高三数学周测31《椭圆》

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高三椭圆练习题及答案

高三椭圆练习题及答案1. 技术背景在二维几何中，椭圆是一种重要的图形，具有许多应用。

高三学生需要掌握椭圆的基本概念、性质和相关的计算方法。

为了帮助高三学生巩固椭圆的知识，以下是一些椭圆练习题及答案。

2. 填空题(1) 如果椭圆E的长半轴和短半轴分别为a和b，则椭圆的离心率为________。

(2) 椭圆的焦点和直径的关系是________。

(3) 椭圆的离心率小于1，原点(0,0)在椭圆的________。

(4) 椭圆的离心率等于1，原点(0,0)在椭圆的________。

(5) 椭圆的离心率大于1，原点(0,0)在椭圆的________。

答案：(1) 椭圆的离心率为c/a；(2) 椭圆的焦点和直径的关系是焦点到椭圆周上任意一点的距离之和等于该点到椭圆的两个直径的距离之和；(3) 原点(0,0)在椭圆的右焦点所在的象限；(4) 原点(0,0)在椭圆的焦点所在的象限；(5) 原点(0,0)在椭圆的左焦点所在的象限。

3. 选择题(1) 下列各图中，哪个是椭圆？A. ![图1](image1.png)B. ![图2](image2.png)C. ![图3](image3.png)D. ![图4](image4.png)答案：C. ![图3](image3.png)(2) 椭圆的离心率等于1，这个椭圆的形状是________。

A. 长圆B. 倍圆C. 圆D. 短圆答案：C. 圆4. 计算题已知椭圆的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求椭圆的方程。

答案：椭圆的焦距为2ae = 6，离心距为2c = 2/3 * 2a，解得a = 9，所以椭圆的方程为(x^2)/81 + (y^2)/36 = 1。

5. 应用题小明要设计一个椭圆形的游泳池，他希望池子的长半轴为8米，短半轴为6米。

假设池子的边界是一个完整的椭圆，求池子的周长和面积。

答案：椭圆的周长为2π * √((a^2 + b^2)/2) = 2π * √((8^2 + 6^2)/2) ≈ 39.97米。

高三椭圆知识点讲解

高三椭圆知识点讲解椭圆是数学中的一个重要概念，在高三数学中也是一个关键的知识点。

椭圆具有多个特性和性质，本文将对高三椭圆的知识点进行详细讲解。

一、椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

这两个点被称为焦点，椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是与长轴垂直且通过椭圆中心的线段。

二、椭圆的方程通常情况下，我们可以使用椭圆方程来描述椭圆的形状和位置。

椭圆的标准方程可以写为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆的长轴长度和短轴长度。

三、椭圆的性质1. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，用来衡量椭圆形状的扁平程度。

离心率e的范围是0到1，当e接近0时，椭圆趋近于圆形；当e接近1时，椭圆趋近于长条形。

2. 椭圆的焦点与直径关系：对于任意一条直径AB，其上的任意一点P与焦点F1和F2的距离之和等于该直径的长度。

3. 椭圆的参数方程：除了标准方程外，椭圆还可以使用参数方程来表示。

参数方程可以通过参数θ来描述椭圆上的点的坐标：x = a*cosθ + hy = b*sinθ + k4. 椭圆的焦准线：焦准线是指通过两个焦点并与椭圆相切的直线。

焦准线具有特殊的性质，例如，来自焦点的光线在反射后会聚于另一个焦点。

四、椭圆的应用椭圆的形状和性质在现实生活中有广泛的应用。

以下列举几个例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨道就是椭圆，根据开普勒定律，行星运动的轨道是椭圆而不是圆形。

2. 抛物线天线：抛物线形状的天线可以将平行光线聚焦到一个点上，因此在卫星电视、天线接收器等领域有广泛应用。

3. 运动轨迹：一些项目中的投射物的轨迹也可以使用椭圆来描述，例如，高尔夫球的运动轨迹。

总结：椭圆作为数学中的一个重要概念，在高三数学中需要重点掌握。

本文对高三椭圆的定义、方程、性质以及应用进行了详细的讲解，希望对各位高中生的学习有所帮助。

高考数学专题《椭圆》习题含答案解析

专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（） A B C ．D ．【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2，且C 的离心率为12，则C 的方程是（） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（） AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则4y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得3x =，所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析．【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =．则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+，43-， ∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围. 【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b +（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-．从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=．再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤．同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<，故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+ 【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为109．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】（1）由e =得：12c b a =，，又点(21)A ，在椭圆上，所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =，因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-，与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD = 10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △. 【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，① 又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>，由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤， ∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭．故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立，在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤．故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ，根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ，整理得2221243=+c a a ，所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ，所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ，所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ，0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥ 所以234e ≥，则e ≥，又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ，如图所示：A 、B 、C 、D 四点，此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角，所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值．【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y+=，由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-， ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6 综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =，求直线n 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用根与系数的关系，结合263MN OP =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C ，原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =，故直线n 的斜率为±1.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）练真题A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 4.（2019·全国高考真题（文））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. （1）证明：3ab ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a ===b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y = 所以，直线l0y --=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。

高三数学椭圆讲解

高三数学椭圆讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是针对高三学生进行椭圆部分的数学知识讲解。

椭圆作为解析几何中的重要内容，不仅在数学领域有着广泛的应用，同时也与现实生活紧密相连。

通过本节课的学习，使学生能够掌握椭圆的定义、标准方程及其性质，并能运用相关知识解决实际问题。

2、教学对象本节课的教学对象为高三学生，他们在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。

此外，学生在学习椭圆之前，已经接触过圆、直线等基本几何图形，对于几何图形的解析方法有一定的了解，这为椭圆的学习奠定了基础。

然而，椭圆相较于其他几何图形具有一定的复杂性和抽象性，因此，在教学过程中，需要关注学生的接受程度，采用适当的教学策略，引导他们逐步理解和掌握椭圆的相关知识。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；（2）掌握椭圆的几何性质，如顶点、焦点、离心率等，并能运用性质解决相关问题；（3）能够运用椭圆知识解决实际应用问题，如椭圆轨道、椭圆截面等；（4）提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力，培养他们将实际问题转化为数学问题的能力。

2、过程与方法（1）通过引导学生自主探究椭圆的定义，培养他们主动发现问题的能力；（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生从特殊到一般、从具体到抽象的思考过程，培养他们的逻辑思维能力；（3）通过小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力，激发他们的学习兴趣；（4）运用数形结合的方法，将椭圆的几何性质与代数表达式相结合，提高学生的空间想象能力；（5）设计丰富的例题和练习，使学生在实践中掌握椭圆知识，提高解题技巧。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们主动学习的积极性；（2）通过椭圆的学习，让学生体会数学的优美和严谨，培养他们追求真理的精神；（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，增强他们的应用意识；（4）培养学生面对困难时勇于挑战、坚持不懈的精神，使他们具备克服挫折的能力；（5）通过小组合作学习，培养学生团结协作、互帮互助的品质，提高他们的人际沟通能力。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。

高三数学椭圆试题

高三数学椭圆试题1.若方程表示椭贺圆，则实数M的取值范围是。

【答案】；【解析】根据已知条件可知，方程表示椭圆，则可知10-m>0,m-2>0,且，那么可知m 的范围是2<m<6,6<m<10,故答案为。

【考点】本试题考查了椭圆方程的运用。

点评：解决该试题的关键是对于椭圆方程的理解和运用。

通过方程表示椭圆，则说明等式左边为平方和，右边为1，同时分母都是正数，且不相等，因此可知得到实数m的范围。

属于基础题。

2.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知向量（），，动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；(2)当时，过点(０，１)，作轨迹T的两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．【答案】（1）当时，方程为表示抛物线；当时，方程表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；当且时，方程表示椭圆；了当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.(2)直线恒过定点．【解析】(1)由得到关于x,y的方程.然后再根据k的取值情况讨论曲线的形状.(2)根据（1）可知轨迹T的方程为,设，，直线AB的方程为,它与抛物线方程联立，求出点M，N的坐标，进而可求出MN的斜率，从而可写出MN的直线方程，然后再研究方程得出定点坐标.（1）∵∴得------------------------------2分当时，方程为表示抛物线；-----------------------3分当时，方程表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；----------------4分当且时，方程表示椭圆；---------------------------------5分了当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.-- --------------6分(2) 当时，轨迹T的方程为.设，直线AB的方程为，联立有：∴，∴点Ｍ的坐标为．（8分）同理可得：点的坐标为．（10分）直线的斜率为，其方程为，整理得，显然，不论为何值，点均满足方程，∴直线恒过定点．（14分）3.（本小题满分12分）已知椭圆C：的短轴长为，且斜率为的直线过椭圆C的焦点及点。

高三数学椭圆常考题型

高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。

3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。

4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。

二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。

(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。

【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。

再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。

由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。

所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。

(2) 设AB的方程为y = kx + t。

代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。

由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。

将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。

【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。

高三数学关于椭圆的知识点

高三数学关于椭圆的知识点椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理等领域都有广泛的应用。

本文将介绍高三数学中关于椭圆的知识点，包括定义、性质和相关公式。

一、椭圆的定义椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的集合。

这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为长轴的长度。

二、椭圆的性质1. 焦点与顶点的关系：椭圆的焦点在其长轴上，且离顶点的距离等于椭圆的离心率e乘以长轴的长度。

2. 弦的性质：对于一个椭圆，通过焦点F1、F2的弦恰好与椭圆的法线相互垂直。

3. 离心率的性质：椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的实数，用来描述椭圆的独特程度。

当e=0时，椭圆退化为一个圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。

4. 外接矩形的性质：椭圆的外接矩形的面积等于长轴长度a乘以短轴长度b。

三、椭圆的相关公式1. 椭圆的标准方程：对于一个以原点为中心的椭圆，其标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。

2. 椭圆的焦点坐标：以原点为中心的椭圆的焦点坐标可以表示为(-c, 0)和(c, 0)，其中c^2 = a^2 - b^2。

3. 椭圆的离心率公式：椭圆的离心率e可以表示为e = c/a。

4. 椭圆的焦距公式：椭圆的焦距f可以表示为f = 2a。

四、椭圆的应用椭圆在数学和物理中有广泛的应用。

在数学领域，椭圆用于描述曲线的形状和方程的解。

在物理领域，椭圆用于描述行星的轨道、卫星的轨道和拱桥的形状等。

例如，开普勒定律描述了行星运动的规律，其中行星绕太阳的轨道是一个椭圆。

根据椭圆的性质和公式，可以推导出行星的速度和轨道半径之间的关系。

在构造和设计领域，椭圆也被广泛使用。

例如，建筑师使用椭圆曲线来设计拱形建筑物，这样可以增加结构的稳定性和美观性。

总结：椭圆是解析几何中的重要概念，具有许多特殊性质和应用。

掌握椭圆的定义、性质和相关公式，对于解决数学和物理中的问题具有重要的意义。

高三数学椭圆知识点归纳

高三数学椭圆知识点归纳椭圆是高中数学中的一个重要概念，它在代数几何和解析几何等领域有广泛的应用。

本文将对高三数学中的椭圆知识点进行归纳和总结，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

1. 椭圆的定义和性质椭圆可以通过一定的几何条件得到：对于给定的两个焦点F1和F2以及一个固定的常数c，椭圆上的任意一点P到F1和F2的距离之和等于常数c。

椭圆的中心是焦点的中垂线的交点，称为圆心O。

椭圆的性质包括：- 椭圆上的任意两点到两个焦点的距离之和等于常数c。

- 椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率越小，椭圆的形状越扁。

- 椭圆是一个闭合曲线，它的内部被椭圆内部所围成。

2. 椭圆方程的一般形式椭圆的方程可以表示为标准形式和一般形式。

标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

一般形式：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E是常数，且A和B不能同时为0。

3. 椭圆的焦点和直径椭圆的焦点是椭圆上的两个特殊点，它们与椭圆的几何特性密切相关。

椭圆的焦点到圆心的距离称为焦距，记为f。

椭圆的两条主轴分别是纵轴和横轴，它们的长度分别是2a和2b。

椭圆的两个焦点和两条主轴之间有以下关系：- 焦点到圆心的距离等于椭圆的半长轴长度，即OF1 = OF2 = a。

- 焦点、圆心和椭圆上的任意一点构成的三角形恒定，即△OF1P ≌△OF2P。

4. 椭圆的离心率和焦半径椭圆的离心率是一个重要的参数，它用于刻画椭圆的形状特征。

离心率e定义为焦距与椭圆的半长轴之比，即e = f/a。

离心率越小，椭圆的形状越趋向于圆形；离心率越接近于1，椭圆的形状越扁平。

椭圆的焦半径是椭圆上任意一点到两个焦点之间的距离，它满足下列关系：- 焦半径的平方等于离心率与椭圆上该点到圆心距离的乘积，即PF^2 = 2aPF。

高三数学周测31《椭圆》

海南省洋浦中学2010届高三数学周测31《椭圆》时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0 4．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 5．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（）A ．20B ．22C ．28D ．246．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）7．若椭圆221x my +=的离心率为2，则它的长半轴长为_______________. 8．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

9．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。

高三数学专题训练- 椭圆的定义、标准方程及性质

高三数学专题练习30 椭圆的定义、标准方程及性质小题基础练○30一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为( ) A.12 B.32C.52 D ．2 答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则m n ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43 答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.故选D.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3C.3－12 D.3－1 答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )A ．2 B.24 C.12 D ．1 答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF1→＋OP →)＝0(O为坐标原点)．若|PF1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－32C.6－ 5D.6－52 答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．6D ．8 答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.故选C.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案： 5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.课时增分练○30一、选择题 1．[2019·河北省五校联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1答案：C解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14 答案：D解析：如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. 故选D. 5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点．若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e 为( )A.53B.13C.23D.12 答案：A解析：∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义知x ＋2x ＝2a ，∴x ＝2a 3，∴|PF 2|＝2a3，则|PF 1|＝4a 3.由勾股定理知|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，解得c ＝53a ，∴e ＝c a ＝53.故选A.6．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.故选A.7．[2019·贵州遵义联考]已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或52B.32或 5C.32 D. 5 答案：B解析：由题意得m 2＝16，解得m ＝4或m ＝－4.当m ＝4时，曲线方程为x 2＋y 24＝1，故其离心率e 1＝c a ＝ 1－b 2a 2＝ 1－14＝32；当m ＝－4时，曲线方程为x 2－y 24＝1，故其离心率e 2＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝ 1＋4＝ 5.所以曲线的离心率为32或 5.故选B.8．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，55答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧a >b2＋c ，b <b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2>14(a 2－c 2)，a 2－c 2<2c ，解得55<e <35.故选A.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案：3 解析：如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE 、BE .由椭圆的定义得，△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△F AB 的周长最大时，△F AB的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°.设椭圆C 的离心率为e ，则e 2＝________.答案：1－33 解析：由椭圆的对称性，设M (x 0，y 0)，y 0>0，A (－a,0)，B (a,0)．因为∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°，所以k BM ＝y 0x 0－a ＝－1，k AM ＝y 0x 0＋a＝33.又因为x 20a 2＋y 20b 2＝1，三等式联立消去x 0，y 0可得b 2a 2＝33＝1－e 2，所以e 2＝1－33.11．[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O ，焦点在x轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.11因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k 1＋2k 2， y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4k 2(1＋2k 2)2＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。

2020高考数学(理数)题海集训31 椭圆(30题含答案)

2020高考数学(理数)题海集训31 椭圆一、选择题1.与椭圆9x 2＋4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 24=1 B ．x 2＋y 26=1 C.x 26＋y 2=1 D.x 28＋y 25=12.已知椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F.以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( ) A.35 B ．12 C.23 D ．343.设椭圆C ：=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为( )A.B. C. D.4.设椭圆13422=+y x 的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( )A.3B.3或1.5C.1.5D.6或35.椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 22=1 B.x 22＋y 2=1 C.x 24＋y 22=1 D.y 24＋x 22=16.已知椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB交y 轴于点P.若AP ―→=2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.127.已知P 为椭圆x 225＋y 216=1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2=1和圆(x －3)2＋y 2=4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．158.曲线x 225＋y 29=1与曲线x 225－k ＋y29－k=1(k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等9.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27=1 B ．x 216＋y 27=1或x 27＋y 216=1 C.x 216＋y 225=1 D ．x 216＋y 225=1或x 225＋y 216=110.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1―→·PF 2―→=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12D.⎝⎛⎦⎥⎤0，2211.已知椭圆C:13422=+y x 的左,右焦点分别为F 1,F 2,椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点,则·的最大值为( )A.23 B.233 C.49 D.415 12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋316a 2=0交于A ，B 两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.32 D.6213.已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)=0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|=2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.6－32C.6－ 5D.6－5214.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1315.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x23=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．216.已知点P 是椭圆x 216＋y28=1(x≠0，y≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→=0，则|OM ―→|的取值范围是( ) A ．[0,3) B ．(0,22) C ．[22，3) D ．(0,4] 17.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为22，双曲线x 2－y 2=1的渐近线与椭圆C 有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22=1 B.x 212＋y 26=1 C.x 26＋y 23=1 D.x 220＋y 25=118.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2=1相交于A ，B 两点，则|AB|的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.810519.设P 为椭圆C ：x 249＋y224=1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|=3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．620.已知椭圆14222=+b y x (0<b<2)的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( )A.1B.2C.1.5D.3 二、填空题21.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac ＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．22.设e 是椭圆x 24＋y 2k =1的离心率，且e=23，则实数k 的值是________．23.已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2:3,则椭圆C 的方程是 .24.设F 1，F 2是椭圆x 249＋y224=1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3，则△P F 1F 2的面积为________． 25.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为55,且过点P(-5,4),则椭圆的标准方程为 .26.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．27.椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y=0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________．28.已知椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，右顶点为A ，上顶点为B ，现过A 点作直线F 1B 的垂线，垂足为T ，若直线OT(O 为坐标原点)的斜率为－3bc，则该椭圆的离心率为________．29.设F 1,F 2分别是椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的左,右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 1的中点在y 轴上,若∠PF 1F 2=30°,则椭圆C 的离心率为 .30.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF 1|的最大值为________．答案解析1.答案为：B ；2.答案为：A.解析：因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即OC=bca ，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2=1，所以5e 2＋2e －3=0，又0＜e ＜1，所以e=35.故选A.3.D.4.答案为：C ；5.答案为：C ；由条件可知b=c=2，a=2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22=1.故选C.6.答案为：D ；∵AP ―→=2PB ―→，∴|AP ―→|=2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA||AB|=|AO||AF|=23，即a a ＋c =23，∴e=c a =12.7.答案为：B ；由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|=10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2=7.8.答案为：D ；曲线x 225＋y 29=1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k=1(k ＜9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k.对照选项，知D 正确．故选D.9.答案为：B.解析：因为a=4，e=34，所以c=3，所以b 2=a 2－c 2=16－9=7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27=1或x 27＋y216=1.设P(x ，y)，则x 2a 2＋y 2b 2=1，y 2=b 2－b 2a2x 2，－a≤x≤a，PF 1―→=(－c －x ，－y)，PF 2―→=(c －x ，－y)．所以PF 1―→·PF 2―→=x 2－c 2＋y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2=c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a≤x≤a，所以b 2－c 2≤PF 1―→·PF 2―→≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2.所以2c 2≤a 2≤3c 2.所以33≤c a ≤22.故选B.11.答案为：B ；12.答案为：B ；由已知可得圆D ：(x －a)2＋y 2=1316a 2，圆心D(a ，0)，则菱形OADB 对角线的交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，将x=a 2代入圆D 的方程得y=±3a 4，不妨设点A 在x 轴上方，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 4，代入椭圆C 的方程可得14＋9a 216b 2=1，所以34a 2=b 2=a 2－c 2，解得a=2c ，所以椭圆C 的离心率e=c a =12.13.答案为：A ；以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)=0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形， ∴|OP ―→|=|OF 1―→|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|=x ，则|PF 1|=2x ，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，2x 2＋x 2＝2c2，∴e=c a =32＋1=6－ 3.故选A.14.答案为：C ；如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|=2c.∴a －c≤2c≤a＋c.∴e=c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.∵椭圆的方程为y 24＋x 23=1，∴a 2=4，b 2=3，c 2=1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|=4， ∴|PB|=4－|PC|，∴|PA|＋|PB|=4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|=5.16.答案为：B ；如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G.∵F 1M ―→·MP ―→=0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|=|PG|，且M 为F 1G 的中点．∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G.∵|F 2G|=||PF 2|－|PG||=||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|=12|2a －2|PF 2||=|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．17.答案为：C ；由题意知双曲线x 2－y 2=1的渐近线方程为y=±x，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为22，所以点(2，2)在椭圆上，所以2a 2＋2b 2=1.①又椭圆的离心率为22，所以a 2－b 2a 2=12，所以a 2=2b 2.②由①②得a 2=6，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23=1.故选C.18.答案为：C ；设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y=x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)=0，则x 1＋x 2=－85t ，x 1x 2=4t 2－15.∴|AB|=1＋k 2|x 1－x 2|=1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2=2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15 =425·5－t 2，当t=0时，|AB|max =4105.∵P 为椭圆C ：x 249＋y224=1上一点，|PF 1|∶|PF 2|=3∶4，|PF 1|＋|PF 2|=2a=14，∴|PF 1|=6，|PF 2|=8，又∵|F 1F 2|=2c=249－24=10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2=3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C.20.答案为：D ；21.答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12；解析：∵c 2－b 2＋ac ＜0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac ＜0，即2c 2－a 2＋ac ＜0，∴2c 2a 2－1＋ca＜0，即2e 2＋e －1＜0，解得－1＜e ＜12.又∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.22.答案为：209或365；解析：当k ＞4 时，有e= 1－4k =23，解得k=365；当0＜k ＜4时，有e=1－k 4=23，解得k=209.故实数k 的值为209或365.23.答案为：+=1；24.答案为：24；解析：因为|PF 1|＋|PF 2|=14，又|PF 1|∶|PF 2|=4∶3，所以|PF 1|=8，|PF 2|=6.因为|F 1F 2|=10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.25.答案为：+=1；26.答案为：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1；解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b)·(－c ，－b)＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1.27.答案为：3－1；解析：设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF ′F=π3，∴|AF|=3|AF ′|，|FF ′|=2|AF′|，因此椭圆C 的离心率为2c 2a =|FF ′||AF|＋|AF′|=23＋1=3－1.28.答案为：0.5；解析：因为椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)，A ，B 和F 1点坐标分别为(a ，0)，(0，b)，(－c ，0)，所以直线BF 1的方程是y=b c x ＋b ，OT 的方程是y=－3b c x.联立解得T 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 4，3b 4，直线AT 的斜率为－3b 4a ＋c .由AT⊥BF 1得，－3b 4a ＋c ×b c=－1，∴3b 2=4ac ＋c 2，∴3(a 2－c 2)=4ac ＋c 2，∴4e 2＋4e －3=0，又0＜e ＜1，所以e=0.5.29.答案为：；30.答案为：15；解析：在椭圆x 225＋y216=1中，a=5，b=4，c=3，所以焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM|＋|PF 1|=|PM|＋(2a －|PF 2|)=10＋(|PM|－|PF 2|)． ∵|PM|－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号， ∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM|－|PF 2|)max =6－32＋4－02=5，此时得|PM|＋|PF 1|的最大值，为10＋5=15.。

高三数学椭圆试题答案及解析

高三数学椭圆试题答案及解析1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0【答案】B【解析】由题意知：>2，即<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2．故选B．2.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝()A．B．C．D．4【答案】A【解析】a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝．3.椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知△ABF为直角三角形，其中|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由勾股定理，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2＝2a2＋a2－c2，整理得c2＋ac－a2＝0，同除a2得e2＋e－1＝0，∴e＝，∵e∈(0,1)，∴e＝．4.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上焦点是F1，过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A，B两点，已知A(，)．(1)求椭圆E的方程；(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点，求C点的坐标．【答案】（1）＋x2＝1 （2）(，－)【解析】(1)由A(，)和P(3,4)可求直线PF1的方程为y＝x＋1．令x＝0，得y＝1，即c＝1．椭圆E的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，由椭圆的定义可知．2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2．∴a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋x2＝1．(2)设与直线PF1平行的直线l：y＝x＋m．，消去y得3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)＝0，即m2＝3，∴m＝±．要使点C到直线PF1的距离最远，则直线l要在直线PF1的下方，所以m＝－．此时直线l与椭圆E的切点坐标为(，－)，故C(，－)即为所求．5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.【答案】（1）；（2），或..【解析】（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，即可求出的方程；（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，因由题意知，所以，将韦达定理得到的结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.（1）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，故方程为.（2）由（1）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，又是方程的根，因此，由得因由题意知，所以，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.6.已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）圆上存在两个不同点，满足..【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，考查学生的数形结合思想.第一问，利用直线方程得到椭圆的左焦点坐标，再结合离心率，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由已知弦长为，则由垂径定理得到圆的半径，从而得到圆的标准方程，利用两点间的距离公式得到和，代入已知中，得到P点的轨迹方程为圆，利用两个圆的位置关系判断两个圆相交，所以存在点P.因为直线的方程为，令，得，即 1分∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为. ４分（2）∵圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，∴由垂径定理得，故圆的方程为. ８分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。

高三数学椭圆试题

高三数学椭圆试题1.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，其上顶点为已知是边长为的正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记．若在线段上取一点，使得，当直线运动时，点在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）定直线的方程为.【解析】（1）因为是边长为2的正三角形，所以，椭圆的方程为；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出；设点的坐标为则由，解得，故点在定直线上.试题解析：（Ⅰ）因为是边长为2的正三角形，所以，所以，椭圆的方程为（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，设其方程为.并设由消去得则由得故设点的坐标为则由得解得:故点在定直线上.【考点】椭圆的性质、设而不求思想、定直线问题.2.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2B．3C．6D．8【答案】C【解析】设，则即，又因为，，又，∴，所以．3.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是( )A．(，+)B．(，+)C．(，+)D．(0，+)【答案】C【解析】解：椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为根据题意：,因为在等腰三角形中,,所以，所以，,所以，故选C.【考点】1、椭圆定义与简单几何性质；2、双曲线的定义与简单几何性质.4.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程，并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值.【答案】（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）详见解析.【解析】（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出因为短轴上的一个端点到的距离为，所以而所以再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消得关于的一元二次方程，由判别式为零得斜率,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点坐标在变化，所以由判别式为零得关于点坐标的一个等式：，即，而这等式对两条切线都适用，所以的斜率为方程两根，因此.当垂直时，线段为准圆的直径，为定值4.试题解析：解：（1），椭圆方程为， 2分准圆方程为. 3分（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，所以由得.因为直线与椭圆相切，所以，解得， 6分所以方程为. 7分，. 8分（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则：，当：时，与准圆交于点，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当：时，直线垂直. 10分②当斜率存在时，设点，其中.设经过点与椭圆相切的直线为，所以由得.由化简整理得，因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即垂直. 12分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值. 14分【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系5.在△ABC中，∠ACB＝60°，sinA∶sinB＝8∶5，则以A、B为焦点且过点C的椭圆的离心率为________．【答案】【解析】由题意e＝.∵sinA∶sinB＝8∶5，∴由正弦定理得a∶b＝8∶5.设a＝8k，b＝5k，∴由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c＝7k，∴e＝6.如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),半焦距为c1,则椭圆的离心率为e1=.设双曲线的标准方程为-=1(m>0,n>0),半焦距为c2,则双曲线的离心率为e2=.由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a.∴===2.故选B.7.如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.【答案】（1）+=1 （2）2 (x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6【解析】解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1,又e=,故b2==8,从而a2==16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x)2+y2=x2-2xx++8×（1-）=(x-2x)2-+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,当x=x1时|QM|2取最小值,又x1∈(-4,4),所以当x=2x时|QM|2取最小值,从而x1=2x,且|QP|2=8-.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S=|2y1||x1-x|=×2|x|==·.当x=±时,△PP′Q的面积S取得最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为()A．2B．3C．6D．8【答案】C【解析】由椭圆方程+=1可知a2=4,b2=3,∴c2=1,∴F(-1,0).设P(x0,y),则+=1.且=(x0,y), =(x+1,y),∴·=x0(x+1)+=+x+3（1-）=+x+3=(x+2)2+2∵-2≤x≤2,∴当x=2时, ·取到最大值×16+2=6.9.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c(c为半焦距),因为∠PF1F2=30°,所以|PF2|=,|PF1|=,由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=,所以e==.故选D.10.椭圆+=1的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆方程+=1可知a2=16,b2=8,∴c2=a2-b2=8,∴e=====.11.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A．3B．2C．2D．4【答案】C【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0).由得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,可得a2=7,∴2a=2.12.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()A．+=1B．+=1C．+y2=1D．+=1【答案】A【解析】圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.又e==,∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,∴椭圆的标准方程为+=1.13.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.【答案】+=1【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).∵e=,∴=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.14.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.15.椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆方程为________．【答案】＝1【解析】当点P为椭圆的短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，此时△PF1F2的面积为S＝×8×b＝12，解得b＝3.又a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆方程为＝1.16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，两条曲线在第一象限的交点记为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是()A．0，B．，C．，＋∞D．，＋∞【答案】C【解析】根据已知|PF2|＝2c，在椭圆中根据定义2c＋10＝2a1，离心率e1＝，在双曲线中根据定义10－2c＝2a2，离心率e2＝.由于P，F1，F2三点构成三角形，所以2c＋2c>10，即c>，根据10－2c＝2a2>0可得0<c<5，故<c<5，0< －1<3，所以e1e2＝＝>17.已知双曲线C与椭圆＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．【答案】3【解析】由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝＝2，故椭圆的离心率e1＝＝，则双曲线的离心率e2＝＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，则有a＝＝＝1，b2＝＝＝，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.因为点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF2|＝4，所以|PF1|＝6.因为坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点．所以|MO|＝|PF1|＝3.18.设椭圆C∶＝1(a＞b＞0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．【答案】2＋【解析】由题设知＝1，∴b2＝，∴椭圆的中心到准线的距离d＝，由d2＝＝，令a2－5＝t(t＞0)得d2＝＝t＋＋9≥9＋4(当且仅当t＝2时取等号)∴d≥2＋即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋19.已知椭圆过点,离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线、分别交直线于、两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据条件可得以下方程组:，解这个方程组求出、的值便得椭圆的方程；（Ⅱ）将用表示出来，这样就是一个只含的式子，将该式化简即可.那么如何用来表示？设，.因为A（2，0），所以直线的方程分别为：.令得：所以的中点为：由此得直线的斜率为：①再设直线的方程为，代入椭圆方程得:设，，则由韦达定理得:代入①式，便可将用表示出来，从而得到的值.试题解析：（Ⅰ）由题设:，解之得,所以椭圆的方程为 4分（Ⅱ）设直线的方程为代入椭圆方程得:设，，则由韦达定理得:直线的方程分别为：令,得：所以13分【考点】1、椭圆及其方程；2、直线的方程；3、中点坐标公式；4、根与系数的关系.20.已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆上，则此椭圆离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由椭圆的定义得：，平方得：①又∵，∴，②由余弦定理得：，③由①②③得：，，，∴，则此椭圆离心率的取值范围是，故选C．【考点】椭圆的标准方程，余弦定理的应用.21.已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．【答案】(1) ,;(2)-1.【解析】(1)根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出，然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简并求值.试题解析：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线 3分同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：．得椭圆． 6分（2）是定值，且定值为－1．设直线的方程为，则．联立方程组，消去得：且 , 9分由得：整理得：,． 14分【考点】1.抛物线和椭圆的方程；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）向量的坐标运算.22.已知定圆的圆心为，动圆过点，且和圆相切，动圆的圆心的轨迹记为．(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)若点为曲线上一点，试探究直线：与曲线是否存在交点? 若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线与曲线总有两个交点，.【解析】（Ⅰ）先找出圆心和半径，设出动圆的圆心和半径，因为动圆过点，且和圆相切，所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆；（Ⅱ）讨论的情况，分和两种，当时，显然有两个交点，当时，联立方程组，消解方程，看解的个数.试题解析：（Ⅰ）圆的圆心为，半径.设动圆的圆心为半径为，依题意有.由，可知点在圆内，从而圆内切于圆，故，即，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 3分设椭圆方程为. 由，，可得，.故曲线的方程为. 6分（Ⅱ）当时，由可得.此时直线的方程为：，与曲线有两个交点. 8分当时，直线的方程为：，联立方程组消去得，①由点为曲线上一点，得，可得.于是方程①可以化简为. 解得或.当代入方程可得；当代入方程可得.显然时，.综上，直线与曲线总有两个交点，. 13分【考点】1.求椭圆方程；2.判断直线与椭圆的交点.23.在椭圆（ａ＞）中，记左焦点为F,右顶点为A，短轴上方的端点为B，若角，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为椭圆左焦点为F(－c，0)，短轴上方的端点为B (0，b)，右顶点为A(a，0)，，所以BF=a=，即，所以，故选D。

高三数学知识点椭圆

高三数学知识点椭圆椭圆是解析几何中的一个基本图形，具有许多有趣的性质和应用。

在高三数学学习中，椭圆是一个重要的知识点，本文将详细介绍椭圆的定义、性质、方程及相关的典型题目，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。

一、椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个固定点称为焦点，常数称为焦距。

椭圆的椭圆心是焦点连线的中点，椭圆的长轴是通过焦点且垂直于椭圆主轴的直线段，短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段。

二、椭圆的性质1. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的参数，用于衡量椭圆的形状。

离心率的取值范围是0到1之间，离心率越接近于0，椭圆越趋近于圆；离心率越接近于1，椭圆越扁平。

2. 椭圆的焦点关系椭圆的两个焦点和椭圆心在同一条直线上，并且椭圆的平分线经过椭圆心。

3. 椭圆的对称性椭圆具有关于椭圆中心的对称性，即椭圆上的任意一点关于椭圆中心都有对称点。

4. 椭圆的弦长性质椭圆上任意一条弦的中点都在椭圆的长轴上，并且长轴上的中点是椭圆的中心。

三、椭圆的方程椭圆的方程根据其焦点位置和形状可以有不同的表达方式。

最常见的椭圆方程为标准方程，即：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

另一种常见的表达方式是参数方程，即：$x = a \cos t$$y = b \sin t$其中t为参数，表示椭圆上的任意一点。

还有一种椭圆的方程是焦点方程，即：$\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x-d)^2 + y^2} = c$其中d为焦点到原点的距离，c为焦距。

四、椭圆的相关题目1. 已知椭圆的长轴和离心率，求短轴长。

解题思路：根据离心率的定义，可得长轴与短轴长度的关系，从而可以求出短轴的长度。

2. 已知椭圆的焦点和离心率，求椭圆的方程。

解题思路：根据焦点和离心率的定义，可以列方程得到椭圆的方程。

新高考数学-椭圆作业31

课时作业(三十一)1．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是()A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22] D.[4－2，4＋2]答案A 解析由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y 28＝1.∴－3≤m ≤3，∴4－23≤2m ＋4≤4＋2 3.2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为()A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1D ．以上都不对答案C解析a ＋2b ＝18，c ＝6，2－b 2＝c 2，解得a ＝5，b ＝4.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.故选C.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (a ＞b ＞0，k ＞0)具有()A ．相同的长轴长B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的顶点答案C 解析椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝k (a ＞b ＞0，k ＞0)化为标准形式为x 2ka 2＋y 2kb2＝1，其离心率的平方为ka 2－kb 2ka 2＝a 2－b 2a2＝c 2a 2.故选C.4．(2016·全国Ⅰ卷，文)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心(坐标原点)到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案B解析利用椭圆的几何性质列方程求离心率．不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13答案B解析由题意知P c c ∵∠F 1PF 2＝60°，∴2c b 2a ＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝33或e ＝－3(舍去)．6．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8答案C 解析由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F (－1，0)，点O (0，0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.7．若椭圆x 2k ＋4＋y 24＝1的离心率为12，则k ＝________．答案43或－1解析当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋4，b 2＝4，所以c 2＝k .因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，即k k ＋4＝14，所以k ＝43；当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋4，所以c 2＝－k .因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以－k 4＝14，所以k ＝－1.综上可知，k ＝43或k ＝－1.8．(1)长轴长是短轴长的3倍，且过(3，－1)，则椭圆的标准方程为________．(2)椭圆过点(3，0)，离心率e ＝63，则椭圆的标准方程为________．答案(1)x 218＋y 22＝1或y 282＋x 2829＝1(2)x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1解析(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知得a ＝3b ，且椭圆过点(3，－1)，∴32（3b ）2＋1b 2＝1或1（3b ）2＋32b 2＝1.2＝18，2＝2，2＝82，2＝829.故所求方程为x 218＋y 22＝1或y 282＋x2829＝1.(2)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 2271.9．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解析椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.因为m 2<4m 2，所以1m 2>14m 2.所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m .所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m，－32m，－1m，离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.10．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的标准方程．解析(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 2(1，0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32y ＝－b2.代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，又c 2＝1，所以b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x23＋y 22＝1.11．【多选题】若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是()A.x 28＋y 24＝1 B.x 23＋y 25＝1C.x 26＋y 23＝1 D.x 26＋y 29＝1答案AC解析由题意，知当b ＝c 时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”．四个选项中只有A 、C 中b ＝c ，符合题意．故选AC.12．设F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是()，22，33C.22，D.33，答案D解析由垂直平分线的性质知|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线x ＝a 2c与x 轴的交点为M ，则|PF 2|≥|F 2M |，即|F 1F 2|≥|F 2M |，则2c ≥a 2c －c ，即3c 2≥a 2，所以e 2＝c 2a 2≥13，又0<e <1，所以33≤e <1.13.如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴(线段AB )分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线，分别交上半椭圆于P 1，P 2，P 3，…，P 7七个点，F 是椭圆的左焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________．答案35解析由椭圆的对称性及定义，知|P 1F |＋|P 7F |＝2a ，|P 2F |＋|P 6F |＝2a ，|P 3F |＋|P 5F |＝2a ，|P 4F |＝a ，所以|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋|P 4F |＋|P 5F |＋|P 6F |＋|P 7F |＝7a .因为a ＝5，所以所求式子的值为35.14．设F 1，F 2分别是椭圆x 25＋y 24＝1的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，则PF 1→·PF 2→的最大值和最小值分别为________．答案4，3解析由题意知a ＝5，b ＝2，c ＝1，∴点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设点P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1＝x 2＋4－45x 2－1＝15x 2＋3，∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝±5，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值且最大值为4；当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值且最小值为3.15.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为________．答案53解析如图，连接PF 1，由题意知|OA |＝b ，所以|PF 1|＝2b ，所以|PF 2|＝2a －2b ，所以|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中，有b 2＋(a －b )2＝c 2①，将b 2＝a 2－c 2代入①整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，所以e ＝53(负值舍去)．1．【多选题】已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，且短轴长为2，离心率为63过焦点F 1作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是()A ．椭圆方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为43答案ACD解析由已知得，2b ＝2，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b ＝1，所以椭圆方程为y 23＋x 2＝1，将F 1的纵坐标代入椭圆方程得|PF 1|＝33，所以|PQ |＝233.根据椭圆的定义得，△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.故选ACD.2．设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，则使得PF 1→·PF 2→＝2成立的点P 的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4答案D解析因为c 2＝9－5＝4，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x ，y )，则PF 1→＝(－2－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，所以(－2－x )(2－x )＋(－y )2＝2，即x 2＋y 2＝6，又x 29＋y 25＝1，两式联立，＝32，＝152或＝32，＝－152或＝－32，＝152＝－32，＝－152.故满足条件的点P 有4个．3.如图，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，若OP ∥AB ，则离心率e ＝________．答案22解析∵OP ∥AB ，PF ∥OB ，∴△OPF ∽△ABO .∴PF BO ＝FO OA ，即b 2a b ＝c a.∴b ＝c ，∴a ＝2c .∴e ＝c a ＝c 2c ＝22.4．在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718，若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________．答案38解析设|AB |＝|BC |＝m >0，则由cos B ＝－718，得cos B ＝m 2＋m 2－|AC |22m2＝－718，得|AC |2＝25m 29，|AC |＝5m 3，因此该椭圆的离心率e ＝|AB ||CA |＋|CB |＝m 5m 3＋m ＝38.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点．若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则AP →·FP →的取值范围是________．答案[0，12]解析因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a ＝2.因为离心率e ＝12，所以c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，所以点A 的坐标为(－2，0)，点F 的坐标为(－1，0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则AP →·FP →＝(x ＋2，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋3x ＋2＋y 2.由椭圆的方程得y 2＝3－34x 2，所以AP →·FP →＝x 2＋3x －34x 2＋5＝14(x ＋6)2－4.因为x ∈[－2，2]，所以AP →·FP →∈[0，12]．6．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________．答案2解析设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，所以PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→|＝4x 02＋4y 02＝22－2y 02＋y 02＝2－y 02＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 02≤1，所以当y 02＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取得最小值2.7．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析由题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，所以S △F 1OQ S △F 1F 2P ＝13，所以|OF 1||F 1P |＝13.设椭圆的焦距为2c ，则|F 1P |＝3c ，|F 2P |＝|F 1F 2|2－|F 1P |2＝c ，由椭圆的定义可得3c ＋c ＝2a ，所以e ＝ca ＝23＋1＝3－1.。

高中数学高三数学椭圆检测题

《椭圆》检测题（60分钟）1. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若直线PA 与PB 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为______．2. 已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为______．3. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．则椭圆的离心率为______．4. 椭圆M ： ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =M 的离心率e 的取值范围为____．5. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为1F (-c,0)， 2F (c,0)，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为____．6. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是_____．7. 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．。