高考总复习数学(理科)作业及测试：课时作业第十章算法初步含解析

第十章 算法初步、复数与选考内容
第1讲 程序框图及简单的算法案例
1．(2017年北京)执行如图X10-1-1所示的程序框图，输出s 的值为( )
图X10-1-1
A ．2 B.3
2
C.53
D.85
2．(2016年北京)执行如图X10-1-2所示的程序框图，输出的s 值为( )
图X10-1-2
A．8 B．9
C．27 D．36
3．(2015年天津)阅读程序框图(图X10-1-3)，运行相应的程序，则输出S的值为()
图X10-1-3
A．－10 B．6
C．14 D．18
4．(2017年广东调研)执行如图X10-1-4所示的程序框图后输出S的值为()
图X10-1-4
A．0 B．－ 3 C. 3 D.
3 2
5．(2016年天津)阅读下面的程序框图(如图X10-1-5)，运行相应的程序，则输出S的值为________．
图X10-1-5 图X10-1-6
6．(2017年江南名校联考)某程序框图如图X10-1-6所示，判断框内为“k≥n？”，n 为正整数，若输出S＝26，则判断框内的n＝________.
7．(2017年广东惠州三模)执行如图X10-1-7所示的程序框图，如果输出y的结果为0，那么输入x的值为()
图X10-1-7
A.1
9
B ．－1或1
C ．1
D ．－1 8．(2017年广东深圳二模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷．卷中有一问题：“今有方物一束外周，一市有三十二枚，问：积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一市的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图X10-1-8，是解决这类问题的
程序框图，若输入n ＝40，则输出S 的结果为________．
图X10-1-8
9．(2017年广东深圳一模) 执行如图X10-1-9所示的程序框图，若输入p ＝2017，则输
出i 的值为( )
图X10-1-9
A ．335
B ．336
C ．337
D ．338
10．(2017年江西南昌二模)执行如图X10-1-10程序框图，输出S 为( )
图X10-1-10
A.17
B.27
C.47
D.67
第2讲 复数的概念及运算
1．(2017年天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i
2＋i
为实数，则a 的值为________．
2．(2017年新课标Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 3．(2015年山东)若复数z 满足
z
1－i
＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i
4．若i 为虚数单位，图X10-2-1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z
1＋i
的点是( )
图X10-2-1
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
5．(2017年广东深圳一模)若复数a ＋i
1＋2i
(a ∈R )为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a ＝( )
A ．2
B ．3
C ．－2
D ．－3
6．(2017年新课标Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.2
2
C. 2 D ．2 7．(2012年新课标)下面是关于复数z ＝2
－1＋i
的四个命题：p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：
z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
8．(2017年广东广州一模)复数(1＋i)2＋2
1＋i
的共轭复数是( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
9．(2017年广东广州一模)复数2
1＋i
的虚部是( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
10．(2016年北京)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.
11．(2016年天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则a
b
的值为________．
12．(2017年江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 13．(2017年浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.
14．(2017年江西南昌二模)若a ＋i
1＋2i
＝t i(i 为虚数单位，a ，t ∈R )，则t ＋a ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
第3讲 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1．(2017年湖北八校联考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
3
，
得曲线C .
(1)写出曲线C 的参数方程；
(2)设直线l ：3x ＋y ＋1＝0与曲线C 的两交点分别为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
2．(2017年广东华附执信深外联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos α，y ＝sin 2α－94(α为参数，α∈R )，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－2
2
，曲线C 3：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；
(2)设A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．
3．(2014年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
4．(2015年新课标Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋ (y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4
(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的
面积．
5．(2017年广东汕头一模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程(普通方程)；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2 7，求直线l 的倾斜角α的值．
6．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋2cos θ，
y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．
7．(2017年广东深圳一模)在平面直角坐标系中xOy 中，曲线E 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2cos α，
y ＝3sin α
(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；
(2)若直线l 与曲线E 相交于点A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1
|OB |2
为定值，并求出这个定值．
第2课时 参数方程
1．(2016年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋12
t ，
y ＝3
2t
(t
为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两
点，求线段AB 的长．
2．(2017年广东广州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为x －y －2
＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2 3cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．
(1)求线段AB 的长；
(2)已知点P 在曲线C 上运动，当△P AB 的面积最大时，求点P 的坐标及△P AB 的最大面积．
3．(2017年广东东莞二模)已知在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝3＋3cos φ，
y ＝－1＋3sin φ
(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若直线θ＝π
6
(ρ∈R )与曲线C 1交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度．
4．(2015年湖南)已知直线l ：⎩⎨⎧
x ＝5＋32t ，
y ＝3＋1
2
t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．
5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝2＋12
t ，
y ＝32
t
(t 为参数)，以坐标
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos
θ(ρ>0,0≤θ<2π)．
(1)求直线l 的极坐标方程；
(2)求直线l 与曲线C 交点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3－22t ，
y ＝5＋2
2
t (t 为参数)．在以
原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 5sin θ.
(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(2)设点P (3，5)，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求1|P A |＋1
|PB |
的值．
7．(2017年广东梅州一模)已知曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.
(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；
(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．
8．已知平面直角坐标系xOy 中，过点P (－1，－2)的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋t cos 45°，y ＝－2＋t sin 45°(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin θtan θ＝4m (m >0)，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |＝|MN |，求实数m 的值．
第4讲不等式选讲
第1课时不等式的证明
1．(2016年江苏)设a＞0，|x－1|＜a
3，|y－2|＜
a
3，
求证：|2x＋y－4|＜a.
2．(2017年广东揭阳二模)已知函数f(x)＝|2|x|－1|.
(1)求不等式f(x)≤1的解集A；
(2)当m，n∈A时，证明：|m＋n|≤mn＋1.
3．(2017年广东华附执信深外联考)设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝2时，解不等式：f (x )≥6－|2x －5|；
(2)若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[－1,7]，且两正数s 和t 满足2s ＋t ＝a ，求证：1
s ＋
8t
≥6.
4．(2013年新课标Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：
(1)ab ＋bc ＋ca ≤1
3
；
(2)a 2b ＋b 2c ＋c
2a ≥1.
5．(2017年广东东莞二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|的最小值为m . (1)求m 的值以及此时的x 的取值范围； (2)若实数p ，q ，r 满足p 2＋2q 2＋r 2＝m ， 证明：q (p ＋r )≤2.
6．(2014年新课标Ⅰ) 若a >0，b >0，且1a ＋1
b
＝ab .
(1)求a 3＋b 3的最小值；
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．
7．(2015年新课标Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；
(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．
8．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪
⎪x ＋1
2，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
第2课时 绝对值不等式
1．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；
(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求实数m 的取值范围．
2．(2017年广东广州一模)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |. (1) 若f (1)<3，求实数a 的取值范围； (2) 若a ≥1，x ∈R ，求证：f (x )≥2.
3．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －1|(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；
(2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤
12，1，求实数a 的取值范围．
4．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|－2.
(1)解不等式f(x)≥0；
(2)若存在实数x，使得f(x)≤|x|＋a，求实数a的取值范围．5．(2017年广东深圳二模)已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R.
(1)若f(a)≤2|1－a|，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)≤1存在实数解，求实数a的取值范围．6．(2017年广东汕头一模)已知函数f(x)＝|x|＋|x－2|.
(1)求关于x的不等式f(x)<3的解集；
(2)如果关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
7．(2017年广东深圳一模)已知f(x)＝|x＋a|，g(x)＝|x＋3|－x，记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.
(1)若a－3∈M，求实数a的取值范围；
－1，1⊆M，求实数a的取值范围．
(2)若[]
8．(2017年广东珠海二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|＋a.
(1)若a＝－1，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若方程f(x)＝2x有三个不同的解，求实数a的取值范围．
第十章 算法初步、复数与选考内容 第1讲 程序框图及简单的算法案例
1．C 解析：k ＝0时，0<3成立，第一次进入循环k ＝1，s ＝1＋1
1
＝2；1<3成立， 第
二次进入循环k ＝2，s ＝2＋12＝32；2<3成立， 第三次进入循环k ＝3，s ＝32＋132
＝5
3
；当k ＝3
时不满足进行循环条件，输出s ＝5
3
.故选C.
2．B
3．B 解析：输入S ＝20，i ＝1；i ＝2×1，S ＝20－2＝18，2>5不成立；i ＝2×2＝4，S ＝18－4＝14,4>5不成立；i ＝2×4＝8，S ＝14－8＝6,8>5成立；输出6.故选B.
4．A 解析：第一次循环后S ＝0－3
3×0＋1
＝－3，i ＝2；
笫二次循环后S ＝－3－3
3×(－3)＋1＝3，i ＝3；
第三次循环后S ＝3－3
3×3＋1
＝0，i ＝4……
依次下去，S 的值变化周期为3.
因为2016＝3×672，所以最后输出S 的值为0.故选A.
5．4 解析：第一次循环，S ＝8，n ＝2；第二次循环，S ＝2，n ＝3；第三次循环，S ＝4，n ＝4；结束循环，输出S ＝4.
6．4 解析：依题意，执行题中的程序框图， 第一次循环，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4； 第二次循环，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11； 第三次循环，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26. 因此当输出S ＝26时，判断框内的条件n ＝4.
7．D 解析：程序框图表示y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋1(x ≤0)，3x ＋2(x >0)，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≤0，
－x 2＋1＝0.解得x ＝－
1.⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，
3x ＋2＝0.解集为空．所以x ＝－1.故选D. 8．121 解析：第一次循环，n ＝40－8＝32，S ＝40＋32＝72； 第二次循环，n ＝32－8＝24，S ＝72＋24＝96; 第三次循环，n ＝24－8＝16，S ＝96＋16＝112; 第四次循环，n ＝16－8＝8，S ＝112＋8＝120;
第五次循环，n ＝8－8＝0，S ＝120＋0＝120，此时，n ＝0， 满足题意，结束循环，输出S ＝120＋1＝121.
9．C 解析：第1步，n ＝1，r ＝1，s ＝1；第2步，n ＝2，r ＝0，s ＝2；第3步，n ＝3，r ＝1，s ＝0；第4步，n ＝4，r ＝0，s ＝1；第5步，n ＝5，r ＝1，s ＝2；第6步，n ＝6，r ＝0，s ＝0；此时，i ＝1，依此类推，当n 为6的倍数时，i 增加1，当n ＝2016时，共有336个6的倍数，继续循环，可得当n ＞p 时，i ＝337.故选C.
10．A 解析：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i ＝1时，有S ＝2
7
；当i ＝2
时，有S ＝47；当i ＝3时，有S ＝17；当i ＝4时，有S ＝27；当i ＝5时，有S ＝4
7；当i ＝6时，
有S ＝17.所以输出S ＝1
7
.故选A.
第2讲 复数的概念及运算
1．－2 解析：a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )
＝(2a －1)－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝
0，a ＝－2.
2．B 解析：(1＋i)(2＋i)＝2＋i ＋2i －1＝1＋3i.故选B. 3．A 解析：因为
z
1－i
＝i ，所以z ＝i(1－i)＝1＋i.所以z ＝1－i.故选A. 4．D 解析：由题图知，复数z ＝3＋i ，∴z
1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝4－2i 2＝2－i.∴表
示复数z
1＋i
的点为H .
5．C 解析：因为a ＋i 1＋2i ＝(a ＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )
＝a ＋25＋－2a ＋1
5i 为纯虚数，所以a ＝－2.故选
C.
6．C 解析：由题意可得z ＝2i 1＋i .由复数求模的法则⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 1|，可得|z |＝|2i||1＋i|＝2
2＝ 2 .故选C.
7．C 解析：z ＝2
－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )
＝－1－i.p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共
轭复数为－1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.
8．B 解析：(1＋i)2＋2
1＋i
＝2i ＋1－i ＝1＋i ，共轭复数为1－i.
9．B 解析：2
1＋i
＝1－i ，故虚部为－1.
10．－1 解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ∈R ⇒a ＝－1，故填－1.
11．2 解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋b ＝a ，1－b ＝0.所以a
b ＝2.故答案为2.
12.10 解析：|z |＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.
13．5 2 解析：(a ＋b i)2＝3＋4i ⇒a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2
＝1.
∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2.
14．A 解析：因为a ＋i
1＋2i ＝t i ⇒a ＋i ＝t i·(1＋2i)＝t i －2t ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
t ＝1，a ＝－2t .⇒a ＝－2.所以t
＋a ＝－1.故选A.
第3讲 坐标系与参数方程
第1课时 坐标系
1．解：(1)由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝13x ，y ′＝y ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3x ′，
y ＝y ′.代入x 2＋y 2＝1中，得9x ′2＋y ′2
＝1.
故曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13cos θ，
y ＝sin θ.
(2)由题意知，P 1⎝⎛⎭
⎫－1
3，0，P 2(0，－1)． 线段P 1P 2的中点M ⎝⎛⎭⎫－16
，－1
2，kP 1P 2＝－3. 故P 1P 2线段中垂线的方程为y ＋12＝1
3⎝⎛⎭
⎫x ＋16， 即3x －9y －4＝0，即极坐标方程为3ρcos θ－9ρsin θ－4＝0. 2．解：(1)由C 1：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋cos α，y ＝sin 2α－94，得 y ＝－94＋1－cos 2α＝－5
4
－(x －1)2.
∴曲线C 1的普通方程为y ＝－5
4
－(x －1)2(0≤x ≤2)．
由C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－2
2，得曲线C 2的直角坐标系普通方程为x ＋y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－54－(x －1)2，
x ＋y ＋1＝0，
得4x 2－12x ＋5＝0.
解得x ＝12⎝⎛⎭⎫x ＝52舍，y ＝－32
. ∴点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫12
，－32. (2)由C 3：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.
∴曲线C 3的直角坐标系普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1.
则曲线C 3的圆心(1,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|1＋0＋1|
2
＝ 2.
∵圆C 3的半径为1，∴|AB |min ＝2－1.
3．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )．
由(1)知，C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为C 在点D 处的切线与l 垂直， 所以直线GD 与l 的斜率相同．
则tan t ＝3，t ＝π
3
.
故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭
⎫32，3
2. 4．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π
4
代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3 2ρ＋4＝0.
解得ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.|MN |＝ρ1－ρ2＝ 2. 因为C 2的半径为1，
则△C 2MN 的面积为12×2×1×sin 45°＝1
2
.
5．解：(1)由ρ＝6cos θ，得ρ2＝6ρcos θ. ∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＝0， 即(x －3)2＋y 2＝9.
(2)将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，代入圆的方程，得
(t cos α－2)2＋(t sin α)2＝9. 化简，得t 2－4t cos α－5＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＋t 2＝4cos α，t 1t 2
＝－5. ∴|AB |＝|t 1－t 2|
＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16cos 2α＋20＝2 7.
∴16cos 2α＝8.解得cos α＝±2
2
.
∵α∈[0，π)，∴α＝π4或3π
4
.
6．解：(1)圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋2cos θ，
y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，
∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.
由ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝2，得ρcos θ＋ρsin θ＝2. ∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，
∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
(2)圆心C (3，－4)到直线l ：x ＋y －2＝0的距离为d ＝|3－4－2|2
＝3 2
2，
由于M 是直线l 上任意一点，则|MC |≥d ＝3 2
2
.
∴四边形AMBC 面积
S ＝2×1
2
×|AC |×|MA |＝|AC |·|MC |2－|AC |2
＝2|MC |2－4≥2d 2－4＝ 2.
∴四边形AMBC 面积的最小值为 2.
7．(1)解：曲线E 的普通方程为x 24＋y 2
3
＝1，
极坐标方程为ρ2⎝⎛⎭⎫
14cos 2θ＋13sin 2θ＝1， ∴所求的极坐标方程为3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12.
(2)证明：不妨设点A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝
⎛⎭⎫ρ2，θ＋π
2， 则⎩⎨⎧
14(ρ1cos θ)2＋1
3
(ρ1sin θ)2＝1，14⎣⎡⎦⎤ρ2
cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π22
＋13⎣⎡⎦
⎤ρ2
sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π22
＝1，
即⎩⎨⎧
1ρ21
＝14cos 2θ＋13sin 2
θ，1ρ22
＝14sin 2
θ＋1
3
cos 2
θ.
∴1ρ21＋1ρ22＝712，即1|OA |2＋1|OB |2
＝712
(定值)． 第2课时 参数方程
1．解：直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y －3＝0，
椭圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 24
＝1， 联立方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －y －3＝0，
x 2＋y 2
4＝1. 解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1＝1，y 1＝0，
或⎩⎨⎧
x 2＝－1
7，
y 2
＝－8 3
7
.
∴A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫
－17，－8 37.
故AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭
⎫0＋8 372＝167. 2．解：(1)曲线C 的普通方程为x 212＋y 2
4＝1.
将直线x －y －2＝0代入x 212＋y
24
＝1中消去y ，得x 2－3x ＝0.
解得x ＝0，或x ＝3.
所以点A (0，－2)，B (3,1)．
所以|AB |＝(3－0)2＋(1＋2)2＝3 2.
(2)在曲线C 上求一点P ，使△P AB 的面积最大， 则点P 到直线l 的距离最大．
设过点P 且与直线l 平行的直线方程y ＝x ＋b .
将y ＝x ＋b 代入x 212＋y 2
4
＝1整理，得4x 2＋6bx ＋3(b 2－4)＝0.
令Δ＝(6b )2－4×4×3(b 2－4)＝0，解得b ＝±4. 将b ＝±4代入方程4x 2＋6bx ＋3(b 2－4)＝0， 解得x ＝±3.
易知当点P 的坐标为(－3,1)时，△P AB 的面积最大．
且点P (－3,1)到直线l 的距离为： d ＝|－3－1－2|12＋1
2＝3 2. 所以△P AB 的最大面积为S ＝1
2
×|AB |×d ＝9.
3．解：(1)因为⎩⎨⎧
x ＝3＋3cos φ，
y ＝－1＋3sin φ，
故(x －3)2＋(y ＋1)2＝9.
故x 2＋y 2－2 3x ＋2y －5＝0.
故曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. 因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.
所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0[或写成(x －1)2＋y 2＝1]． (2)设P ，Q 两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，
将θ＝π
6
(θ∈R )代入ρ2－2 3ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0中，整理，得ρ2－2ρ－5＝0.
故ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5.
故|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝2 6. 4．解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ， ① 将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①，得
曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0. ②
(2)将⎩⎨⎧
x ＝5＋32t ，y ＝3＋1
2
t 代入②，得t 2＋5 3t ＋18＝0.
设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.
5．解：(1)将直线l 的参数方程：⎩
⎨⎧
x ＝2＋12
t ，
y ＝32
t
消去参数t ，得普通方程3x －y －2 3
＝0.
将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入3x －y －2 3＝0， 得3ρcos θ－ρsin θ－2 3＝0.
化简，得ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
6＝ 3.(注意解析式不进行此化简也不扣步骤分) (2)方法一，C 的普通方程为x 2＋y 2－4x ＝0. 由⎩⎨⎧ 3x －y －2 3＝0，x 2＋y 2－4x ＝0解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－3，或⎩⎨⎧
x ＝3，y ＝ 3.
所以直线l 与直线C 交点的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎫2，5π3，⎝⎛⎭⎫2 3，π6. 方法二，由⎩⎨⎧
3ρcos θ－ρsin θ－2 3＝0，
ρ＝4cos θ，
得sin ⎝
⎛⎭⎫2θ－π
3＝0. 又因为ρ≥0,0≤θ<2π，所以⎩⎪⎨⎪
⎧ ρ＝2，θ＝5π3，或⎩⎪⎨⎪⎧
ρ＝2 3，θ＝π6
.
所以交点的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎫2，5π3，⎝⎛⎭⎫2 3，π6. 6．解：(1)由⎩⎨
⎧
x ＝3－22t ，
y ＝5＋2
2
t ，得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.
又由ρ＝2 5sin θ，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2 5y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.
(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得⎝
⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫2
2t 2＝5，即t 2－3 2t ＋4＝0.
由于Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，
故可设t 1，t 2是上述方程的两实数根．
所以⎩⎨⎧
t 1＋t 2＝3 2，t 1·
t 2＝4.所以t 1>0，t 2>0.
又直线l 过点P (3，5)，A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
所以|P A |＝t 1，|PB |＝t 2.
所以1|P A |＋1|PB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝3 24.
7．解： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ，
所以(x ＋2)2＋y 2＝4.
又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ.所以x 2＋y 2＝4y . 把两式作差，得y ＝－x . 代入x 2＋y 2＝4y ，
得交点为(0,0)，(－2,2)．
(2)如图D187，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大．
图D187
此时|AB |＝2 2＋4. O 到AB 的距离为2， ∴△OAB 的面积为 S ＝1
2
(2 2＋4)×2＝2＋2 2.
8．解：(1)∵⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋t cos 45°，y ＝－2＋t sin 45°(t 为参数)， 即⎩⎨
⎧ x ＝－1＋22t ，
y ＝－2＋2
2
t .
∴直线l 的普通方程为x －y －1＝0.
∵ρsin θtan θ＝4m ，∴ρ2sin 2θ＝4mρcos θ. 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4mx (m >0)． (2)∵ y 2＝4mx ，∴x ≥0.
设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是t 1，t 2(t 1>0，t 2>0)，则|PM |＝t 1，|PN |＝t 2.
∵|PM |＝|MN |，∴|PM |＝1
2
|PN |.∴t 2＝2t 1.
将⎩⎨
⎧
x ＝－1＋22t ，y ＝－2＋2
2
t ，代入y 2＝4mx ，化简，得
t 2－4 2(m ＋1)t ＋8(m ＋1)＝0.
∴⎩⎨⎧
t 1＋t 2＝4 2(m ＋1)，t 1·
t 2＝8(m ＋1)，
又t 2＝2t 1，解得m ＝－1，或m ＝18
.
∵m >0，∴m ＝1
8
.
第4讲 不等式选讲
第1课时 不等式的证明
1．证明：由a ＞0，|x －1|＜a 3，得|2x －2|＜2a
3
.
又|y －2|＜a
3
，
∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|
≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a
3
＝a ，
即|2x ＋y －4|＜a .
2．(1)解：由|2|x |－1|≤1，得－1≤2|x |－1≤1，即|x |≤1. 解得－1≤x ≤1.所以A ＝[]－1，1.
(2)证明：证法一，|m ＋n |2－(mn ＋1)2＝m 2＋n 2－m 2n 2－1 ＝－(m 2－1)(n 2－1)，
因为m ，n ∈A ，故－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，m 2－1≤0，n 2－1≤0. 故－(m 2－1)(n 2－1)≤0，|m ＋n |2≤(mn ＋1)2. 又显然mn ＋1≥0，故|m ＋n |≤mn ＋1.
证法二，因为m ，n ∈A ，故－1≤m ≤1，－1≤n ≤1,
而m ＋n －(mn ＋1)＝(m －1)(1－n )≤0. m ＋n －[]－(mn ＋1)＝(m ＋1)(1＋n )≥0， 即－(mn ＋1)≤m ＋n ≤mn ＋1， 故|m ＋n |≤mn ＋1.
3．(1)解：当a ＝2时，不等式可化为|x －2|＋|2x －5|≥6，
∴①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥52，x －2＋2x －5≥6，或②⎩⎪⎨⎪⎧
2≤x <52，x －2＋5－2x ≥6，
或③⎩⎪⎨⎪⎧
x <2，
2－x ＋5－2x ≥6.
由①，得x ≥133；由②，得x ∈∅；由③，得x ≤1
3
.
∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪⎣⎡⎭
⎫13
3，＋∞. (2)证明：不等式f (x )≤4，即－4≤x －a ≤4， ∴a －4≤x ≤a ＋4.∴a －4＝－1，且a ＋4＝7.
∴a ＝3.∴1s ＋8t ＝13⎝⎛⎭⎫1s ＋8t (2s ＋t )＝13⎝⎛⎭⎫10＋t s ＋16s t ≥13⎝⎛⎭
⎫
10＋2 t s ·16s t ＝6. 即1s ＋8t ≥6，当且仅当s ＝1
2
，t ＝2时取等号． 4．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设，得(a ＋b ＋c )2＝1，
即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，
即ab ＋bc ＋ca ≤1
3⎝
⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2
a ＋a ≥2c ，
故a 2b ＋b 2c ＋c
2a
＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥a ＋b ＋c ⎝⎛
当且仅当a ＝b ＝c ＝13时
⎭⎫取等号
. 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
5．(1)解：依题意，得f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|≥|x ＋3－x ＋1|＝4，故m 的值为4.
当且仅当(x ＋3)(x －1)≤0，即－3≤x ≤1时等号成立，即x 的取值范围为[]－3，1. (2)证明：因为p 2＋2q 2＋r 2＝m ，所以(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4. 因为p 2＋q 2≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立， q 2＋r 2≥2qr ，当且仅当q ＝r 时等号成立， 所以(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4≥2pq ＋2qr .
故q (p ＋r )≤2，当且仅当p ＝q ＝r 时等号成立．
6．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2
ab
，得ab ≥2，
当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，
当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.
(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6·ab ≥4 3.
由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.
7．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，
由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2.因此a ＋b >c ＋d . (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2. 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d .
②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2. 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .
于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.
综上所述，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．
8．(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ，x ≤－12
，
1，－12<x <1
2，
2x ，x ≥12
.
当x ≤－1
2
时，由f (x )<2，得－2x <2.
解得x >－1，∴－1<x ≤－1
2
.
当－12<x <12时，f (x )<2，∴－12<x <12.
当x ≥1
2
时，由f (x )<2，得2x <2.
解得x <1，∴1
2
≤x <1.
∴f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．
(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2. 因此|a ＋b |<|1＋ab |.
第2课时 绝对值不等式
1．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，
3，x ＞2.
当x ＜－1时，f (x )≥1无解；
当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1. 解得1≤x ≤2.
当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．
(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而 |x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |
＝－⎝
⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，
且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝5
4
.
故实数m 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，54. 2．(1)解：因为f (1)<3，所以|a |＋|1－2a |<3.
①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a )<3.解得a >－2
3
.
所以－2
3<a ≤0;
②当0<a <1
2时，得a ＋(1－2a )<3.解得a >－2.
所以0<a <1
2；
③当a ≥12时，得a －(1－2a )<3.解得a <4
3.
所以12≤a <43
.
综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－23，43. (2)证明：因为a ≥1，x ∈R, 所以f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a | ≥|(x ＋a －1)－(x －2a )| ＝|3a －1|＝3a －1≥2. 3．解：(1)当a ＝1时，
不等式f (x )≥2可化为|x ＋1|＋|2x －1|≥2.
①当x ≥1
2时，不等式为3x ≥2，
解得x ≥23.故x ≥2
3
；
②当－1≤x <1
2
时，不等式为2－x ≥2，
解得x ≤0.故－1≤x ≤0；
③当x <－1时，不等式为－3x ≥2，
解得x ≤－2
3
.故x <－1.
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
x ≤0，或x ≥23. (2)因为f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12，1，则当x ∈⎣⎡⎦
⎤1
2，1时，f (x )≤2x 恒成立． 不等式可化为|x ＋a |≤1， 解得－a －1≤x ≤－a ＋1.
由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧
－a －1≤12，
－a ＋1≥1.
解得－3
2
≤a ≤0.
所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤－3
2，0. 4．解：(1)①当x ≤－1
2
时，－1－2x ＋x ≥2⇒x ≤－3，所以x ≤－3；
②当－12<x <0时，2x ＋1＋x ≥2⇒x ≥1
3
，所以为∅；
③当x ≥0时，x ＋1≥2⇒x ≥1，所以x ≥1.
综合①②③不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，
即|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇒⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤1＋a 2
. 则⎣⎡⎦⎤⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |min ≤1＋a 2
， 由绝对值的几何意义，得－12
＝－⎪⎪⎪⎪x ＋12－x ≤⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤⎪⎪⎪⎪x ＋12－x ＝12， 只需－12≤1＋a
2
⇒a ≥－3.
5．解：(1)因为f (a )≤2|1－a |， 所以|1－a |＋|a －a 2|≤2|1－a |， 即(|a |－1)|1－a |≤0.
当a ＝1时，不等式成立．
当a ≠1时，|1－a |>0，则|a |－1≤0. 解得－1≤a <1.
综上所述，实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤1}． (2)若关于x 的不等式f (x )≤1存在实数解， 则f (x )min ≤1.
又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2， 所以(a －1)2≤1，解得0≤a ≤2.
所以实数a 的取值范围是{a |0≤a ≤2}． 6．解：(1)f (x )<3，即|x |＋|x －2|<3， 原不等式可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－2x ＋2<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，2<3，或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≥2，2x －2<3， 解得－12<x ≤0或0<x <2或2≤x <52
.
∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
－12
<x <52. (2)f (x )＝|x |＋|x －2|≥|x －(x －2)|＝2，
若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集， 则a >2.
∴实数a 的取值范围是(2，＋∞)．
7．解：(1)依题意，有|2a －3|<|a |－(a －3)．
若a ≥32，则2a －3<3.∴3
2≤a <3.
若0<a <32，则3－2a <3.∴0<a <3
2
.
若a ≤0，则3－2a <－a －(a －3)，无解． 综上所述，实数a 的取值范围为(0,3)．
(2)由题意可知，当x ∈[－1,1]时，f (x )<g (x )恒成立， ∴|x ＋a |<3恒成立，即－3－x <a <3－x . 当x ∈[－1,1]时恒成立， ∴－2<a <2.
8．解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为 |2x ＋1|－|x |－1≥0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x <－12，－(2x ＋1)－(－x )－1≥0，
或⎩⎪⎨⎪⎧
－12≤x <0，
(2x ＋1)－(－x )－1≥0，
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≥0，(2x ＋1)－x －1≥0. 解得x ≤－2，或x ≥0.
∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )＝2x ，得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|. 令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋1⎝⎛⎭
⎫x <－1
2，－x －1⎝⎛⎭
⎫－12≤x <0，x －1(x ≥0).
作出函数y ＝g (x )的图象，如图D188，
图D188
易知A ⎝⎛⎭⎫－12
，－1
2，B (0，－1)， 结合图象知，当－1<a <－1
2
时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同的交点，
即方程f (x )＝2x 有三个不同的解．
∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－1
2.
合理分配高考数学答题时间
找准目标，惜时高效
——合理分配高考数学答题时间
经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

临近高考，在短短不到50天的时间里，怎样让成绩再上一个台阶？靠战术上的硬拼俨然很快就会碰到瓶颈，此刻，同学们更需要的是战略上的调整，在实力一定的情况，科学地分配答题时间，是做一个成功的应试者必备的战略技巧。

“我们每次考试的时候都做不完，尤其后面的两道大题都没有时间看。

”常常听到同学们痛苦地抱怨。

高考，作为一场选拔性考试，它必然存在一定的难度梯度。

就我省的高考数学卷而言，可以按“16/3/3原则” 将其分为三大部分，即客观题（16道）、简易解答题（解答题前3题）与压轴题（解答题后3题）。

学会合理分配这三个部分的答题时间，可以让考生以从容不迫的心态面对考试，亦可从最优化的角度帮助考生挣分。

一般而言，我们建议用40分钟左右的时间解决前面的客观题（选择填空题），再用剩下的时间应对解答题。

但正如没有一个放之四海皆准的战略一样，考试时间的合理分配也不可用一条标准划定，时间的分配需要结合自身的具体实力。

在考试前，考生需要量身设定自己的考试目标，再选择不同战略战术。

对于基础比较薄弱的同学，重在保简易题。

鉴于客观题部分主要是对基础知识点的考察，可以稍稍放慢速度，把时间控制在50-60分钟，力求做到准确细致，尽量保证70分的基础分不丢分。

之后的三道简易解答题每题平均花10-15分钟完成。

至于后三道大题，建议先阅读完题目，根据题意把可以联想到的常考知识点写出来，例如涉及函数单调性、切线斜率的可对函数求导，圆锥曲线的设出标准方程、数列里求出首项等等。

如果没有其它的思路，不要耽误太多时间，把剩下的时间倒回去检查前面的题目。

对于目标分数在100-120之间的同学，在保证正确率的情况下，客观题尽量在40分钟内完成。

简易解答题每道应控制在每道题10分钟左右解决。

对于倒数第三题，是压轴部分相对容易的一题15分钟内尽可能多的写出解题内容，如果时间有限，比较繁琐的计算则可以先放一放，但尽量保证前四道题解答的完整和规范，避免不必要的扣分。

后面难度比较大的两道压轴题不要轻易放弃，把会做的步骤都写出来，即便思路不能完全解决问题，也把一些采分点尽量罗列出来。

对于冲击130分以上的同学，需要把快速准确地在30分钟左右完成客观题，简易解答题的三道题分别按照7分钟、8分钟、10分钟左右的时间进行限时训练，提高解题速度。

剩下的时间以3：4：5的比例分配到最后三道大题中，同时审题细致、解题步骤合乎规范，会做的题尽量拿全分。

简而言之，结合自身实力，找准目标，争分夺秒、惜时高效地安排答题时间，是成功应对高考的助推器。