交口县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

交口县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知函数1)1(')(2
++=x x f x f ，则=⎰
dx x f 1
)(（ ）
A ．67-
B ．67
C ．65
D ．6
5- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.
2． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 3． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
5． 由直线
与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A B1
C D
6． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．12π+15
B ．13π+12
C ．18π+12
D ．21π+15
7． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）
A ．1-
B ．2-
C ．
D ． 8． 下列命题正确的是（ ）
A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22
a b >”的必要不充分条件
B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有2
10x ->”
C ．函数13
1()()2
x
f x x =-的零点在区间11(,)32
内
D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥
9． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）
A ．2sin 2cos 2αα-+
B ．sin 3αα-+
C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+
10．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12x π=-
B ．12x π=
C ．6x π=-
D ．6
x π
=
11．四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）
A.4π
B.
C. 5π
D. 2π+
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算
能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知两个单位向量,a b 满足：1
2
a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= .
14．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：
①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x
f x e -<的解集为(0,)+∞；
②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1
(2)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
15．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）
的标准差是a = ．
16．已知[2,2]a ∈-，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分14分）
设集合12432x A x -⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
≤≤，{}
()222300B x x mx m m =+-<>.
（1） 若2m =，求A B ⋂;
（2） 若B A ⊇，求实数m 的取值范围．
18．（本题满分15分）
若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，12345
11111
15a a a a a +
+++=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
19．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p （0＜p ＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率
（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X ，求X 的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P ′（列代数式表示）
（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．
20．（本小题满分16分）
已知函数()133x x a
f x b
+-+=+．
（1） 当1a b ==时，求满足()3x f x =的的取值；
（2） 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在R t ∈，不等式(
)()2222f t t f t k -<-有解，求的取值范围；111]
②若函数()g x 满足()()()1
2333x
x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式
(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值.
21．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点． （Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为
，求AG 的长．
22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．
交口县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【答案】B
2．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
3．【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
则S4=4a1+d=﹣2，S5=5a1+d=0，
联立解得，
∴S6=6a1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
4．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
5．【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D。

6．【答案】C
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，圆锥的底面圆半径为1，高为2，
∴圆锥的母线长为5，
∴几何体的表面积S=×π×42+×π×4×5+×8×3=18π+12．
故选：C．
7．【答案】A
考点：复数运算．
8．【答案】C
【解析】
考
点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．
【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断. 9． 【答案】A 【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()
ααcos 22cos 2-112
2
1-=+=S ；利用三角形知识得出四个等
腰三角形面积ααsin 2sin 112
1
42=⨯⨯⨯⨯=S ；
故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角
形面积公式ααsin 2
1
sin 1121=⨯⨯⨯=S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()αcos 2-112
2+，进而得到正方形的面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到
答案.
10．【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z ππ
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 11．【答案】B
【解析】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （2，0，0），E （0，0，1），A （0，0，0），C （2，2，0），
=（﹣2，0，1），
=（2，2，0），
设异面直线BE 与AC 所成角为θ，
则cos θ===．
故选：B ．
12．【答案】B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】27
-． 【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；
三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 14．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数()()x
g x e f x =，()[()()]0x
g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增，
∴()x
f x e
-<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；
构造函数()()x f x g x e =，()()
()0x
f x f x
g x e '-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >，
∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2()()g x x f x =，2
()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()
0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递
减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当
0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
15．【答案】2 【解析】
试题分析：第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ，
22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=．
考点：方差；标准差． 16．【答案】(,0)(4,)-∞+∞
【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x )y 2
2
+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，
当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2
>++--+=-==x f ，即086x )2(2
>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2
a =时，044)42(x )2(y 2
>-+-+==x f ，即02x )2(2
>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1） {}22x x -<≤ （2） 2
03
m <≤
【解析】
（2） ()3,B m m =-，,要使A B ⊆ 1
只要322
5
3m m m --⎧⇒⎨
⎩≤≤≥， ……………………………………………………12分 所以2
03
m <≤
综上，知m 的取值范围是：2
03
m <≤……………………………………………14分
考点：集合运算
【易错点睛】（1）认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.
（2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
（3）防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.
18．【答案】（1）1
n a n
=
，（2）详见解析.
当
8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*|8,n n n N ≥∈，…………15分 19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X ～B （9，p ），故EX=9p ．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：．
通讯器械正常工作的概率P ′=
；
（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，
为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．
①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为： p 2；
②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：；
③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：
；
此时通讯器械正常工作，故它的概率为：
P ″=
p 2+
+
，
可得P ″﹣P ′=
p 2+
﹣
，
=
=
．
故当p=时，P ″=P ′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；
当0＜p 时，P ″＜P ′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；
当p
时，P ″＞P ′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．
【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．
20．【答案】（1） 1x =- （2） ①()1,-+∞，②6 【解析】
试题分析：（1）根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3x
f x =转化为一元二次方程：()2
332310x x ⋅+⋅-=，再根据指
数函数范围可得133
x
= ，解得1x =- （2） ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定
义确定其单调性：在R 上递减．最后根据单调性转化不等式()()
22
22f t t f t k -<-为2222t t t k ->-即
（2） 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()
333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的成立，则30260a b ab -=-=且
解得：11
33a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩
或，因为()f x 的定义域是R ，所以13a b =-⎧⎨=-⎩舍去
所以1,3a b ==， 所以()1
31
33
x x f x +-+=+ ………………………………………6分 ①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
1111]
对任意1212,,x x R x x ∈<有： ()()()()21
12
12
121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-=
⎪ ⎪++++⎝⎭
⎝⎭
因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分
因为()()
22
22f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在R t ∈时有解 所以440t ∆=+>，解得：1t >-，
所以的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分 ②因为()()()12333x x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=-
即()33x x g x -=+ ………………………………………12分
令()9h t t t =+，()291h t t
=-′，
()2,3t ∈时，()0h t <′，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()0h t >′，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤
所以，实数m 的最大值为6 ………………………………………16分 考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出
最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），
所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…
设平面ACE的法向量为=（x，y，z），
由=0，=0，得，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，
所以|cos＜＞|==，…
即=，解得t2=1或．
所以AG=1或AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
椭圆的离心率为，即有=，即a=c，b==c，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x2+y2=b2，
直线y=x+与圆相切，则有=1=b，
即有a=，
则椭圆C的方程为+y2=1；
（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），
由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，
即有+=0，即+=0，
即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①
设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得
（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，
判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，
即为t2﹣2k2＜1②
x1+x2=，x1x2=，③
y1=kx1+t，y2=kx2+t，
代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，
将③代入，化简可得t=2k，
则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．
即有直线l恒过定点（﹣2，0）．
将t=2k代入②，可得2k2＜1，
解得﹣＜k＜0或0＜k＜．
则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．。