米易县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

米易县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(
π
，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．35
D ．
2． 如图，长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB ．在长方形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
B ．1﹣
C ．
D ．1﹣
3． 已知函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x ＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是（ ）
A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
4． 已知函数f （x ）=2x ﹣
+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等
差数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（ ） A ．f ′（x 0）＜0 B ．f ′（x 0）=0
C ．f ′（x 0）＞0
D ．f ′（x 0）的符号无法确定
5． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则
等（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知双曲线﹣
=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．5
7． 设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2
﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
8． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ）
A ．S 18＝72
B ．S 19＝76
C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
9． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
10．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A 1
C
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 11．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1
V V （ ）1111] A ．4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
12．已知平面向量(12)=，
a ，(32)=-，
b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．1
5- B ．119 C ．11 D ．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．
二、填空题
13．定积分
sintcostdt= ．
14．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线）
15．已知实数x ，y 满足
，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为
16．对于集合M ，定义函数
对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）f B （x ）
=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．
17．正六棱台的两底面边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm ，它的侧面积为 ． 18．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线x C y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．
三、解答题
19．已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，长轴在x 轴上，离心率为，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）椭圆C 的标准方程．
（Ⅱ）已知P 、Q 是椭圆C 上的两点，若OP ⊥OQ ，求证：为定值．
（Ⅲ）当为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP ⊥OQ 是否成立？并说明理由．
20．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数
()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4，且满足()01f =.
（1）求实数b 和c 的值；
（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由； （3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.
21．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，点E 、F 分别在边CD 、CB 上．点
E 与点C 、D 不重合，E
F AC ⊥，EF
AC O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥
平面ABFED ．
Ⅰ求证：BD ⊥平面P O A ；
Ⅱ记三棱锥P A B D -的体积为1V ，四棱锥P BDEF -的体积为2V ，且
124
3
V V =，
求此时线段PO 的长．
22．已知y=f （x ）是R 上的偶函数，x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x （1）当x ＜0时，求f （x ）的解析式．
（2）作出函数f （x ）的图象，并指出其单调区间．
23．已知函数()()2
1+2||02
()1()102
x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．
P
A
B
C
D
O
E
F F
E
O D
C
B
A
（1）画出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域； （2）根据图像求不等式3
(x)2
f
的解集（写答案即可）
24．若已知，求sinx 的值．
米易县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
考
点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式；函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换． 2． 【答案】B
【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为，所以阴影部分的面积为2﹣
，由几何概型
公式可得该点取自阴影部分的概率是；
故选：B ．
【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
3． 【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图
则不等式xf （x ）＜0的解为：
或
解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D ．
4． 【答案】 A
【解析】解：∵函数f （x ）=2x ﹣
+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），
∴，
∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，
∴，∴，解得a=，
假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．
∵，
∴，
∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，
∴x0＞a，
又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．
5．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，
∴=，=
∴=++=+=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．
6．【答案】A
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A ．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．
7． 【答案】B
【解析】解：根据题意，M ∩N={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}∩{（x ，y ）|x 2
﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}═{（x ，y ）
|} 将x 2﹣y=0代入x 2+y 2
=1， 得y 2
+y ﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M ∩N 中元素的个数为2个， 故选B ．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
8． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 9． 【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 s=2，k=0
满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=1 满足条件k ＜2016，s=，k=2 满足条件k ＜2016，s=2．k=3 满足条件k ＜2016，s=﹣1，k=4 满足条件k ＜2016，s=，k=5 …
观察规律可知，s 的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有
满足条件k＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．
10．【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
11．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
12．【答案】A
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：0sintcostdt=0sin2td（2t）=（﹣cos2t）|=×（1+1）=．
故答案为：
14．【答案】 3.3
【解析】
解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．
设BC=x，则根据题意
=，
AB=x，
在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，
则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米，
故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．15．【答案】5
【解析】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，
此时z最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
16．【答案】{1，6，10，12}．
【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，
必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}
={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，
所以A△B={1，6，10，12}．
故答案为{1，6，10，12}．
【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．
17．【答案】cm2．
【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分，
侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．
取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，
则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．
根据正六棱台的性质得OC=，O
C1==，
1
∴CC1==．
又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．
∴正六棱台的侧面积：
S=．
=
=（cm2）．
故答案为：cm2．
【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

三、解答题
19．【答案】
【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．
∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
∴，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b2=a2﹣c2=3．
∴椭圆C的标准方程为．
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x （k≠0），P（x，y）．
联立，化为，
∴|OP|2=x2+y2=，同理可得|OQ|2=，
∴=+=为定值．
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此=为定值．
（III ）当
=
定值时，试探究OP ⊥OQ 是否成立？并说明理由．
OP ⊥OQ 不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP 或OQ 的斜率一个为0而另一个不存在时，则=
=
=
，满足条件．
当直线OP 或OQ 的斜率都存在时，
设直线OP 的方程为y=kx （k ≠0），则直线OQ 的方程为y=k ′x （k ≠k ′，k ′≠0），P （x ，y ）．
联立
，化为
，
∴|OP|2=x 2+y 2=
，
同理可得|OQ|2
=
，
∴
=
+
=
．
化为（kk ′）2
=1，
∴kk ′=±1．
∴OP ⊥OQ 或kk ′=1． 因此OP ⊥OQ 不一定成立．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．【答案】（1）1
,14
b c =
=；（2）答案见解析；（3）当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点. 【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于实数b ,c 的方程组，求解方程组可得1
,14
b c =
=；
（3）函数
()
g x的导函数()()
2
1
3244
4
g x x a x a
⎛⎫
=+--+
⎪
⎝⎭
'，结合导函数的性质可得当1
a<-或0
a>时，()
g x在()
0,4有两个零点；当10
a
-≤≤时，()
g x在()
0,4有一个零点.
试题解析：
（1）由题意
()
()
01
{
440
f c
f b c
=+
=-+=
，解得
1
{4
1
b
c
=
=
；
（2）由（1）可知()()
32
4
f x x a x
=+--
1
41
4
a x
⎛⎫
++
⎪
⎝⎭
，
∴()()
2
1
3244
4
f x x a x a
⎛⎫
=+--+
⎪
⎝⎭
'；
假设存在
x满足题意，则()()
2
000
1
3244
4
f x x a x a
⎛⎫
=+--+
⎪
⎝⎭
'是一个与a无关的定值，
即()2
000
1
2438
4
x a x x
-+--是一个与a无关的定值，
则
240
x-=，即
2
x=，平行直线的斜率为()17
2
4
k f
==-
'；
（3）()()()
32
4
g x f x a x a x
=+=+-
1
41
4
a x a
⎛⎫
-+++
⎪
⎝⎭
，
∴()()
2
1
3244
4
g x x a x a
⎛⎫
=+--+
⎪
⎝⎭
'，
其中()21
44124
4
a a
⎛⎫
∆=-++=
⎪
⎝⎭
()2
2
4166742510
a a a
++=++>，
设()0
g x'=两根为
1
x和()
212
x x x
<，考察()
g x在R上的单调性，如下表
1°当0
a>时，()010
g a
=+>，()40
g a
=>，而()15
230
2
g a
=--<，
∴()
g x在()
0,2和()
2,4上各有一个零点，即()
g x在()
0,4有两个零点；
2°当0
a=时，()010
g=>，()40
g a
==，而()15
20
2
g=-<，
∴()
g x仅在()
0,2上有一个零点，即()
g x在()
0,4有一个零点；
3°当0a <时，()40g a =<，且13024g a ⎛⎫=->
⎪⎝⎭
， ①当1a <-时，()010g a =+<，则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上各有一个零点，
即()g x 在()0,4有两个零点；
②当10a -≤<时，()010g a =+≥，则()g x 仅在1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上有一个零点， 即()g x 在()0,4有一个零点；
综上：当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点； 当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 21．【答案】
【解析】Ⅰ证明：在菱形ABCD 中， ∵BD AC ⊥，∴BD AO ⊥． ∵EF AC ⊥，∴PO EF ⊥， ∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，
∴PO ⊥平面ABFED ，
∵BD ⊂平面ABFED ，∴PO BD ⊥．
∵AO PO O =，∴BD ⊥平面POA ．
Ⅱ设AO
BD H =．由Ⅰ知，PO ⊥平面ABFED ，
∴PO 为三棱锥P A B D -及四棱锥P B D E F -的高，
∴1211
,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形，∵1243
V V =，
∴3344ABD CBD BFED S S S ∆∆==梯形，∴1
4
CEF CBD S S ∆∆=，
∵,BD AC EF AC ⊥⊥，
∴//EF BD ，∴CEF ∆∽CBD ∆． ∴21
()4
CEF CBD S CO CH S ∆∆==，
∴111
222
CO CH AH ===⨯
∴PO OC ==
22．【答案】
【解析】解：（1）设x ＜0，则﹣x ＞0，
∵x ＞0时，f （x ）=x 2
﹣2x ．
∴f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2（﹣x ）=x 2
+2x
∵y=f （x ）是R 上的偶函数
∴f （x ）=f （﹣x ）=x 2
+2x
（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；
单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．
23．【答案】（1）图象见答案，增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域：(],2-∞；（2）[]3,1--。

【解析】
试题分析：（1）画函数()f x 的图象，分区间画图，当0x ≤时，()2
122
f x x x =--，此时为二次函数，开口向下，配方得()()()2
1142222
f x x x x =-
+=-++，可以画出该二次函数在0x ≤的图象，当0x >时，()1()12x f x =-，可以先画出函数1
()2
x y =的图象，然后再向下平移1个单位就得到0x >时相应的函数图
象；（2）作出函数()f x 的图象后，在作直线3
2
y =，求出与函数()f x 图象交点的横坐标，就可以求出x 的
取值范围。

本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。

试题解析：（1）函数()f x 的图象如下图所示：
由图象可知：增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域为：(],2-∞。

（2）观察下图，()3
2
f x ≥
的解集为：[]3,1--。

考点：1.分段函数；2.函数图象。

24．【答案】
【解析】解：∵，∴
＜
＜2π，
∴sin （
）=﹣
=﹣．
∴sinx=sin[（x+）﹣
]=sin （
）cos
﹣cos （）sin
=﹣
﹣
=﹣
．
【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．。