2，1），C （1-，2）
解：直线方程x y =，设变换T ：P （y x ,）→P`（``,y x ），
则有⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=y x y y x x 21212121`` ① （1）当x 取遍全体实数时，点P （x ，x 2）取遍直线x y 2=上所有的点，将P 的坐标代入等式①
得P`=T （P ）的坐标x x x y x 2
3)2(2121``=+=
= 当x 取遍全体实数时，（``,y x ）=（x 23，x 23）取遍直线x y =上的所有的点。

因此，直线x y 2=在直线x y =上的投影是整条直线x y =
（2）当x 取遍全体实数时，点P （x ，x -）取遍直线x y -=上全体实数，P （x ，x -）的像P`（``,y x ）的坐标0)(2
121``=-+==x x y x ，P`（0，0）是原点 因此，直线x y -=的像为原点O
（3）先求点B 的坐标。

由=+=OC OA OB （2，1）+（1-，2）=（1，3）
点B 的坐标为（1，3）
将A ，B ，C 的坐标分别代入 ①，计算可得这三点的像A`，B`，C`的坐标分别是A`（
23，23）， B`（2，2），C`（21，2
1），点O 的像是自己， 正方形OABC 的像应是四条边的像OA`，A`B`，B`C`，C`O 的并集，是OB`。

四、巩固练习：
1、设变换T 是平面到直线x y 2=上的投影，求下列图形在变换T 的作用下的像
（1）直线x y =；（2）直线12
1+-=x y 2、已知矩阵A=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2211对应的变换为T 且变换后点的坐标为（7，14）
，求原来点的坐标，并判定变换是否可逆。

五、小结
1、图形关于x 轴、y 轴的投影可以利用定义求解，也可以利用变换矩阵求解。

2、图形关于直线0=+By Ax 的投影变换，主要是利用变换矩阵N=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+-+2222222222
B A A B A AB B A AB B A B
3、投影变换没有逆变换，而可逆变换一定可以求出逆变换矩阵。

六、课后作业：
P24 习题5
教学反思：。