蔚县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

蔚县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
2．已知函数y=x3+ax2+（a+6）x﹣1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）
A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2
3．已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（）
A．M＞N＞P B．P＜M＜N C．N＞P＞M
4．复数z=（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（）
A．﹣i B．﹣﹣i C．+i D．﹣+i
5．下面各组函数中为相同函数的是（）
A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=，g（x）=
C．f（x）=ln e x与g（x）=e lnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=
6．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
7．设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）
A
． B
． C
．
D
．
8． 下列关系式中，正确的是（ ） A ．∅∈{0} B ．0⊆{0} C ．0∈{0}
D ．∅={0}
9． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x ∈Z|x 2＜2}，则∁U P=（ ）
A ．{2}
B ．{0，2}
C ．{﹣1，2}
D ．{﹣1，0，2}
10．已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017
等于（ ）
A ．2017
B ．﹣8
C ．
D ． 11．半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A
．
πR 3
B
．
πR 3
C
．
πR 3
D
．
πR 3
12．已知△ABC 中，a=1，
b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
二、填空题
13．设抛物线2
4y x =的焦点为F ，,A B 两点在抛物线上，且A ，B ，F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若3
2
PF =
，则M 点的横坐标为 . 14．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是 ．
15．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则22
(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数
a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
16．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．
17．已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是．
18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程是．
三、解答题
19．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得与k的取值无关，试求点M的坐标．
20．如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望。

21．已知奇函数f（x）=（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．
22．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）
的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．
（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；
（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，点12,F F
为其左、右焦点，直线的参数方程为
222
x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；
（2）求点12,F F 到直线的距离之和.
24．（本小题满分12分）已知函数()2
ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
蔚县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
故选A．
2．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
3．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，
5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，
即M＞N＞P，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
4．【答案】C
【解析】解：∵z==，
∴=．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
5．【答案】D
【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；
对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；
对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；
对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；
故选：D．
【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．
6．【答案】A
【解析】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．
7．【答案】D
【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减
结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C
当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B
故选D
【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题
8．【答案】C
【解析】解：对于A∅⊆{0}，用“∈”不对，
对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确；
对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．
9．【答案】A
【解析】解：∵x2＜2
∴﹣＜x＜
∴P={x∈Z|x2＜2}={x|﹣＜x＜，x∈Z|}={﹣1，0，1}，
又∵全集U={﹣1，0，1，2}，
∴∁U P={2}
故选：A．
10．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），
∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，
∴f（1）=f（﹣1）=，
∴a2017=f（1）=，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．11．【答案】A
【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=
故选A
12．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30° 故选D ．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
二、填空题
13．【答案】2
【解析】由题意，得2p =，(1,0)F ，准线为1x =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-，
代入抛物线方程消去y ，得22
2
2
(24)0k x k x k -++=，所以2122
24k x x k
++=，121x x =．又设00(,)P x y ，则01212112()[(1)(1)]22y y y k x k x k =+=-+-=，所以021x k =，所以212
(,)P k k
．
因为0213
||112
PF x k =+=+=，解得22k =，所以M 点的横坐标为2．
14．【答案】 2 ．
【解析】解：整理函数解析式得f （x ）﹣1=log a （x ﹣1），故可知函数f （x ）的图象恒过（2，1）即A （2，1）， 故2m+n=1．
∴4m
+2n
≥2
=2=2．
当且仅当4m =2n
，即2m=n ，
即n=，m=时取等号．
∴4m
+2n
的最小值为2
．
故答案为：2
15．【答案】2± 【
解
析
】
16．【答案】．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P2==，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
17．【答案】4．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，
直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
18．【答案】
【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2=c2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x，
所以=，
解得a2=36，b2=108，
所以双曲线的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，…1分
c=e•a=×=，
故b===，…4分
所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5…6分
（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则
x1+x2=﹣，x1x2=；…8分
∴=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；
∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2
=m2+2m﹣﹣，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；
∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】（1）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得
P（A1）=0。

1+0。

2+0。

3=0。

6，P（A2）=0。

1+0。

4=0。

5，
P（A1）＞P（A2）, 甲应选择L i
P（B1）=0。

1+0。

2+0。

3+0。

2=0。

8，P（B2）=0。

1+0。

4+0。

4=0。

9，
P（B2）＞P（B1）, 乙应选择L2。

（2）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知
,又由题意知，A,B独立，
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴=﹣=， 比较系数得：c=﹣c ，∴c=0，
∴f （x ）=
=x+；
（Ⅱ）∵f （x ）=x+，∴f ′（x ）=1﹣，
当x ∈[2，+∞）时，1﹣
＞0，
∴函数f （x ）在[2，+∞）上单调递增，
∴f （x ）min =f （2）=．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意，n=10， =x
i =8， =
y i =2，
∴b=
=0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，
∴y=0.3x ﹣0.4； （2）∵b=0.3＞0， ∴y 与x 之间是正相关；
（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．
23．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22
143
x y +=；（2）． 【解析】
试题分析：（1）由公式cos sin x
y
ρθρθ=⎧⎨
=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．
假设存在实数b ，使()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，
11()bx f x b x x
-'=-
=．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e 13,f x f be b e
==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <
<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， ∴2
min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
，满足条件．……………………………10分
③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e e 13,e
f x
g b b ==-==（舍去），………11分
综上，存在实数2
e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()
f x 最小值是3．……………………………12分。