第四章 特征值的估计与摄动-1

1 , 2 ,, n , 则
1) | i | n max | aij |,
i, j
2) | Re i | n max | bij |,
i, j
3) | Im i | n max | cij |,
i, j
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定理 3 (Bendixson)
设A R
akj x j xk
j 1 jk
j 1 n
xk ( akk )
akj x j
jk jk
| xk || akk | | akj x j |
| akj || x j || xk | | akj |
jk
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| akk | Rk
例 1 估计矩阵
1 1 A 2 0 1 1 2 3 2 i 2 0 1 2 i 5 0 0 0 i 2 5i
的特征值 的分布范围
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解：
S1 :| z 1| 1;
3 3 S2 :| z | ; 2 2
5
S4
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A (aij ) C nn 定义 2
行对角占优 列对角占优 行严格对角占优 列严格对角占优
| aii | Ri | aii | Ci
j 1,n i j

n
| aij | (i 1, 2, , n) | a ji | ( i 1, 2, , n) | aij | (i 1,2, , n) | a ji | (i 1,2, , n)
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an ,n

a 22

a kk
a11 G

ak 1, k 1
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推论 2 设A C nn ,则A的任一特征值
i ( S i ) ( G j )
i 1 j 1
n
n
推论 3 设n阶方阵A的n个盖尔圆盘两两互不相交，
则A相似于对角阵.
S3 :| z 5 | 1;
S1
S4 :| z 5i | 1
n
O
1 2

S2
S3
3
5

推论 1 设A C nn ,则A的任一特征值
i Gi
j 1
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定理 2(圆盘定理2)设n阶方阵A的n个盖尔圆盘中
有k个圆盘的并形成一连通区域G，且它与余下 的n - k个圆盘都不相交，则在该区域G中恰好有 A的k个特征值.
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| aii | Ri
j 1, j i n

| aii | Ci
j 1, n i j

j 1, j i

设A C nn 行(或列)严格对角占优 ，则 定理 4
A可逆，且i Si ( Si { z C :| z aii || aii |})
j i
Gi {z C :| z aii | Ci | a ji |}
j i
定理 1 (圆盘定理1) 设A C nn ,则A的任一特征值
S Sj
j 1
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n
证： Ax x ( x ( x1 , x2 , , xn )T 0)
n
xk | max(| x1 |, ,| xn |) 0 aij x j xi ( i 1, 2, , n) |
nn
,则
n n 2 1/ 2
i 1
| i ( A) | | det A | [ ( | aij | )]
j 1 i 1
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练习
• 估计A的行列式的上界
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2 圆盘定理
定义 1 设A (aij ) C nn 行盖尔圆盘 列盖尔圆盘
Si {z C :| z aii | Ri | aij |}
A, B, C的特征值分别为1 , 2 ,, n }, { {1 , 2 ,, n }, {i 1 , i 2 ,, i n }, 且满足 | 1 || 2 | | n |,
1 2 n ,
1 2 n.
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定理 2 (Hirsch)
i 1 n
证：
A行严格对角占优
n
Ri
j 1, j i

n
| aij | | aii |
i Si ( Si { z C :| z aii || aii |})
i 1
0 Si
0 Si
i 1
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n
r ( A) max | i |
i
定理 5 A (aij ) C
n
nn
则谱半径
n
r ( A) min{max | aij |, max | aij |}
1 i n j 1 1 j n i 1
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练习
• 估计A的谱半径的上界
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n n
, 则A的任一特征 值i 有
n( n 1) max | cij | 2 i, j
| Im i |
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扫描 P130
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有上界， 是否有下界呢？
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定理 4
设A C
nn
, B, C , i , i , i 定义同上, 则
n Re i 1 ,
n Im i 1
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4.1 特征值界的估计
定理 1 (Shur不等式)
设A C
nn
的特征值为 1 , 2 ,, n , 则
i
|
i 1
n
| | aij |
2 i 1 j 1
n
n
2
且等号成立当且仅当A为正规矩阵。
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A C
n n
1 H 1 H B ( A A), C ( A A ) 2 2
第四章
特征值的估计与摄动
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教学目标：
– 了解特征值界的估计;
– 掌握Gerschgorin圆盘定理 – 了解特征值的摄动
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应用举例
• 系统稳定性 自动控制中，估计A的特征值是否都有负的 实部，即是否都位于复平面的左半平面 • 差分方法稳定性 估计一个矩阵的特征值是否都在复平面的 单位圆上 • 线性方程组迭代求解收敛性 估计一个矩阵的特征值是否都在复平面的 单位圆内
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定理 5 (Browne):
设A C
nn
的特征值为 1 , 2 , , n ,
奇异值 1 2 n ,
有 n | i | 1 (i 1, 2, , n)
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特征值的整体情况？
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定理 6 (Hadamard不等式)
设A C
n