【推荐必做】黑龙江省牡丹江市第一新新高二数学下学期期末考试试卷 理

牡一中2016级高二学年下学期期末考试
数 学 试 题
一、选择题 1.已知复数i
z 312-=
，则下列命题中正确的个数为( )
①21=
z ②231i z -= ③z 的虚部为i 2
3
④z 在复平面上对应点在第一象限 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．设集合2{|log (2)}A x y x ==-，2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A ． (2,)+∞ B ． [2,)+∞ C ． (,1)-∞ D ．(,1]-∞
3．已知函数()()2,3
{1,3
2x
f x x f x x +<=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
则()4f -=（ ）．
A.
116 B. 18 C. 14 D. 1
2
4.集合A ＝{x |0≤x ≤4}， B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )
A ．y ＝12x
B ．y ＝13x
C ．y ＝2
3
x D ．y ＝x
5.对于实数,,,c b a 有以下命题：①若b a >，则bc ac <；②若2
2bc ac >，则b a >；③若0<<b a ，则2
2b ab a >>；④若b
a b a 1
1,
>>，则0,0<>b a .其中真命题的个数是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.1
6. “指数函数y ＝a x
(a ＞0且a ≠1)是R 上的增函数，而y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)
x 是R 上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是( )
A ．大前提
B ．小前提
C ．大、小前提
D ．推理形式 7.下列说法正确的是（ ）
A ．若“q p ∨”为真命题，则p ，q 都为真命题
B ．命题“∀x ≥0，x 2
＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 2
0＋x 0－1＜0”
C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则
2320x x -+≠”.
D.用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02
=++b ax x 没有实根 ”时，要做的假设是“方程02
=++b ax x 至少有一个实根” 8.下列命题是真命题的个数为 （ ）
（1）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“2
20x x +-> ”的充分不必要条件
（2）若x 为实数，则“2
x ≤≤223x x +≤≤”成立的充要条件 （3）在三角形ABC 中，B A >是B A sin sin >的充要条件；
（4）命题“p 或q 为真命题”是命题“p ⌝且q 为假命题”的充分不必要条件。

A 0
B 1
C 2
D 3 9.已知函数y ＝x －4＋
9
x ＋1
(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )． A ．－3 B ．2 C ．3 D ．8
10.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a ＞b ＞c ， 且a ＋b ＋c ＝0，求证：
索的因应是( )
A. a
－
b
＞
0 B. a-c
＞
0 C. (a-b)(a-c)<0 D.(a-b)(a-c)＞0
11.设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2
＋…＋a n c n
的最小值是( ) A.n
B.1
n
C.n
D.2n
12.0x >,若存在实数,m n ，使得
10x a
e x
-≥的解集恰为[,]m n ，则实数a 的取值范围为（ ） A 21(
,)e e B 21(0,)e C 1(0,)2e D 1
(0,)e
二、填空题
13.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学
是 .
14.计算由直线3y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积为 15.设a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值为 . 16.观察下列各式：
311=；
3235=+； 337911=++； 3413151719=+++；
……
若3*
()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2018”这个数，则m 的值
为 ． 三、解答题
17、设集合{}{}
222
3100,320A x x x B x x ax a =-++≥=-+<
若A B ⊆，求实数a 的取值范围
18、已知命题:p 函数()2l g (2)f
x m x m x =+
+的定义域为R ，命题:q 方程
09)2(442=+-+x m x 无实根，若q p ∨为真，q p ∧为假，p ⌝为假，求实数m 的取值
范围。

19、请用数学归纳法证明不等式：)1,(113121*
2
22>∈-<+++n N n n n n
20、（1）设a ≥b >0，P ＝a 3
＋b 3
，Q ＝a 2
b ＋ab 2
，证明P ≥Q
（2）已知a 2＋b 2＋c 2
＝1，证明：－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.
21、已知函数()()()2
ln 10f x x a x a =+->.
（1）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明：312
0e
x e --<<.
（2）当0x >时，()a ax x x f e x -++->13ln 2成立，求a 的取值范围.
22、(选修）已知函数()3,()0--,)f x x m f x =--≥∞⋃+∞且的解集为（，2][4 （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若x R ∃∈，使得()2f x t x ≥+-成立，求实数t 的取值范围。

牡一中2016级高二学年上学期期末考试数学试题答案
1--5 B D A C B 6--10 A D C C D 11--12 A D
13、 乙 14、 18 15、3
16、 45 17、5[1,]2
- 18、[5,8)
19、提示：
22
111
0(1)1(1)k k k k k k k --+-=<+++ 20、（1）略
（2）【解析】证明：因为(a ＋b ＋c )2
≥0， 所以a 2
＋b 2
＋c 2
＋2(ab ＋bc ＋ca )≥0.
又因为a 2＋b 2＋c 2
＝1，所以ab ＋bc ＋ca ≥－12.
因为ab ≤
a 2＋
b 2
2
，bc ≤
b 2＋
c 2
2，ac ≤
a 2＋c 2
2， 所以ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22
＋
b 2＋
c 22
＋
a 2＋c 2
2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
＝1.
所以－1
2
≤ab ＋bc ＋ca ≤1.
21、解：（1）()2221
ax ax f x x
-+'=，
①当02a <≤时，()0f x '≥，()y f x =在()0,+∞上单调递增
②当2a >时，设222 10ax ax -+=的两个根为1212(1
02
)x x x x <<<,，且
12x x =
()y f x =在()()120,,,x x +∞单调递増，在()12,x x 单调递减.
依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，则2a >， 且0110,2x x ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
.
于是：200()10lnx a x +-= ①
2002210ax ax -+= ②
由①②得0001ln 02x x x --=，设()()()1
ln ,0,12x g x x x x
-=-∈， 则()2212x g x x -'=
，因此()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 又3
32
2
402e g e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭
，()
11
302e g e ---=< 根据零点存在定理，故3
12
0e x e -
-<<.
（2）2210x
e
ax ax --->
令22()1x g x e ax ax =---,
2'()22x
g x e ax a =-- 令'()0g x =，可得
2221x
e a x =
+ ……5分 令
22()21x
e h x x =
+，228'()(21)x xe h x x =+ ……6分 0x >时，'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增 ……7分
()h x ∴的值域是(2,)+∞ ……8分
当2a ≤时，'()0g x =没有实根，'()0g x >，……9分
()g x 在(0,)+∞上单调递增, ()(0)0g x g >=，符合题意. ……10分
当2a >时，'()0g x =有唯一实根0x ，
0(0,)x x ∈时，'()0g x <，……11分
()g x 在
0(0,)x 上递减， ()(0)0g x g <=，不符题意. ……12分
综上，a 的取值范围是2a ≤.
22、解：（Ⅰ）∵不等式30-3,)x m m --≥∞-⋃+∞的解集为（，][3+m
又∵()30--,)f x x m =--≥∞⋃+∞的解集为（，2][4∴34,321m m m +=-=-∴= （Ⅱ）∵x R ∃∈，使得()2f x t x ≥+-成立
∴x R ∃∈，使得132,123x t x x R x x t --≥+-∴∃∈---≥+
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令11()1223
1212x g x x x x x x -≤⎧⎪
=---=-<≤⎨⎪>⎩
,123x R x x t ∴∃∈---≥+max 3()12t g x t ∴+≤=∴≤-。