隆尧县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

隆尧县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（
）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
3． 已知函数f （x ）=Asin （ωx ﹣）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角
形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（
）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移
个长度单位D ．向右平移
个长度单位
4． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）
A ．
7
25
B ．7
25
-
C. 7
25
±
D ．
2425
5． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（
）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
6． 双曲线E 与椭圆C ：＋＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
x 2
9y 2
3
为π，则E 的方程为（ ）
A.－＝1
B.－＝1
x 2
3y 23x 24y 22C.－y 2＝1 D.－＝1
x 2
5x
22y 2
4
7． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 的倾斜角为（ ）
10y -+=A ．
B ．
C ．
D ．150
120
60
30
9． 已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列
{}n a 22(2,log )M a 25(5,log )N a 1y x =-的前项和为（
）
{}n a n A ．
B ．
C ．
D ．22n
-1
2
2n +-21n -121
n +-10．设集合,集合,若 ,则的取值范围3|
01x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
(){}2|220B x x a x a =+++>A B ⊆（
）
A ．
B ．
C.
D ．1a ≥12a ≤≤a 2≥12
a ≤<11．复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
2
(2)i z i
-=i z A ． B ． C ． D ．43i -+43i +34i +34i
-【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．12．圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）1
2
A.缩小到原来的一半
B.扩大到原来的倍
C.不变
D.缩小到原来的
16
二、填空题
13．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，若使C 2
2
230x y y +--=()1,2P -C ,A B AB
最小则直线的方程是 ．
14．f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，则常数c 的值为
．14．已知集合
，若3∈M ，5∉M ，则实数a 的取值范围是 ．
15．设函数 则______；若，，则的大小关
系是______．
16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.
17．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为　2　．
18．（文科）与直线垂直的直线的倾斜角为___________．
10x +-=三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知数列{}的前n 项和为，且满足．n a n S *)(2N n a n S n n ∈=+（1）证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
}1{+n a n a （2）数列{}满足，其前n 项和为，试求满足的n b *))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=n T 20152
2>++n
n T n 最小正整数n ．
【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.
n 20．已知集合P={x|2x 2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}．（1）若a=1，求P ∩Q ；
（2）若x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
21．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线
有相同的渐近线，且焦距为
的双曲线的标准方程．
22．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：（x+3）2+（y ﹣1）2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=4（1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为2，求直线l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．
23．如图所示，两个全等的矩形和所在平面相交于，，，且
ABCD ABEF AB M AC ∈N FB ∈，求证：平面．
AM FN =//MN BCE
24．（本题满分12分）在长方体中，，是棱上的一点，是棱1111D C B A ABCD -a AD AA ==1E CD P 1AA 上的一点.
（1）求证：平面；
⊥1AD D B A 11
（2）求证：；
11AD E B （3）若是棱的中点，是棱的中点，求证：平面.
E CD P 1AA //DP AE B 1
隆尧县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b”为真命题；
故其逆否命题也为真命题；
其逆命题为“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”在c=0时不成立，故为假命题
故其否命题也为假命题
故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个
故选C
【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键．
2．【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，
设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD
Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米
在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900
∴CD=30米（负值舍去）
故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．
3．【答案】A
【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω=
=
，
即f （x ）=Asin ωx=sin （x ﹣），g （x ）=sin x ，
由于f （x ）=
sin （
x ﹣
）=
sin[
（x ﹣）]，
故为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象向左平移个长度单位．故选：A ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．　
4． 【答案】A 【解析】
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化.5． 【答案】D 【解析】解：双曲线
﹣
=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4．故选D ．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．　
6． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为－＝1，
x 2
a 2y 2
b 2
渐近线方程为y ＝±x ，即bx ±ay ＝0，
b a
由题意得E 的一个焦点坐标为（，0），圆的半径为1，
6∴焦点到渐近线的距离为1.即＝1，
|6b |
b 2＋a 2
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝，5∴E 的方程为－y 2＝1，故选C.
x 2
5
7． 【答案】A
【解析】解：直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y ﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是： =
．
故选：A ．　
8． 【答案】C 【解析】
，可得直线的斜率为，故选C.1
10y -+=k =tan 60αα=⇒= 考点：直线的斜率与倾斜角.9． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前项和公式．，，∴
n 22log 1a =25log 4a =,,∴,，数列的前项和为，选C ．
22a =516a =11a =2q ={}n a n 21n -10．【答案】A 【解析】
考
点：集合的包含关系的判断与应用.
【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键.11．【答案】A
【解析】根据复数的运算可知，可知的共轭复数为，故选A.
43)2()2(22
--=--=-=i i i i
i z z 43z i =-+12．【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为，将圆锥的高扩大到原来2
113
V r h π=的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为，所以，故选A.
122
22111(2)326
V r h r h ππ=⨯=122V V =考点：圆锥的体积公式.1
二、填空题
13．【答案】30x y -+=【解析】
试题分析：由圆的方程为，表示圆心在，半径为的圆，点到圆心的距
C 2
2
230x y y +--=(0,1)C ()1,2P -
，小于圆的半径，所以点在圆内，所以当时，最小，此时
()1,2P -AB CP ⊥AB ，由点斜式方程可得，直线的方程为，即.
11,1CP k k =-=21y x -=+30x y -+=考点：直线与圆的位置关系的应用.
14．【答案】　6　．
【解析】解：f （x ）=x 3﹣2cx 2+c 2x ，f ′（x ）=3x 2﹣4cx+c 2，f ′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f ′（x ）=3x 2﹣8x+4，
令f ′（x ）＞0⇒x ＜或x ＞2，f ′（x ）＜0⇒＜x ＜2，
故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．故答案为6
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．　
15．【答案】
，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】
，因为
，所以
又若
，结合图像知：所以：。

故答案为：，
16．【答案】2300
【解析】111]
试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥140
20y 10x 506y 5x 0y 0x ，求目标函数300y 200x Z +=的
最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值
2300.
1111]
考点：简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值.
17．【答案】2
【解析】解：设f （x ）=﹣
，则f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）的最大值与最小值互为相反数，即f （x ）的最大值与最小值之和为0．
将函数f （x ）向上平移一个单位得到函数y=1﹣
的图象，所以此时函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．
18．【答案】
3π【解析】
，故倾斜角为
.
3π考点：直线方程与倾斜角．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）当，解得.
（1分）111,12n a a =+=时11a =当时，，①
2n ≥2n n S n a +=，②
11(1)2n n S n a --+-=①-②得，即，
（3分）1122n n n a a a -+=-121n n a a -=+即，又.
112(1)(2)n n a a n -+=+≥112a +=所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
{}1n a +即故（）.（5分）
12n n a +=21n n a =-*n N ∈
20．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x ﹣1）（x ﹣2）≤0}={x|1≤x ≤2}
则P ∩Q={1}
（2）∵a ≤a+1，∴Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}={x|a ≤x ≤a+1}
∵x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，∴P ⊆Q ∴，即实数a 的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．　
21．【答案】
【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，
设椭圆方程，
由（4，3）在椭圆上得，
则椭圆方程为；
（2）由双曲线有相同的渐近线，
设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），
由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，
解得λ=±1．
即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．
22．【答案】
【解析】
【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．
【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）
圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2
∴d==1（2分）
d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣
∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0
则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）
∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即=（8分）
整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|
∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5
因k的取值有无穷多个，所以或（10分）
解得或
这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）
23．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.。