比值测试题及答案

比值测试题及答案
一、选择题
1. 比值测试中，如果分子和分母的极限都存在，那么比值的极限是：
A. 0
B. 无穷大
C. 分子极限与分母极限的商
D. 不确定
答案：C
2. 以下哪个选项是比值测试的特例？
A. 极限存在
B. 极限为无穷大
C. 极限为0
D. 极限不存在
答案：C
二、填空题
1. 假设函数 \(f(x)\) 在 \(x = a\) 处连续，且 \(f(a) \neq 0\)。

如果 \(\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)}\) 存在，那么
\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)g(x)}{f(x)h(x)}\) 等于 ________。

答案：\(\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)}\)
2. 当 \(x\) 接近正无穷时，\(\frac{1}{x}\) 的极限是 ________。

答案：0
三、简答题
1. 解释比值测试法在确定函数极限时的应用。

答案：比值测试法是一种用于确定函数极限的方法，特别是当分子
和分母都趋向于无穷大或无穷小时。

通过将分子和分母的极限进行比较，如果这个比值的极限存在且为非零常数，那么原函数的极限就是
这个比值的极限。

如果比值为0或无穷大，则原函数的极限也是0或
无穷大。

2. 举例说明比值测试法不适用的情况。

答案：比值测试法不适用于分子或分母的极限不存在的情况，或者
分子和分母的极限都为0或无穷大，但它们的比值的极限不存在的情况。

例如，考虑函数 \(\frac{\sin(x)}{x}\)，当 \(x\) 趋向于0时，分子和分母的极限都不存在，但比值的极限是1，这种情况下比值测试法是适用的。

然而，如果考虑 \(\frac{\sin(1/x)}{x}\)，当 \(x\)
趋向于无穷大时，分子和分母的极限都为0，但比值的极限不存在，此时比值测试法不适用。

四、计算题
1. 计算下列极限：
\(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{2x^2 + 5}\)
答案：首先观察分子和分母的最高次项，分子的最高次项是
\(x^2\)，分母的最高次项也是 \(x^2\)。

将它们相除，得到
\(\frac{x^2}{x^2} = 1\)。

因此，极限是1。

2. 如果 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)，计算下列极限：
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\)
答案：由于已知 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)，
我们可以将 \(\sin(2x)\) 替换为 \(2x\)（因为当 \(x\) 接近0时，\(\sin(x) \approx x\)），然后计算：
\(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2\)。

因此，极限是2。