专题3.1 平方根【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)

专题3.1 平方根【八大题型】
【浙教版】
【题型1 平方根的性质与数轴的综合】 (1)
【题型2 根据平方根的性质求字母的值】 (2)
【题型3 根据非负性的性质求值】 (2)
【题型4 利用平方根的概念解方程】 (3)
【题型5 根据平方根和算术平方根的概念求值】 (3)
【题型6 估算算术平方根的取值范围】 (4)
【题型7 求算术平方根的整数部分和小数部分】 (4)
【题型8 有关算术平方根的探究规律题】 (5)
【知识点1平方根和算术平方根】
平方根：
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a a的两个平方根记作±
负根号a，其中a叫做被开方数.
③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
算术平方根：
a a的算术平方根．
(1)定义：正数a有两个平方根±
(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥00.
【题型1平方根的性质与数轴的综合】
【例1】（2023春·七年级单元测试）已知a，b在数轴上的位置如图所示，试化简
【变式1-1】（2023春·湖北武汉·七年级校联考期中）如图，已知x2＝3，那么在数轴上与x对应的点可能
是（）
A．P1B．P4
C．P2或P3D．P1或P4
【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）已知a，b=_____．
【变式1-3】（2023春·辽宁辽阳·七年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（）
A．B C．D．−2
【题型2根据平方根的性质求字母的值】
【例2】（2023春·广东云浮·七年级校考期中）已知一个正数的两个平方根分别为m+3和2m−15．
(1)这个正数是多少？
(2)m+21的算术平方根是多少？
【变式2-1】（2023春·河北廊坊·七年级校联考期中）如果实数m没有平方根，那么m可以是（）A．−32B．|−3|C．(−3)2D．−(−3)
【变式2-2】（2023春·上海虹口·n的最大值为（）A．2022B．2023C．2024D．2025
【变式2-3】（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）已知x=1−2a，y=3a−4．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【题型3根据非负性的性质求值】
【例3】（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）已知|3x−y−1|互为相反数，求x+4y的平
方根.
【变式3-1】（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知x、y+|y+2|=0，则x2−4y的平方根为________．
【变式3-2】（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知y
+9,则y+x的平方根是（ ）
A．3B．±3C．4D．±4
的值是【变式3-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）已知(3−x)2−5+5互为相反数，则x3
y−1
（ ）
A．6B．5C．5
D．2
2
【题型4利用平方根的概念解方程】
【例4】（2023春·河南鹤壁·七年级校考期中）若x2−a2=(x+2)(x−2)，则a的值为（）
A．2B．4C．±2D．±4
【变式4-1】（2023春·湖南长沙·七年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）如果(x−1)2=4，那么x 的值是（）
A．4B．3或−1C．−1D．3
【变式4-2】（2023春·广西梧州·七年级统考期中）在公式y=(−1)2−8中，当y=1时，x的值为
_______．
【变式4-3】（2023春·江西萍乡·七年级校考期中）求下列各式中x的值：
(1)9x2−25=0；
(2)4(2x−1)2=36
【题型5根据平方根和算术平方根的概念求值】
【例5】（2023春·四川资阳·七年级校考期中）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求2b+3a的平方根．
【变式5-1】（2023春·广东江门·2，则a的值是（ ）A．0B．1C．2D．3
【变式5-2】（2023春·福建莆田·七年级统考期末）已知x＝1-a，y＝2a-5．
（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；
（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．
【变式5-3】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）已知正数x的平方根是m和m+n.
(1)当n=6时，求m的值；
(2)若m2x+(m+n)2x=32，求x-1的值.
【题型6估算算术平方根的取值范围】
【例6】（2023春·）
A．7.1～7.3之间B．7.3～7.5之间C．7.5～7.7之间D．7.7～7.9之间
【变式6-1】（2023春·贵州贵阳·）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式6-2】（2023春·贵州六盘水·七年级统考期末）数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（）
A．B
C D
【变式6-3】（2023春·北京东城·
________．
【题型7求算术平方根的整数部分和小数部分】
【例7】（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（）
A．4B．5C．6D．7
【变式7-1】（2023春·全国·______．小数部分是_______．
【变式7-2】（2023·浙江·七年级假期作业）已知2a−1的算术平方根是3，b−1的平方根是±4，c
整数部分，求a+2b−c的平方根．
【变式7-3】（2023春·浙江·七年级专题练习）（1
值来估计它的大小的过程如下：
因为12=1,22=4，
所以1<2,
因为1.42=1.96，1.52=2.25，
所以1.4<1.5,
因为1.412=1.9881,1.422=2.0164，
所以1.41< 1.42
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225，
所以1.414< 1.415,
1.41(精确到百分位)，
(精确到百分位)．
（2）我们规定用符号[x]表示数x=0,[2.4]=2,
①按此规定+2]=；
②b,求|a|−|b|的值．
【题型8有关算术平方根的探究规律题】
【例8】（2023春·四川达州·七年级四川省渠县中学校考阶段练习）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝；y＝；
(2)从表格中探究a
规律：
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
①≈3.16≈；
②=1.8=180，则a=．
【变式8-1】（2023春·河南郑州·七年级郑州市第八中学校考期中）观察下列有规律的一组等式：
==
(1)____________．
(2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含n（n为正整数）的式子表示这一规律．
【变式8-2】（2023春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）一组实数按下列规律排列：
12第1行
3第2行
4第3行
……
根据这个规律解答以下问题：
（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______；
（2
【变式8-3】（2023春·广东佛山·七年级佛山市实验学校校考阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于−1，所以−1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2=−1，那么(±i)2=−1，因此−1就有两个平方根了．进一步，小明想：因为(±2i)2=−4，所以−4的平方根是±2i；因为(±3i)2=−9，所以−9的平方根就是±3i．请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求−16，−25的平方根；
（2）求i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来；
（3）求i+i2+i3+i4+⋅⋅⋅+i2022的值．。