数学建模 设备更新问题

本队分工：09数师2黄丹萍主管建模，09信本郑永祥主管程序，09数师2郑丽璇主管论文
说明：我们的分工不是很明确的，我们主要都是一起讨论合作想出解决此问题的答案的
设备更新问题
摘要
本文针对的问题是求解设备更新过程中最小总支出的问题，我们运用了求最短路径的方法，求出指定两点之间的最短路即最小总支出，我们将第i年年初购进一台新设备设为变量v i( (i=1，2，3，4，5，6)，其中，v6为虚设点，表示第五年年底购进设备，从而将该问题转化为求从v1到v6的最短路径。

我们利用Dijkstra算法求解本问题，所用的软件为matlab。

而后通过计算机的多次模拟运算，分析以及检验，验证出我们建立该模型的科学性、合理性以及正确性。

一、问题的重述：
设备更新问题
某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。

试制定一个五年的更新计划，使总支出最少。

已知设备在各年的购买费，及不同机器役
龄时的残值与维修费，如下表所示。

二、模型假设：
1、机器在购买N年之后维修费用是固定不变的，不存在人为的破坏因素使之不能正常运行；
2、公司有足够的资金支付设备；
3、公司该设备只使用一台，不存在公司同时用多台机器的现象
4、从第一年开始一定要购置一台设备
三、符号说明：
1、v i表示第i年年初购进一台新设备，虚设一个点v6，表示第五年年底；
2、边（v i，v j）表示第i年初购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1年底）；
3、边（v i，v j）上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j
年初所需支付的购买、维修的全部费用
四、问题的分析：
为了使问题简化，我们将求最小总支出转化为求最小路径问题，这样，设备更新问题可简化为求从v1到v6的最短路问题，可由上表得下图
对于边（v1，v2）有第一年购买的费用11加上一年的维修费用5减去一年役龄机器的残值4得到12；
同理：（v1，v3）11+5+6-3=19 （v1，v4）11+5+6+8-2=28
（v1，v5）11+5+6+8+11-1=40
（v1，v6）11+5+6+8+11+18-0=59
（v2，v3）12+5-4=13
（v2，v4）12+5+6-3=20
（v2，v5）12+5+6+8-2=29
（v2，v6）12+5+6+8+11-1=41
（v3，v4）13+5-4=14
（v3，v5）13+5+6-3=21
（v3，v6）13+5+6+8-2=30
（v4，v5）14+5-4=15
（v4，v6）14+5+6-3=22
（v5，v6）14+5-4=15
由上图，我们就可用Dijkstra算法将设备更新的问题算出最小总支出五、模型的建立与求解：
由上述分析可知Dijkstra算法中所对应的结点跟路径，下面给出其基本步骤：采用标号法，用两种标号：T标号和P标号，T标号为试探性标号，P标号为永久性标号，给v i一个P标号时表示从v i到v j 的最短路权，v i的标号不再改变。

给v i一个T标号是表示从v i到v j的最短路权的上界，是一种临时标号，凡没有得到P标号的点都有T标号。

（1）首先给v1以P（v1）=0，给其余所有点T标号，
T(v1)=+∞（i=2， (8)
（2）由于（v1，v2），（v1，v3）,（v1，v4）,（v1，v5）,（v1，v6）边属于E，且v1，v2为T标号，所以修改这两个点的标号：
T(v2)=min[T(v2),P(v1)+l12]=min[+∞,0+12]=12
T(v3)=min[T(v1),P(v3)+l13]=min[+∞,0+19]=19
T(v4)=min[T(v1),P(v4)+l14]=min[+∞,0+28]=28
T(v5)=min[T(v1),P(v3)+l15]=min[+∞,0+50]=50
T(v6)=min[T(v1),P(v3)+l16]=min[+∞,0+59]=59 （3）比较所有T标号，T(v2)最小，所以令P(v2)=12.并记录路径（v1，v2）。

（4）v2为刚得到P标号的点，考察边（v2，v3），（v2，v3），（v2，v4）,（v2，v5），（v2，v6）的端点v1，v2。

T(v3)=min[T(v3),P(v2)+l23]=min[19，12+13]=19
T(v4)=min[T(v4),P(v2)+l24]=min[28，12+20]=28
T(v5)=min[T(v5),P(v2)+l25]=min[40，12+29]=40
T(v6)=min[T(v6),P(v2)+l26]=min[59，12+41]=53 （5）比较所有T标号，T(v3)最小，所以令P(v3)=19.并记录路径（v1，v3）。

（6）考虑点v3，有
T(v4)=min[T(v3),P(v3)+l34]=min[28，19+14]=28
T(v5)=min[T(v3),P(v3)+l35]=min[40，19+21]=40
T(v6)=min[T(v3),P(v3)+l36]=min[53，19+30]=53 （7）比较所有T标号，T(v4)最小，所以令P(v4)=28.并记录路径
（v1，v4）。

（8）考虑点v4，有
T(v5)=min[T(v4),P(v4)+l45]=min[40,28+15]=40
T(v1)=min[T(v6),P(v4)+l46]=min[49,28+22]=49 （9）比较所有T标号，T(v5)最小，所以令P(v5)=40.并记录路径（v1，v5）。

（10）考虑点v6，有
T(v6)=min[T(v6),P(v5)+l56]=min[49,40+15]=49 （11）因只有一个T标号T(v6),令P(v6)=49，记录路径
（v3，v6），计算结束。

由计算结果可知：v1 v3 v6为最短路，路长为49，即在第一年，第三年初各购买一台新设备为最优决策，这时5年的总费用为49.
全部计算结果如下图所示，同时可得到v1到其他点的最短路径，如下图中的粗线所示：
（49）
Matlab的编程语言如下：
关于求最小路径的M函数
function[S,D]=minRoute(i,m,W,opt)
%图与网络论中秋最短路径的Dijkstra算法M函数
%格式[S,D]=minroute(I,m,W,opt)
%i为最短路径的起始点，m为图定点数,W为图的带权邻接矩阵,不构成边的两顶点之间的权用inf表示.S的每一列从上到下记录了从始点到终点的最短路径所经顶点的序号.opt(缺省值)时,S按最短路径值从小到大显示结果.
%D是一行向量，对应记录了S各列所示路径的大小
if nargin<4,opt=0;end
dd=[];tt=[];ss=[];ss(1,1)=i;V=1:m;V(i)=[];
dd=[0;i];kk=2;[mdd,ndd]=size(dd);
while ~isempty(V)
[tmpd,j]=min(W(i,V));tmpj=V(j);
for k=2:ndd
[tmp1,jj]=min(dd(1,k)+W(dd(2,k),V));
tmp2=V(jj);tt(k-1,:)=[tmp1,tmp2,jj];
end
tmp=[tmpd,tmpj,j;tt];[tmp3,tmp4]=min(tmp(:,1));
if tmp3==tmpd
ss(1:2,kk)=[i;tmp(tmp4,2)];
else tmp5=find(ss(:,tmp4)~=0);tmp6=length(tmp5);
if dd(2,tmp4)==ss(tmp6,tmp4)
ss(1:tmp6+1,kk)=[ss(tmp5,tmp4);tmp(tmp4,2)];
else ss(1:3,kk)=[i;dd(2,tmp4);tmp(tmp4,2)];
end
end
dd=[dd,[tmp3;tmp(tmp4,2)]];V(tmp(tmp4,3))=[];
[mdd,ndd]=size(dd);kk=kk+1;
end
if opt==1
[tmp,t]=sort(dd(2,:));S=ss(:,t);D=dd(1,t); else S=ss;D=dd(1,:);
end
利用此函数的求解过程
>> n=6;
>> w=inf*ones(6);
>> w(1,[2,3,4,5,6])=[12,19,28,40,59];
>> w(2,[3,4,5,6])=[13,20,29,41];w(3,[4,5,6])=[14,21,30];
>> w(4,[5,6])=[15,22];
>> w(5,6)=15;
>> [s,d]=minroute(1,n,w)
求解所得结果：
s =
1 1 1 1 1 1
0 2 3 4 5 3
0 0 0 0 0 6
d =
0 12 19 28 40 49
六、模型的检验
利用常规数学方法求解此题如下：
由题意可知，五年下来最多能每一年用五台，最少要用一台机器，设总共所用的支出为y，
（1）只用一台设备时：y=11+5+6+8+11+18=59
（2）用两台设备时：
a.第一台使用一年：
y=(11+13)+(5+6+5+6+8+11)-(3+2)=53
b.第一台使用两年：y=(11+13)+(5+6+5+6+8)-(3+2)=49
c.第一台使用三年：y=(11+14)+(5+6+8+5+6)-(2+3)=50
d.第一台使用四年：
y=(11+14)+(5+6+8+11+5)-(1+4)=55
（3）用三台设备时：
a．第一台用一年，第二台用一年：
y=(11+12+13)+(5+5+5+6+8)-(4+4+4+2)=55
b．第一台用一年，第二台用两年：
y=(11+12+14)+(5+5+6+5+6)-(4+3+3)=54
c．第一台用一年，第二台用三年：
y=(11+12+14)+(5+5+6+8+5)-(4+2+4)=56
d．第一台用两年，第二台用一年：
y=(11+13+14)+(5+6+5+5+6)-(3+4+3)=55
e．第一台用两年，第二台用两年：
y=(11+13+14)+(5+6+5+6+5)-(3+3+4)=55
f．第一台用三年，第二台用一年：
y=(11+14+14)+(5+6+8+5+5)-(4+3+3)=58
（4）用四台设备时：
a.第一台用一年，第二台用一年，第三台用一年：
y=(11+12+13+14)+(5+5+5+5+6)-(4+4+4+3)=61
b.第一台用一年，第二台用一年，第三台用两年：
y=(11+12+13+14)+(5+5+5+6+5)-(4+4+3+4)=61
c.第一台用一年，第二台用两年，第三台用一年：
y=(11+12+14+14)+(5+5+6+5+5)-(4+4+3+4)=62
d.第一台用一年，第二台用一年，第三台用一年：
y=(11+12+14+14)+(5+6+5+5+5)-(3+4+4+4)=63 （5）用五台设备时：
此时只有一种情况：
y=(11+12+13+14+14)+(5+5+5+5+5)-(4+4+4+4+4)=69 由以上结果可看出，当y=49时取得最小值，即最小的总支出为第一台使用两年，在第三年初购买新的设备能使总支出最小，且最小总支出费用为49万元，这与计算结果完全吻合，充分说明了我们所建立的模型的合理性，可行性以及正确性！
七、模型的评价及改进：
本模型理论上可以用于解决任意有关设备更新的任何问题，成功的运用Dijkstra算法，该算法简洁明了，适用于无需遍布网络中所有点只要求得两定点的最短路径，对解决最小总支出是很方便而且优越，目前被认为是求无负权网络的最好方法；我们用计算机软件matlab可以成功地求出最小总支出，容易操作，具有实用性。

我们还可以采用其它数学软件通过程序的编写运行来求得最优解，如Qsb，C++等，此外，这种算法还可以求从一个城市到另一个城市的最短路径问题，资金周转问题，聘请员工实现最优化等问题，值得进行社会推广。

但是，在本问题的建立过程中，我们舍弃了某些影响因素的结果，尽管这些因素的影响很小，但会使所求结果与实际生活中实际结果产生偏差，又由于Dijkstra算法对程序的要求很高，尽管经过了检验，但结果依然比较粗糙，有待进行进一步
的改进，此外，由于利用Dijkstra算法是求无负权网络的方法，当权为负数时无法利用，此时，我们可以用floyd算法得到实现。

参考文献：
[2] 胡良剑，孙晓君，数学实验，高等教育出版社，北京，2006
[3] 胡运权，郭耀煌，运筹学教程，清华大学出版社，北京，2007
[4] 梁炼，数学建模，华南理工大学出版社，广东，2003。