2022年上海交大附中高考数学二模试卷

2022年上海交大附中高考数学二模试卷
试题数：21，总分：0
1.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x-2，x∈A}，则A∩B=___ ．
2.（填空题，0分）将循环小数 0.63 化为最简分数为 ___ ．
3.（填空题，0分）等差数列{a n }的前9项和为18，第9项为18，则{a n }的通项公式为 ___ ．
4.（填空题，0分）已知单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为θ，若 θ∈[π3，π2] ，则 |a ⃗+b ⃗⃗| 的取值范围是 ___ ．
5.（填空题，0分）二项展开式 (2x −
1x
)6
的常数项的值为 ___ ． 6.（填空题，0分）设函数 y =cos (3x +π
4) 的图像与y=21-x 的图像交点的横坐标从小到大依次记为x 1，x 2，x 3，…，则 lim n→∞
|x n+1-x n |=___ ．
7.（填空题，0分）圆C 的圆心C 在抛物线y 2=2x 上，且圆C 与y 轴相切于点A ，与x 轴相交于P 、Q 两点，若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9 （O 为坐标原点），则|PQ|=___ ．
8.（填空题，0分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为___ ．
9.（填空题，0分）已知直线l ：y=2x-10与双曲线 x 2a
2−y 2
b
2=1(a ＞0，b ＞0) 的一条渐近线平
行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 ___ ．
10.（填空题，0分）如图，一个正方体雕塑放置在水平基座上，其中一个顶点恰好在基座上，与之相邻的三个顶点与水平基座的距离分别是2，3，4，则正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值为 ___ ．
11.（填空题，0分）若函数f （x ）=log a （x 3-ax ）（a ＞0，a≠1）在区间（ −1
2 ，0）内单调递增，则实数a 的取值范围是___ ．
12.（填空题，0分）如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线．设第n 条线段与第n+1条线段所夹的角为 θn (n ∈N ∗，θn ∈(0，π)) ，则θ2022=___ ．
13.（单选题，0分）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n-1+a 2n ＜0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
14.（单选题，0分）以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程 |1
01
x
21y 31
| =0的一个法向量的是（ ） A. n ⃗⃗=(−3，−2) B. n ⃗⃗=(2，3) C. n ⃗⃗=(−2，3) D. n ⃗⃗=(−3，2)
15.（单选题，0分）下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是（ ） ① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④ 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． A. ① ②
B. ① ④
C. ② ③
D. ① ③
16.（单选题，0分）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们
之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．给出下列三个命题：
① 若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
② 在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③ 在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命题的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
17.（问答题，0分）如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB及BC的中点，将
△AED，△BEF及△DCF折起，使A、C、B点重合于A1点．
（1）求三棱锥A1EFD的体积；
（2）求A1D与平面DEF所成角的正切值．
18.（问答题，0分）已知虚数z=a+icosθ，其中a，θ∈R，i为虚数单位．
① 若对任意θ∈R，均有|z+2-i|≤3，求实数a的取值范围；
② 若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值．
19.（问答题，0分）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和
挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f(x)=
−√b2−x2(−b≤x≤0)滑到台端点B起跳，然后在空中沿抛物线g（x）=ax2-20ax-b（x＞0）
飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知g （x）=ax2-20ax-b在区间[0，30]上的最大值为-30，最小值为-70．
（1）求实数a，b的值及助滑道曲线AB的长度．
（2）若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米）．
20.（问答题，0分）数列{a n}满足条件：若存在正整数k和常数q∉{0，1}，使得a n+k=qa n对任意n∈N*恒成立，则称数列{a n}具有性质P（k，q），也称为类周期k数列．
（1）判断数列a n=sin(nπ
3+π
6
)是否具有性质P（k，q）并说明理由；
（2）数列{a n}具有性质P（3，2），且a1=1，前4项成等差，求{a n}的前100项和；（3）若数列{a n}既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：{a n}为等比数列．
21.（问答题，0分）设椭圆Γ：x2
a2
+y2=1(a＞1)的左、右焦点分别为F1，F2．直线l若与椭圆Γ只有一个公共点P，则称直线l为椭圆Γ的切线，P为切点．
（1）若直线l：y=x+2与椭圆相切，求椭圆的焦距|F1F2|；
（2）求证：椭圆Γ上切点为P（x0，y0）的切线方程为xx0
a2
+yy0=1；
（3）记F1到直线l的距离为d1，F2到直线l的距离为d2，判断“d1d2=1”是“直线l与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由．
2022年上海交大附中高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
试题数：21，总分：0
1.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x-2，x∈A}，则A∩B=___ ．
【正确答案】：[1]{1，4}
【解析】：把A中元素代入y=3x-2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】：解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x-2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}，
故答案为：{1，4}，
【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.（填空题，0分）将循环小数0.63化为最简分数为 ___ ．
【正确答案】：[1] 7
11
【解析】：设x=0.63，则100x=63.63，据此可得关于x的一元一次方程，解之即可．
【解答】：解：设x=0.63，则100x=63.63，
又63.63=63+0.63，所以100x=63+x，解得x=63
99=7
11
，
所以循环小数0.63化为最简分数为7
11
．
故答案为：7
11
．
【点评】：本题考查了排序问题与算法，属于基础题．
3.（填空题，0分）等差数列{a n}的前9项和为18，第9项为18，则{a n}的通项公式为 ___ ．【正确答案】：[1]a n=4n-18
【解析】：设等差数列{a n}的公差为d，依题意，列式{9a1+9×8
2
d=18
a1+8d=18
，解之即可．
【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 {9a 1+
9×8
2
d =18a 1+8d =18
，解得 {a 1=−14
d =4 ，
故a n =-14+4（n-1）=4n-18， 故答案为：a n =4n-18．
【点评】：本题考查等差数列的通项公式及其应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
4.（填空题，0分）已知单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为θ，若 θ∈[π3，π2] ，则 |a ⃗+b ⃗⃗| 的取值范围是 ___ ．
【正确答案】：[1][ √2，√3 ]
【解析】：由已知利用 |a ⃗+b ⃗⃗|2=(a ⃗+b ⃗⃗)2
，展开后代入数量积公式，结合 θ∈[π3，π2] ，即可求得 |a ⃗+b ⃗⃗| 的取值范围．
【解答】：解：由题意， |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1 ，∴ |a ⃗+b ⃗⃗|2=a ⃗2+2a ⃗•b ⃗⃗+b ⃗⃗2 =1+2cosθ+1=2+2cosθ．
∵ θ∈[π
3，π
2] ，∴cosθ∈[0， 1
2 ]，则2+2cosθ∈[2，3]， ∴ |a ⃗+b ⃗⃗| 的取值范围是[ √2，√
3 ]． 故答案为：[ √2，√3 ]．
【点评】：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是基础题． 5.（填空题，0分）二项展开式 (2x −1x
)6
的常数项的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]-160
【解析】：先求出二项展开式的通项公式T r+1，然后由6-2r=0，求出r ，再求出常数项的值．
【解答】：解：∵ (2x −1x
)6
的二项展开式的通项公式为T r+1= C 6r •（2x ）6-r (−1x
)r = C 6r •26-r （-1）r x 6-2r ，
令6-2r=0，求得r=3，
则展开式的常数项等于 C 63 23
（-1）3=-160，
故答案为：-160．
【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
6.（填空题，0分）设函数 y =cos (3x +π
4) 的图像与y=21-x 的图像交点的横坐标从小到大依次记为x 1，x 2，x 3，…，则 lim n→∞
|x n+1-x n |=___ ．
【正确答案】：[1] π3
【解析】：根据指数函数的单调性可得当x→+∞时，y=21-x →0，则当x→+∞时，函数y=cos （3x+ π
4 ）的图象与y=21-x 的图象交点可以后出函数y=cos （3x+ π
4 ）的图象与x 轴的交点，则 lim n→∞
|x n+1−x n | 表示函数cos （3x+ π
4 ）的图象与x 轴相邻的两个交点之间的距离，由此能
求出结果．
【解答】：解：函数y=y=21-x 为减函数，则当x→+∞时，y=21-x →0， 则当x→+∞时，函数y=cos （3x+ π
3 ）的图象与y=21-x 的图象交点 可以看作函数y=cos （3x+ π
4 ）的图象与x 轴的交点，
∵函数y=cos （3x+ π
3 ）的图象与x 轴相邻的两个交点之间的距离为 T
2 = π
3 ， ∴ lim n→∞
|x n+1-x n |= π
3 ．
故答案为： π
3 ．
【点评】：本题考查极限的求法，考查指数函数的单调性、三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.（填空题，0分）圆C 的圆心C 在抛物线y 2=2x 上，且圆C 与y 轴相切于点A ，与x 轴相交于P 、Q 两点，若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9 （O 为坐标原点），则|PQ|=___ ． 【正确答案】：[1]3 √5
【解析】：不妨设C （a ，b ）在第一象限，则A （0，b ），圆C 的方程为（x-a ）2+（y-b ）
2=a 2（a ＞0），依题意，可求得
a 与
b 的值，再利用直线被圆所截得的弦长公式可求得答案．
【解答】：解：圆C 的圆心C 在抛物线y 2=2x 上，且圆C 与y 轴相切于点A ，
不妨设C （a ，b ）在第一象限，则A （0，b ），圆C 的方程为（x-a ）2+（y-b ）2=a 2（a ＞0）， 又 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|OC|cos ＜ OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =b 2=9， ∴2a=b 2=9，
∴a= 9
2 ，b=3，即C （ 9
2 ，3），圆C 的方程为 (x −92)2
+（y-3）2= 81
4 ， 设点C 在x 轴上的射影为D ，则|CD|=3， ∴圆C 被x 轴截得的弦长|PQ|=2 √81
4
−9 =3 √5 ．
故答案为：3 √5 ．
【点评】：本题考查了圆的标准方程的求解与应用，考查直线与圆位置关系、圆中弦长公式以及平面向量的数量积的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
8.（填空题，0分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为___ ．
【正确答案】：[1]28π
【解析】：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部分．
【解答】：解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积．
圆锥S 侧=πrl=8π，圆柱侧面+圆柱底面积=4×2πr+πr 2=16π+4π=20π， ∴该几何体的表面积为28π． 故答案为28π．
【点评】：本题考查了组合体的表面积的求法．组合体的表面积在计算时注意要减去重叠的部分．属于基础题．
9.（填空题，0分）已知直线l ：y=2x-10
与双曲线 x 2
a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0) 的一条渐近线平
行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 ___ ． 【正确答案】：[1] x 2
5−y 2
20=1
【解析】：由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，求解a 与b 的值，则答案可求．
【解答】：解：双曲线 x 2
a
2
−y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0) 的渐近线方程为y= ±b a
x ，
由y=2x-10，取y=0，得x=5， ∵直线l ：y=2x-10与双曲线 x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0) 的一条渐近线平行，且经过双曲线的一
个焦点，
∴ {b a
=2
c =5a 2+b 2=c 2
，解得 {a =√5b =2√5c =5 ，∴双曲线的标准方程为 x 25−y 2
20=1 ．
故答案为： x 2
5
−
y 220
=1 ．
【点评】：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
10.（填空题，0分）如图，一个正方体雕塑放置在水平基座上，其中一个顶点恰好在基座上，与之相邻的三个顶点与水平基座的距离分别是2，3，4，则正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值为 ___ ．
【正确答案】：[1]9
【解析】：由题意画出图形，不妨设B、D、A1到水平基座的距离分别是2，3，4，分别利用中点坐标公式求得其它点到水平基座的距离得答案．
【解答】：解：如图，
不妨设B、D、A1到水平基座的距离分别是2，3，4，
则DA1的中点到水平基座的距离为7
2，可得AD1的中点到水平基座的距离为7
2
，
∴D1到水平基座的距离为7；
同理求得C到水平基座的距离为5；B1到水平基座的距离为6；C1到水平基座的距离为9．
即正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值为9．
故答案为：9．
【点评】：本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查中点坐标公式的应用，是中档题．11.（填空题，0分）若函数f（x）=log a（x3-ax）（a＞0，a≠1）在区间（−1
2
，0）内单调递增，则实数a的取值范围是___ ．
【正确答案】：[1][ 3
4
，1）
【解析】：将函数看作是复合函数，令g（x）=x3-ax，且g（x）＞0，得x∈（- √a，0）∪（√a，+∞），因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，再由复合函数“同增异减”求得结果．
【解答】：解：令g（x）=x3-ax，则g（x）＞0．得到x∈（- √a，0）∪（√a，+∞），
由于g′（x）=3x2-a，故x∈（- √a
3
，0）时，g（x）单调递减，
x∈（- √a，- √a
3
）或x∈（√a，+∞）时，g（x）单调递增．
∴当a＞1时，函数f（x）减区间为（- √a
3
，0），不合题意，
当0＜a＜1时，函数f（x）的增区间为（- √a
3
，0）．
∴（- 1
2，0）⊂（- √a
3
，0），∴- 1
2
≥- √a
3
，∴a≥ 3
4
．
综上，a∈[ 3
4
，1）．
故答案为：[ 3
4
，1）．
【点评】：本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域，属于中档题．
12.（填空题，0分）如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线．设第n条线段与第n+1条线段所夹的角为
θn(n∈N∗，θn∈(0，π))，则θ2022=___ ．
【正确答案】：[1]174.46°
【解析】：根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出n多边形n-1个角的度数表达式，再计算出2022条线段所在的正多
边形的边数，进一步求出夹角．
【解答】：解：第一条线段与第二条线段所夹的角θ1=60°，由此类推，θ2=90°，θ3=90°，
θ4=108°，θ5=108°，θ6=108°，θ7=120°，θ8=120°，θ9=120°，θ10=120°，……
观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，
正方形有2个90°，正五边形有3个108°，正六边形有4个120°，••••••
n多边形有n-2个180°(n−2)
n
，
又观察图形得：正三角形画2条线段，正方形画2条线段，正五边形画3条线段，正六边形画4条线段，……，正n 边形画n-2条线段；
∴画到正n 多边形时，画线段的条数为m=2+2+3+4+……+（n-2）=2+ n (n−3)
2
， 当n=65时，m=2017；当n=66时，m=2081 第2022条线段应在正65边形中，∴θ2022= 180°×63
65
≈174.46°， 故答案为：174.46°．
【点评】：本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，属于中档题．
13.（单选题，0分）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n-1+a 2n ＜0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B
【解析】：先化简命题，在判断单调性．
【解答】：解：a 2n-1+a 2n ＜0，则 a 1q 2n−2+a 1q 2n−1 = a 1q 2n−2(1+q ) ＜0， ∵a 1＞0， ∴1+q ＜0， ∴q ＜-1，
∴q ＜0为q ＜-1的必要而不充分条件，
∴“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n-1+a 2n ＜0”的必要而不充分条件． 故选：B ．
【点评】：本题考查充要性，数列，属于基础题．
14.（单选题，0分）以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程 |101
x
21y 31
| =0的一个法向量的是（ ） A. n ⃗⃗=(−3，−2) B. n ⃗⃗=(2，3) C. n ⃗⃗=(−2，3)
D. n ⃗⃗=(−3，2) 【正确答案】：A
【解析】：根据行列式运算法则得到3x-2y-1=0，再计算直线法向量即可．
【解答】：解： |101
x
21y
31
|=2+0+3x −2y −0−3=3x −2y −1=0 ，故3x-2y-1=0， 故直线的法向量为 n ⃗⃗ =（3，-2）， 故选：A ．
【点评】：本题考查了行列式的计算以及直线方程的法向量，属于基础题． 15.（单选题，0分）下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是（ ） ① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④ 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． A. ① ② B. ① ④ C. ② ③ D. ① ③ 【正确答案】：B
【解析】：根据正三棱锥的定义，结合二面角判断 ① 的正误；举例说明 ② ③ 错误，由线面角与二面角的定义判断 ④ ．
【解答】：解： ① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等， 可得底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影，故 ① 正确；
② 三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等，侧面都是等腰三角形，三棱锥不是正三棱锥，故 ② 错误；
③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等， 根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等， 由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：
内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥，故 ③ 错误； ④ 侧棱与底面所成的角相等，可得顶点在底面的射影为底面的外心， 又侧面与底面所成的二面角都相等，得顶点在底面的射影为底面的内心，
则底面为等边三角形，进一步可得三棱锥是正三棱锥，故④ 正确．
故选：B．
【点评】：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力及推理论证能力，是基础题．
16.（单选题，0分）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们
之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．给出下列三个命题：
① 若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
② 在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③ 在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命题的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
【正确答案】：B
【解析】：首先分析题目任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：
||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|，
对于① 若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0）然后代入验证显然|AC||+||CB||=||AB||成立．成立故正确．
对于② 在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，
对于③ 在△ABC中，用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于等于
||AB||．不成立，故可得到答案．
【解答】：解：对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．
对于① 若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||．成立故正确．
对于② 在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，
对于③ 在△ABC中，||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|（x0-x1）+（x2-x0）|+|
（y0-y1）+（y2-y0）|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||．③ 不正确．
∴命题① 成立，
故选：B．
【点评】：此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．
17.（问答题，0分）如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB及BC的中点，将△AED，△BEF及△DCF折起，使A、C、B点重合于A1点．
（1）求三棱锥A1EFD的体积；
（2）求A1D与平面DEF所成角的正切值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由已知证明A1D⊥平面A1EF，然后利用等体积法求多面体A1EFD的体积；（2）取EF的中点M，连结A1M，DM，即可证明平面A1MD⊥平面EFD，再说明A1D与平面DEF所成角为∠A1DM，再利用锐角三角函数计算可得．
【解答】：解：（1）由条件可知A1E⊥A1D，A1F⊥A1D，且A1E∩A1F=A1，A1E，A1F⊂平面
A1EF，
∴A l D⊥平面A l EF，
∵△A1EF是等腰直角三角形，∴ S△M
1EF =1
2
×1×1=1
2
，
∴ V A
1−EFD =V D−A
1EF
=1
3
×S△A
1EF
×A1D=1
3
×1
2
×2=1
3
；
（2）取EF的中点M，连结A1M，DM，
∵A1E=A1F，∴A1M⊥EF，
同理，DM⊥EF，且A1M∩EF=M，A1M，EF⊂平面A1MD，∴EF⊥平面A1MD，
又EF⊂平面A1MD，
∴平面A1MD⊥平面EFD，且平面A1MD∩平面EFD=MD，∴A1D与平面DEF所成角为∠A1DM，
∵A1D⊥平面A1EF，A1M⊂平面A1EF，
∴A1D⊥A1M，
∵ A1M=1
2EF=√2
2
，DM=√DE2−(1
2
EF)
2
=√(√5)2−(√2
2
)
2
=3√2
2
，
∴ sin∠A1DM=A1M
MD =1
3
，所以cos∠A1DM=√1−sin2∠A1DM=2√2
3
，
所以tan∠A1DM=sin∠A1DM
cos∠A1DM =
1
3
2√2
3
=√2
4
，
所以A1D与平面DEF所成角的正切值为√2
4
．
【点评】：本题考查了三棱锥的体积和线面角的计算，属于中档题．
18.（问答题，0分）已知虚数z=a+icosθ，其中a，θ∈R，i为虚数单位．
① 若对任意θ∈R，均有|z+2-i|≤3，求实数a的取值范围；
② 若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值．
【正确答案】：
【解析】： ① 依题意，得（a+2）2+（cosθ-1）2≤9，再利用-2≤cosθ-1≤0，可求得实数a 的取值范围；
② 由z ，z 2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，可得 {cosθ(1+2a )=0
3a 2cosθ−cos 3θ=0 ，解之即可求
得a ，θ的值．
【解答】：解：z=a+icosθ，
① 若对任意θ∈R ，均有|z+2-i|≤3，即|a+2+（cosθ-1）i|≤3，即（a+2）2+（cosθ-1）2≤9， ∵-2≤cosθ-1≤0， ∴（a+2）2≤9-4=5，
∴-2- √5 ≤a≤ √5 -2，即a∈[-2- √5 ， √5 -2]； ② ∵z=a+icosθ， ∴z 2=a 2-cos 2θ+2acosθi ，
∵z ，z 2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，
∴z+z 2=a 2-cos 2θ+a+（cosθ+2acosθ）i∈R ，且z•z 2=（a+icosθ）（a 2-cos 2θ+2acosθi ）=a 3-3acos 2θ+（3a 2cosθ-cos 3θ）i∈R ， 即 {cosθ(1+2a )=03a 2cosθ−cos 3θ=0
，
解cosθ（1+2a ）=0得a=- 1
2 ，或cosθ=0，此时θ=kπ+ π
2 （k∈Z ）； 当a=- 12
时，代入3a 2cosθ-cos 3θ=0，得cosθ（ 34
-cos 2θ）=0， ∴cosθ=0，或cosθ=± √3
2 ，此时θ=kπ+ π
2 或θ=kπ± π
6 （k∈Z ）． 综上所述，当a=- 1
2 时，θ=kπ± π
6 （k∈Z ）； 当a≠- 1
2 时，θ=kπ+ π2 （k∈Z ）．
【点评】：本题考查复数的概念性质及综合应用，考查转化与化归思想及方程思想的运用，考运算求解能力，属于难题．
19.（问答题，0分）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点A 出发，沿着助滑道曲线 f (x )=
−√b 2−x 2(−b ≤x ≤0) 滑到台端点B 起跳，然后在空中沿抛物线g （x ）=ax 2-20ax-b （x ＞0）飞行一段时间后在点C 着陆，线段BC 的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知g （x ）=ax 2-20ax-b 在区间[0，30]上的最大值为-30，最小值为-70．
（1）求实数a，b的值及助滑道曲线AB的长度．
（2）若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离（精
确到米）．
【正确答案】：
【解析】：（1）令y=f（x），即可得到x2+y2=b2，（-b≤x≤0，-b≤y≤0），即可得到f（x）的几何意义，根据二次函数的性质得到g（10）=-30，g（30）=-70，即可求出a、b的值，
从而求出曲线AB的长度；
（2）由（1）可得g（x）的解析式，依题意可得y C=-120，代入解析式中解出x，即可求出C
点坐标，根据两点间的距离公式计算可得．
【解答】：解：（1）因为f(x)=−√b2−x2(−b≤x≤0)，令y=f（x），则x2+y2=b2，（-
b≤x≤0，-b≤y≤0），
圆弧，
所以f(x)=−√b2−x2(−b≤x≤0)表示以（0，0）为圆心，半径r=b的1
4
因为g（x）=ax2-20ax-b（x＞0）由图象可知函数开口向下，
所以a ＜0，又对称轴为 x =−
−20a 2a
=10 ，又|30-10|＞|10-0|，
所以当x=10时g （x ）max =g （10）=-100a-b=-30，g （30）=300a-b=-70， 解得 {a =−1
10b =40 ，所以 AB ̂=14×2π×40=20π ， 即 a =−1
10，b =40 ，助滑道曲线AB 的长度为20π米； （2）依题意可得A （-40，0），B （0，-40），y C =-120， 由（1）可得 g (x )=−1
10x 2+2x −40(x ＞0) ， 令g （x ）=-120，即 −110x 2+2x −40=−120 ， 解得x 1=40，x 2=-20（舍去），
所以C （40，-120），所以 |BC |=√402+(−40+120)2=40√5≈89 ， 即该运动员飞行距离约为89米．
【点评】：本题考查了二次函数的图象与性质，属于中档题．
20.（问答题，0分）数列{a n }满足条件：若存在正整数k 和常数q∉{0，1}，使得a n+k =qa n 对任意n∈N *恒成立，则称数列{a n }具有性质P （k ，q ），也称为类周期k 数列． （1）判断数列 a n =sin (nπ
3+π
6) 是否具有性质P （k ，q ）并说明理由；
（2）数列{a n }具有性质P （3，2），且a 1=1，前4项成等差，求{a n }的前100项和； （3）若数列{a n }既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：{a n }为等比数列．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据诱导公式结合性质P（k，q）的定义即可得解；
（2）设数列{a n}的前4项为1，1+d，1+2d，1+3d根据题意可得a4=2a1，从而可求得d，又a n+3+a n+2+a n+1=2（a n+a n-1+a n-2），从而可求答案；
（3）根据题意可设a n+2=pa n，a n+3=qa n，再根据等比数列的定义结合性质P（k，q）的定义可得证．
【解答】：解：（1）a n=sin(nπ
3+π
6
) = √3
2
sin nπ
3
+ 1
2
cos nπ
3
，
所以当n=k+3时，有a n+3=-a n对任意n∈N*恒成立，∴数列{a n}具有性质P（3，-1）；（2）∵数列{a n}具有性质P（3，2），∴a n+3=2a n，可得a4=2a1，
又a1=1，且4项成等差，设前4项为1，1+d，1+2d，1+3d，∴1+3d=2×1，解得d= 1
3
，
∴a2+a3+a4=1+ 1
3 +1+2× 1
3
+1+3× 1
3
=5，
又a n+3+a n+2+a n+1=2（a n+a n-1+a n-2），∴{a n+a n-1+a n-2}（n≥4）是以a2+a3+a4=5为首项，2为公比的等比数列，
所以{a n}的前100项和为a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+⋯⋯+（a98+a99+a100）=1+
5(1−233)
1−2
=5•233-4；
（3）数列{a n}既是类周期2数列，也是类周期3数列，
∴a n+2=pa n，a n+3=qa n，∴ a n+3
a n+2 = q
p
，∴{a n}为等比数列．
【点评】：本题考查数列的应用，以及新定义的运用，属中档题．
21.（问答题，0分）设椭圆Γ：x2
a2
+y2=1(a＞1)的左、右焦点分别为F1，F2．直线l若与椭圆Γ只有一个公共点P，则称直线l为椭圆Γ的切线，P为切点．
（1）若直线l：y=x+2与椭圆相切，求椭圆的焦距|F1F2|；
（2）求证：椭圆Γ上切点为P（x0，y0）的切线方程为xx0
a2
+yy0=1；
（3）记F1到直线l的距离为d1，F2到直线l的距离为d2，判断“d1d2=1”是“直线l与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由．
【正确答案】：
【解析】：（1）联立直线方程与椭圆方程，消元，根据题意可得Δ=0，求得a 2即可得解；
（2）y 0=0和y 0≠0两种情况讨论，当y 0≠0时，联立 {x 2
a 2+y 2=1x 0
a 2+yy 0=1 ，证明Δ=0即可；
（3）先说明必要性，根据（2）分别求出d 1，d 2，再证明d 1d 2=1即可；再说明充分性，分 a ≥√2 和 1＜a ＜√2 两种情况讨论，结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论．
【解答】：解：（1）联立 {x 2
a 2+y 2=1y =x +2
，消y 整理得（a 2+1）x 2+4a 2x+3a 2=0， 因为直线l ：y=x+2与椭圆相切，
所以Δ=16a 4-12a 2（a 2+1）=0，解得a 2=3，
所以椭圆的焦距 |F 1F 2|=2√3 ；
证明：（2）当y 0=0时，x 0=±a ，
直线x 0=±a 与椭圆相切；
当y 0≠0时，
联立 (x 2a 2+y 2=1xx 0a 2
+yy 0=1 ，消y 得 (x 02a 2+y 02)x 2−2x 0x +a 2−a 2y 02=0 ， 又 x 02a 2+y 02=1 ，则 y 02=1−x 02a 2
， 所以 x 2−2x 0x +a 2−a 2(1−
x 02a 2)=0 ，
所以 (x −x 0)2=0 ， 即直线l 与椭圆Γ只有一个公共点P （x 0，y 0），直线l 与椭圆Γ相切，
综上所述，椭圆Γ上切点为P （x 0，y 0）的切线方程为 xx 0a 2+yy 0=1 ；
解：（3）由（2）知，切线 l ：xx 0
a 2+yy 0−1=0 ，
F 1(−√a 2−1，0)，F 2(√a 2−1，0) ，
则 d 1=|−x 0√a 2−1a 2−1|√x 02a
4+y 02 d 2=|x 0√a 2−1a 2−1|√x 02a 4+y 02 ， 故 d 1d 2=|1−x 02(a 2−1)a
4|x 02a 4+y 02=|1−x 02(a 2−1)a 4|x 02a 4+1−x 02a 2=|1−x 02(a 2
−1)a 4|1−x 02(a 2−1)a 4=1 ，
反之，当a≥√2时，存在过原点得直线x+ty=0，
=1，显然此时直线与椭圆不相切，
使得d1d2=a2−1
t2+1
当1＜a＜√2时，
因为d1d2=1，
可设直线l：y=kx+n，
此时d1d2=1⇒|n2−k2(a2−1)|=k2+1，
则n2=a2k2+1，
将直线y=kx+n代入椭圆方程得（a2k2+1）x2+2a2knx+a2（n2-1）=0，
则Δ=4a4k2n2-4a2（n2-1）（a2k2+1）=4a2（a2k2+1-n2）=0，
所以直线l与椭圆[相切，
综上所述，当1＜a＜√2时，“d1d2=1“是“直线l与椭圆Γ相切“的充要条件；
当a≥√2时，“d1d2=1“是“直线l与椭圆相切”的必要不充分条件．
【点评】：本题考查了直线与椭圆的位置关系，主要是椭圆的切线，还考査了充分条件和必要条件，综合性比较强，考查了逻辑推理能力和数据分析能力及分类讨论思想，有一定的难度．。