杭州历年中考数学易错题汇编-二次函数练习题

杭州历年中考数学易错题汇编-二次函数练习题
一、二次函数
1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
y x 2x 3=--+.
（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，
∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴AC=32，BC=10. ∴△PBC 的周长最小是：3210+.
（3）①∵抛物线2
y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2
2
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.
∴
()
22DEF AEF 1111
S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3
2222
∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1, 0）、C （3, 0）、D （3, 4）．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒
1
2
个单位的速度沿线段AD 向点D 运动，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ，交AC 于点N ．
（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当t 为何值时，△ACM 的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD 向点D 运动，当t 为何值时，在线段PE 上存在点H ，使以C 、Q 、N 、H 为顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）A （1，4）；y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1；（3）2085-或2013
． 【解析】
（1）由矩形的性质得到点A 的坐标，由抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，把点C 的坐标代入即可求得a 的值；
（2）由点P 的坐标以及抛物线解析式得到点M 的坐标，由A 、C 的坐标得到直线AC 的解析式，进而得到点N 的坐标，即可用关于t 的式子表示MN ，然后根据△ACM 的面积是△AMN 和△CMN 的面积和列出用t 表示的△ACM 的面积，利用二次函数的性质即可得到当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1；
（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由P Ｎ＝CQ ，PN ∥CQ ，得到四边形PNCQ 为平行四边形，所以当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，据此得到
，解得t 值；
②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：
，解得t 值．
解：（1）由矩形的性质可得点A （1，4）， ∵抛物线的顶点为A ，
设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4， 代入点C （3, 0），可得a ＝－1． ∴y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3． （2）∵P （1
12
t +，４）， 将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－（x －1）2＋4＝21
44t -， ∴M （112t +
，21
44
t -）， 设直线AC 的解析式为
，
将A （１,４），C （３,０）代入，得：
，
将1
12
x t =+代入得，
∴N （112
t +，），
∴MN
，
∴
，
∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1． （3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时， ∵Ｎ（112
t +
，），P （1
12
t +
，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，
又∵PN ∥CQ ，
∴四边形PNCQ 为平行四边形， ∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形， PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，
∴
，
整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）；
②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，
NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形， NQ 2＝CQ 2，得：
．
整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013
t =
，（舍去）．
“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.
3．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线
2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．
()1求抛物线的表达式；
()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样
的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中
AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．
【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32或3322+或3322
-；（3）1
3． 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|4
3
x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 1
6
=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13
． 【详解】
（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2
+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的表达式为：y 43=-x 213
3
+x ． （2）存在．
设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 1
3
=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|1
3
x ﹣（43-
x 2133+x ）|=|4
3
x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43
x 2
﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：
x =或
x = 若
43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 3
2
=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：
32
或32+
或32
-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13
=
x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．
设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，11
33
+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．
设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （4
3
t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=
x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，1
2
t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=
t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 1
2
-OE •PG
12=
（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12
t 16=-（t ﹣1）213
+
当t =1时，S 有最大值为
13，∴S 的最大值为1
3
．
【点睛】
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；
（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-
1
3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y=-
1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣1
3
x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x+3，
解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
，解得
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
7
3
20
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
7
3
，
20
9
）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得1
3
+b=0，解得b=﹣
1
3
，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3x﹣
1
3
，
解方程组
223
11
33
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
，解得
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
10
3
13
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
10
3
，﹣
13
9
）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
）.
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
5．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ： （1）①直接写出a 的值；
②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；
（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①
求
PD
DD '
的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；
（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．
【答案】（1）①12；②y ＝2
12
x ﹣2x ； （2）①1；
②L ＝2
(22)(02)
21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩
…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】
（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝2
12
x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝
12，y ＝1
2
x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；
（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】
解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12
； ②y ＝
2
12
x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12
； ∴y ＝
12
x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），
易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，
222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫
=
--== ⎪⎝⎭
PD 2m 1DD 2m
'
∴
== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，
当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，
则222111,
2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫
=---=
-+- ⎪⎝⎭
，
22
22322m m 22,PG m 22m FH PH PF ==
=-+-=-+ ∵DD ′∥EG
EG PE DD PD '
∴
=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12
m 2
）•2m ∴EG ＝2m ﹣
12
m 2
，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG
22
1224222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 2
21m (221)m 42
+=-
+++ 2
(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧+<⎪
∴=⎨+-+++<<⎪⎩
…； （3）如图3，
∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，
23PA =23h ∴=±【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．
6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
10
930
b c
b c
--+=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．
抛物线的对称轴为x＝
2
22(1)
b
a
-=-
⨯-
＝1．
当x＝1时，y＝4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则
4
30 k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
2
6
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，
设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC＝PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x＝2，
则y＝﹣2×2+6＝2，
∴点P的坐标为（2，2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
7．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、
（，）；（3），（，）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，
∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，
）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，
）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD 的最大面积为，∴点P 的坐标为（，
）．
考点：二次函数综合题．
8．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】
（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=
1
2
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】
解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，
10
3b c c ++=⎧⎨
=⎩
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=32，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3
∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=1
×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
2
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
9．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y 最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣
×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用．
10．如图，已知A （﹣2，0），B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点，并与过A
点的直线y=
﹣
1
2
x ﹣1交于点C ． （1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=211
184
x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣1
2
）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得
0421
01641a b a b --⎧⎨
+-⎩
＝＝
解得
1
8
1
4 a
b
⎧
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
＝
＝
∴抛物线解析式为：y=1
8
x2−
1
4
x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-
1
4
1
22
8
b
a
-
=-
⨯
＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
1
2
∴y=-
1
2
x
则P点坐标为（1，-
1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-5
2
a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，3
2
a−1）
把M代入y=1
8
x2−
1
4
x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，
2）；②P（﹣3
2
，
15
4
）
【解析】
试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1
x=-即可得到
抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
12a b c c b a
++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-=
，∴二次函数的
解析式为2
23y x x =--+=2
(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2
230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作
PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=
12OB•OC+12AD•PD+12
(PD+OC)•OD=111
31+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=
333222x y -+ =2
333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，223y x x =--+=15
4，此时P
（32
-，15
4）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
12．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为1
2
-
，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524
，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】
分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5
4
），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+
7
2
，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：
309330a b a b -+⎧⎨
++⎩＝＝，解得：1
2a b -⎧⎨⎩
＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12
时，点Q 的横坐标为7
2，
∴此时点P 的坐标为（-
12，74
），点Q 的坐标为（72，-9
4）．
设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，
将P（-1
2
，
7
4
）、
Q（
7
2
，-
9
4
）代入y=mx+n，得：
17
24
79
24
m n
m n
⎧
-+
⎪⎪
⎨
⎪+-
⎪⎩
＝
＝
，解得：
1
5
4
m
n
-
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
＝
＝
，
∴直线PQ的表达式为y=-x+5
4
．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+
5
4
），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+5
4
）=-x2+3x+
7
4
，
∴S△DPQ=
1
2
DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+
7
2
=-2（x-
3
2
）2+8．
∵-2＜0，
∴当x=3
2
时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（
3
2
，
15
4
）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ=
1
2
DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-
2x 2+6x+
7
2
；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．
13．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6. (1)求a 的值；
(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.
【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-. 【解析】 【分析】
（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证
ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP 26Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐
标即可 【详解】
(1)解：由题意得()()1y x x a =--- 由图知：0a ＜
所以A (,0a )，()10
B ,,()0,
C a - ()()1
12
ABC S a a ∆=
-⋅-=6 34()a a =-=或舍
∴
3a =-
(2)由(1)得A (-3,0)，()10
B ,,()0,3
C ∴直线AC 得解析式为：3y x =+
AC 中点坐标为33,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ ∴AC 的垂直平分线为：y x =-
又∵AB 的垂直平分线为：1x =- ∴1y x x =-⎧⎨
=-⎩ 得1
1
x y =-⎧⎨=⎩
ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1). (3)解：过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得：PD =d ，
∴1
2
ABP S PD AB ∆=⋅
=2d
∵QPB ∆的面积为2d
∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥
设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =- ∴2
123y x y x x =-⎧⎨
=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1
()0x y =⎧⎨=⎩
舍 所以P (-4,-5),
由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得：ABQ QPA ∆∆≌ ∴BQ =AP 26设Q (m ，-1)(0m ＜) ∴()2
21126m -+=
4m =-
∴Q ()4,1-.
【点睛】
本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式
14．空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD 的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD 的长为10米．（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）按题意设出AD ，表示AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系． 【详解】
（1）设AD=x 米，则AB=1002
x
-米 依题意得，
(100)
2
x x -＝450 解得x 1=10，x 2=90 ∵a=20，且x≤a ∴x=90舍去
∴利用旧墙AD 的长为10米．
（2）设AD=x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得：
S=
2(100)1
(50)125022x x x ---+＝，0＜x ＜a ∵0＜a ＜50
∴x ＜a ＜50时，S 随x 的增大而增大
当x=a 时，S 最大=50a-
12
a 2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得 S=
22(1002)[(25)](25)244x a x a a x ＝+---+++，a≤x ＜50+2
a
当a ＜25+
4a ＜50时，即0＜a ＜1003
时， 则x=25+4a 时，S 最大=（25+4a ）2=2
1000020016
a a ++，
当25+
4a ≤a ，即1003
≤a ＜50时，S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大=
(1002)2a a a +-=2
1502
a a -，
综合①②，当0＜a ＜1003时，21000020016a a ++-（21502a a -）=2
(3100)16
a -＞0
2
1000020016
a a ++＞21502a a -，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积
为2
1000020016
a a ++平方米
当
100
3
≤a ＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜
100
3
时，围成长和宽均为（25+4a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
2
1000020016
a a ++平方米；
当
1003
≤a ＜50时，围成长为a 米，宽为（50-2a
）米的矩形菜园面积最大，最大面积为
（2
1502
a a -）平方米．
【点睛】
本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．
15．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
【答案】解：（1）y=x2﹣1
（2）详见解析
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。

（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；
②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与
直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出
x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解。

【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得。

∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。

（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），
则。

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。

∴AO=AM。

（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴。

②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则。

联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16。

∴。

∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1。