23巩固练习_一元二次不等式及其解法_基础
(完整版)一元二次不等式练习题(完)
一、一元二次不等式及其解法1．形如0)的不等式称为关于x的一元二次不等式．ax2bx c0(或0)(其中a2．一元二次不等式ax2bxc0(a0)与相应的函数y ax2bxc(a0)、相应的方程ax2bxc0(a0)之间的关系：判别式b24ac0002二次函数y ax bx cax2bx c 0a 0ax2bx c 0(a 0)的解集ax2bx c 0(a 0)的解集3、解一元二次不等式步骤：1、把二次项的系数变为正的。
〔如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正〕2、解对应的一元二次方程。
〔先看能否因式分解，假设不能，再看△，然后求根〕3、求解一元二次不等式。
〔根据一元二次方程的根及不等式的方向〕不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点 .②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>〞成立, 下方曲线对应区域使“<〞成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0x2-4x+1(2)3x2-7x+2≤1解:原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.-5-42(2x-1)(x-1)(2)变形为(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为1 11112 {xx<3或2≤x≤1或x>2}.32稳固练习一、解以下一元二次不等式：1、x25x 6 0 2 、x25x 6 0 3 、x27x 12 04、x27x 6 0 5 、x2x 12 0 6 、x2x 12 07、x28x 12 0 8 、x24x 12 0 9 、3x25x 12 010、3x216x 12 0 11 、3x237x 12 0 12 、2x215x 7 013、2x211x 12 0 14 、3x27x 10 15 、2x26x 5 016、10x233x 20 0 17 、x24x 5 0 18 、x24x 4 0 19、 x22x 3 0 20 、6x2x 2 0 21 、x2 3x 5 022、3x27x 2 0 23 、6x2x 1 0 24 、4x24x 3 025、2x211x 6 0 26 、3x211x 4 0 27 、x24 028、5x214x 3 0 29 、12x27x 12 0 30 、2x211x 21 031、8x22x 3 0 32 、8x210x 3 0 33 、4x215x 4 034、37、2x2x 21 0 35 、4x28x 21 0 36 、4x28x 5 05x217x 12 0 38 、10x211x 6 0 39 、16x28x 3 040、16x28x 3 0 41 、10x27x 12 0 42 、10x2x 2 043、4x229x 24 0 44 、4x221x 18 0 45 、9x26x 8 046、12x216x 3 0 47 、4x29 0 48 、12x220x 3 049、6x225x 14 0 50 、20x241x 9 0 51 、(x 2)(x 3) 6二填空题1、不等式(x1)(12x)0的解集是；2．不等式6x25x4的解集为____________.3、不等式3x2x10的解集是；4、不等式x22x10的解集是；5、不等式4x x25的解集是；9、集合M{x|x24}，N{x|x22x30}，那么集合MIN=；10、不等式mx2mx20的解集为R，那么实数m的取值范围为；11、不等式(2x1)29的解集为。
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
高中数学第三章一元二次不等式及其解法第3课时一元二次不等式解法(习题课)练习(含解析)
第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法第3课时 一元二次不等式解法（习题课）A 级 基础巩固一、选择题1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 解析：(x －1)x ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋2≥0或x ＝－2，⇒x ≥1或x ＝－2，故选C.答案：C2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4} 解析：因为ax 2－ax ＋1<0无解，当a ＝0的显然正确；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0⇒0≤a ≤4. 综上知，0≤a ≤4.选D.答案：D3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩NB ．M ∪NC ．∁R(M ∩N )D ．∁R(M ∪N )解析：因为M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{x |x ≤－3}，所以M ∪N ＝{x |x <1}，故∁R(M ∪N )＝{x |x ≥1}，选D.答案：D4．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：由题意知，一元二次不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12.而f (10x )＞0，所以－1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12，即x ＜－lg 2. 答案：D5．对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0，a ∈[－1，1]恒成立⇒(x －2)a ＋x 2－4x ＋4>0，a∈[－1，1]恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）×1＋x 2－4x ＋4>0， 解得3<x 或x <1.选B.答案：B二、填空题6．若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 7．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________． 解析：由于不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，所以a ＝－2.答案：－2 8．关于x 的方程x 2m＋x ＋m －1＝0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m 的取值范围是________．解析：若方程x 2m ＋x ＋m －1＝0有一个正实根和一个负实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －1＞0. 所以0＜m ＜1或∅.答案：(0，1)三、解答题9．已知一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.求m 的取值范围． 解：因为y ＝(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4为二次函数，所以m ≠2.因为二次函数的值恒大于零，即(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，4（m －2）2－16（m －2）＜0， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，2＜m ＜6.所以m 的取值范围为{m |2＜m ＜6}．10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋3，解关于a 的不等式f (1)≥0.解：f (1)＝－3＋a (6－a )＋3＝a (6－a )，因为f (1)≥0，所以a (6－a )≥0，a (a －6)≤0， 方程a (a －6)＝0有两个不等实根a 1＝0，a 2＝6，由y ＝a (a －6)的图象，得不等式f (1)≥0的解集为{a |0≤a ≤6}．B 级 能力提升1．若实数α，β为方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－494解析：因为Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0，所以m 2－m －6≥0，所以m ≥3或m ≤－2.(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494，因为m ≥3或m ≤－2，所以当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值8.答案：A2．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x.第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为 4（x －8）x 升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －8－4（x －8）x 升． 依题意，得x －8－4（x －8）x≤28%·x . 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403. 又x ＞8，所以8＜x ≤403.答案：⎝⎛⎦⎥⎤8，403 3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图，由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0.解得－56<m <－12.。
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法精品练习(含解析)新
2.2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一不含参数的一元二次不等式的解法1.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 2．解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0；(4)－12x 2＋3x －5>0.知识点二含参数的一元二次不等式的解法3.若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 4．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________．5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，若A B ，则a 的取值X 围是________.知识点三三个“二次”间的关系及应用6.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}7．若不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则m ，n 的值分别是( ) A ．2,12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－128．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集是( ) A ．∅ B ．RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫322．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1}3．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．34．若不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝ax 2－x －c 的图像为( )5．(易错题)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( )A ．－3<k <0B ．－3≤k <0C ．－3≤k ≤0 D．－3<k ≤06．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．0<x <2B ．－2<x <1C ．x <－2或x >1D ．－1<x <2 二、填空题7．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 9．(探究题)关于x的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2，则m 的取值X 围是________________．三、解答题10．已知y ＝ax 2＋x －a .(1)若函数y 有最大值178，某某数a 的值；(2)若不等式y ＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)＞0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1，a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞) 2．关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值X 围是________．3．(学科素养—数学运算)已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.2．2.3 一元二次不等式的解法必备知识基础练1．解析：原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.答案：D2．解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.3．解析：∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m，故选D. 答案：D4．解析：原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0， 方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． 答案：{x |x <－a 或x >1}5．解析：A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}； 当a ≤1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，A B 不成立； 当a >1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若A B ，须a >2.答案：a >26．解析：由题意知，－b a ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2. 答案：D7．解析：由题意知－2,3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m2，－2×3＝n2，∴m ＝－2，n ＝－12. 答案：D8．解析：由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.答案：D关键能力综合练．1．解析：原不等式可化为(2x －3)2≤0，故x ＝32.故选D.答案：D2．解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0， 即(t －2)(t ＋1)＜0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2＜0.∴t ＜2. ∴|x |＜2，解得－2＜x ＜2. 答案：A3．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：A4．解析：因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.答案：B5．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx－38<0对一切实数x 都成立的k 的取值X 围是－3<k ≤0. 答案：D6．解析：根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故x 的取值X 围为－2<x <1.答案：B7．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x ＞0，∴－3≤x ＜－2或0＜x ≤1. 答案：{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}8．解析：可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根， 且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，1×m ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)．答案：－3 －39．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值X 围是m <0.答案：{m |m <0}10．解析：(1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得a ＝－2或a ＝－18.(2)由y ＞－2x 2－3x ＋1－2a ，得 (a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0.当a ＝－2时，不符合题意；当a ≠－2时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，解得a ＞2.综上，a 的取值X 围为(2，＋∞)．学科素养升级练1．解析：对于a (x －a )(x ＋1)＞0，当a ＞0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向上，与x 轴的交点为a 和－1， 故不等式的解集为x ∈(－∞，－1)∪(a ，＋∞)； 当a ＜0时，y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向下， 若a ＝－1，不等式解集为∅；若－1＜a ＜0，不等式的解集为(－1，a )；若a ＜－1，不等式的解集为(a ，－1)； 综上，ABCD 都成立． 答案：ABCD2．解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0可得，(2x ＋5)(x ＋k )＜0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＞－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k ＜2.答案：[－3,2)3．解析：∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立． 当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[(x ＋a －1)]<0. ∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f〔x〕g〔x〕的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f 〔x 〕g 〔x 〕＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f 〔x 〕g 〔x 〕＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f 〔x 〕g 〔x 〕≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕g 〔x 〕≥0，g 〔x 〕≠0； f 〔x 〕g 〔x 〕≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕g 〔x 〕≤0，g 〔x 〕≠0.(2021·课标Ⅰ)集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，那么A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].应选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，那么f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.应选B. －12<1x <2，那么x 的取值范围是( ) A.－2<x <0或0<x <12 B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，应选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是 .解：不等式1－2xx ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，也就是⎝⎛⎭⎫x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜12，x ∈R .(2021·武汉调研)假设一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，那么k的取值范围为________.解：显然k ≠0.假设k ＞0，那么只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；假设k ＜0，那么只须38k ＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一 一元一次不等式的解法关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13， 得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b＝－13，从而a ＝2b ，那么a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b＝－13是解此题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合 (2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二 一元二次不等式的解法解以下不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0. 解：(1){x |x ＜3或x ＞4}. (2){x |－3≤x ≤1}. (3)∅.(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .(2021·金华十校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0， 那么不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1} 解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，x ＋〔x ＋1〕[－〔x ＋1〕＋1]≤1 或 ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋〔x ＋1〕[〔x ＋1〕－1]≤1， 解不等式组①得x ＜－1；解不等式组②得－1≤x ≤2－1. 故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}.应选C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值. 解：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2－bx ＋c ＝0的两个实数根，∴由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－5.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集.解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝2＋3，c a ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0). 即6x 2＋5x ＋1＜0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜－13.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}； (2)当m ≠0时，不等式为m ⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. ①当m ＜0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. (Ⅰ)假设1m ＜1即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1；(Ⅱ)假设1m ＞1即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)假设1m ＝1即m ＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m 与1大小的不确定性，对m ＜1、m＞1与m ＝1进行讨论.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1].当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a ，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞； 当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a . 类型五 分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.x ＋22x ＋1≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧〔x ＋2〕〔2x ＋1〕≥0，2x ＋1≠0. 得{xx ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 .解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2〔x ＋2〕〔x ＋1〕＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}， 故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}. 点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，那么要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法〞解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根〞的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根〞，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿〞来记忆.(5)写出不等式的解集：假设不等号为“＞〞，那么取数轴上方穿根线以内的范围；假设不等号为“＜〞，那么取数轴下方穿根线以内的范围；假设不等式中含有“＝〞号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)假设集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，那么A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0＜x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 〔x －2〕≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}.应选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧〔x －1〕〔2x ＋1〕≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.应选A.类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)假设不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，那么a 的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－52D.－3解：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， ∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.∴a ≥－52.(2)对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，那么x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g 〔1〕＞0，g 〔－1〕＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，应选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，那么f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f 〔－2〕＞0，f 〔2〕＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.类型七 二次方程根的讨论假设方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，那么a 的取值范围是( )A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，那么f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1. 解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.应选B.1.不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，应选D.2.关于x 的不等式(mx －1)(x －2)＞0，假设此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜2，那么m 的取值范围是( )A.m ＞0B.0＜m ＜2C.m ＞12D.m <0解：由不等式的解集形式知m ＜0.应选D.3.(2021·安徽)一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，那么f (10x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >lg2}B.{x |－1<x <lg2}C.{x |x >－lg2}D.{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，应选D.4.(2021·陕西)在如下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影局部)，那么其边长x (单位：m )的取值范围是( ) A.[15，20] B.[12，25] C.[10，30]D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.应选C.5.假设关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，那么实数a 的取值范围是( ) A.a <－12 B.a >－4 C.a >－12D.a <－4解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，那么a ＜－4.应选D.6.假设不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，那么实数k 的取值范围是____________.解：∵x ∈(1，2)，∴x －1>0.那么x 2－kx ＋k －1＝(x －1)(x ＋1－k )>0，等价于x ＋1－k >0，即k <x ＋1恒成立，由于2<x ＋1<3，所以只要k ≤2即可.故填(－∞，2].7.(2021·江苏)函数f (x )＝x 2＋mx －1，假设对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，那么实数m 的取值范围是________.解：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f 〔m 〕＝2m 2－1＜0，f 〔m ＋1〕＝2m 2＋3m ＜0， 解得－22＜m ＜0.故填⎝⎛⎭⎫－22，0.8.假设关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 解：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.9.二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3).(1)假设方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)假设f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围.解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)，∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0.因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a.①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式 f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a ， 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0. 故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).10.解关于x 的不等式：a 〔x －1〕x －2＞1(a ＞0). 解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0， 假设a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}；假设a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅； 假设a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}.。
一元二次不等式及其解法练习题
一元二次不等式及其解法练习题一元二次不等式及其解法练1.比较大小：1) $(3+2)^2<2^6+2^6$；2) $(3-2)^2<(6-1)^2$；3) $\frac{5-2}{2}-6<\frac{5}{2}-2^6$；4) 当$a>b>1$时，$\log_a 1 - \log_b 1$。
2.用不等号“>”或“<”填空：1) $a>b,c<d\Rightarrow a-c< b-d$；2) $a>b>0,c<d<XXX<bd$；3) $a>b>0\Rightarrow 3a>3b$；4) $a>b>1\Rightarrow \frac{2}{a}<\frac{2}{b}$。
3.已知$x<a<b$，则一定成立的不等式是（）.A．$x^2<a^2<b^2$；B．$x^2>ax>a^2$；C．$x^2<ax<b^2$；D．$x^2>a^2>ax$。
4.如果$a>b$，有下列不等式：①$a^2>b^2$，②$\frac{1}{a}3b$，④$\log_a x>\log_b x$，其中成立的是（）。
5.设$a<1$，$-1<b<0$，则$a,ab,ab^2$三者的大小关系为（）。
6.比较$(a+3)(a-5)$与$(a+2)(a-4)$的大小。
7.若$f(x)=3x^2-x+1$，$g(x)=2x^2+x-1$，则$f(x)$与$g(x)$的大小关系为（）。
A．$f(x)>g(x)$；B．$f(x)=g(x)$；C．$f(x)<g(x)$；D．随$x$值变化而变化。
8.（1）已知$12<a<60$，$15<b<36$，求$a-b$及$\frac{a}{b}$的取值范围。
一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y =（2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。
一．二次项系数为常数例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11(){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解）解：()a a 422--=∆ （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当 （i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21aa a x --+-=，()242)2(22aa a x ----=.()()242)2(242)2(22aa a x aa a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （4）当324-<a 或324+>a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x ax )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a； （3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为： ①当0<a 时，{11><x ax x 或}； ②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x ax}.例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时， 此时 a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--aa a a x 242++-<< （3）当a<0时, 原式可化为：012>-+ax x aa 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ； ②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ; ③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aa a a 242++-)； （2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21); （4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242aa a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如： 解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a解：033)1(22>++-ax x a )(* 1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。
(完整版)一元二次不等式练习题(完)
一、一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2)x 2-4x+13x 2-7x+2≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.2-4-5(2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为 {x |x< 1 3 或 12≤x ≤1或x>2}.巩固练习一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-<二填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________.3、不等式2310x x -++>的解集是 ；4、不等式2210x x -+≤的解集是 ；5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN = ；10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
一元二次不等式及其解法训练题(含详解)
一元二次不等式及其解法（含详解）题组一 一元二次不等式的解法x ＋5(x －1)2≥2的解集是 ( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3] 解析：法一：首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x ＋5≥2(x－1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 法二：特殊值检验法．首先x ≠1，排除B ，显然x ＝0，x ＝2是不等式的解，排除A 、C.答案：D2．解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)．解：由12x 2－ax －a 2>0⇔(4x ＋a )(3x －a )>0⇔(x ＋a 4)(x －a 3)>0， ①a >0时，－a 4<a 3， 解集为{x |x <－a 4或x >a 3}； ②a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a <0时，－a 4>a 3， 解集为{x |x <a 3或x >－a 4}． 题组二 一元二次不等式的实际应用y (万元)与产量x (台，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：依题意得25x ≥3 000＋20xx 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0＜x ＜240，所以150≤x ＜240，即最低产量是150台．答案：C4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜xxx ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得y ＝×x )－1×(1＋x )]×x )(0＜x ＜1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1000＞0，0＜x ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1. 解得0＜x ＜13. ∴投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2或a ≤－3B ．a ＞2或a ≤－3C ．a ＞2D ．－2＜a ＜2解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)＜0， 解得a ＞2.答案：C6．(2010·宁波模拟)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，则t 的取值范围是________． 解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立，令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤0，t ≤－2或t ≥0， ∴t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24. ①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅. ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4.综上得a ∈[－7,2]．x 2－|x |－2<0 ( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}解析：原不等式⇔|x |2－|x |－2<0⇔(|x |－2)(|x |＋1)<0⇔|x |－2<0⇔－2<x <2. 答案：A9．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9. 答案：a ≤910．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.。
第04讲 一元二次不等式及其解法(解析版)
第4讲 一元二次不等式及其解法【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）不等式2280x x --≤的解集为（ ） A ．2{|}4x x -≤≤ B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|4x x ≥或}2x ≤- D ．{|2x x ≤或}4x ≤-【答案】B【解析】由2280x x --，得(4)(2)0x x -+，所以24x -. 故选：B.2．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式250x x a -+<的解集是{}2x x b <<，则实数=a （ ） A ．14- B ．3- C ．3 D ．6【答案】D【解析】250x x a -+<的解集是{}2x x b <<，2∴和b 是方程250x x a -+=的解.由根与系数的关系知25,2,b b a +=⎧⎨=⎩，解得3,6.b a =⎧⎨=⎩. 故选：D.3．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13xx <<∣，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（ ） A ．1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⋃⎪⎝⎭D ．()1,4,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<∣， 所以0a <，1,3是方程20ax bx c ++=的两个根， 所以13ba+=-，13c a⨯=， 即4b a =-，3c a =，则()()4403131a x axb x cx a a x x -+-==>+++， 可知其解集为1,(4,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⋃⎭，故选：C ．4．（2021·山东省郓城第一中学高三阶段练习）若不等式ax 2+ax ﹣1≤0的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0≤a≤4 B ．﹣4＜a ＜0C ．﹣4≤a ＜0D ．﹣4≤a≤0【答案】D【解析】0a =时，不等式210ax ax +-化为10-，解集为实数集R ；0a ≠时，应满足00a <⎧⎨⎩，所以2040a a a <⎧⎨+⎩，解得40a -<；综上，实数a 的取值范围是40a -． 故选D ．5．（2022·北京·高三专题练习）若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（ ） A ．22k -≤≤ B ．2k ≤-，或2k ≥ C ．22k -<< D ．2k <-，或2k >【答案】A【解析】∵不等式210x kx ++<的解集为空集， ∵240k ∆=-≤， ∵22k -≤≤. 故选：A.6．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式20ax x c -->的解集为1{|1}2x x -<<，则函数2y cx x a =--的图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得1-和12是方程20ax x c --=的两个根，且0a <， 1112112a c a ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得2,1a c =-=-，则()()22221y cx x a x x x x =--=--+=-+-，则函数图象开口向下，与x 轴交于()()2,01,0，-. 故选：C.7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的一元二次不等式260x x a ++≤的解集中有且仅有5个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,5 B ．[)0,5 C ．[]0,5 D ．(]0,5【答案】D【解析】原不等式变形为2(3)9x a +≤-，9a ≤时，原不等式才有解． 且解为3939a x a --≤--要使其中只有5个整数，则293a ≤-，解得05a <≤． 故选：D ．8．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】B【解析】解：令2()42f x x x a =---，则函数的图象为开口朝上且以直线2x =为对称轴的抛物线， 故在区间(1,4)上，()f x f <（4）2a =--， 若不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 则20a -->， 解得2a <-，即实数a 的取值范围是(,2)-∞-. 故选：B ．9．（多选）（2022·辽宁丹东·一模）如果关于x 的不等式2210x ax b -+->的解集为{}xx a ≠∣，那么下列数值中，b 可取到的数为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】CD【解析】由题设知，221y x ax b =-+-对应的0=，即()2410a b -+=，故211b a =+≥，所以数值1,012-,,中，b 可取到的数为1，2. 故选：CD .10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确； 且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确. 故选：ABD .11．（2022·山东·聊城二中高三开学考试）命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分不必要条件可以是（ ） A ．a >4 B ．5a ≤ C ．4a ≤ D ．5a ≥【答案】AD【解析】由[]1,2x ∈，则[]21,4x ∈，要使20x a -≤在[]1,2x ∈上恒成立， 则2x a ≤，所以4a ≥，根据题意可得所求对应得集合是[)4,+∞的真子集， 根据选项AD 符合题意． 故选：AD ．12．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）已知不等式2210x ax b ++->的解集是{}x x d ≠，则b 的值可能是（ ）A ．1-B ．3C ．2D ．0【答案】BC【解析】解：因为不等式2210x ax b ++->的解集是{}x x d ≠， 所以()()24210b a ∆=--=，解得2+11b a =≥， 故选：BC.13．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式()22log 362ax x -+>的解集为()(),1,+b -∞∞，则=a ___，b =________．【答案】 1 2【解析】解：所解不等式即()22222360log 36log 4364ax x ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⇒-+>⎪⎩，即22360320ax x ax x ⎧-+>⎨-+>⎩，观察可得只要x 让第二个不等式成立，则第一个一定成立，所以只需解2320ax x -+>，由已知可得此不等式的解集为()(),1,+b -∞∞，则1,x x b ==为2320ax x -+=的两根，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，故答案为：1；2；14．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________. 【答案】{}23x x <<【解析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，，故6a =，则不等式303x ax -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<， 不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<， 则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<，故答案为：{}23x x <<.15．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）若命题p ：x ∀∈R ，2240ax x -+为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】1,)4∞⎡+⎢⎣【解析】当0a =时，240x -+≥不满足题意；∵x ∀∈R ，2240ax x -+，则0a >且4160a ∆=-≤，解得14a ≥. 故答案为：[14，+∞）.16．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2(2)20x m x m -++<的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】(5，]6【解析】2(2)20x m x m -++<可化为2(0)()x m x --<， 该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{|2}x x m <<，且56m <； 故答案为：(5，]6．17．（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）若不等式20ax bx c ++≥的解集是{}123x x -≤≤，求不等式20cx bx a ++<的解集．【解】由20ax bx c ++≥的解集为{}123x x ≤≤，知0a <，且13-，2为方程20ax bx c ++=的两个根，∵53b a -=，23c a =-，∵53b a =-，23c a =-．∵不等式20cx bx a ++<变为225033a x a x a ⎛⎫⎛⎫-+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22530ax ax a +->，又0a <，∵22530x x +-<，解得132x -<<， ∵所求不等式的解集为{132x x ⎫-<<⎬⎭．故答案为：{132x x ⎫-<<⎬⎭.18．（2022·浙江·高三专题练习）已知关于x 的不等式23208kx kx +-<，0k ≠（1）若18k =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．【解】（1）将18k =代入不等式，可得21130488x x +-<，即2230x x +-<所以32-和1是方程2230x x +-=的两个实数根，所以不等式的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭即不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ．因为0k ≠所以220,30k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<， 故k 的取值范围为(3,0)-．19．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）求下列关于x 的不等式的解集： （1）211x x ->+；（2）()22210ax a x -++≤．【解】（1）当12x ≥时，不等式为2112x x x ->+⇒>. 当12x <时，不等式为()211,300x x x x -->+<⇒<， 所以不等式的解集为()(),02,-∞+∞.（2）当0a =时，不等式为1210,2x x ⎡⎫-+≤⇒∈+∞⎪⎢⎣⎭.当0a ≠时，由()()()22212110ax a x x ax -++=--=解得1211,2x x a ==.当0a <时，不等式的解集为11,,2a ⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，当02a <<时， 不等式的解集为11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当2a =时，不等式的解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.当2a >时，不等式的解集为11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【素养提升】1．（2021·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ） A ．()()5,34,5-⋃ B ．[)(]5,34,5-⋃ C ．(][)5,34,5-⋃ D ．[][]5,34,5-⋃【答案】B【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得172x ，2x k =- （1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若不等式组的解集中仅有一个整数，则54k -≤-<-，即45k <≤； （2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若不等式组的解集中仅有一个整数，则35k -<-≤，即53k -≤<； 综上，可知k 的取值范围为[)(]5,34,5-⋃ 故选：B2．（2022·浙江·高三专题练习）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+-<，且A B R =，则实数k 的取值范围是（ ）A ．6446,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．6422,,5335⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．6422,,5335⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得213x ≤-<，解得213x ≤-<或 312x -<-≤-， 所以34x ≤<或21x -<≤-， 所以(][)2,13,4A =--⋃{}{}()(){}22222111502111502530B x x kx k x x kx k x x k x k =-+-<=-+>=-->， 当0k >时，()5,3,2k B k ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，由A B R =，则53342k k ≤<<，解得6453k ≤<； 当0k =时，{}0B x R x =∈≠，此时A B R =不成立，故0k =不取； 当0k <时，()5,3,2k B k ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，则52312k k -<<≤-，解得2235k -<≤-， 综上所述，实数k 的取值范围是6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（R m ∈）． （1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[]1,1D -⊆，求m 的取值范围． 【解】（1）∵101m m +=⇒=-时，()2f x x =-，不合题意，舍去； ∵101m m +≠⇒≠-时，()()22101234110340m m m m m m m +>>-⎧⎧⇒⇒⎨⎨∆=-+-≤-≥⎩⎩. 综上：23m ≥. （2）()f x m ≥即2(1)10m x mx +--≥，所以[]()(1)110m x x ++-≥， ∵1m =-时，解集为：[1,)+∞； ∵1m >-时，()1()101x x m +-≥+，因为1011m -<<+，所以解集为：1(,1,)1][m -∞-⋃+∞+； ∵21m -<<-时，()1()101x x m +-≤+， 因为111m ->+，所以解集为：11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦.（3）因为不等式()0f x ≥的解集为D ，且[]1,1D -⊆， 即对任意的[]1,1x ∈-，不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+恒成立，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以22212111x xm x x x x -+-≥=-+-+-+，设[]21,3,2t x x t =-∈=-， 所以222123331333233323x t x x t t t t t t-+==≤=-+-+-+-⋅-， 当且仅当323t x ==时取“=”. 所以2211x x x --+-+的最大值为：233231+-=， 所以23m ≥.。
高考专题练习： 一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0) 的根 有两个相异实数 根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等实数 根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x >x 2或x <x 1}{x |}x ≠x 1Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ∅∅不等式解集 a <ba ＝b a >b (x －a )·(x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a }{x |x >a 或x <b } (x －a )·(x －b )<0 {x |a <x <b }∅{x |b <x <a }1．两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0， b 2－4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.2．四类分式不等式 (1)f （x ）g （x ）>0⇔f (x )g (x )>0.(2)f （x ）g （x ）<0⇔f (x )g (x )<0.(3)f （x ）g （x ）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0. (4)f （x ）g （x ）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)解不等式时，变形必须等价； (2)忽视二次项系数的符号；(3)对系数的讨论，忽视二次项系数为0的情况； (4)解分式不等式时，忽视分母的符号． 1．不等式2x (x －7)>3(x －7)的解集为________．解析：2x (x －7)>3(x －7)⇔2x (x －7)－3(x －7)>0⇔(x －7)(2x －3)>0，解得x <32或x >7，所以，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x <32或x >7. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >72．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)解析：由－x 2－3x ＋4>0可知(x ＋4)(x －1)<0， 解得－4<x <1. 答案：(－4，1)3．对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，mx 2＋mx －1＝－1<0，不等式恒成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0. 综上，m 的取值范围是(－4，0]． 答案：(－4，0] 4．不等式2x ＋1<1的解集是________． 解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x >1或x <－1.答案：{x |x >1或x <－1}一元二次不等式的解法(多维探究) 角度一 不含参数的一元二次不等式求不等式－x 2＋8x －3>0的解集．【解】 因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实数根x 1＝4－13，x 2＝4＋13.又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．角度二 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解】 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅； 当a >1时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <1.(1)解一元二次不等式的一般步骤 ①化为标准形式．②确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ＜0，则对应的一元二次方程无实数根．③结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集．(2)含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用．1．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集． 解：因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. 当a >0时，－a 4<a3，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，原不等式变形为x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >－a 4.一元二次方程与一元二次不等式(师生共研)已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪－12＜x⎭⎪⎬⎪⎫＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1，3)C ．(－1，3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C ．关于x 的不等式ax －b ＜0即ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，所以a ＝b ＜0，所以不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3， 所以所求不等式的解集是(－1，3)．一元二次不等式恒成立问题(多维探究) 角度一 在R 上的恒成立问题若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0)B ．[－3，0)C ．[－3，0]D ．(－3，0]【解析】 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3，0]．【答案】 D角度二 在给定区间上的恒成立问题(一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立， 即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67. 方法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可．所以，m的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67. 角度三 给定参数范围的恒成立问题函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4，6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 【解】 (1)因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 所以实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x ∈[－2，2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)：(i)如图①，当g (x )的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.(ii)如图②，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎨⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎨⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅.(iii)如图③，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎨⎧Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.所以－7≤a ≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3，当a ∈[4，6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. 所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解策略(1)对x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．(2)对x ∈[a ，b ]的不等式确定参数的范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式参数的取值范围．(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．[提醒] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．1．若函数y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：要使y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对∀x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，（1－m ）2－4m 2≤0，解得m ≥13. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，求实数b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )的图象开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， 若当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立， 则b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2. 所以实数b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[A 级 基础练]1．不等式2x 2－x －3>0的解集为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <32B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >32或x <－1C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >1或x <32解析：选B ．由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1. 所以不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧x⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >32或x <－1. 2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－12C ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析：选B ．1－x 2＋x ≥1⇔1－x 2＋x －1≥0⇔1－x －2－x2＋x ≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B ． 3．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为{x |x <－12或x >13}，则a －b a 的值为( ) A ．56B ．16C ．－16D ．－56解析：选A ．由题意得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4，1]B ．[－4，3]C ．[1，3]D ．[－1，3]解析：选B ．原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5．(2021·湖南益阳4月模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f (x )<0的解集为( )A ．(－2，2)∪(2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：选A ．因为函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数， 所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4，所以不等式(x －2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2. 故原不等式的解集为(－2，2)∪(2，＋∞)．故选A ． 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a8．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案：(－1，1)9．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9， 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0， 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]． (2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a （x ＋1）2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.[B 级 综合练]11．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，5)B ．(－2，4)C ．[－3，5]D ．[－2，4]解析：选D ．因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }； 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ∈[－2，4]，故选D ．12．定义运算：x ⊗y ＝⎩⎨⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：3⊗4＝3，(－2)⊗4＝4，则函数f (x )＝x 2⊗(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知得f (x )＝x 2⊗(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x <0或x >2，易知函数f (x )的最大值为4. 答案：413．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．答案：[2，8)14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为 {x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a ， 所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .[C 级 提升练]15．已知f (x )＝x 2＋2x ＋1＋a ，∀x ∈R ，f (f (x ))≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－32，＋∞C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选B ．设t ＝f (x )＝(x ＋1)2＋a ≥a ，则f (t )≥0对任意的t ≥a 恒成立，即(t ＋1)2＋a ≥0对任意的t ∈[a ，＋∞)恒成立．当a ≤－1时，f (t )min ＝f (－1)＝a ≤－1，不符合题意；当a ＞－1时，f (t )min ＝f (a )＝a 2＋3a ＋1，由a 2＋3a ＋1≥0，得a ≥5－32，故选B ．16．(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实数根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值； (2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3)如果x 1x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，10，试求a 的取值范围．解：(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实数根x 1，x 2. 所以x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，则(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1－1a ＋1a ＝1. (2)证明：由Δ≥0，得0<a ≤14.设f (x )＝ax 2＋x ＋1，则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x ＝－12a ≤－2，又由于f (－1)＝a >0，所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(－1，0)的左侧， 故x 1<－1且x 2<－1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－1a ，x 1·x 2＝1a⇒（x 1＋x 2）2x 1·x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝1a .因为x 1x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，10，所以1a ＝x 1x 2＋x 2x 1＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，12110⇒a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10121，14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ≥0⇒0<a ≤14， 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10121，14.。
一元二次不等式的解法练习题含答案
一元二次不等式的解法练习题（1）1. 不等式−2x 2+x +3≤0的解集是（ ）A. B.{x|x ≤−1或x ≥}C.{x|x ≤−或x ≥1}D.2. 不等式x 2−7x <0的解集是（ ） A.{x|x <−7或x >0} B.{x|x <0或x >7} C.{x|−7<x <0}D.{x|0<x <7}3. 不等式x 2+2x −3≥0的解集是( ) A.{x|x ≥1} B.{x|x ≤−3} C.{x|−3≤x ≤1} D.{x|x ≤−3或x ≥1}4. 不等式x 2−4x −5>0的解集为( )A.{x|x ≥5或x ≤−1}B.{x|x >5或x <−1}C.{x|−1≤x ≤5}D.{x|−1<x <5}5. 不等式2x 2−x −1>0的解集是（ ） A.(−12,1)B.(1,+∞)C.(−∞,1)∪(2,+∞)D.(−∞,−12)∪(1,+∞)6. 不等式组{x 2−2x −3<0log 2x <0 的解集为（ ）A.(−1, 0)B.(−1, 1)C.(0, 1)D.(1, 3)7. 已知集合A ＝{x ∈N|−2<x <4}，B ={x|12≤2x ≤4}，则A ∩B ＝（ ） A.{x|−1≤x ≤2} B.{−1, 0, 1, 2} C.{1, 2} D.{0, 1, 2}8. 下列四个不等式中，解集为⌀的是（）A.−x2+x+1≤0B.2x2−3x+4<0C.x2+6x+9≤0D.9. 已知函数f(x)＝3x2−6x−1，则（）A.函数f(x)有两个不同的零点B.函数f(x)在(−1, +∞)上单调递增C.当a>1时，若f(a x)在x∈[−1, 1]上的最大值为8，则a＝3D.当0<a<1时，若f(a x)在x∈[−1, 1]上的最大值为8，则a=1310. 已知集合A={−1,0,2}, B={2,a2}，若B⊆A，则实数a的值为________.11. 不等式|x−3|<2的解集为________．12. 不等式3x2−6x−5>4的解集为________.13. 已知不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)若不等式的解集为{x|x<−3或x>−2}，求实数k的值________.14. 不等式9−x2>0的解集是________.15. 已知集合A＝{x|x2−3x−10≤0}．(Ⅰ)若B＝{x|m−6≤x≤2m−1}，A⊆B，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，B⊆A，求实数m的取值范围．16. 已知函数f(x)=ax2+bx−a+2．(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(−1,3)，求实数a的值；(2)若b=2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0．17. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（利润和投资单(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元投资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？参考答案与试题解析一元二次不等式的解法练习题（1）一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】B【考点】一元二次不等式的应用【解析】将不等式变形为(x+1)(2x−3)≥0，由一元二次不等式的解法得出答案．【解答】不等式−2x2+x+3≤0，即2x2−x−3≥0，即(x+1)(2x−3)≥0，解得x≤−1或，故不等式−2x2+x+3≤0的解集是{x|x≤−1或x≥}．2.【答案】D【考点】一元二次不等式的应用【解析】不等式化为x(x−7)<0，求出解集即可．【解答】不等式x2−7x<0可化为x(x−7)<0，解得0<x<7，所以不等式的解集是{x|0<x<7}．3.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法【解析】将不等式左边因式分解可得：(x+3)(x−1)≥0，从而可解不等式．【解答】解：由题意，不等式可化为：(x+3)(x−1)≥0，∴x≤−3或x≥1.故选D．4.【答案】B【考点】直接解一元二次不等式即可. 【解答】解：∵ x 2−4x −5>0， ∴ (x −5)(x +1)>0， 解得，x <−1或x >5. 故选B . 5.【答案】 D【考点】一元二次不等式的解法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 6.【答案】 C【考点】其他不等式的解法 【解析】由题意可得，{−1<x <30<x <1 ，解不等式可求．【解答】由题意可得，{−1<x <30<x <1 ，即可得，0<x <1． 7. 【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【解答】集合A ＝{x ∈N|−2<x <4}＝{0, 1, 2, 3}， B ={x|12≤2x ≤4}={x|−1≤x ≤2}，则A ∩B ＝{0, 1, 2}．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ） 8.【答案】 B,D【考点】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】A,C,D【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断．【解答】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△＝(−6)2−4×3×(−1)＝48>0，所以函数f(x)有两个不同的零点，A正确；因为二次函数f(x)图象的对称轴为x＝1，且图象开口向上，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增，B不正确；令t＝a x，则f(a x)＝g(t)＝3t2−6t−1＝3(t−1)2−4．当a>1时，1a ≤t≤a，故g(t)在[1a,a]上先减后增，又a+1a2>1，故最大值为g(a)＝3a2−6a−1＝8，解得a＝3（负值舍去）．同理当0<a<1时，a≤t≤1a ，g(t)在[a,1a]上的最大值为g(1a)=3a2−6a−1=8，解得a=13（负值舍去）．三、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）10.【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：已知A={−1,0,2}, B={2,a2}，若B⊆A，则a2=0，解得：a=0.故答案为：0.11.【答案】(1, 5)【考点】由题意利用绝对值不等式的基本性质，求得不等式|x−3|<2的解集．【解答】不等式|x−3|<2，即−2<x−3<2，求得1<x<5，12.【答案】{x|x>3或x<−1}【考点】一元二次不等式的解法【解析】先化简不等式，然后根据十字相乘法求出不等式的解集.【解答】解：由题意得，不等式化简为x2−2x−3>0，所以(x−3)(x+1)>0，解得x>3或x<−1，所以不等式的解集为{x|x>3或x<−1}.故答案为：{x|x>3或x<−1}.13.【答案】−2 5【考点】一元二次不等式的解法【解析】（1）由题设条件，根据二次函数与方程的关系，得：k<0，且−3，−2为关于x的方程k x2−2x+6k=0的两个实数根，再由韦达定理能求出k的值．【解答】解：∵不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集为{x|x<−3或x>−2}，∴−3和−2是方程kx2−2x+6k=0的两个根，∴−3+(−2)=2k，∴k=−25，故答案为：−25.14.【答案】{x|−3<x<3}【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：不等式9−x2>0变形为x2<9，所以解集为{x|−3<x <3}. 故答案为：{x|−3<x <3}.四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ） 15.【答案】集合A ＝{x|x 2−3x −10≤0}＝{x|−2≤x ≤5}， （1）∵ A ⊆B ，∴ {m −6≤−22m −1≥5 ，解得：3≤m ≤4，∴ 实数m 的取值范围为：[3, 4]； （2）∵ B ⊆A ，①当B ＝⌀时，m +1>2m −1，即m <2，②当B ≠⌀时，{m +1≤2m −1m +1≥−22m −1≤5，解得：2≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为：(−∞, 3]． 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】先求出集合A ，再利用集合A 与集合B 的包含关系，列出不等式组，即可求出m 的取值范围，注意对空集的讨论． 【解答】集合A ＝{x|x 2−3x −10≤0}＝{x|−2≤x ≤5}， （1）∵ A ⊆B ，∴ {m −6≤−22m −1≥5 ，解得：3≤m ≤4，∴ 实数m 的取值范围为：[3, 4]； （2）∵ B ⊆A ，①当B ＝⌀时，m +1>2m −1，即m <2，②当B ≠⌀时，{m +1≤2m −1m +1≥−22m −1≤5 ，解得：2≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为：(−∞, 3]． 16.【答案】解：(1)∵ f (x )=ax 2+bx −a +2>0的解集为(−1,3)， ∴ 方程ax 2+bx −a +2=0的两根为−1和3，且a <0， ∴ {−1+3=−ba ,−1×3=−a +2a ,解得{a =−1,b =2,∴ a 的值为−1.(2)∵ b =2，a >0，∴ 方程f (x )=0的两根为−1和a−2a，∴ 当−1>a−2a即a <1时，x <a−2a或x >−1；当−1=a−2a即a =1时，x ≠−1； 当−1<a−2a即a >1时，x <−1或x >a−2a，∴ 综上，当0<a <1时，原不等式解集为{x|x <a−2a或x >−1}；当a =1时，原不等式解集为{x|x ≠−1}； 当a >1时，原不等式解集为{x|x <−1或x >a−2a}.【考点】一元二次不等式的解法 【解析】左侧图片未给出解析 左侧图片未给出解析【解答】解：(1)∵ f (x )=ax 2+bx −a +2>0的解集为(−1,3)， ∴ 方程ax 2+bx −a +2=0的两根为−1和3，且a <0， ∴ {−1+3=−ba ,−1×3=−a +2a ,解得{a =−1,b =2,∴ a 的值为−1．(2)∵ b =2，a >0，∴ f (x )=ax 2+2x −a +2=(x +1)(ax −a +2)>0， ∴ 方程f (x )=0的两根为−1和a−2a，∴ 当−1>a−2a即a <1时，x <a−2a或x >−1；当−1=a−2a即a =1时，x ≠−1； 当−1<a−2a即a >1时，x <−1或x >a−2a，∴ 综上，当0<a <1时，原不等式解集为{x|x <a−2a或x >−1}；当a =1时，原不等式解集为{x|x ≠−1}； 当a >1时，原不等式解集为{x|x <−1或x >a−2a}.17.f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2√x(x≥0)，由图1，得f(1)=14，所以k1=14，则f(x)=14x(x≥0).由图2，得g(4)=4，所以k2=2，则g(x)=2√x(x≥0).(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18−x)万元，该企业可获总利润为y万元，则y=14(18−x)+2√x，0≤x≤18.令√x=t，t∈[0, 3√2]，则y=14(−t2+8t+18)=−14(t−4)2+172.所以当t=4时，y max=172=8.5，所以x=16，18−x=2．所以当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元. 【考点】二次函数在闭区间上的最值函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据题意可设A，B两种产品的利润与投资的函数关系式分别为：f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2√x(x≥0)，由图1，得f(1)=14，所以k1=14，则f(x)=14x(x≥0).由图2，得g(4)=4，所以k2=2，则g(x)=2√x(x≥0).(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18−x)万元，该企业可获总利润为y万元，则y=14(18−x)+2√x，0≤x≤18.令√x=t，t∈[0, 3√2]，则y=14(−t2+8t+18)=−14(t−4)2+172.所以x=16，18−x=2．所以当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元.试卷第11页，总11页。
(完整版)一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)
13.2 一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y （2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃（二）、检测题一、选择题1、不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为 （ ） A 、11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B 、1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ C 、1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D 、11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 2、在下列不等式中，解集为φ的是 （ ）A 、22320x x -+>B 、2440x x ++>C 、2440x x --<D 、22320x x -+->3、函数()2log 3y x =+的定义域为 （ ）A 、()(),13,-∞-⋃+∞B 、()3,1--C 、(][),13,-∞-⋃+∞D 、(][)3,13,--⋃+∞4、若2230x x -≤，则函数()21f x x x =++ （ ） A 、有最小值34，无最大值 B 、有最小值34，最大值1 C 、有最小值1，最大值194 D 、无最小值，也无最大值2 5、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-6、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14-B ．14C ．10-D ．10 二、填空题8、设()21f x x bx =++，且()()13f f =，则()0f x >的解集为 。
高考数学一轮复习 专题7.2 一元二次不等式及其解法(练)
专题7.2 一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【答案】92．对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【答案】{x |x <1或x >3}【解析】x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【答案】{x |－1<x <2}【解析】∵2x 2－x <4＝22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0,4]【解析】由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．【答案】{x |x ＞1}【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－1,4]7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 【解析】由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 二、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【能力提升】11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－3212．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x |－ln 2<x <l n 3}【解析】法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－l n 2<x <ln 3. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．解原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.。
巩固练习一元二次不等式及其解法基础
【巩固练习】一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.1|3x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B.11|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．∅D.1|3x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭2．下列不等式中，解集是R 的是( )A ．x 2＋4x ＋4>00> C.1102x⎛⎫+> ⎪⎝⎭D ．－x 2＋2x －1>03．不等式ax 2+5x+c ＞0的解集为11{|}32x x <<，则a ，c 的值为（ ） A ．a=6，c=1 B ．a=－6，c=－1 C ．a=1，c=1 D ．a=－1，c=－6 4．若0＜t ＜1，则不等式1()()0x t x t--<的解集为( ) A.1|x x t t⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B.1|x x x t t ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 C.1|x x x t t⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D.1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭5．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（ ） A ．{|23}x x << B ．11{|}32x x << C ．11{|}23x x -<<- D ．{|32}x x -<<- 6. 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．(－∞，0] D ．(－∞，0]∪4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题7．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．8．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则m 的取值范围是________. 9. 函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．10. 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 三、解答题 11.解下列不等式(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0；(3) ()()2223520x x x x x +--+<； (4) 31224x x +≥-.12. 不等式mx 2+1＞mx 的解集为实数集R ，求实数m 的取值范围．13. 解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(其中m ∈R )．14．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，(1)如果对一切x ∈R ，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)如果对x ∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.15.解下列关于x 的不等式 0)1)(1(>+-x ax ；【答案与解析】1．【答案】 D【解析】 9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≤0 ∴13x =-，故选D.2．【答案】 C【解析】 ∵x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0， ∴A 不正确；||0x =≥，∴B 不正确；∵102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴11102x⎛⎫+>> ⎪⎝⎭(x ∈R )，故C 正确；∵－x 2＋2x －1>0 ∴x 2－2x ＋1＝(x －1)2<0， ∴D 不正确．3.【答案】B【解析】由题意可知方程250ax x c ++>的两根为12x =和13x =，由韦达定理得： 11115,2323c a a⨯=+=-，求得a=－6，c=－14．【答案】 D【解析】 ∵0＜t ＜1，∴11t >，∴1t t<∴11()()0x t x t x t t--<⇔<<.5.【答案】C【解析】由题意得，方程x 2－ax －b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得23a +=，23b ⨯=-，求得5 a =，b=-6，从而解得bx 2－ax －1＞0的解集为11{|}23x x -<<-6. 【答案】 C【解析】 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立． 当m ≠0时，由题意，得220000404103403m m m m m m m mm m m <⎧<<⎧⎧⎪⇔⇔⇔<⎨⎨⎨<>∆=--<->⎩⎩⎪⎩或. 综上，m 的取值范围为(－∞，0]．7．【答案】 [0,4) 【解析】 由题意知240a a a >⎧⎨∆=--<⎩，∴0＜a ＜4.当a ＝0时，A ＝{x |1＜0}＝∅，符合题意．8．【答案】{|12}m m -+<< 【解析】由题意得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得12m -+<<9. 【答案】 40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 由已知f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2＋3ax ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，则有2000400(94)09(3)40a a a a a a a a >>>⎧⎧⎧⎧⇔⇔⇔<<⎨⎨⎨⎨∆<-<-<⎩⎩⎩⎩. 由(1)(2)知，409a ≤<.即所求a 的取值范围是40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10.【答案】2【解析】由题意，得1，m 是关于x 的方程2260ax x a -+=的两根，则2611m a a m a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得 23m m ==-或（舍去）11．【解析】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，212x =-. 又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为1|32x x x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩⎭或. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根1413x =2413x =又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{}|413413x x <<． （3）原不等式可化简为()()()223210x x x x +--<由1x ≠可知()210x ->，故该不等式可化简为()()2320x x x +-<如图，所以，该不等式的解集为2|203x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或 (4) 该不等式可化为902x x -≤-，等价于()()92020.x x x ⎧--≤⎪⎨-≠⎪⎩， 解得{}|29x x <≤.12.【解析】当m ＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．当m≠0时，若不等式的解集为R ，则应有⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆>0m 4)m (0m 2， 解得0＜m ＜4．综上，m 的取值范围是{m|0≤m<4}.13.【解析】 当m ＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x ∈R 都成立， 所以原不等式的解集为R . 当m ≠0时，m 2＞0，由m 2x 2＋2mx －3＜0，得(mx －1)(mx ＋3)＜0， 即130x x m m ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 若m ＞0，则13m m>-， 所以原不等式的解集为31,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 若m ＜0，则13m m<-， 所以原不等式的解集为13,m m ⎛⎫-⎪⎝⎭. 综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为31,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当m ＜0时，原不等式的解集为13,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．【解析】(1)由题意得：△=2[2(2)]160a --<，即0<a<4； (2)由x ∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：2[3,1](3)0(1)0a f f -∉-⎧⎪->⎨⎪>⎩或2[3,1](2)0a f a -∈-⎧⎨->⎩ 综上所述：1,42a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.15.【解析】当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1； 当a≠0时，原不等式为关于x 的一元二次不等式，方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根ax 11=和12-=x . (Ⅰ)当21x x <，即11-<a，01<<-a 时， 函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,1a ； (Ⅱ)当21x x =，即1,11-=-=a a时， 函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有一个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为空集； (Ⅲ)当21x x >，即11->a，1-<a 或0>a ， ①若1-<a ，函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②若a>0，数()(1)(1)f x ax x =-+的图象开口向上，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等0)1)(1(>+-x ax 的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； 综上所述，当a<-1时，不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1； 当a=-1时，不等式的解集为空集； 当-1<a<0时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ； 当a=0时，不等式的解集为)1,(--∞；当a>0时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞--∞,1)1,(a .。
《一元二次不等式及其解法 》习题
《一元二次不等式及其解法》习题一、选择题1．已知不等式 20(0)ax bx c a ++<≠的解集是R ，则( )A ．0,0a <∆>B ．0,0a <∆<C ．0,0a >∆<D ．0,0a >∆>2．不等式201x x <+的解集为( ) A ．(1,0)(0,)-⋃+∞B ．(,1)(0,1)-∞-⋃C ．(1,0)-D ．(,1)-∞- 3．不等式220x mx n ++>的解集是{|3x x >或2}x <-，则二次函数22y x mx n =++的表达式是( )A ．22212y x x =++B ．22212y x x =-+C ．22212y x x =+-D ．22212y x x =--4．已知集合2{0,},{|250,}P m Q x x x x Z ==-<∈，若P Q ⋂≠∅，则m 等于( ) A ．1B ．2C ．1或25D ．1或2 1 . c o m 5．如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的集合为( )A ．{|04}a a <<B ．{|04}a a ≤<C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤6．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为23000200.1(0240,)y x x x x N =+-<<∈，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 二、填空题7．不等式202m x mx ++>恒成立的条件是________． 8．不等式204x x ->+的解集是________． 9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和与t 之间的关系)式为2122s t t =-，若累积利润s 超过30万元，则销售时间t (月)的取值范围为__________．三、解答题10．解关于x 的不等式2(lg )lg 20x x -->.11．已知不等式2(1)10ax a x a +-+-<对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围． 12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的%t 征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t 应在什么范围内？答案：一选择题1.B2.D3.D4.D5.D6.C二填空题7.02m <<8. (－4,2)9. 10t >三解答题10.解：lg x y =的定义域为{|}0x x >．又2(lg )lg 20x x -->可化为(lg 1)(lg 2)0x x +->，lg 2x ∴>或lg 1x <-，解得110x <或100x >. 所以原不等式的解集为1{|010x x <<或100}x >． 11. 解：当0a =时，不等式为101x x --<⇔>-不恒成立．当0a ≠时，不等式恒成立，则有{00a <∆<即{20(1)4(1)0a a a a <---<⇔{0(31)(1)0a a a <+->⇔ 新课标第一网 {011133a a ora a <<->⇔<- 即a 的取值范围是1(,)3-∞．12. 解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为5(20)2t -万亩．则税收收入为5(20)240%002t t -⨯⨯. 由题意5(20)2400%090002t t -⨯⨯≥， 整理得28150t t -+≤，解得35t ≤≤.所以当耕地占用税率为3%5%～时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．。
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一元二次不等式及其解法【巩固练习】一、选择题1．（2016 榆林一模）集合A={x ｜x 2－2x ≤0}，B={x ｜y =lg(1－x )}，则A ∩B 等于（ ）A ．{x ｜0＜x ≤1}B ．{x ｜0≤x ＜1}C ．{x ｜1＜x ≤2}D ．{x ｜1≤x ＜2}2．下列不等式中，解集是R 的是( )A ．x 2＋4x ＋4>0 0> C.1102x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ D ．－x 2＋2x －1>03.(2015 上海) 下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是（ ） A.()()28232x x x +++<B. ()28223x x x +<++C. 212238x x x <+++D. 223182x x x ++>+ 4．若0＜t ＜1，则不等式1()()0x t x t --<的解集为( ) A.1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B.1|x x x t t ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 C.1|x x x t t ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 D.1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 5．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（ ）A ．{|23}x x <<B ．11{|}32x x <<C ．11{|}23x x -<<- D ．{|32}x x -<<- 6.（2015 海南模拟）“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为（1,2），解关于x 的不等式20cx bx a ++>。
”给出如下的一种解法：解：由20ax bx c ++>解集为（1,2），得，2110a b c x x ⎛⎫+⋅+> ⎪⎝⎭的解集为1(,1)2， 即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为1(,1)2。
参考上述解法：若关于x 的不等式0b x b x a x c ++<++的解集为11(1,)(,1)32--U ，则关于x 的不等式 0b x b x a x c ++>++的解集为（ ） A.（-1,1） B. 111,,123⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC. 11,,123⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D. 11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 二、填空题 7．（2015 江苏）不等式224x x -<的解集为________.8．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则m 的取值范围是________.9. 函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．10.若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 .三、解答题11.解下列不等式(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0；12. （2015秋 吉林校级期中）若不等式(1―a )x 2―4x +6＞0的解集是{x ｜－3＜x ＜1}。
（1）解不等式2x 2+(2―a )x ―a ＞0（2）b 为何值时，a x 2+b x+3≥0的解集为R 。
13. 解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(其中m ∈R )．14．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，(1)如果对一切x ∈R ，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)如果对x ∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.15.解下列关于x 的不等式 0)1)(1(>+-x ax ；【答案与解析】1．【答案】 D【解析】 9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≤0 ∴13x =-，故选D.2．【答案】 C【解析】 ∵x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0，∴A 不正确；||0x =≥，∴B 不正确； ∵102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴11102x⎛⎫+>> ⎪⎝⎭(x ∈R )，故C 正确； ∵－x 2＋2x －1>0∴x 2－2x ＋1＝(x －1)2<0，∴D 不正确．3.【答案】B【解析】因为()22231220x x x ++=++≥>恒成立，所以由不等式的性质可得()28223x x x +<++。
故选:B.4．【答案】 D【解析】 ∵0＜t ＜1，∴11t >，∴1t t < ∴11()()0x t x t x t t --<⇔<<.5.【答案】C【解析】由题意得，方程x 2－ax －b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得23a +=，23b ⨯=-，求得 5 a =，b=-6，从而解得bx 2－ax －1＞0的解集为11{|}23x x -<<-6. 【答案】B 【解析】根据题意，由0b x b x a x c ++<++的解集为11(1,)(,1)32--U ， 得0b x b x a x c -++<-+-+的解集为111,,123⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ， 即0b x b x a x c -->--的解集为111,,123⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 。
故选B 。
7.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-8．【答案】{|12}m m -+<<【解析】由题意得：1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得12m -+<<9. 【答案】 40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 由已知f (x )的定义域是R .所以不等式ax 2＋3ax ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，则有2000400(94)09(3)40a a a a a a a a >>>⎧⎧⎧⎧⇔⇔⇔<<⎨⎨⎨⎨∆<-<-<⎩⎩⎩⎩. 由(1)(2)知，409a ≤<. 即所求a 的取值范围是40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10.【答案】2 【解析】由题意，得1，m 是关于x 的方程2260ax x a -+=的两根，则2611m a am a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得 23m m ==-或（舍去）11．【解析】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，212x =-. 又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为1|32x x x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩⎭或.(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根14x =24x =又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{|44x x <<．12.【解析】（1）由题意知，1－a ＜0，且―3和1是方程(1―a)2x ―4x+6=0的两根， ∴10421631a aa⎧⎪-<⎪⎪=-⎨-⎪⎪=-⎪-⎩，解得a=3。
∴不等式2x 2+(2―a )x ―a ＞0即为2x 2―x ―3＞0，解得x ＜－1或32x >。
∴所求不等式的解集为{x ｜x ＜－1或32x >}； （2）a x 2+b x+3≥0即为3x 2+b x+3≥0，若此不等式的解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6。
13.【解析】 当m ＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x ∈R 都成立，所以原不等式的解集为R .当m ≠0时，m 2＞0，由m 2x 2＋2mx －3＜0，得(mx －1)(mx ＋3)＜0， 即130x x m m ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 若m ＞0，则13m m>-， 所以原不等式的解集为31,m m ⎛⎫-⎪⎝⎭； 若m ＜0，则13m m<-， 所以原不等式的解集为13,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为31,m m ⎛⎫-⎪⎝⎭； 当m ＜0时，原不等式的解集为13,m m ⎛⎫-⎪⎝⎭.14．【解析】(1)由题意得：△=2[2(2)]160a --<，即0<a<4；(2)由x ∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况： 2[3,1](3)0(1)0a f f -∉-⎧⎪->⎨⎪>⎩或2[3,1](2)0a f a -∈-⎧⎨->⎩ 综上所述：1,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.15.【解析】当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1；当a≠0时，原不等式为关于x 的一元二次不等式，方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根a x 11=和12-=x . (Ⅰ)当21x x <，即11-<a，01<<-a 时， 函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ； (Ⅱ)当21x x =，即1,11-=-=a a时， 函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有一个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为空集；(Ⅲ)当21x x >，即11->a，1-<a 或0>a ， ①若1-<a ，函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②若a>0，数()(1)(1)f x ax x =-+的图象开口向上，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等0)1)(1(>+-x ax 的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ； 综上所述，当a<-1时，不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1； 当a=-1时，不等式的解集为空集； 当-1<a<0时，不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,1a ； 当a=0时，不等式的解集为)1,(--∞； 当a>0时，不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞--∞,1)1,(a Y .。