精编2019年高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题完整版考核题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72 D ．42
2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．
2
1 B ．42
C ．2
2
D ．
2
3
(2005湖南理)． 3．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )5
13 (B )
5
17 (C )
292
1
(D )
1295
1
4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，则异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值为( )
(A )
5
10 (B )
5
15 (C )
5
4 (D )
3
2
5．平面α 的法向量为m ，若向量m ⊥，则直线AB 与平面α 的位置关系为( ) (A )AB ⊂α (B )AB ∥α
(C )AB ⊂α 或AB ∥α (D )不确定
6．过点A (2，－5，1)且与向量a ＝(－3，2，1)垂直的向量( ) (A )有且只有一个 (B )只有两个且方向相反 (C )有无数个且共线
(D )有无数个且共面
7．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1
(C )7
(D )－7
8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则直线BC 到平面AB 1C 1的距离为______．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
9．（理）在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→
|＝________.
10． 已知直线12l l ，的方向向量分别为(1,2,2)(2,3,)a b k =-=-，
，若12l l ⊥，则实数k = ▲ ．
11．已知点(3,2,1)A -，(2,4,0)B -，则向量AB 的坐标为 ▲ .
12．在空间直角坐标系中，点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是 ．
13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 是DC 的中点，点N 在CC 1上，且D 1M ⊥AN ，则NC 的长度为______．
14．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，且a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b ＝______．
三、解答题
15．如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形，且
060DAB ∠=
,PA PD ==2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，
（1） 证明：AD DEF ⊥平面
（2）求二面角P AD B --的余弦值。

(2011年高考广东卷理科18)
16．如图，正棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为4，D 为CC 1中点， (1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ； (2)求二面角A-A 1D-B 的大小。

17．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点. (1) 求证:BD 1//平面C 1DE ；
(2) 试在棱CC 1上求一点P ,使得平面A 1B 1P ⊥平
面C 1DE.
18．已知向量a ＝(－2，1，－2)，b ＝(1，2，－1)，c ＝(x ，5，2)，若c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．
1
第6小题图
A B
A 1
19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，点D 是A 1C 的中点．
(1)求A 1B 1与AC 所成的角的大小； (2)求证：BD ⊥平面AB 1C ； (3)求二面角C －AB 1－B 的余弦值．
20．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，
2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

A
B
C
D
E
F
H
(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB ； (Ⅱ)求证：AC ⊥平面EDB ； (Ⅲ)求二面角B DE C --的大小。

21．已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。

(I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； (II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； (III ）求二面角1A A B C --余弦值的大小。

22．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，11A E CF ==. ⑵
两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值；
⑵求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)（本小题满分10分）
23．（本小题满分10分）
如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P - ABCD 的侧棱长与底边长都为M ，N 分别 在PA ，BD 上，且
1
3
PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ；
（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．
由
0,
0,
n AD
n AP
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
得
330,
330.
x y
x z
--=
⎧
⎨
-+=
⎩
24．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，
M 为线段AB 的中点.求：
（1）三棱锥1C MBC -的体积；
（2）异面直线CD 与1MC 所成角的大小（结果用反三角函数值
表示）(本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
25．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AD =，12D D =，点P 在棱1CC 上，且1A PB π∠=2
．
（1）求PC 的长；
（2）求钝二面角1A A B P --的大小．
26．已知斜三棱柱111,90,ABC A B C BCA AC BC -∠==，，1A 在底面ABC 上的射影恰为
AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。

（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；
（II ）求求二面角1A A B C --余弦值的大小
P A B C
D
1A
1B
1C
1D
（第22题图）
27．如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC ⊥AD ；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长. 【2012高考真题天津理17】（本小题满分13分）
D
C
B
A
P
28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.
如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点
(1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值
(2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.
29． 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ． （Ⅰ）求点1C 到平面11AB D 的距离；
（Ⅱ）求平面11CDD C 与平面11AB D 所成的二面角余弦值
30．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB ==，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ。

（1）当0
90θ=时，求AM 的长；
（2）当cos θ=时，求CM 的长。

22第题图。