2018-2019学年河南省洛阳市八年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＝﹣2D．x≠﹣2
2．（3分）在下列计算中，正确的是（）
A．b3•b3＝b6B．x4•x4＝x16
C．（﹣2x2）2＝﹣4x4D．3x2•4x2＝12x2
3．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OB于点C，PD∥OB交OA于点D、若PD＝2，PC＝（）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）下列因式分解正确的是（）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．a2+ab+b2＝（a+b）2
5．（3分）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）
A．5B．6C．7D．10
6．（3分）计算：a2﹣（b﹣1）2结果正确的是（）
A．a2﹣b2﹣2b+1B．a2﹣b2﹣2b﹣1C．a2﹣b2+2b﹣1D．a2﹣b2+2b+1
7．（3分）分式方程＝1的解为（）
A．x＝﹣2B．x＝﹣3C．x＝2D．x＝3
8．（3分）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不正确条件是（）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（）
A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
10．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（a3x4﹣0.9ax3）÷ax3＝．
12．（3分）一个等腰三角形一边长为3cm，另一边长为7cm，那么这个等腰三角形的周长是cm．13．（3分）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为．
14．（3分）化简＝．
15．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若△ABC的周长为23cm，△ABD的周长为13cm，则AE为cm．
三、解答题
16．（8分）解答下列各题：
（1）计算：（y﹣2）（y+5）﹣（y+3）（y﹣3）
（2）分解因式：3x2﹣12
17．（8分）化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．
18．（8分）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别是A（﹣1，3）、B（﹣5，1）、C（﹣2，﹣2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（2）求出△ABC的面积．
20．（10分）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．
21．（10分）已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．
（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝度；
（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．
22．（10分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100
元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？
23．（11分）如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．
【观察猜想】
①AE与BD的数量关系是；
②∠APD的度数为．
【数学思考】
如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
【拓展应用】
如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为．
2018-2019学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＝﹣2D．x≠﹣2
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）在下列计算中，正确的是（）
A．b3•b3＝b6B．x4•x4＝x16
C．（﹣2x2）2＝﹣4x4D．3x2•4x2＝12x2
【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方进行解答．
【解答】解：A、b3•b3＝b6，正确；
B、x4•x4＝x8，错误；
C、（﹣2x2）2＝4x4，错误；
D、3x2•4x2＝12x4，错误；
故选：A．
【点评】此题考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方，关键是根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方法则解答．
3．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OB于点C，PD∥OB交OA于点D、若PD＝2，PC＝（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】作PE⊥OA于E，根据直角三角形的性质求出PE，根据角平分线的性质求出PC．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵PD∥OB，
∴∠EDP＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PD＝1，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OB，PE⊥OA，
∴PC＝PE＝1，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4．（3分）下列因式分解正确的是（）
A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c）
B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x）
C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2
D．a2+ab+b2＝（a+b）2
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝4a（3ab﹣2c+1），不符合题意；
B、原式＝（1+2x）（1﹣2x），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．（3分）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）
A．5B．6C．7D．10
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【解答】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的
最长距离为6；
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的
最大距离为7；
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．
故选：C．
【点评】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
6．（3分）计算：a2﹣（b﹣1）2结果正确的是（）
A．a2﹣b2﹣2b+1B．a2﹣b2﹣2b﹣1C．a2﹣b2+2b﹣1D．a2﹣b2+2b+1
【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号即可得到结果．
【解答】解：原式＝a2﹣（b2﹣2b+1）＝a2﹣b2+2b﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（3分）分式方程＝1的解为（）
A．x＝﹣2B．x＝﹣3C．x＝2D．x＝3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解，求出分式方程的解是解本题的关键．
8．（3分）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不正确条件是（）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，且∠ABC＝∠DEF，
∴当AB＝DF时，满足SSA，无法判定△ABC≌△DEF，故A不能；
当AB＝DE时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF，故B可以；
当∠ACB＝∠F时，满足ASA，可以判定△ABC≌△DEF，故C可以；
当∠A＝∠D时，满足AAS，可以判定△ABC≌△DEF，故D可以；
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（）
A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠B＝∠ACD，根据三角形外角性质得出∠CEF＝∠CFE，即可得出答案；
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
10．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（a3x4﹣0.9ax3）÷ax3＝2a2x﹣．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（a3x4﹣0.9ax3）÷ax3＝a3x4÷ax3﹣0.9ax3÷ax3＝2a2x﹣．
故答案为：2a2x﹣．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．（3分）一个等腰三角形一边长为3cm，另一边长为7cm，那么这个等腰三角形的周长是17cm．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；
当腰为7时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（3分）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为15°．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE＝∠E＝30°，然后求出∠ACE的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴∠BCE＝∠E＝30°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
14．（3分）化简＝．
【分析】首先将原式化为＝＝﹣，然后进行分式的加减运算．
【解答】解：原式＝＝﹣
＝
＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的知识点是粉饰的加减法，关键明确如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．15．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若△ABC的周长为23cm，△ABD的周长为13cm，则AE为5 cm．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：由题意可得：MN是线段AC的垂直平分线，
则AE＝EC，AD＝DC，
∵△ABC的周长为23cm，△ABD的周长为13cm，
∴AB+BC+AC＝23cm，AB+BD＝AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝23﹣13＝10（cm），
∴AE＝AC＝5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
三、解答题
16．（8分）解答下列各题：
（1）计算：（y﹣2）（y+5）﹣（y+3）（y﹣3）
（2）分解因式：3x2﹣12
【分析】（1）根据整式的乘法计算解答即可；
（2）根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝y2+3x﹣10﹣y2+9＝3x﹣1；
（2）3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式解答．
17．（8分）化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝a+3，
∵a≠﹣3、2、3，
∴a＝4或a＝5，
则a＝4时，原式＝7．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
18．（8分）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别是A（﹣1，3）、B（﹣5，1）、C（﹣2，﹣2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（2）求出△ABC的面积．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，
由图知A′（1，3），B′（5，1），C′（2，﹣2）；
（2）△ABC的面积为5×4﹣×1×5﹣×3×3﹣×2×4＝9．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．（10分）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
（2）由（1）可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数；
【解答】证明：（1）∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．21．（10分）已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．
（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝45度；
（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请
求出变化范围．
【分析】（1）先利用角平分线得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论；
（2）先利用角平分线得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°，
∴∠ABY＝130°，
∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝∠OAB＝20°，∠EBA＝∠YBA＝65°，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°，
故答案为：45；
（2）∠ACB的大小不变化．
理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝∠YBA﹣∠OAB＝（∠YBA﹣∠OAB），
∵∠YBA﹣∠OAB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°，
即：∠ACB的大小不发生变化．
【点评】此题主要考查了角平分线定理，三角形的外角的性质，解本题的关键是得出∠YBA﹣∠OAB＝90°．
22．（10分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2700元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，
依题意，得：＝3×，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价是4元/瓶．
（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．
设销售单价为y元/瓶，
依题意，得：（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2700，
解得：y≥7．
答：销售单价至少为7元/瓶．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（11分）如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．
【观察猜想】
①AE与BD的数量关系是AE＝BD；
②∠APD的度数为60°．
【数学思考】
如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
【拓展应用】
如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为50．
【分析】【观察猜想】：证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，由∠AOC＝∠DOP，推出∠DPO＝∠ACO＝60°．
【数学思考】：结论成立，证明方法类似．
【拓展应用】：证明AC⊥BD，可得S四边形ABCD＝•AC•DP+•AC•PB＝•AC•（DP+PB）＝•AC•BD．【解答】解：【观察猜想】：结论：AE＝BD．∠APD＝60°．
理由：设AE交CD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，
∵∠AOC＝∠DOP，
∴∠DPO＝∠ACO＝60°，
即∠APD＝60°．
故答案为AE＝BD，60°．
【数学思考】：结论仍然成立．
理由：设AC交BD于点O．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠P AO＝∠ODC，
∵∠AOP＝∠DOC，
∴∠APO＝∠DCO＝60°，
即∠APD＝60°．
【拓展应用】：
设AC交BE于点O．
∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，
∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，∴∠AEC＝∠DEB
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，
∵∠BOP＝∠EOC，
∴∠BPO＝∠CEO＝90°，
∴AC⊥BD，
∴S四边形ABCD ＝•AC•DP +•AC•PB ＝•AC•（DP+PB ）＝•AC•BD＝50．
故答案为50．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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