高中数学常用公式及知识点(北师大版必修1-必修5及选修2-1)

小结：同增异 减。研究函数
y f u
增函数
u g x
增函数
y f g x
增函数
的单调性，定 义域优先考 虑，且复合函
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
数的单调区间 是它的定义域 的某个子区 间。
3．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称）
⑴若 f (x) 是偶函数，则 f x f x f x ；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数在
(2)
a
m n
1
（ a 0, m, n N ，且 n 1 ）.
m
an
13．根式的性质 ：（1） ( n a )n a ;（2）当 n 为奇数时， n an a ；当 n 为偶数时，
a, a 0
n
an
| a |
a, a
.
0
14．有理指数幂的运算性质
(1) ar as ars (a 0, r, s R) ;(2) (ar )s ars (a 0, r, s R) ;
x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间。
⑵定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在
x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间。
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f
x
f
x 0 或者
f x f x
1
f
x 0
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9.对于
y
x
，
y
x2
，
y
x3
，
y
1
x2
，
y
1
的图象，了解它们的变化情况．如
x
右下图：
10.几个函数方程的周期a 0 ⑴ y f x对 x R 时，
2
hx = x3 gx = x2
fx = x
1.5
qx = x
1
0.5
rx = 1
x
f (x) f (x a) ，则 f (x) 的周期为 a 的周
2. 复合函数单调性的判断方法：
⑴如果函数 f (x) 和 g(x) 都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,和函数 f (x) g(x) 也
是减函数（增函数）;
⑵ 对于复合函数 y f [ g ( x)]的单调性，必须考虑 y f (u)与 u g ( x)的单调性，从而得出 y f [ g ( x)]的单调性。
验.；
18.
⑴对数函数
y
log
a
x a
0, a
1 的图像和性质分析：
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N a
0,a
1, N
0
⑸ log bm m log b ；
a
a
⑹设函数 f (x) log (ax 2 bx c)(a 0) ,记 b2 4ac .若 f (x) 的定义域为 R ,则
m
a 0 ，且 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a 0 ，且 0 .对于 a 0 的情形,需要单独检
多项式函数 P(x) 是偶函数 P(x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
4. 函 数 y f (x) 的 图 象 的 对 称 性 ： 函 数 y f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x a 对 称
f ( a x) f( a x) f ( 2a x) f ( x.)
5.两个函数图象的对称性
5. 集合{a , a , , a } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个；
12
n
非空的真子集有 2n –2 个.
6.方程 f (x) 0 在 (k , k ) 上有且只有一个实根,与 f (k ) f (k ) 0 不等价,前者是后者的
12
1
2
一个必要而不是充分条件 .特别地 , 方程 ax 2 bx c 0(a 0) 有且只有一个实根在
(k ,k
) 内,等价于 f (k ) f (k
) 0 ,或 f (k ) 0 且 k
b
k k 1 2
,或 f (k
)0且
12
1
2
1
1 2a
2
2
k k
1
2
b
k
.
2
2a 2
7.闭区间上的二次函数的最值问题：
二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 在闭区间 p, q上的最值只能在 x b 处及区间的
(2)指数函数 f (x) ax , f (x y) f (x) f ( y), f (x y) f (x) f ( y), f (1) a 0 .
x
(3)对数函数 f (x) log x , f (xy) f (x) f ( y), f ( ) f (x) f ( y), .
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⑸ y f x对 x R 时，f (x) f (x a) 0 ，或 f (x a) 1 ( f()x0) ,则 y f x
f (x)
的周期 2 a 的周期函数
11. 函数图像变换
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位
y f x b 图象
向左(φ >0)或向右(φ <0)移︱φ ︱单位
y f x图象
点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变
y
f
x
图象
y = Af x图象
点的横坐标变为原来的1/ω 倍 纵坐标不变
y = f(wx) 图象
m
12.分数指数幂 ：(1) a n n am （ a 0, m, n N ，且 n 1 ）;
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高中数学
常用公式及知识点 记忆检测
（ 必 修 1 必 修 5 及 选 修 2-1）
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目录
必 修 1 …………………………………………………… 3 必 修 2 …………………………………………………… 7 必 修 3 …………………………………………………… 10 必 修 4 …………………………………………………… 13 必 修 5 …………………………………………………… 18 选 秀 2 - 1 ……………………………………………… 22 后 记 ……………………………………………………… 28
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必修 1
1.集合的基本运算
§ 集合
；
；
2. .集合的包含关系: ； ；
3.识记重要结论： A B A A B ; A B A A B ;
C A B C A C B;C A B C A C B
2a
min
②若 x b p,q，则 f (x) maxf ( p), f (q)， f (x) minf ( p), f (q).
2a
max
min
8. a f x a f x ； a f x a f x
max
min
9. 由不等导相等的有效方法：若 a b 且 a b ，则 a b .
将曲线 f (x, y) 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线 f (x a, y b) 0 的图象.
7．互为反函数的两个函数的关系： f (a) b f 1(b) a .
8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型
(1)正比例函数 f (x) kx , f (x y) f (x) f ( y), f (1) k .
a
y
f (a) 1(a 0, a 1)
(4)幂函数 f (x) x , f (xy) f (x) f ( y), f ' (1) . (5) 余 弦 函 数 f (x) cos x , 正 弦 函 数 g(x) sin x ， f (x y) f (x) f (y) g(x)g(y) ， f (0) 1.
12
1
2
x x
12
(2)设函数 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f (x) 0 ，
则 f (x) 为减函数.
⑶单调性性质：
①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数
-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
2a
两 端 点 处 取 得 ， 具 体 如 下 ： (1) 当 a>0 时 ， ① 若 x b p, q ， 则
2a
f ( x) f ( b ) ,f (x ) m a fx p ( ；f ) q, ( )
min
f (x) maxf ( p), f (q)，
C 即函数的值域；
④ D x y log x2 2x 1 中的元素是函数 y log x2 2x 1 的自变量， D 即函
2
2
数的定义域；
⑤ M x, y y 2x 3 中的元素可看成是关于 x, y 的方程的解集，也可看成以方程
y 2x 3 的解为坐标的点， M 为点的集合，是一条直线。
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r R) .
15.指数式与对数式的互化式： log N b ab N (a 0, a 1,N 0)
a
.
log N 16.对数的换底公式 ： log N m ( a 0 ,且 a 1, m 0 ,且 m 1, N 0 ).
a log a
m
n
推论 log bn log b ( a 0 ,且 a 1 , m, n 0 ,且 m 1, n 1 , N 0 ).
am
ma
17．对数有关性质：
⑴ log b 的符号有口诀“同正异负”记忆；
a
⑵ log a 1；
a
⑶ log 1 0 ；
a
⑷对数恒等式： alogaN
3
2
1
O
11
2
3
4
0.5
期函数
⑵ f x a f x a
1
1.5
或 f x 2a f x a 0
2
恒成立，则 y f x是周期为 2a 的周期函数
⑶若 y f x是偶函数，其图像又关于直线 x a 对称，则是周期为 2 a 的周期函数
⑷若 y f x是奇函数，其图像又关于直线 x a 对称，则是周期为 4 a 的周期函数
2a
max
f (x) minf ( p), f (q).
min
最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与 所给区间的相对位置关系。
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(2)当 a<0 时，①若 x b p, q，则 f (x) minf ( p), f (q)，
U
U
U
U
U
U
4．对常用集合的元素的认识
① A x x2 3x 4 0 中的元素是方程 x2 3x 4 0 的解， A 即方程的解集；
② B x x2 x 6 0 中的元素是不等式 x2 x 6 0 的解， B 即不等式的解集；
③ C y y x2 2x 1,0 x 5 中的元素是函数 y x2 2x 1,0 x 5 的函数值，
(1)函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 x 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 y 0 (即 x 轴)对称.
(3)指数函数
y
ax和
y
log
a
x 的图象关于直线
y=x
对称.
6.若将函数 y f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 y f (x a) b 的图象；若
⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，
如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y
轴对称，那么这个函数是偶函数．
⑸多项式函数 P(x) a xn a xn1 a 的奇偶性
n
n 1
0
多项式函数 P(x) 是奇函数 P(x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
§
函数
1(1.函)设数x的单x 调性a,b, x x 那么
12
1
2
(x x )f (x ) f (x ) 0
f (x ) 1
f (x ) 2
0
f (x)在a,b上是增函数；
12
1
2
x x
12
(x
x )f (x ) f (x ) 0
f
(x ) 1
f
(x ) 2
0
f (x)在a,b上是减函数.