{3套试卷汇总}2019年南京某大学附属中学九年级上学期期末达标测试数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图像经过原点，则m的值为（）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据题意将（0，0）代入解析式，得出关于m的方程，解之得出m的值，由二次函数的定义进行分析可得答案．
【详解】解：∵二次函数y=mx1+x+m（m-1）的图象经过原点，
∴将（0，0）代入解析式，得：m（m-1）=0，
解得：m=0或m=1，
又∵二次函数的二次项系数m≠0，
∴m=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数图象上的点满足函数解析式及二次函数的定义是解题的关键．
2．方程x(x-1)＝2(x-1)2的解为（）
A．1 B．2 C．1和2 D．1和-2
【答案】C
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】x（x-1）=2（x-1）2，
x（x-1）-2（x-1）2=0，
（x-1）（x-2x+2）=0，即（x-1）（-x+2）=0，
∴x-1=0或-x+2=0，
解得：x=1或x=2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
3．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为
6
6
1
-
-=，即可得出选项．
【详解】解：方程x 2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
4．若O 的半径为3，且点P 到O 的圆O 的距离是5，则点P 在( ) A ．O 内 B ．O 上 C ．O 外 D ．都有可能
【答案】C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d ，则d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内．
【详解】解：∵点到圆心的距离5，大于圆的半径3，
∴点在圆外．故选C ．
【点睛】
判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
5．下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A ．21x y +=
B ．x 2+5=0
C ．x 2+3x =8
D ．x （x+3）=x 2﹣1 【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A 、方程x+2y=1是二元一次方程，故本选项错误；
B 、方程x 2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；
C 、方程x 2+3x
=8是分式方程，故本选项错误； D 、方程x （x+3）=x 2-1是一元一次方程，故本选项错误．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续掷三次，出现“一次正面，两次反面”的概率为（ ）
A ．18
B ．38
C ．14
D ．12
【答案】B
【分析】利用树状图分析，即可得出答案.
【详解】
共8种情况，出现“一次正面，两次反面”的情况有3种，所以概率=
38
，故答案选择B. 【点睛】 本题考查的是求概率：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
． 7．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．
的是( ) A ．12x x ≠
B ．21120x x -=
C ．122x x +=
D ．122x x ⋅=
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
【详解】x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b 2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意； 21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；
12221b x x a -+=-
=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a
⋅=
=，故D 选项错误，符合题意， 故选D.
【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 8．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点的坐标是( )
A ．(2，3)
B ．(－2，3)
C ．(－2，－3)
D ．(－3，2)
【答案】B
【解析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ）”解答．
【详解】根据中心对称的性质，得点P （2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B ．
【点睛】
关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 9．已知正多边形的边心距与边长的比为12，则此正多边形为（ ） A ．正三角形
B ．正方形
C ．正六边形
D ．正十二边形 【答案】B
【分析】边心距与边长的比为12
，即边心距等于边长的一半，进而可知半径与边心距的夹角是15度．可求出中心角的度数，从而得到正多边形的边数．
【详解】如图，圆A 是正多边形的内切圆；
∠ACD ＝∠ABD ＝90°，AC ＝AB ，CD ＝BD 是边长的一半，
当正多边形的边心距与边长的比为
12，即如图有AB ＝BD ， 则△ABD 是等腰直角三角形，
∠BAD ＝15°，∠CAB ＝90°，
即正多边形的中心角是90度，
所以它的边数＝360÷90＝1．
故选：B ．
【点睛】
本题利用了正多边形与它的内切圆的关系求解，转化为解直角三角形的计算．
10．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A ．1y x =-+
B ．1y 2x -=-
C ．2x y =-
D ．25y x =+
【答案】B
【分析】由题意直接根据反比例函数的定义对下列选项进行判定即可．
【详解】解：根据反比例函数的定义可知1y 2x -=-是反比例函数， 1y x =-+，2
x y =-是一次函数， 25y x =+，是二次函数，都要排除.
故选：B ．
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，注意掌握反比例函数解析式的一般形式0k
y k x
=≠（），也可以转化为
10y kx k -=≠（）的形式.
11．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ）
A ．14
B ．13
C ．512
D ．12
【答案】B
【分析】利用概率公式直接计算即可.
【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个， 从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率
41123=． 故选B ．
【点睛】
本题考查概率的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.
12．若点11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 都在反比例函数2y x =-
的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）
A ．123y y y <<
B ．231y y y <<
C ．132y y y <<
D ．321y y y << 【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象特征即可得． 【详解】反比例函数2y x
=-的图象特征：（1）当0x <时，y 的取值为正值；当0x >时，y 的取值为负值；（2）在每个象限内，y 随x 的增大而增大
由特征（1）得：1230,0,0y y y ><<，则1y 最大
由特征（2）得：23y y <
综上，231y y y <<
故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象特征，掌握理解反比例函数的图象特征是解题关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．等腰三角形的底角为15°，腰长为20cm ，则此三角形的面积为 ．
【答案】100
【解析】试题分析：先作出图象，根据含30°角的直角三角形的性质求出腰上的高，再根据三角形的面积公式即可求解．
如图，
∵∠B=∠C=15°
∴∠CAD=30°
∴CD=AC=10
∴三角形的面积
考点：本题考查的是三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；30°角的所对的直角边等于斜边的一半．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E如果BC=8，
4
tan
3
A=，那么BD=_____．
【答案】25 4
【解析】：∵在RT△ABC中，∠C=90°,BC=8，tanA=
4
3
,∴AC=
8
6
4
tan
3
BC
A
==
,
∴AB=2284
10,cos
105
BC
AC BC B
AB
+====,∵边AB的垂直平分线交边AB于点E, ∴BE=
1
5
2
AB=,∵在RT△BDE中，∠BED=90°, ∴cosB=
4
5
BE
BD
=,∴BD=
55525
444
BE⨯
==,故答案为
25
4
.
点睛：本题考查了解直角三角形，线段平分线的性质，掌握直角三角形中边角之间的关系是解答本题的关键.
15．如图，在ABC
∆中，2
AC=，4
BC=，D为BC边上的一点，且CAD B
∠=∠，若ADC
∆的面积为3，则ABD
∆的面积为__________．
【答案】1
【分析】首先判定△ADC∽△BAC，然后得到相似比，根据面积比等于相似比的平方可求出△BAC的面积，
减去△ADC的面积即为△ABD的面积．【详解】∵∠CAD=∠B，∠C=∠C
∴△ADC∽△BAC
∴相似比AC21
=
=
BC42
则面积比
2
ADC
BAC
S11
==
S24
∴BAC ADC
S=4S=43=12
∴ABD BAC ADC
S=S S=123=9
--
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．一张矩形的纸片ABCD中，AB=10，AD=8.按如图方式折，使A点刚好落在CD上。

则折痕（阴影部分）面积为_________________.
【答案】25
【分析】根据折叠利用方程求出AE的长即可
【详解】设AE x
=，则8
DE x
=-
∵折叠
∴ABE FBE
≅∆
∆
∴10,
AB BF AE EF x
====
∴226
Rt BCF CF BF BC
∆+=
中，
∴DF=4
∴222
Rt BCF F DE EF
∆+=
中，D
222
(8)4
x x
-+=
解得5
x=
∴
11
10525
22
BEF BEA
S S AB AE
∆∆
==⨯=⨯⨯=
故答案为25
【点睛】
本题考查了折叠与勾股定理，利用折叠再结合勾股定理计算是解题关键。

17．如图，已知⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连接OA ，OC ，若AD 2＝AB•DC ，则OD ＝__．
【答案】
512
． 【分析】 可证△AOB≌△AOC，推出∠ACO=∠ABD，OA=OC ，∠OAC=∠ACO=∠ABD，∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；依据对应边成比例，设OD=x ，表示出AB 、AD ，根据AD 2=AB•DC，列方程求解即可．
【详解】
在△AOB 和△AOC 中，
∵AB＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，
∴△AOB≌△AOC（SSS ），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OA＝OA ，
∴∠ACO＝∠OAD，
∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA， ∴AD OD AO BD AD AB
==， 设OD ＝x ，则BD ＝1+x ， ∴
11AD x x AD AB ==+， ∴OD ()1x x =+AB ()
1x x +=，
∵DC＝AC ﹣AD ＝AB ﹣AD ，AD 2＝AB•DC， ()1x x +2()
1x x +()
()11x x x x ++， 整理得：x 2+x ﹣1＝0，
解得：x 15-+=x 15--=（舍去），
因此AD
51
-=，
故答案为51 -
．
【点睛】
本题考查了圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法．
18．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10 次射击的平均成绩都是7 环，其中甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，由此可知_____的成绩更稳定．
【答案】甲
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故答案为甲；
【点睛】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为5．
（1）分别求出线段AP、CB的长；
（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E=3
2
，求DE的长．
【答案】（1）CB=2，AP =2；（2）证明见解析；（3）513
．
【分析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，
再根据垂径定理由直径FG ⊥AB 得到AP=BP=12
AB=2；
（2）易得OP 为△ABC 的中位线，则OP=12BC=1，再计算出1OC OE OP OA
==，根据相似三角形的判定方法得到△EOC ∽△AOP ，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE 是⊙O 的切线；
（3）根据平行线的性质由BC ∥EP 得到∠DCB=∠E ，则tan ∠DCB=tan ∠E=32
，在Rt △BCD 中，根据正切的
定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出然后根据平行线分线段成比例定理得
DC DB DE DP =，再利
用比例性质可计算出DE=3．
【详解】解：（1）∵AC 为直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt △ABC 中，AB=4，
∴，
∵直径FG ⊥AB ，
∴AP=BP=1
2AB=2；
（2）∵AP=BP ，
∴OP 为△ABC 的中位线，
∴OP=1
2BC=1，
∴1OC OP =，
而OE
OA ==， ∴OC
OE
OP OA =，
∵∠EOC=∠AOP ，
∴△EOC ∽△AOP ，
∴∠OCE=∠OPA=90°，
∴OC ⊥DE ，
∴DE 是⊙O 的切线；
（3）∵BC ∥EP ，
∴∠DCB=∠E ，
∴tan ∠DCB=tan ∠E=3
2
在Rt △BCD 中，BC=2，tan ∠DCB=BD BC =32， ∴BD=3，
∴CD=22BC BD +=13，
∵BC ∥EP ，
∴DC DB DE DP =，即133DE 32
=+， ∴DE=5133
． 20．如图，在边长为1的正方形网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）．将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 1OB 1．
（1）画出旋转后的△A 1OB 1，点A 1的坐标为______ ；
（2）在旋转过程中，点B 经过的路径的长．
【答案】 (1)图见解析，点A 1 （-2，3）；（2）10
2π.
【解析】试题分析：（1）根据将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 1OB 1，得出点A 1的坐标即可； （2）利用弧长公式求出点B 经过的路径长即可．
（1）如图，
∴ 点A 1 （-2，3）
（2）由勾股定理得，OB= ，
∴弧长2?101042
l ππ==
21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的1
2
，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，
并求出∠A2C2B2的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
10 10
【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．
考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．
22．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：EB=DC；
（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）110°
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质可得∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可证出EAB≌DAC
△，从而证出结论；
（2）根据等边三角形的判定定理可得EAD为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出结论．
【详解】解：（1）∵ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在EAB和DAC
△中，
∵
AB AC
EAB DAC AE AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴EAB≌DAC
△．
∴EB＝DC．
（2）如图，
由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，∴EAD为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
由（1）得EAB≌DAC
△，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，
∴∠ADC=110°．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键．
23．如图，一位同学想利用树影测量树高AB ，他在某一时刻测得高为0.8m 的竹竿影长为1m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高 1.2CD m =，又测得地面部分的影长 4.5BD m =，则他测得的树高应为多少米?
【答案】树高为4.8米．
【分析】延长AC 交BD 延长线于点E ，根据同一时刻，物体与影长成正比可得
0.81AB BE =，根据AB//CD 可得△AEB ∽△CED ，可得
CD AB DE BE =，即可得出0.81CD DE =，可求出DE 的长，由BE=BD+DE 可求出BE 的长，根据0.81
AB BE =求出AB 的长即可． 【详解】延长AC 和BD 相交于点E ，则DE 就是树影长的一部分，
∵某一时刻测得高为0.8m 的竹竿影长为1m ， ∴0.81
AB BE =， ∵AB//CD ，
∴△AEB ∽△CED ， ∴
CD AB DE BE
=， ∴0.81
CD DE =， ∴ 1.2 1.50.80.8CD DE ===， ∴ 4.5 1.56BE BD DE =+=+=，
∴0.80.86 4.8AB BE =⨯=⨯=，
∴即树高为4.8米．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物体与影长成正比及相似三角形判定定理是解题关键．24．如图，已知AB经过圆心O ，交⊙O于点C．
（1）尺规作图：在AB上方的圆弧上找一点D，使得△ABD是以AB为底边的等腰三角形（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若∠DAB=30°，求证：直线BD与⊙O相切．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）作线段AB的垂直一部分线，交AB上方的圆弧上于点D，连接AD，BD，等腰三角形ABD
即为所求作；
（2）由等腰三角形的性质可求出∠B=30゜，连接OD，利用三角形外角的性质得∠DOB=60゜，再由三角形内角和求得∠ODB=90゜,从而可证得结论．
【详解】（1）如图所示；
（2）∵△ABD是等腰三角形，且∠DAB=30°，
∴∠DBA=30゜，
连接OD，
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=30゜
∴∠DOB=∠ODA+∠OAD=60゜
在△ODB中，∠DOB+∠ODB+∠DBO=180゜
∴∠ODB=180゜-∠DOB-∠DBO=90゜，即OD BD
∴直线BD与⊙O相切．
【点睛】
本题考查的是切线的判定，掌握“连交点，证垂直”是解决这类问题的常用解题思路．
25．如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形(顶点是格点的三角形)
(1)若每个小矩形的较短边长为1，则BC=；
(2)①在图1、图2中分别画一个格点三角形(顶点是格点的三角形)，使它们都与△ABC相似(但不全等)，且图1，2中所画三角形也不全等)．
②在图3中只用直尺(没有刻度)画出△ABC的重心M．(保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M)
【答案】(1)5；(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据勾股定理，计算BC即可；
（2）①根据图形，令∠B′A′C′=∠BAC，且使得△A′B′C′与△ABC相似比为2作出图（1）即可；令
∠B″A″C″=∠BAC，△A″B″C″与△ABC相似比为2作出图（2）即可；
②根据格点图形的特征，以及中点的定义，连接格点如图所示，则交点M即为所求．
【详解】解：(1)BC=22
=5；
12
故答案为：5；
(2)①如图1，2所示：∠B′A′C′=∠BAC，△A′B′C′与△ABC相似比为2，∠B″A″C″=∠BAC，△A″B″C″与△ABC
相似比为2即为所求作图形；
②如图3所示：利用格点图形的特征，中点的定义，作出点M即为所求．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，格点图中作相似三角形，中点的定义，格点图形的特征，掌握格点图形的特征是解题的关键．
26．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀
称中线”．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．
①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，
②求BC：AC：AB的值．
（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝26，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．
【答案】（1）①“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②BC：AC：AB＝3:2:7；（2）CD＝7a，CM不是△ACD的“匀称中线”．理由见解析.
【分析】（1）①先作出Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案；
②设AC＝2a，利用勾股定理分别把BC,AB的长度求出来即可得出答案.
（2）由②知：AC：AD：CD＝3:2:7，设AC＝3a，则AD＝2a，CD＝7a，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用ABC的面积建立一个关于a的方程，解方程即可求出CD的长度；假设CM是△ACD的“匀称中线”，看能否与已知的定理和推论相矛盾，如果能，则说明假设不成立，如果不能推出矛盾，说明假设成立.
【详解】（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，
∵∠ACB＝90°，
∴CF＝1
2
AB AB
，即CF不是“匀称中线”．
又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，
②设AC ＝2a ，则CE ＝a ，BE ＝2a ，
在Rt △BCE 中∠BCE ＝90°，
∴BC ＝223BE CE a -=， 在Rt △ABC 中，AB ＝227BC AC a +=，
∴BC ：AC ：AB ＝3:2:73:2:7a a a = （2）由旋转可知，∠DAE ＝∠BAC ＝45°．AD ＝AB ＞AC ，
∴∠DAC ＝∠DAE+∠BAC ＝90°，AD ＞AC ，
∵Rt △ACD 是“匀称三角形”．
由②知：AC ：AD ：CD ＝3:2:7 设AC ＝3a ，则AD ＝2a ，CD ＝7a ，
如图②，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，则∠AHC ＝90°，
∵∠BAC ＝45°，
∴622
CH AH a === ∵116226222
ABC S AB CH a a ==⨯⨯=解得a ＝2，a ＝﹣2（舍去），
∴727CD a ==判断：CM 不是△ACD 的“匀称中线”．
理由：假设CM 是△ACD 的“匀称中线”．
则CM ＝AD ＝2AM ＝4，AM ＝2，
∴23tan 3AC AMC AM ∠===又在Rt △CBH 中，∠CHB ＝90°，CH 6 ，BH ＝46，
∴
6263
tan tan
5
46
CH
B AMC
BH
+
===≠∠
-
即B AMC
∠≠∠
这与∠AMC＝∠B相矛盾，
∴假设不成立，
∴CM不是△ACD的“匀称中线”．
【点睛】
本题主要为材料理解题，掌握匀称三角形和匀称中线的意义是解题的关键.
27．如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m．
（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）10m
【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影；
（2）易证△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答即可.
【详解】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=BC：EF，
∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，
∴5：DE=3：6，
∴DE=10m．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，解此题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A ．3
B ．6
C ．7
D ．14 【答案】B
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，
【详解】 解：根据题意列出方程
0.320 x ， 解得：x=6，
故选B.
考点：利用频率估计概率．
2．在△ABC 中，若|sinA ﹣
12|+（2﹣cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45°
B ．75°
C ．105°
D ．120° 【答案】C
【解析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】由题意得，sinA-12=0，2
-cosB=0，
即sinA=12，2
=cosB ， 解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选C ．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．我们知道，一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式进行求解．对于一元三次方程ax 3+bx 2+cx+d ＝0（a ，b ，c ，d 为常数，且a≠0）也可以通过因式分解、换元等方法，使三次方程“降次”为二次方程或一次程，进而求解．这儿的“降次”所体现的数学思想是（ ）
A．转化思想B．分类讨论思想
C．数形结合思想D．公理化思想
【答案】A
【分析】解高次方程的一般思路是逐步降次，所体现的数学思想就是转化思想．
【详解】由题意可知，解一元三次方程的过程是将三次转化为二次，二次转化为一次，从而解题，在解题技巧上是降次，在解题思想上是转化思想．
故选：A．
【点睛】
本题考查高次方程；通过题意，能够从中提取出解高次方程的一般方法，同时结合解题过程分析出所运用的解题思想是解题的关键．
4．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（）
A．37
22
OP
≤≤B．2≤OP≤4C．
5
2
≤OP≤
9
2
D．3≤OP≤4
【答案】A
【分析】如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，由勾股定理可求B'A＝5，由三角形中位线定理可求B'C＝2OP，当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，即可求解．
【详解】解：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，
∵点B（0，3），B'（0，﹣3），点A（4，0），
∴OB＝OB'＝3，OA＝4，
∴5
B A'===，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵OB＝OB'，BP＝PC，
∴B'C＝2OP，
当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，
当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，
∴37 22
OP
≤≤，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平面直角坐标系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形中位线定理的相关内容，能够得到线段之间的数量关系.
5．下列事件中，必然事件是（）
A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王
C．通常情况下，抛出的篮球会下落
D．三角形内角和为360°
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；
从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王是随机事件；
通常情况下，抛出的篮球会下落是必然事件；
三角形内角和为360°是不可能事件，
故选C.
【点睛】
本题考查随机事件.
6．在正方形网格中，ABC如图放置，则tan CAB
∠=（）
A ．32
B ．23
C 213
D ．12
【答案】B
【分析】依据正切函数的定义：正切函数是直角三角形中,对边与邻边的比值叫做正切．由Rt ABC 中3AB =，2BC =，求解可得．
【详解】解：在Rt ABC 中，3AB =，2BC =， 则23BC tan CAB AB ∠=
=， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握正切函数的定义．
7．已知x=-1是关于x 的方程2ax 2+x －a 2=0的一个根，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．无法确定 【答案】A
【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=-1代入2ax 2+x －a 2=0得到关于a 的方程，然后解此方程即可．
【详解】解：∵x=-1是关于x 的方程2ax 2+x －a 2=0的一个根，
∴2a-1-a 2=0
∴1-2a+a 2=0，
∴a 1=a 2=1，
∴a 的值为1
故选：A
【点睛】
本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型
8．反比例函数y ＝
k x 图象经过A （1，2），B （n ，﹣2）两点，则n ＝（ ） A ．1
B ．3
C ．﹣1
D ．﹣3
【答案】C
【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到：k=1×2=-2n ，然后解方程即可．
【详解】解：∵反比例函数y ＝
k x
图象经过A （1，2），B （n ，﹣2）两点， ∴k ＝1×2＝﹣2n ．
解得n ＝﹣1．
故选C ．
【点睛】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 9．⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为d ，如果点P 在圆内，则d ( )
A ．2d ＜
B ．=4d
C ．4d ＞
D ．4d 0≤＜ 【答案】D
【解析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】∵点P 在圆内，且⊙O 的半径为4，
∴0≤d＜4，
故选D ．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有：①点P 在圆外⇔d ＞r ，②点P 在圆上⇔d=r ，③点P 在圆内⇔d ＜r ．
10．一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了45次手，这次参加会议到会的人数是x 人，可列方程为：（ ）
A ．(1)45x x +=
B ．1(1)452x x -=
C ．1(1)452x x +=
D ．(1)45x x -=
【答案】B
【分析】设这次会议到会人数为x ，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且整场会议一共握了45次手，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设这次会议到会人数为x ， 依题意，得：1(1)452x x -=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．如图：已知AD ∥BE ∥CF ，且AB ＝4，BC ＝5，EF ＝4，则DE ＝（ ）
A．5 B．3 C．3.2 D．4 【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴AB DE
BC EF
=，即
4
54
DE
，
解得，DE＝3.2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12．如果一个扇形的弧长是4
3
π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（）
A．40°B．45°C．60°D．80°【答案】A
【解析】试题分析：∵弧长
n r
l
180
π
=，∴圆心角()
4
180
180l3
n40
r6
π
ππ
⨯
===︒
⨯
．故选A．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为_____．
【答案】2．
【解析】令y=0，可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离．
【详解】∵抛物线y=x2﹣4x+3=（x﹣3）（x﹣2），∴当y=0时，0=（x﹣3）（x﹣2），解得：x2=3，x2=2．∵3﹣2=2，∴抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．因式分解：ax3y﹣axy3＝_____．
【答案】axy（x+y）（x﹣y）
【分析】提取公因式axy 后剩余的项满足平方差公式，再运用平方差公式即可；
【详解】解：ax 3y ﹣axy 3＝axy ()22x -y
= axy （x+y ）
（x ﹣y ）； 故答案为：axy （x+y ）（x ﹣y ）
【点睛】
本题主要考查了提公因式法与公式法的运用，掌握提公因式法，平方差公式是解题的关键.
15．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC ，BC 上，有两个顶点在斜边AB 上，则ABC ∆的面积为__________．
【答案】16
【解析】根据题意、结合图形，根据相似三角形的判定和性质分别计算出CB 、AC 即可．
【详解】解：
由题意得：DE ∥MF,所以△BDE ∽△BMF,所以 BD DE BM MF =，即 214
BD BD =+,解得BD=1，同理解得：AN=6；又因为四边形DENC 是矩形，所以DE=CN=2，DC=EN=3,所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，ABC ∆的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16.
故答案为：16.
【点睛】
本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、相似三角形的判定和性质熟练地掌握．
16．菱形ABCD 的周长为20，且有一个内角为120°，则它的较短的对角线长为______．
【答案】1
【分析】根据菱形的性质可得菱形的边长为1，然后根据内角度数进而求出较短对角线的长．。