朝阳市初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编附答案

朝阳市初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编附答案
一、选择题
1．关于方程x2﹣42x+9＝0的根的情况，下列说法正确的是（）
A．有两个相等实根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．
【详解】
这里a=1，b=-42，c=9，
∵△=b2-4ac=32-36=-4＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2．方程x2+x﹣1＝0的一个根是（）
A．1﹣B．C．﹣1+D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．
【详解】
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5，
则x＝，
所以x1＝，x2＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．
3．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均
每次增长的百分数为x ，那么x 应满足的方程是( )
A ．x ＝40%10%2
+ B ．100(1+40%)(1+10%)＝(1+x)2
C ．(1+40%)(1+10%)＝(1+x)2
D ．(100+40%)(100+10%)＝100(1+x)2
【答案】C
【解析】
【分析】
设平均每次增长的百分数为x ，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ”，得到商品现在关于x 的价格，整理后即可得到答案．
【详解】
设平均每次增长的百分数为x ．
∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%）．
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x ，∴商品现在的价格为：100（1+x ）2，∴100（1+40%）（1+10%）=100（1+x ）2，整理得：（1+40%）（1+10%）=（1+x ）2．
故选C ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）
A ．5x >
B ．5x <-
C ．3x ≥-
D ．3x ≤-
【答案】D
【解析】
【分析】
由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．
【详解】
∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．
故选D ．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．
5．方程250x x -=的解是（ ）
A ．5x =-
B ．5x =
C ．10x =,25x =-
D ．10x =,25x =
【答案】D
【解析】
【分析】
提取公因式x 进行计算.
【详解】
提取公因式x 得：x·
(x −5)=0，所以10x =,25x =. 故本题答案选D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键.
6．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A ．k ≠0
B ．k ＞4
C ．k ＜4
D ．k ＜4且k ≠0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k ＞0，然后解不等式即可．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程2x 4x k 0-+=有两个不相等的实数根，
∴2=(-4)40k ∆-＞
解得：k ＜4．
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
7．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A ．21130x x +-=
B ．ax 2+bx +c ＝0
C ．x 2+5x ＝x 2﹣3
D ．x 2﹣3x +2＝0 【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，可得答案．
【详解】
解：A、是分式方程，故A错误；
B、a＝0时是一元一次方程，故B错误；
C、是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
8．关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B
【解析】
∵关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0中
△=（2k）2﹣4×（k﹣1）=4k2﹣4k+4=（2k﹣1）2+3＞0
∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B．
9．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第( )象限．
A．四B．三C．二D．一
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
∵一元二次方程x2 - 2x - m = 0无实数根
∴△=4+4m<0,即m<-1
∴一次函数的比例系数m+1<0,图像经过二四象限
截距m-1<0，则图象与y轴交与负半轴，图像过第三象限
∴一次函数y =(m+1)x + m - 1的图像不经过第一象限，故选D.
10．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
试题分析：设这个小组的人数为x 个，则每个人要送其他（x ﹣1）个人贺卡，则共有（x ﹣1）x 张贺卡，等于72张，由此可列方程．
解：设这个小组有x 人，
则根据题意可列方程为：（x ﹣1）x =72，
解得：x 1=9，x 2=﹣8（舍去）．
故选C ．
11．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥
B ．0k ≥且2k ≠
C ．32k ≥
D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
（k-2）x 2-2kx+k-6=0，
∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，
∴220(2)4(2)(6)0k k k k V -≠⎧⎨=----⎩…
， 解得：32k ≥
且k≠2． 故选D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
12．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是 （ ）
A ．8.5％
B ．9％
C ．9.5％
D ．10％
【答案】D
【解析】
【分析】
设平均每次降低成本的百分率为x 的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x ）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x ）（1-x ）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．
【详解】
解：设平均每次降低成本的百分率为x ，根据题意得100（1-x ）（1-x ）=81，
解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）
即x=10%
故选D ．
13．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=o ，2a BC =
，AC b =，再在斜边AB 上截取2
a BD =.则该方程的一个正根是（ ）
A ．AC 的长
B ．AD 的长
C ．BC 的长
D ．CD 的长
【答案】B 【解析】
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB 的长，进而求得AD 的长,即可发现结论. 【解答】用求根公式求得：22221244;22
b a a b a a x x ++== ∵90,2a C BC AC b ∠=︒=
=，， ∴2
24
a AB
b =+， ∴2222
442a a b a a AD b +-=+= AD 的长就是方程的正根.
故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
14．代数式245x x ++的最小值是（ ）
A ．5
B ．1
C ．4
D ．没有最小值
【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
【详解】
∵x 2+4x+5=x 2+4x+4-4+5=（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当x=-2时，代数式x 2+4x+5的最小值为1．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
15．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A ．211x x +=
B ．10xy +=
C ．(x ＋1)(x －2)＝0
D ．()()2112x x x x -+=+ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】
A 、是分式方程，故此选项错误；
B 、是二元二次方程，故此选项错误；
C 、是一元二次方程，故此选项正确；
D 、整理后是一元一次方程，故此选项错误；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
16．若关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k <-
B ．1k >-
C ．1k <
D ．1k >
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用根的判别式进而得出k 的取值范围．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根，
∴24441()b ac k -=-⨯⨯-
=+>，
k
4 4 0
k>-．
∴1
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
17．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）
A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．2x2﹣x+1＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据判别式即可求出答案．
【详解】
A.△＝4，故选项A有两个不同的实数根；
B.△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；
C.△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；
D.△＝1﹣8＝﹣7，故选项D没有实数根；
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
18．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是()
A．70(1+x)2＝220
B．70(1+x)+70(1+x)2＝220
C．70(1﹣x)2＝220
D．70+70(1+x)+70(1+x)2＝220
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，找出等量关系，列出方程即可.
【详解】
三月份借出图书70本
四月份共借出图书量为70×(1+x)
五月份共借出图书量为70×(1+x)2
则70(1+x)+70(1+x)2＝220．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，分析题干，列出方程是解题关键.
19．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．213014000x x +-=
B ．2653500x x +-=
C ．213014000x x --=
D ．2653500x x --=
【答案】B
【解析】
【分析】 根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.
【详解】
由题意，设金色纸边的宽为xcm ，
得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，
整理后得：2653500x x +-=
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.
20．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．
的是( ) A ．12x x ≠
B ．21120x x -=
C ．122x x +=
D ．122x x ⋅=
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
【详解】
x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b 2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意；
21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；
12221b x x a -+=-
=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a
⋅=
=，故D 选项错误，符合题意， 故选D.
【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.。