2020年甘肃二诊-文数
甘肃省陇南市2020届高三第二次诊断考试数学(文)试题答案
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2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)
2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|12}A x x =-剟，{1B =-，1}，则(A B =I ) A ．{|11}x x -剟B ．{0，1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，1}2．（5分）若(1)(1)iz i i =-+，则(z = ) A ．2iB ．0C ．i -D ．2i -3．（5分）已知向量(1,1),(2,3)a b =-=-r r ，则||(a b -=r r )A B ．1 C ．5 D ．254．（5分）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()f x lgx =，则函数()f x 的零点个数为()A ．4B ．3C ．2D ．15．（5分）命题“[0x ∀∈，)+∞，22020cos 0x x ->”的否定为( )A ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-„ B ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞-„ C ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∉+∞-„D ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∉+∞-< 6．（5分）2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜()ga 、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是( )A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标7．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410a a +=，424S =，则1a 的值为( ) A ．9B ．1C ．9-D ．2-8．（5分）在棱长均相等的四面体OABC 中，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．（5分）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，⋯⋯，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）( ) A ．1031πB ．516πC ．10231D ．528π10．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，若双曲线的左支上有一点P ，满足12||||2PF PF -=-，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y x =C ．y =D ．13y x =±11．（5分）定义在R 上的函数()y f x =在(-∞，1]上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)f x f ->（3）成立的x 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(-∞，0)(2⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(,0)-∞12．（5分）在“家校连心，立德树人--重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成．已知该微信群众男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数．若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[a ，]b ，则b a -= ．14．（5分）数列{}n a 中，已知111,2n n n a a a +=+=，则6a = ．15．（5分）已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-= ．16．（5分）“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，则FB AB =u u u r u u u rg ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABCD 是矩形，2AD AB =，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF ⊥平面PAF ；（2）若在棱PA 上存在一点G ，使得//EG 平面PFD，求AGAP的值．18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C ；（2）若ABC ∆的面积83S =421R =ABC ∆的周长． 19．（12分）某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如表：日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日1月6日温差x （摄氏度） 10 11 12 13 8 9 发芽率y （粒)262730322124他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据1月2，3，4，5日的数据求出y 关于x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠．参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（12分）已知圆E 与圆22:(2)1F x y -+=相外切，且与直线10x +=相切． （1）记圆心E 的轨迹为曲线G ，求G 的方程；（2）过点(3,2)P 的两条直线1l ，2l 与曲线G 分别相交于点A ，B 和C ，D ，线段AB 和CD 的中点分别为M ，N ．如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 经过定点．。
2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学(文)试题(解析版)
（2）过 作 交 于 ，
则 平面 ，且 ．再过 作 交 于 ，
所以 平面 ，且 ．所以平面 平面 ，
所以 平面 ，从而点 满足 ．
【考点】1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理．
18．在 中，角A，B，C的对边分别为 且满足 ．
（1）求角 ；
（2）若 的面积 ，其外接圆的半径 ，求 的周长．
参考公式： ，
【答案】（1） （2） .可靠
【解析】（1）先求得从6组数据中任选2组数据的基本事件个数，再得相邻2天数据事件个数，即可得选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）根据所给数据，分别求得 ，代入公式可得 ，进而得回归直线方程；分别再代入 ， 检验即可判断.
【详解】
（1）从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件， ， ， ， ， .
记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A，
则A中有 ，共5个基本事件，
故 .
（2） ，
，
所以
.
所求的回归方程为 .
当 时， ， ，
当 时， ， .
故此线性回归方程是可靠的.
【点睛】
本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题.
20．已知圆 与圆 相外切，且与直线 相切．
（1）记圆心 的轨迹为曲线 ，求 的方程；
【解析】根据等差数列通项公式及等差数列前n项和公式，可得关于 的方程组，进而解方程组可得 的值.
【详解】
根据等差数列通项公式及前n项和公式可得
，
解方程组可得 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式及等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题.
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)含解析【推荐】.doc
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1 •若集合A={| - 1<< 2} , B={| - 2vv 1}，贝煉合A U B=( )A . {| - 1<< 1} B. {| - 2<< 1} C. {| - 2<< 2} D . {| 0<< 1}2•如图所示，向量■:.所对应的复数分别为1, 2,则12=( )A . 4+2i B. 2+i C. 2+2i D. 3+i3. 某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表:女生男生合计喜欢吃甜食8412不喜欢吃甜食21618合计102030附表:P (2 > 0 ) 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828经计算=10，则下列选项正确的是( )A .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C.有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响44. 已知tan=^，且在第三象限，则cos=( )4 n3 C.log,(3^x1, x<05. 函数f(Q二' ，则f (3)的值为(f(K-l), X>0A . - 1B . - 2C . 1D . 26. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅A .①②⑥B .①②③C.④⑤⑥D .③④⑤助作用），贝U四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（7.设D ABC的所在平面内一点，「:[-1产,则：=（）8.某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量（单位: 台），把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=（）33⑥A . f () =2B . f () =1 - ||C . t 「匚二D . f () =ln (+1)10. 已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a , 2), B (- 4, a ), C (2a+2, 2), 则厶ABC 的外接圆的方程是()2 2 2 22 22 2A . 2+ (y - 3) 2=5B . 2+ (y+3) 2=5C . (- 3) 2+y 2=5D . (+3) 2+y 2=511.已知三棱锥S -ABC 的各顶点都在一个球面上，△ ABC 所在截面圆的圆心 O 在AB 上, SO 丄平面z 匚町；、仃「广.，若三棱锥的体积是等，则球体的表面积是( )AB 脊兀CD 25 n• 4 - 12- 48ITTT12.将函数1 K' :_in 1的图象向左平移^个单位，在向上平移1个单位，得到g()的图象，若 g (1) g (2)=16,且 y ] '「二一 —•,则 21 - 2 的最大值为( )9.Si196 B . 203 C .已知函数满足一下两个条件：①任意 1 , 2^( 0, +x),且佇 2 时，(1 - 2)[f ( l )(2) ]v 0;②对定义域内任意有f ()+f (-)=0,贝28 D . 29D .B.、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13. ___________________________________________ 数列｛a n｝中，若a n+i (a n+1) =a n,a i=1，则a6= ___________________________________ .2x+y-4>014. 已知实数，y满足，则=-3y的最大值是_____ .y<315. ___________________________________________________________ 已知抛物线y2=8上一点P到焦点的距离为4,则厶PFO的面积为__________________________ .16. 已知函数丁亠丄1L与函数y=- 2的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是x-1三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列｛an+1｝是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7, a?=127.(1)求的a1值；(2)求数列｛a n｝的前n项和.18. 甘肃省瓜州县自古就以生产美瓜”面名扬中外，生产的瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%〜19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用，y，表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=+y+的值平定蜜瓜的顶级，若w>4,则为一级；若2 < w< 3，则为二级；若0w w< 1，则为三级，今年，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：2 从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.19. 如图，在△ ABC 中，AB 丄BC,点D，E 分别在AB，AC 上, AD=2DB，AC=3EC，(1)若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；沿DE将厶ADE翻折起，使得点A到P的位置，满足；…=1 .(1)证明：DB丄平面PBC;(2)若L乩丸丁，点M在PC上，且，求三棱锥P-BEM的体积.20. 已知椭圆的顶点到直线1:『=的距离分别为「;(1)求椭圆C i的离心率；(2)过圆O：2+y2=4上任意一点P作椭圆C i的两条切线PM和PN分别与圆交于点M, N，求△ PMN面积的最大值.21. 已知函数f () =sin+cos.(1)当汽—时，求函数f ()的单调区间；(2)若存在m L ［—、—，使得f ()> 2+cos成立，求实数的取值范围.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.［选修4-4坐标系与参数方程］(1)使判断I与C的位置关系；22.已知直线…(2)若把曲线C1上个点的横坐标压缩为原的倍，纵坐标压缩为原的-一倍，得到曲线C2,设点P是曲线C2上一个动点，求它到直线I的距离的最小值.［选修4-5不等式选讲］23.设函数f () =| - 3|，g () =| - 2|(1)解不等式 f () +g ()< 2；(2)对于实数，y,若f ()< 1, g (y)< 1,证明:2017年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 •若集合A={| - 1<< 2} , B={| - 2vv 1}，贝U集合A U B=( )A . {| - 1<< 1} B. {| - 2<< 1} C. {| - 2<< 2} D . {| 0<< 1}【考点】1D :并集及其运算.【分析】根据并集的定义写出 A U B即可.【解答】解：集合A={| - 1<<2}，B={| - 2<< 1}，则集合A U B={| - 2<< 2}.故选：C.2. 如图所示，向量〔三「二所对应的复数分别为1, 2,则代=( )【分析】读图求出复数1, 2,根据复数的乘法运算法则计算即可【解答】解：由图可得，1=1+i, 2=3- i,二徨=(1+i) (3 - i) =3+1+3i - i=4+2i,故选：A.3. 某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表:附表:经计算=10,则下列选项正确的是( )A .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响【考点】BL :独立性检验.【分析】根据观测值与对照临界值的关系，即可得出结论.【解答】解：根据观测值2=10,对照临界值表得10>7.879,所以有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响.故选：B.44. 已知tan=，且在第三象限，则cos=( ) 八4 o4 3 小3A.「B.C.「D.-【考点】G9：任意角的三角函数的定义.【分析】利用正切化为正弦、余弦函数，结合的象限，同角三角函数的基本关系式，cos即可.【解答】解：因为：，且在第三象限，所以丄并且sin2+cos2=1解得J COSX J4sin=-；求出3 COS=—己故选D.5•函数3，则f (3)的值为( )f(D, x>0A .- 1 B.- 2 C . 1 D . 2【考点】5B :分段函数的应用；3P:抽象函数及其应用.【分析】利用分段函数，化简求解即可.【解答】解：函数彳，二、，则 f (3) =f (2) =f (1) =f (0) =log33=1.fSi), x>0故选：C.6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )3④⑤⑥A .①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D .③④⑤【考点】L7 :简单空间图形的三视图.【分析】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案.【解答】解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD勺左视图为②，四面体ABCD勺俯视图为③，故四面体ABCD的三视图是①②③,故选：B7 •设D为厶ABC的所在平面内一点，矛--:丘，则■-=( )A . ~ —■ ■- B. .工. C. . 一］「.丄:. D . —：' j. -y~ ：f.【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义.【分析】取BC的中点E,则D为CE的中点，用...,...表示出，「即可得出「关于/ ,... 的不等式.【解答】解：•••；- | ,二D是BC的靠近C点的四等分点，取BC的中点E,则D为CE的中点，故选B.8. 某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量(单位: 台)，把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=( )196 B . 203 C . 【考点】EF :程序框图.【分析】由茎叶图可知n=7,模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S , i的值，当i=8 时不满足条件i < 7,退出循环，输出S 的值为29. 【解答】解：由茎叶图可知n=7, 模拟程序的运行，可得 S=0, i=1满足条件i <7,执行循环体，S=20, i=220+22满足条件i <7,执行循环体，S= - =21, i=3满足条件i <7,执行循环体，S='= , i=4满足条件i <7,执行循环体，S=-, i=5 4满足条件i < 7,执行循环体，S"* -=29, i=87Si满足条件i <7,执行循环体,满足条件i <7,执行循环体, i=6134S严罟+34 1686i=728 D . 29不满足条件i <7,退出循环，输出S的值为29.故选：D.9. 已知函数满足一下两个条件：①任意1，2€( 0, +X),且1工2时，(1 - 2)[ f ( 1)- f(2)]v0;②对定义域内任意有f () +f (-) =0，则符合条件的函数是( )A. f() =2B. f() =1- ||C.[工:：-D. f () =ln(+1)【考点】3P:抽象函数及其应用.【分析】由①可知f ()在(0, +x)上是减函数，由②可知f ()是奇函数.逐个分析各选项是否符合两条件即可.【解答】解：由①可知f ()在(0, +x)上是减函数，由②可知f ()是奇函数.对于A , f () =2是增函数，不符合题意；对于B, f (-) +f () =1 - | - 1+1- II =2- 2|| 丰0,不符合题意，对于D, f ()的定义域为(-1, +x),故f ()不是奇函数，不符合题意；故选C.10. 已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A (2a, 2), B (- 4, a), C (2a+2, 2),则厶ABC的外接圆的方程是( )A. 2+ (y-3) 2=5B. 2+ (y+3) 2=5C. (-3) 2+y2=5D. (+3) 2+y2=5【考点】J1：圆的标准方程.【分析】根据点A是直角三角形ABC的直角顶点，求出a, B, C的坐标求得圆心的坐标和圆的半径，则圆的方程可得.【解答】解：由题意，2a=- 4,二a=- 2圆的半径为：=〔」「〕「「；=匸，圆心为(-3, 0)•••圆的方程为(+3) 2+y2=5故选D.11•已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，△ ABC所在截面圆的圆心0在AB 上，SO 丄平面"石厂1,若三棱锥的体积是芋，则球体的表面积是( )3A. ； B•垄「C. 「D. 25 n4 12 48【考点】LG :球的体积和表面积；LR :球内接多面体.【分析】利用条件，求出SO,禾U用勾股定理，求出R,即可求出球体的表面积.【解答】解：•••△ ABC所在截面圆的圆心0在AB 上, SO丄平面Ah:：.'：/.：- ::.，三棱锥的体积是竿，••• S0=2，设球体的半径=R，则R= [ ：：，• R=；，•••球体的表面积是■；. ' ■■ 7—=.:，lb Q故选：A.TT jr12. 将函数的图象向左平移r个单位，在向上平移1个单位，得到g()的图象，若g (1) g (2) =16，且「‘工，二'―；—-，则21 - 2的最大值为( ) A. ：「C.、【考点】HJ:函数y=Asin(M©)的图象变换.【分析】利用函数y=Asin (①+妨的图象变换规律，正弦函数的图象特征，求得21 - 2的最大值.【解答】解:将函数匚〔；_』匸一的图象向左平移亍个单位，在向上平移1个单位，e—IT JT 2兀，，E 宀得到g () =3sin (2+p+=) +仁3sin (2+ 一.)+1 的图象，••• g (1) g (2) =16，.・.g (1) =g (2) =4，都为最大值,令5 ，可得—•=,€,又因为宁」可以取：斗；二;-I-12 f12 ，则21 - 2的最大-■ - -，值:故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13. 数列｛a n｝中，若a n+i (a n+1) =a n，a i=1，则a6=.【考点】8H：数列递推式.【分析】&+1 (an+1) =a n，a i=1，可得：&==，同理可得：a3，a4，a5，a6，即可得出. 【解答】解：a n+1 (a n+1) =a n，a1=1，览=—，同理可得：a3=—，a4=—，応=广，贝U a6=-?,6故答案为：三2z+y-4^014. 已知实数，y满足m-lVO，则=-3y的最大值是占.y<3【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，y<3x-y-l=O2x+y-4=0化目标函数=-3y 为y=* 一，由图可知，当直线y= " 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，有最大值为•十 故答案为：--.15•已知抛物线y 2=8上一点P 到焦点的距离为4,则厶PFO 的面积为_4_ 【考点】8:抛物线的简单性质.【分析】利用抛物线的定义，求出 P 的坐标，然后求出三角形的面积. 【解答】解：由抛物线定义，|PF|=P +2=4，所以P =2, |y p |=4,故答案为：4.16. 已知函数了亠丄吐与函数y=- 2的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是_ （-x-1 1，1）U （ 1，5）—.【考点】57:函数与方程的综合运用；54:根的存在性及根的个数判断. 【分析】化简函数的解析式，画出两个函数的图象，判断的范围即可. 卡（［二| 0+2） ST ） I 二| *2, -2<X<1 * x~l| x+2f 或 直线y=- 2过定点（o ,- 2）， 由函数图象: 可知结果为：（-1, 1）U （ 1, 5）. 给答案为：（-1, 1）U （ 1, 5）.所以，△ PFO 的面积S= |OF||y p | =¥ X 2X 4=4.【解答】解: 联立-三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列｛a n+1｝是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7，a?=127.(1)求的a i值；(2)求数列｛a n｝的前n项和.【考点】8E：数列的求和.【分析】(I)禾1」用等比数列的通项公式及其性质即可得出.(II)禾U用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：(I)由题可知a3+仁8，a7+1=128,…又数列｛a n+1｝是一个各项均为正数的等比数列，则:;=:：‘产上;门十32 o可得a5+仁32= (a1+1)x 「i ,解得a1=1.…(II ) ｛a n+1｝是一个以2为首项，2为公比的等比数列，上1，…利用分组求和可得.' 1.…18. 甘肃省瓜州县自古就以生产美瓜”面名扬中外，生产的瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%〜19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用，y，表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=+y+的值平定蜜瓜的顶级，若w>4,则为一级；若2 < w < 3，则为二级；若0w w < 1，则为三级，今年，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：A B C D E种植地编号(，y,)(1, 0, 0)(2, 2, 1)(0, 1, 1)(2, 0, 2)(1, 1, 1)F G H I J种植地编号(，y,)(1, 1, 2)(2, 2, 2)(0, 0, 1)(2, 2, 1)(0, 2, 1)（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】（1）计算10块种植地的综合指标，列出表格可知：等级为三级的有A，H 2块，其频率为卡，由此能估计等级为三级的块数.（2）等级是一级的（CD>4）有B，D，F，G，I，共5块，从中随机抽取两块，列举法能求出两块种植地的综合指标①至少有一个为4的概率.【解答】解：（1）计算10块种植地的综合指标，可得下表：用样本的频率估计总体的频率，2可估计等级为三级的块数为11.：—•一.…（2）由（1）可知：等级是一级的（G3>4）有B，D，F，G，I，共5块,从中随机抽取两块，所有的可能结果为：（B，D ），（B，F），（B，G），（B，I），（D，F），（D，G），(D, I), (F, G), (F, I), (G, I),共计10 个;其中综合指标s =4的有：D, F 2个，符合题意的可能结果为：（B, D）,（B, F）,（D, F）,（D, G）,（ D , I）（ F , G）,（F , I）共7 个，设两块种植地的综合指标s至少有一个为4”为事件M所以概率为：血-下•…19. 如图,在厶ABC 中,AB 丄BC,点D , E 分别在AB , AC 上,AD=2DB , AC=3EC , 沿DE 将厶ADE翻折起,使得点A到P的位置,满足•…一i .（1）证明：DB丄平面PBC；（2）若二E覗；、:,点M在PC上,且,求三棱锥P- BEM的体积.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW:直线与平面垂直的判定.【分析】（1）设二乩叨丄-匕I —厂由此利用勾股定理得BD丄PB ,再由BD丄BC ,能证明BD丄面PBC.（2）由勾股定理得PB丄BC ,再由BD丄PB ,得PB丄面BCE ,从而三棱锥P-BEM的体3积'：f'LL '；L ri±\ I'LC【解答】证明：（1）设乂二u，FL ■ h 玉••• BD2+PB2=PD2••• BD 丄PB …••• BD 丄BC , PBA BC=B ,••• BD丄面PBC.…解：（2）t 亠「「- 1 -',••• PB丄BC•/ BD 丄PB 且BD n BC=B , /. PB丄面BCE ,•••三棱锥p-BEM的体积二20. 已知椭圆「］：二［的顶点到直线I: y=的距离分别为—：二a b z占上（1）求椭圆Ci的离心率；（2）过圆O：2+y2=4上任意一点P作椭圆Ci的两条切线PM和PN分别与圆交于点M, N，求△ PMN面积的最大值.【考点】4：椭圆的简单性质.【分析】（1）根据点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的离心率；（2）分类讨论，当一条切线的斜率不存在时，：…", yp=± 1,即可求得厶PMN面积,当切线的斜率存在时，设切线方程，代入椭圆方程，由厶=0，由PM丄PN，MN| =4..f i - V. ，即可求得△ PMN 面积的最大值.【解答】解：（1）由直线li的方程知，直线li与两坐标轴的夹角均为45° 故长轴端点到直线I1的距离为’'「，短轴端点到直线I1的距离为丄亍，••• C1的离心率（2）设点P （P，yp），贝则瘡掃二」（i ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则另一切线的斜率为0,从而PM丄PN.此时，■::-:.（ii）若切线的斜率均存在，则一「一二设过点P的椭圆的切线方程为y- yp= （- P）,y-y p=k（x'x p）2 ，消y 并整理得：（3kSi）/+6kGp“Xp）計3（那吨打）「3=0.—+y二1依题意△ =0,得 5 I：■，「丁- !' i ■"^11-y 工-3设切线PM, PN的斜率分别为i, 2,从而.;'.-, Ji at O Z3-% 3-%即PM丄PN,线段MN为圆0的直径，| MN|=4.所以，.一.祇［应卜三卜J . 「亠丨汕r -條「二当且仅当P. ■：：■-时，S A PMN 取最大值4.综合(i ) ( ii)可得：S A PMN取最大值4.…21. 已知函数f () =sin+cos.(1)当:. 时，求函数f ()的单调区间；(2)若存在-，使得f ()> 2+cos成立，求实数的取值范围.【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；(2)分离参数，问题转化为.令.八’，则.- ‘三m”，根据函XX x数的单调性求出h ()的最大值，从而求出的范围即可.【解答】解：(1) f () =sin+cos- sin=cos,…•••/：〒• =丿时，f () =cos> 0，•••函数f ()在'丄..才;上是增函数；4 |S叮二—-.时，f () =COS V 0,•••函数f ()在 …• 上是减函数； …(2)由题意等价于sin+cos >2 3+cos ,整理得，「一二― x人 ginx * / \ xcosx-sinx令.■''，则，：， 令 g () =cos- sin , g' () = - sin v 0,二g ()在 < -上单调递减， •••-：‘：； 一厂 - < .'，即卩 g () =cos- sin v 0, 甘 £ H .n V2 千3,即・ .7171 TTJT V ~T 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑， 把答案填在答题卡上.［选修4-4坐标系与 参数方程］ ,=2+¥t f x=cos0 22.已知直线… - 一为参数)，曲线：…. |■为参数). (2)将直线的参数方程化为普通方程，曲线 C 2任意点P 的坐标，利用点到直线的距离公 式P2使判断I 与C 的位置关系； 3 若把曲线C i 上个点的横坐标压缩为原的 倍，纵坐标压缩为原的—倍，得到曲线 C 2,设点P 是曲线C 2上一个动点，求它到直线I 的距离的最小值.【考点】HJ ：函数y=Asin (小^)的图象变换；Q4：简单曲线的极坐标方程；QH :参数 方程化成普通方程.【分析】(1)将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可得解.•■ ' ' ' '，即’亠在■ 上单调递到直线的距离d,分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d 的最小值即可.【解答】(本题满分为10分)解：(I ： x - - J 1，…，所以直线与曲线相离.…(II )变化后的曲线方程是，厂设点F' i~z~二m，…则点到直线的距离是丄V —•. - ■V2 =V2则最小距离是二•…2［选修4-5不等式选讲］23. 设函数f () =| - 3|，g() =| - 2|(1)解不等式f () +g ()v 2；(2)对于实数，y,若f ()w 1, g (y)< 1,证明：| - 2y+1| <3.【考点】R6:不等式的证明.【分析】(1)分类讨论，解不等式f () +g ()v 2;(2)利用绝对值不等式，即可证明结论.【解答】(1)解：解不等式| -3|+| - 2| v 2.①当W 2时，原不等式可化为3- +2-v2,可得■--.所以一:.②当2v< 3时，原不等式可化为3- +-2v2,可得1v2.所以2v< 3.③当》3时，原不等式可化为-3+- 2v2,可得「.所以W •.由①②③可知，不等式的解集为U £(2)证明：| —2y+1|=| (-3)— 2 (y - 2) | < | - 3|+2|y—2| < 1+2=3.当且仅当无｛［巾寸等号成立.…2017年5月24日。
2020年甘肃省第二次高考诊断考试文科数学试卷及其答案
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甘肃省2020届高三年级第二次诊断考试语文试题附答案
甘肃省2020年第二次高考诊断考试语文一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
当代中国动画业的发展，离不开中国传统文化在内容和形式上的支撑。
与真人影视作品的拍摄多选择现实题村不同，动画作品在题材选择上更倾向于历史故事，古代神话传说及玄幻类题材。
在这一点上，中国五千年的悠久历史和灿烂的民族文化，为中国的动画创作提供了取之不尽的题材和源泉。
丰富的题材为中国的动画片创作提供了肥沃的土壤，也让中国的动画片创作有根、有源，更是中国动画片独特的艺术表达呈现。
除了以丰富的神话、历史传说作为创作背景之外，中国传统文化中的精神内涵也赋予了当代动画片独特的品质。
“仁、义、礼、智、信”“家国情怀”“侠义精神”等，便是中国传统文化教育中的重要内容。
对于中国动画人而言，通过动画片达到寓教于乐、传播中国文化之目的。
既是创作目的，更是责任所在。
在一些优秀的动画作品中，精彩的故事与丰厚的精神内涵彼此促进、相辅相成，造就了一个又一个经典。
中国动画内在精神的张力，凸显出中华民族特有的文化内涵，令其在对外传播中占有一席之地。
作为扎根于中国文化土壤中的动画作品，其故事讲述方式也吸纳了中国文学特有的叙述特征，即“团圆之趣”。
“团国之趣”的叙事手法有两个特征，一个是强调故事结局的突转，让故事自始至终形成张力，并最终实现一个“大团圆”的美好结局：另一个是故事结束之后能够产生韵味无穷的审关效果，让观众感叹人生的变幻无常。
中国许多优秀的动画片在故事结构上就借鉴了这种方式，形成了独特的审关体验。
如《白蛇缘起》中许宣救了蛇妖小白并爱上小白，历尽磨难与小白走到一起，但最终为较小白而牺牲自己。
全片结尾时，五百年后小白再次遇上新一世的许宣，获得了重续前缘的机会，也开启了观众新的想象空间。
独特的东方美学意味，让动画作品言有尽而意无穷。
中国特有的丰富的绘画艺术，又赋予中国动画创作特有的形式之美。
动画作品的创作基础是绘画，特别是独具东方文化特色的水墨画更是中国绘画艺术的代表。
甘肃省2020届高三第二次诊断考试数学(文)试题(解析版)
留两位小数），并检验此方程是否可靠．
̂
参考公式：∑18 1 8Fra bibliotek!8 !
∑18 1 8
2
∑18 1 8!8 1 ! ̂
∑18 1
2 8
1 2，
̂
!．
20．已知圆 E 与圆 F：（x﹣2）2+y2＝1 相外切，且与直线 x+1＝0 相切．
图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的轮滑指标高于他 的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
7．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a2+a4＝10，S4＝24，则 a1 的值为（ ）
日期
1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月4 日 1 月 5 日 1 月 6 日
温差 x（摄氏度） 10
11
12
13
8
9
发芽率 y（粒）
26
27
30
32
21
24
他们确定的方案是先从这 6 组数据中选出 2 组，用剩下的 4 组数据求回归方程，再用选
取的两组数据进行检验． （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 1 粒，则认为得到的线 性回归方程是可靠的．请根据 1 月 2，3，4，5 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程（保
D．1
A．∃ ∈ 0， ∞ ， 2020
0
B．∀ ∈ 0， ∞ ， 2020
0
C．∃ ∉ 0， ∞ ， 2020
0
甘肃兰州市2020届高考数学(文)诊断试题(含答案)
2020年兰州市高三诊断考试数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.2.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，则A B =I （ ）A. {}0,2,4B. {}2,4C. {}1,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义求解．【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，所以{2,4}A B ⋂=， 故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2.已知复数5i22iz =+-，则z =（ ） A. 5 5 C. 1313【答案】B 【解析】 【分析】首先进行除法运算化简z ，再求模即可. 【详解】因为5i 5(2)2212i 2i 5i i z +=+=+=+-，所以5z =故选：B【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.3.已知非零向量a r ，b r 给定:p R λ∃∈，使得λa b =r r，:q a b a b +=+r r r r ，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分析各个命题中向量a r ，b r的关系，然后根据充分必要条件的定义确定． 【详解】:p R λ∃∈，使得λa b =r r ，则a r ，b r共线，:q a b a b +=+r r r r 等价于a r ，b r同向，因此p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要条件的定义判断即可．4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα-=，则tan α=（ ）A. 4B. 3C. 4-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和正切公式可求出tan α的值. 【详解】575555512sincos 2sin cos 2sin cos sin 12121212121262ππππππππ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭Q ，2221tan 1tan 222tan tan 2tan 22ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，由题意可得21tan 2α=-，因此，tan 4α=-. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.5.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）A.52B.3C.5 D. 23【答案】A 【解析】 【分析】由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线y b a =-x 上，得到a ＝2b ，再根据e 22222c a ba a+==解.【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线y ba=-x 上， 所以a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e 222225c a b a a +===， 故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.已知集合571113,,,,66666A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A.110 B.25C.35D.310【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-，列举出所有的基本事件，并列举出事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-， 从A 中任选两个角，所有的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、57,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、65611,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、713,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1113,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共10种情况.其中，事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”包含的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共4个， 因此，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率为42105=. 故选：B【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份12345 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．【详解】对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误； 对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，∵第一组数据(1,4,1,1)是离群值，去掉后得到的相关系数为2r ，其相关性更强，∴12r r <，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，∴③错误；综上可知正确命题个数是1． 故选：B ．【点睛】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题． 8.已知函数()(2ln1f x x =+，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. c b a >>D.b c a >>【答案】D 【解析】 【分析】分析出函数()y f x =是偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，利用偶函数的性质可得()1c f =，利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法比较0.20.2、1、3log 4的大小关系，利用函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】函数()2ln1f x x =+的定义域为R ，且()(()221ln1ln 12f x x x =+=+，()()()()2211ln 1ln 122f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，函数()y f x =为偶函数，()()13log 311c f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，由于函数21u x =+在[)0,+∞上为增函数，函数ln y u =为增函数， 所以，函数()(2ln1f x x =+在[)0,+∞上为增函数，0.203300.20.21log 3log 4<<==<Q ，因此，a c b <<.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ） A.3 B.22C.3 D.13【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥高和底面的半径相等，且点D 为底面圆周上的一点，∠ABD ＝60，可知D 为¶BE的中点，则以底面中心为原点，分别以OD ，OE ，OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设底面半径为1，求得向量AB u u u r ，DE u u u r 的坐标，代入公式cos AB u u u r ＜，AB DEDE AB DE⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞求解.【详解】因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB.∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ；∴D 为¶BE的中点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设OB ＝1则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB =uu u r （0，﹣1，﹣1），DE =uuu r（﹣1，1，0），∴cos AB u u u r ＜，12AB DE DE AB DE⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π. ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为32. 故选：A .【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和向量法求异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.10.已知函数()()sin sin cos f x x x x ωωω=+（0>ω），若函数()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同的交点，则ω的取值范围是（ ）A. 13,24⎛⎤⎥⎝⎦B. 15,24⎛⎤⎥⎝⎦ C. 53,42⎛⎤⎥⎝⎦D. 55,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得ω的范围. 【详解】()()1cos 2121sin sin cos sin 2222242x f x x x x x x ωπωωωωω-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同交点，即方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根， 由()0,x π∈得2,2444x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以9112444πππωπ<-≤，解得5342ω<≤. 故选：C【点睛】本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，属于中档题.11.已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR+的最小值为（ ） A. 15+ B. 5 C. 17 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，推导出直线1l 为线段FQ 的垂直平分线，利用中垂线的定义可得RQ FR =，进而可得出QR MR FR MR +=+，利用F 、R 、M 三点共线可求得QR MR +的最小值. 【详解】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥Q ，则1l 为FQ 的垂直平分线，FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=.故选：D.【点睛】本题考查抛物线中折线段长度之和最小值的求解，考查抛物线定义的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()2xxf x f x x e '-=，()1f e =，则()f x 的最小值为（ ）A. e -B. eC.1eD. 1e-【答案】D 【解析】 【分析】将题干中的等式变形为()()2x xf x f x e x -='，可得出()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并构造函数()()f x F x x=，可得出()x f x e c x=+，进而可得出()xf x xe cx =+，利用()1f e =求得c的值，可得出函数()y f x =的解析式，进而利用导数可求得函数()y f x =的最小值. 【详解】由()()2xxf x f x x e -='，变形得()()2x xf x f x e x -='，即()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()x f x e c x∴=+（c 为常数），则()xf x xe cx =+，()1f e c e =+=，得0c =. ()x f x xe ∴=，()()1x f x x e ∴=+'，当1x <-时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在1x =-处取得极小值，亦即最小值，则()()min 11f x f e=-=-. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，利用导数等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，则232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，的定义域，先求232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求232f f log ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】∵函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，且23log 12<，∴232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭232322log ==，∴232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （32）＝23142⨯+=. .故答案为：4.【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知向量a →，b →满足2b →=，向量a →，b →夹角为120︒，且a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则向量a b →→+=________．6 【解析】 【分析】由垂直得数量积为0，从而得a b ⋅r r，得a r ，然后把模的运算转化为数量积运算即得．【详解】由a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭得2()0a b b a b b +⋅=⋅+=uu r r r r r r ，2a b ⋅=-r r ，即cos1202a b ︒=-r r ，22a =ra b →→+=22222()2(22)2(2)(2)6a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+r r r r r r6．【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握向量的垂直、模与数量积的关系． 15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2222c a b ab =+，8a =，1sin 23A =，则c =_______. 【答案】9 【解析】 【分析】已知由余弦定理即可求得4C π=,由1sin23A =可求得22cos 23A =,即可求得sin A ,利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-和2222c a b ab =+-，可得2cos 2C =，得2sin C =，由1sin 23A =，22cos 2A =，42sin 2sin cos 22A A A ∴==sin sin a cA C=，得9c =. 故答案为:9.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''.已知一个房中BB'＝53，AB ＝26，tan54°44′08''2=，则此蜂房的表面积是_____.【答案】2162【解析】【分析】表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD ＝B′D′＝62，再根据∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''2=，得到OC′，B′C′，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由B′C′，结合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面积，然后两部分相加即可.【详解】如图所示：连接BD ，B ′D ′，则由题意BD ∥B ′D ′，BD ＝B ′D ′＝2， ∵四边形OB ′C ′D ′为菱形，∠B ′C ′D ′＝109°28′16''，tan 54°44′08''2=∴OC ′＝21''25444'08B D tan ⋅=︒"2322=6，B ′C ′＝3， ∴CC ′＝BB ′22''BC BC --=3 ∴S 梯形BB ′CC ′(2653432==2，∴S 表面积＝62⨯316622⨯⨯⨯=2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征和表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，18a =-，243a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()*412n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若95n T =，求n 的值. 【答案】（Ⅰ）210n a n =-；（Ⅱ）9n =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，根据题中条件求出d 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求得1121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n T ，然后解方程95n T =，可求得正整数n 的值.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，由18a =-，243a a =，得()8338d d -=-，解得2d =.因此，()11210n a a n d n =+-=-； （Ⅱ）设()()4411212221n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，11111121222122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，令95n T =，即192115n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，得到9n =.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，1==PA AB ，点A 到平面PBC 的距离为3，且直线AC 与PB 垂直.（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥-P EAC 的体积.【答案】（Ⅰ）点E 为PD 中点时，直线PB 与面ACE 平行，理由见解析；（Ⅱ）112. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取PD 的中点E ，连接OE ，利用中位线的性质证得//OE PB ，进而可证得//PB 平面ACE ，由此可得出结论；（Ⅱ）推导出AC ⊥平面PAB ，由E 为PD 的中点，可得出12P ACE P ACD V V --=，进而可求得三棱锥-P EAC 的体积.【详解】（Ⅰ）点E 为PD 中点时直线PB 与面ACE 平行. 连接BD ，交AC 点O ，则点O 为BD 的中点，因为点E 为PD 中点，故OE 为PBD △的中位线，则//OE PB ，OE ⊂Q 平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以，//PB 平面ACE ；（Ⅱ）根据题意AC PB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，则有AC PA ⊥，PA PB P =I ，所以AC ⊥平面PAB ，则AC AB ⊥，设AC x =，2111113112323223P ACB A PBC V V x x --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯，得1AC =， 则11111111223212P EAC P ACD V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的判断，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）列联表见解析，有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）根据两幅频率分布直方图完善22⨯列联表，并根据列联表计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”为事件C，()0.80.160.360.6P C=++=；（Ⅱ）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：()22100303020204 3.84150505050K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计概率，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查数据处理能力，属于基础题.20.已知点F为椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.【答案】（1）22143x y+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有31a ca c+=⎧⎨-=⎩求解.（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，3），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx3-M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1•k2求解.【详解】（1）由题意可知，31a ca c+=⎧⎨-=⎩，解得21ac=⎧⎨=⎩，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）由（1）可知，A （2，0），B （0，3）， 设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx 3-由()2234122x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴221612234M k x k -=+，∴228634Mk x k -=+，21234M k y k -=+， ∴22286123434k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，，由2234123x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得：()2234830k x kx +-=， ∴83N k x =，24333N k y -=， ∴2228343333434k k N k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，，∴()221243333433483244332k k k k k k k --+==--+- )()22222212334433348624334kk k k k k k k --++==--+， ∴k 1k 2()2234324433k k k -=--+•)()223443334243k k k -+=--，又∵12c e a ==， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()21123ln 22f x x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）. （Ⅰ）当23a =()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-. 【答案】（Ⅰ）310x y +-=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()223x x af x -+-'=2230x x a -+-=，分>0∆和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出1223x x +=12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+ （Ⅰ）因为23a =()211232322f x x x x =--+，所以()2323f x x x'=-， 那么()11f '=-，()123f =所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()231y x -=--， 即2310x y +-=；（Ⅱ）因为()22323a x x af x x x -+-'=-=2230x x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有133x a =-233x a =-120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在33,33a a --上增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在()0,∞+为减函数. 综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数，在33,33a a --上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在(0,)+∞上为减函数； （Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()2230x x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且1223x x +=120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()2212121212123ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++ 若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>， 构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->， 所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =， 且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减； 当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立， 即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-（1）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB AP ⋅u u u r u u u r的取值范围.【答案】（16（2）121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2【解析】 【分析】（1）将直线l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆C 1的极坐标方程，转化为直角坐标方程，然后利用“r ，d ”法求弦长.（2）将曲线C 2的直角坐标方程转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π），由A （1，0），B （0，1），P （2cosθ，2sinθ），得到AB u u u r，AP u u u r的坐标，再利用数量积公式得到AB AP ⋅u u u r u u u r 2214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后用正弦函数的性质求解.【详解】（1）直线l 的参数方程为212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数，得直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，因为曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以222sin cos ρραρα=-所以直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0， 标准式方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2， 所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d 222== 所以弦长|MN |＝222(2)()62-=（2）因为曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-所以x 2+y 2＝40y ≥，转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π）.因为A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cosθ，2sinθ），所以()11AB =-u u u r ，，()212AP cos sin θθ=-u u u r，，（0≤θ≤π）， 所以AB AP ⋅=u u u r u u u r 122cos sin θθ=-+214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为30,444πππθπθ≤≤-≤-≤所以2124sin πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|﹣|x ﹣2a |+a .（1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，（2）[﹣4，0] 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，再分类解不等式f （x ）＞4.（2）根据对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，则f （x ）min ≥g （x ）min ，由（1）知， f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，解不等式2≥|2a +2|+a 即可.【详解】（1）因为()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，， 所以f （x ）＞4即为1314x x ≤-⎧⎨--⎩＞或1134x x -⎧⎨+⎩＜＜＞或1314x x ≥⎧⎨+⎩＞，解得53x -＜或x ＞1，所以不等式的解集为()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，； （2）由（1）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立， 故f （x ）min ≥g （x ）min ， 即2≥|2a +2|+a ，所以2222a a a -≤+≤- 解得﹣4≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[﹣4，0].【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
甘肃省2020届高三年级第二次高考诊断考试数学(文科)试题 含答案
．
6
16．“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆
就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为 5 −1 ，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左 2
3
焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，则 FB AB =
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题；共 60 分。
17．（12 分）
如图所示，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，E、F 分别为矩形 AB，BC 的中点，PA⊥平面 ABCD.
（1）求证：DF⊥平面 PAF；
（2）若在棱 PA 上存在一点 G，使得 EG∥平面 PDF，求 AG 的值. A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且满足 (2a + b) cos C + c cos B = 0．
（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 1 粒，则认为得到的线性回归方程是可靠 的.请根据 1 月 2，3，4，5 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可 靠.
B． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
C． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
D． x0 [0,+)，x02 − 2020 cos x0 0
6．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁 6 个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为 5 分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的 指标雷达图．则下面叙述正确的是
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)含答案解析
2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A． B．10 C．D．53．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．15．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．229．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm211．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．（，2]C．[1，4）D．[2，8）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是______．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心，且与直线x﹣y﹣3=0相切的圆的标准方程为______．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，则此三棱柱外接球的表面积为______．16．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥．（Ⅰ）求锐角A的大小；（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m2为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2020年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：2011年2020年2020年2020年2020年甲86 77 92 72 78乙78 82 88 82 95（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；（Ⅲ）若从甲、乙两市的2020至2020年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．（1）求证：EO∥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．20．以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k1，k2，试问：k1，k2的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2lnx+ax（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）对于任意的x0＞0，记函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线在y轴上的截距为g（x0），求g（x0）的最大值．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数）（Ⅰ）求曲线M与曲线N的普通方程；（Ⅱ）若曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求不等式|2x﹣4|+|x+1|≥5解集；（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，求证：≥8．2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【分析】根据交集关系求出a，b，即可得到结论．【解答】解：∵M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，∴2a=2，即a=1，则N={1，b}，则b=2，即N={1，2}，则M∪N={0，1，2}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A． B．10 C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模．【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：A．3．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合；等比数列的性质．【分析】由已知条件推导出a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣2，由（a3+a8）2=2a2a9+6，能求出锐角α的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a3和a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣2=0的两根，∴a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣sinα，∵（a3+a8）2=2a2a9+6，∴4sin2α=﹣2+6，即sinα=，或sinα=﹣（舍），∴锐角α的值为．故选：C．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．5．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣[1﹣2]=﹣[1﹣2•]=﹣，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出S≥2时终止循环，写出输出n的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=0，S＜2，S=0+sin=，n=2；S＜2，S=+sin=+，n=3；S＜2，S=++sin=+，n=4；S≥2，终止循环，输出n=4．故选：C．7．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由条件得．两边平方计算，得出∠AOB．从而得出∠AOC，∠BOC，分别计算三个小三角形的面积即可．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，∴OA=OB=OC=1．∵=，∴．∴，即1+1+2=2．∴．∴，即∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOC=135°，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=++=．故选D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S10=S12，∴10a1+×（﹣2）=12a1+×（﹣2），化为：2a1=42，则a1=21．故选：C．9．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q【考点】三角函数线．【分析】判断三个数的范围，即可比较大小．【解答】解：﹣＜θ＜0，cosθ∈（0，1）且P=3cosθ＞1，Q=（cosθ）3∈（0，1）；R=∈（0，1）．（cosθ）3＜，可得：Q＜R＜P．故选：B．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的表面积公式、矩形面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，且圆锥的底面圆的半径是4、高为3，则母线长=5，正方体的棱长是4，∴该几何体的表面积S=5×4×4+π×42﹣4×4+π×4×5=64+36π（cm2），故选：B．11．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】求出x＞0时f（x）的表达式，结合函数的单调性以及奇偶性，得到|2x|＜|x﹣3|，解出即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）==1+，x→+∞时，f（x）→1，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，又f（x）是偶函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数．∵f（2x）＞f（x﹣3），∴|2x|＜|x﹣3|，即4x2＜x2﹣6x+9，解得：﹣3＜x＜1，故选：A．12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．（，2]C．[1，4）D．[2，8）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点的定义，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，∴log2a=x2+﹣4在（0，2]上有两解，设g（x）=x2+﹣4，则g′（x）=2x﹣，得x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（1）=﹣1，g（2）=1，∴﹣1＜log2a≤1，∴＜a≤2，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出他们参加项目不同包含的基本事件个数，由此能求出他们参加项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，基本事件总数n=3×3=9，他们参加项目不同包含的基本事件个数m=3×2=6，∴他们参加项目不同的概率p==．故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心，且与直线x﹣y﹣3=0相切的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【考点】圆的标准方程．【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．【解答】解：由题意可得圆心为点（1，0），半径为r==，∴要求的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2，故答案为：（x﹣1）2+y2=2．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，则此三棱柱外接球的表面积为20π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=2，即为球的直径，∴球的半径为，∴球的表面积为4π×（）2=20π，故答案为：20π．16．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=3：5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，过点M作准线的垂线，设垂足为P，准线FA的斜率为﹣．利用|FM|：|MN|=|MP|：|MN|即可得出．【解答】解：如图所示，抛物线C：x2=12y的焦点为F（3，0），过点M作准线的垂线，设垂足为P，准线FA的斜率为﹣．利用抛物线的定义可得：|FM|=|MP|．|FM|：|MN|=|MP|：|MN|=3：5．故答案为：3：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥．（Ⅰ）求锐角A的大小；（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由两向量垂直得到tan2A=﹣，由此得到A．（Ⅱ）由余弦定理得到a，再由三角形面积公式得到AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥，∴且•=2sinA（2cos2A﹣1）+cos2A=sin2A+cos2A=0，∴tan2A=﹣，∵A为锐角，∴A=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=28，∴a=2，∵△ABC的面积为S=bcsinA=a•AD，∴AD=．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m2为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2020年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：2011年2020年2020年2020年2020年甲86 77 92 72 78乙78 82 88 82 95（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；（Ⅲ）若从甲、乙两市的2020至2020年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）十位为茎，个位数为叶，完成茎叶图，（Ⅱ）由茎叶图可以直接判断，（Ⅲ）甲乙抽取的数据共有9种情况，其中其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有2种情况，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示；（Ⅱ）选乙好，因为乙空气质量一等天数的平均值高，（Ⅲ）甲乙抽取的数据共有9种情况，（92，88），（92，82），（92，95），（72，88），（72，82），（72，95），（78，88），（78，82），（78，95），其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有2种情况：（92，85），（92，82），故空气质量一等天数甲市比乙市多的概率P=19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．（1）求证：EO∥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1B，利用△AOB∽△COD得出，又，故而OE∥A1B，于是EO∥平面A1ABB1．（2）过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，则可证明A1F⊥平面BB1C1C，于是∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角，求出A1F和A1B即可求出线面角的正弦值．【解答】证明：（1）连结A1B，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，∵A1E=2ED，∴．∴，∴OE∥A1B，又OE⊄平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴EO∥平面A1ABB1．（2）过C1作C1G⊥A1B1于G，则四边形A1D1C1G是矩形，∴C1G=A1D1=AD=2，A1G=C1D1=2，∴B1G=2，B1C1=2．过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，AF⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥AF，又BB1∩B1C1=B1，BB1⊂平面BB1C1C，B1C1⊂平面BB1C1C，∴A1F⊥平面BB1C1C，∴∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角．∵S==，∴A1F==．∵A1B==2．∴sin∠A1BF==．20．以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k1，k2，试问：k1，k2的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，将A（2，3）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式计算即可得到所求定值．【解答】解：（1）由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，将A（2，3）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=4，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），可得+=1， +=1，相减可得=﹣，则k1•k2=•=﹣=﹣．即有k1，k2的乘积为定值﹣．21．已知函数f（x）=x2lnx+ax（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）对于任意的x0＞0，记函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线在y轴上的截距为g（x0），求g（x0）的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得所求切线的方程，令x=0，即可得到所求y轴上的截距；（Ⅱ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，可令x=0，可得y轴上的截距，求得g（x0）的导数和单调区间，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx+ax的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，可得函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为1+a，切点为（1，a），即有切线的方程为y﹣a=（1+a）（x﹣1），令x=0，可得y=a﹣1﹣a=﹣1，在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为﹣1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，可得函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0lnx0+x0+a，即有切线的方程为y﹣（x02lnx0+ax0）=（2x0lnx0+x0+a）（x﹣x0），令x=0，可得y=x02lnx0+ax0﹣x0（2x0lnx0+x0+a）=﹣x02lnx0﹣x02，设g（x0）=﹣x02lnx0﹣x02，g′（x0）=﹣（2x0lnx0+x0）﹣2x0=﹣x0（2lnx0+3），当x0∈（0，e）时，g′（x0）＞0，g（x0）递增；当x0∈（e，+∞）时，g′（x0）＜0，g（x0）递减．可得g（x0）max=g（e）=e﹣3．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）证明：△BAD≌△CBE，可得∠ADB=∠BEC，∠ADF+∠AEF=π，即可证明A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，证明点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为，利用A，E，F，D四点共圆，即可求△AEF外接圆的半径．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE=AB，∴BE=B．又∵AD=AC，AB=AC，∴AD=BE．又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，∴∠ADF+∠AEF=π，∴A，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：如图所示，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE．∵AE=AB，∴AG=GE=AB=．∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数）（Ⅰ）求曲线M与曲线N的普通方程；（Ⅱ）若曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．利用cos2α+sin2α=1可得普通方程，注意y的取值范围．曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m 为常数），展开可得：=m，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（ⅠI）由直线N与圆M相切时，=1，取m=．直线经过点（1，0）时，m=1．即可得出m的取值范围．【解答】解：（I）由曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．可得x2+y2=1（1≥y≥0）．曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数），展开可得：=m，化为：x+y=m．（ⅠI）由直线N与圆M相切时，=1，取m=．直线经过点（1，0）时，m=1．∵曲线M与曲线N有两个公共点，∴m的取值范围是[1，）．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求不等式|2x﹣4|+|x+1|≥5解集；（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，求证：≥8．【考点】绝对值不等式的解法；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据直线的垂直关系，求出关于a，b的等式，根据基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=|2x﹣4|+|x+1|，∵f（x）=，x≥2时，3x﹣3≥5，解得：x≥，﹣1≤x＜2时，﹣x+5≥5，解得：x≤0，x＜﹣1时，﹣3x+3≥5，解得：x≤﹣，综上，不等式的解集是（﹣∞，0]∪[，+∞）．（Ⅱ）证明：∵直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，∴2（a﹣1）+2b=0，得：a+b=1，∵ab≤=，当且仅当a=b时取“=”，∴≥4，∴+≥≥8，当且仅当a=b=时取“=”，即：≥8．2020年9月18日。
甘肃省陇南市2020届高三第二次诊断考试数学(文)试题
高三数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设212z i =-，252z i =-+，则12z z +=（ ） A.2i -+ B.32i -+ C.3i -+D.22i -+2.若集合{}1,A m =，{}2,1B m m =+，且A B =，则m =（ ）A.0B.1C.1±D.0或13.已知椭圆()22166x y m m+=>的焦距为2，则m =（ ）B.37C.7D.494.设等比数列{}n a 的前6项和为6，且公比2q =，则1a =（ ）A.221B.17C.421D.5215.2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期，他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据：根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A.6天B.7天C.8天D.9天6.若函数()()2log f x x x a =+-的定义域为()1,+∞，则()3f a =（ ）A.2B.3C.4D.57.执行如图所示的程序框图，若输入的5t =，则输出的K =（ ）A.1B.2C.3D.48.函数()324f x x x =-的极大值点为（ ）A.-B.C.D.-9.若函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,m 上的最小值小于零，则m 的取值范围为（ ） A.24,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.2,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭A.14B.16C.18D.2011.在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2AB BD ==，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC =（ ）第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上. 13.函数()35x f x =+的值域为______.14.设x ，y 满足约束条件10,10,30,x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩则当2z x y =+取得最大值时，y =______.15.若某正方体的外接球的表面积为12π，则这个正方体内切球的半径为______. 16.定义()p n 为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如()5551p =，()932p =，()17143p =.在等差数列{}n a 中，29a =，1025a =，则n a =______，数列(){}n p a 的前100项和为______.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17.某连锁超市旗舰店在元旦当天推出一个购物满百元抽奖活动，凡是一次性购物满百元者可以从抽奖箱中一次性任意摸出2个小球（抽奖箱内共有5个小球，每个小球大小形状完全相同，这5个小球上分别标有1，2，3，4，5 这5个数字）.（1）列出摸出的2个小球的所有可能的结果.（2）已知该超市活动规定：摸出的2个小球都是偶数为一等奖；摸出的2个小球都是奇数为二等奖.请分别求获得一等奖的概率与获得二等奖的概率.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥平面ABCD . （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD .（2）若1AD =，2AB =，E 为AB 的中点，且四面体PBCE 的体积为12，求线段PE 的长.19.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知222sin 2sin sin sin cos 21C A A B B -++=.（1）求cos C ；（2）若2a =，3c =，求ABC △的面积. 20.在直角坐标系xOy 中，过点()2,0的直线l 与抛物线24y x =交于A ，B 两点.（1）证明：直线OA 与OB 的斜率之积为定值. （2）已知点()0,1M-，且AMB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围.21.设函数()ln x a f x x e =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为11e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. （1）证明：()f x 有且只有一个零点.（2）当()0,x ∈+∞时，()kf x ex<恒成立，求整数k 的最小值. （二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；23.[选修4—5：不等式选讲]（1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；参考答案1.D 因为1213z =+=，252z i =-+，所以1222z z i +=-+.2.A 1m m ≠+Q ，2m m ∴=，0m ∴=或1，显然1m ≠，0m ∴=. 3.C 依题意可得261c m =-=，，则7m =.4.A 由题意可得()61611263612a S a -===-，即1221a =. 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天. 6.C 因为()()2log f x x x a =+-的定义域为(),a +∞，所以1a =，所以()233log 24f a =+=.7.D 10K =，1i =；11K =，2i =-；9K =，5i =-；45K =<，输出4K =.8.A()2324f x x '=-，当x <-或x >时，()0f x '>；当x -<<时，()0f x '<.故()324f x x x =-的极大值点为-9.D 因为[]0,x m ∈，所以2,2333x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.又cos y x =在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,π上单调递减，且()00f =，所以233m ππ->，解得3m π>. 10.C因为2CA OA OC OB=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2OA OB OC=+u u u r u u u r u u u r ，所以11.B 取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，则//EF AC ，BEF ∠为异面直线AC 与BE 所成的角，所以得2e =. 13.()5,+∞ 30x >Q ，()35x f x ∴=+的值域为()5,+∞.14.4 作出不等式组表示的可行域（图略），当直线2z x y =+经过点()3,4时，z 取得最大值.15.1 设这个正方体的棱长为a ，则这个正方体的外接球的半径为2a ，则2243122a a πππ⎛⎫⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，即2a =，故这个正方体内切球的半径为1.17a =，100205a =，且n a 为奇数，所以当7n a =，9，11，33，55，77，99，111时，()1n p a =；当101n a =，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199时，()2n p a =.在{}n a 中，小于100的项共有47项，这47项中满足()2n p a =的共有47740-=项，故(){}n p a 的前100项和为()()1824017310084017227⨯+⨯++⨯---=.17.解：（1）摸出的2个小球的所有可能的结果为()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5.（2）由（1）知，摸出的2个小球的所有可能的结果共有10个， 摸出的2个小球都是偶数的所有可能的结果为()2,4，所以获得一等奖的概率为110. 摸出的2个小球都是奇数的所有可能的结果为()1,3，()1,5，()3,5，所以获得二等奖的概率为310. 18.（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD CD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，又CD PD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD （证CD ⊥平面PAD 亦可）. 因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PCD .（2）解：因为E 为AB 的中点，1AD =，2AB =，所以BCE △的面积为111122⨯⨯=， 所以四面体PBCE 的体积111322P BCE V V PD -==⨯⨯=， 所以3PD =.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以PA =易证AE ⊥平面PAD ，则AE PA ⊥，又1AE =，所以PE ==19.解：（1）因为222sin 2sin sin sin cos 21C A A B B -++=， 所以2222sin 2sin sin sin 1cos 22sin C A A B B B -+=-=， 由正弦定理得222222c a ab b -+=，（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，20.（1）证明：设l 的方程为2x my =+，联立24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩得2480y my --=，设()11,Ax y ，()22,B x y ，则128y y =-.（2）解：由（1）知，124y y m +=.因为()11,1MA x y =+u u u r ，()22,1MB x y =+u u u r，且AMB ∠为锐角， 所以0MA MB ⋅>u u u r u u u r ，且MA u u u r 与MB u u u r不共线，所以()()121212121211148410x x y y x x y y y y m +++=++++=-++>，且02m ≠-+，21.（1）证明：()f x 的定义域为()0,+∞，()1x a f x e x'=--， 则()1111a f e e ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，解得1a =. ()110x f x e x '∴=--<，则()f x 在()0,+∞上单调递减， ()110f e =>Q ，()110e f e e =-<，()f x ∴有且仅有一个零点.（2）解：当1x =时，()11kf e e =<，由此可得1k >. 当2k =时，下面证明()2f x ex<对()0,x ∈+∞恒成立.证明：()2122ln ln x x x f x x x x ex e ex e e <⇔-<⇔<+.令()x x g x e =，则()1x xg x e-'=，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e≤=.令()2ln h x x x e =+，()1ln h x x '=+，()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()11h x h e e⎛⎫≥= ⎪⎝⎭. 从而()()gx h x ≤，又()g x 和()h x 不在同一处取到最值，则()()g x h x <.故当()0,x ∈+∞时，()2f x ex<恒成立，从而整数k 的最小值为2.即228290x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为28cos 2sin 90ρρθρθ-++=.射线L 的直角坐标方程为()0y x x =-≥.两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++， 即63ax >-，所以()()f x g x +的最小值为3，解得lg 2lg5a ≤≤，故a 的最大值与最小值之和为lg 2lg5lg101+==.。
甘肃省2020届高三语文第二次诊断考试试题(含解析)
2020年甘肃省第二次高考诊断考试语文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成各题。
随着科学技术的不断进步，人工智能应运而生并得到了人们的广泛关注。
目前其已在多个领域得到应用，其中就包括文学艺术创作领域。
人工智能是指用机器代替人类实现认知、识别、分析等功能的科技，其本质是对人的意识与思维过程的模拟。
人类的文学艺术创作是通过人脑进行的一种与情感、知觉、思维等相关的复杂的精神活动，在电脑尚难以具备人脑功能的情况下，人工智能是无法真正意义上创作出具有丰富情感的人性艺术作品，但其在艺术表现力、作品想象力等方面已向传统的文艺创作形式发出挑战。
人工智能丰富了艺术表现形式。
例如，音乐领域，由于电脑可有效存储各类声音，这就使电脑可对音乐音色进行无限制的组合，而音律也可打破传统的音阶形式，从而使得音乐作品达到常规音乐创作难以企及的高度，即音色丰富、节奏多样、序列交叠、微分音细化、声像灵活以及装饰音出彩等。
又如，绘画领域，由于电脑可对三原色进行更为细致的等级划分，进而可合成256的三次方种，即16177216种颜色，而这就为画家提供了更大的颜色选择空间，从而实现了绘画艺术表现力的进一步提升。
人工智能拓展了想象空间。
虽然电脑隶属于机器范畴，其本身并不具备想象能力，但由于人工智能的艺术创作有机组合了艺术媒介和文艺质素，极大地摆脱了人类理性认知的束缚。
通过阅读大量的电脑诗作发现，它们的比喻方式和词语组合形式无不表现出极大的想象力，其创作能力甚至可比肩历史上的著名诗人。
从本质上来说，电脑所创作的诗句是具有表征性的文字符号随机拼接的结果，而这种基于自由组合形成的想象能力在很大程度上拓展了人为创作的诗歌意境。
可以说，人工智能在创作格局以及创作观念等诸多方面都已向人类传统的文艺创作发出了巨大挑战。
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>−2}，B={x|x≤1}，则A∩B=()A. {x|x>−2}B. {x|−2<x≤1}C. {x|x≤−2}D. {x|x≤1}2.求z=2(1+i)2的值为()A. −iB. iC. i2D. −i23.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,4)，则a⃗2−a⃗·b⃗ =()A. 0B. −1C. 2或−2D. 124.已知函数g(x)=(x2−4x)2，关于x的方程g(x)=a|x−2|−2a有六个零点，则实数a的取值范围是()A. (−8,0)⋃(0,+∞)⋃{−25627} B. (−25627,−8)C. (−25627,0) D. (−8,+∞)5.命题p：∀x∈N，|x+2|≥3的否定为()A. ∀x∈N，|x+2|<3B. ∀x∉N，|x+2|<3C. ∃x∈N，|x+2|≥3D. ∃x∈N，|x+2|<36.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高，2019年全年总收入与2018年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是()A. 该企业2019年研发的费用与原材料的费用之和超过当年总收入的50%B. 该企业2019年设备支出金额及原材料的费用均与2018相当C. 该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍D. 该企业2018年与2019研发的总费用占这两年总收入的20%7. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 4=a 4+3，则a 2=( )A. −2B. −1C. 1D. 28. 已知正四面体ABCD ，M ，N 分别是棱AB ，CD 的中点，则异面直线MN 与AC 所成角的大小为( )A. 45°B. 60°C. 60°或120°D. 45°或135°9. 若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为4√3的等边三角形，则该圆锥的体积为( )A. 24πB. 8√33π C. 8√3π D. 4√3π10. F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29−y 27=1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|=8，则△PF 1F 2的周长为( )A. 15B. 16C. 17D. 1811. 已知函数f(x)为R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)>f(1−a)，则a 的取值范围是( )A. (−∞,13)B. (−13,1)C. (−1,13)D. (−13,+∞)12. 学校举行英语演讲比赛，六位评委老师为学生甲打出的分数的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数为( )A. 85B. 86C. 87D. 88二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数y =sin x 的定义域为[a,b]，值域是[−12,1]，则b −a 的最大值是_________． 14. 已知数列{a n }满足，a 1=5，a n a n+1=2n ，则a 7a 3等于______ ． 15. 曲线y =sinx +2cosx 在点(π,−2)处的切线方程为________．16.如图，若∠OFB=π6，OF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四面体ABCD中，CA=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：(1)直线EF//平面BCD；(2)AD⊥平面EFC．18.已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.∠A=2π3，a=2√7，b=2．(Ⅰ)求cos B；(Ⅱ)求c的长及△ABC的面积．19. 某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：(1)请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C ？ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．20. 已知点M 为直线l 1：x =−1上的动点，N(1,0)，过M 作直线l 1的垂线，交MN 的中垂线于点P ，记P 点的轨迹为C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y =kx +m 与圆E ：(x −3)2+y 2=6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．21. 已知函数f (x )=x 2e x +ax 2+4ax (a ∈R )．(1)当a =1时，求f (x )的最小值；(2)若函数f(x)在(0,+∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≤x的解集；(Ⅱ)当x≥12时，f(x)+x2>1，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．解：∵集合A={x|x>−2}，B={x|x≤1}，∴A∩B={x|−2<x≤1}．故选B．2.答案：A解析：解：z=2(1+i)2=22i=1i=−i−i2=−i，故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：A解析：本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，考查了考生的计算能力，属基础题．利用向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,4)，即可得求得a⃗2−a⃗·b⃗ 的值．解：因为a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,4)，所以a⃗2=|a⃗|2=1+4=5，a⃗⋅b⃗ =−1×3+2×4=5，所以a⃗2−a⃗⋅b⃗ =5−5=0．故选A．4.答案：B解析：本题考查了函数零点与方程的应用，首先构造新函数f(x)并确定其图象关于x =2对称，根据已知只需确定x >2时函数有三个零点即可得到a 的取值范围．解：令f (x )=(x 2−4x )2−a |x −2|+2a =x 2(x −4)2−a |x −2|+2a ，则 f (4−x )=x 2(4−x )2−a |2−x |+2a =f (x )， ∴f(x)的图象关于x =2对称，当x >2时，需要f (x )=x 2(x −4)2−a (x −2)+2a =x 2(x −4)2−a (x −4)=0有三个不同的根， 即x 2(x −4)−a =0(x ≠4)有两个大于2的根．令y =x 2(x −4)，则y′=2x (x −4)+x 2=3x 2−8x (x ≠4)， 当2<x <83时，y′<0，当x >83时，y′>0，∴y =x 2(x −4)在(2,83)上单调递减，在(83,4)和(4,+∞)上单调递增， 当x =2时，y =−8，当x =83时，y =−25627，又当x =4时，y =0，∴当函数f(x)有六个零点时−25627<a <−8，故选B ．5.答案：D解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|<3． 故选：D ．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．6.答案：B解析：本题主要考查了折线图的知识，是基础题．由折线图可知，2019年研发的费用与原材料的费用所占比例分别为25%，30%，可得选项A 正确；设2018年全年总收入为a 元，则2019年总收入为2a 元，分别计算出2019年和2018年设备支出金额及原材料的费用，即可判定选项B 错误；分别计算2018年和2019年工资支出总额，即可判定选项C正确；分别计算2018年与2019年研发的费用，即可判断出选项D正确．解：A.该企业2019年研发的费用占当年总收入的25%，原材料的费用占当年总收入的30%，所以研发的费用与原材料的费用之和占当年总收入的55%，超过当年总收入的50%，故选项A正确；B.设2018年全年总收入为a元，则2019年总收入为2a元，所以2018年设备支出金额及原材料的费用分别为0.4a元，0.15a元，2019年设备支出金额及原材料的费用分别为0.2×2a=0.4a元，0.3×2a=0.6a元，所以选项B错误；C.设2018年全年总收入为a元，则2019年总收入为2a元，所以2019年工资支出总额为0.2×2a=0.4a元，2018年工资支出总额为0.2a元，故2019年工资支出总额比2018年多一倍，故选项C正确；D.设2018年全年总收入为a元，则2019年总收入为2a元，所以2018年研发的总费用为0.1a元，2019年研发的总费用为0.25×2a=0.5a元，可得2018年与2019年研发的总费用为0.6a元，×100%=20%，故选项D正确，占这两年总收入的比例为0.6aa+2a故选：B．7.答案：C解析：本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，属于基础题.由题意得出a1+d=1，即可求解出a2的值．解：设等差数列{a n}的公差为d，由S4=a4+3，得4a1+6d=a1+3d+3，整理得3(a1+d)=3，即a2=a1+d=1．故选C．8.答案：A解析：本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AC，得到异面直线EF与AC所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．解：取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为AB，BC的中点，∴EG//AC，FG//BD，EG=12AC，FG=12BD，∴∠NMG为异面直线MN与AC所成的角，∵四面体ABCD为正四面体，∴AC=BD，∴MG=NG，过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO⊥BD，∵CO⊥BD，AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，∵MG//AC，NG//BD，∴MG⊥NG，在Rt△MGN中，∵∠MGN=90°，且MG=NG，∴∠NMG=45°，故选A．9.答案：B解析：本题考查圆锥的体积，由圆锥的轴截面是等边三角形及面积，分析圆锥的母线长和底面半径长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．解：题意：圆锥的轴截面是边长为a的等边三角形，其面积为4√3，∴对于轴截面有：√34a2=4√3，∴a2=16，∴a=4，故圆锥的母线l=4，底面半径r=2，则圆锥的高ℎ=√l2−r2=2√3，因此圆锥的体积V=13πr2ℎ=8√33π．故选B．10.答案：D解析：解：根据题意，双曲线C的方程为：x29−y27=1，其中a=√9=3，b=√7，则c=√a2+b2=4，则|F1F2|=2c=8，P为双曲线C右支上一点，则有|PF1|−|PF2|=2a=6，又由|PF1|=8，则|PF2|=8−6=2，△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+8+2=18；故选：D．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，即可得|F1F2|的值；进而由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a=6，由|PF1|的值，而△PF1F2的周长l= |PF1|+|PF2|+|F1F2|，计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键要掌握双曲线的标准方程的形式．11.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，则f(2a)>f(1−a)⇒f(|2a|)>f(|1−a|)⇒|2a|<|1−a|，解可得：−1<a<13，即a的取值范围为(−1,13)；故选：C．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(2a)>f(1−a)⇒f(|2a|)>f(|1−a|)⇒|2a|<|1−a|，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与周期性的综合应用，关键是得到关于a 的不等式，属于基础题．12.答案：C解析：本题主要考查中位数的求法，直接根据中位数的定义即可得出结论． 解：根据题意可知，这6个数为79，85，86，88，90，91． 所以中位数为12(86+88)=87． 故选C ．13.答案：解析：本题主要考查三角函数的定义域和值域以及正弦函数的图象与性质，属于基础题． 对函数y =sin x 的一个周期之内讨论即可．作出函数y =sin x 的图像，研究一个周期的图像，当值域是[−12,1]，取a =−π6，b =7π6，所以b −a的最大值是4π3．14.答案：4解析：解：∵a 1=5，a n a n+1=2n ，∴5a 2=21，∴a 2=25 同理，a 3=10，a 4=45，a 5=20，a 6=85，a 7=40， ∴a 7a 3=4010=4，故答案为：4利用a 1=5，a n a n+1=2n ，计算出前7项，即可得到结论． 本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．15.答案：x +y +2−π=0解析：本题考查了导数的几何意义，属于基础题.对曲线方程进行求导，进而得到切线斜率，由点斜式得到切线方程．解：∵已知y =sinx +2cosx ，，，∴曲线y =sinx +2cosx 在点(π,–2)处的切线方程为：，即x +y +2−π=0． 故答案为x +y +2−π=0．16.答案：x 28+y 22=1解析：解：根据已知条件知：c =|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，a =|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，b =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； 又∠OFB =π6，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6； ∴{cos∠OFB =√32=caac ⋅(−√32)=−6；解得a =√8，c =√6； ∴b 2=2； ∴椭圆的标准方程为x 28+y 22=1．故答案为：x 28+y 22=1．根据已知条件可设椭圆标准方程为x 2a 2+y2b 2=1，并且可得到a =|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,b =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,c =|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，再根据∠OFB =π6,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6即可得到{ca =√32ac ⋅(−√32)=−6，解出a ，c ，从而得到b 2，从而得出椭圆的标准方程．考查椭圆的标准方程，a ，b ，c 的几何意义，直角三角形边角的关系，以及数量积的计算公式．17.答案：证明：(1)∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF//BD，又∵EF在平面BCD外，BD在平面BCD内，∴EF//平面BCD．(2)∵CA=CD，F是AD的中点，∴AD⊥CF，∵AD⊥BD，EF//BD，∴AD⊥EF，∵CF∩EF=F，∴AD⊥平面EFC．解析：(1)利用中位线定理证明EF//BD，即可证明EF//平面BCD；(2)证明AD⊥CF，AD⊥EF，即可证明AD⊥平面EFC．本题主要考查了空间中直线与平面平行、垂直的证明问题，是中档题．18.答案：解：(Ⅰ)在△ABC中，因为asinA =bsinB，∠A=2π3，a=2√7，b=2．所以2√7sin2π3=2sinB．所以sinB=√2114．因为sin2B+cos2B=1，∠B∈(0,π3)，所以解得：cosB=5√714；(Ⅱ)因为a2=b2+c2−2bccosA，所以(2√7)2=22+c2−2×2c×cos2π3．所以c=4，c=−6(舍)．所以S△ABC=12bcsinA=12×2×4×sin2π3=2√3．解析：(Ⅰ)由已知及正弦定理可求sin B ，结合范围∠B ∈(0,π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．(Ⅱ)由余弦定理即可解得c 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.答案：解：(1)∵x −=20+40+50+60+805=50，y −=3+4+4+4+55=4．∑x i 5i=1y i =20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060，∑x i 25i=1=202+402+502+602+802=14500．∴b ̂=1060−5×50×414500−5×502=0.03，a ̂=4−0.03×50=2.5． 故y 关于x 的线性回归方程ŷ=0.03x +2.5； (2)由(1)得：当x =200时，ŷ=0.03×200+2.5=8.5． ∴植被面积为200公顷时，下降的气温大约是8.5°C ．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． (1)由已知表格中的数据求得b̂与a ̂的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x =200，得到y 值即可．20.答案：解：(1)由已知可得，|PN|=|PM|，即点P 到定点N 的距离等于到直线l 1的距离， 故P 点的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为y 2=4x.…(4分)(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 0,y 0)，直线l 2斜率为k ，显然k ≠0， 由{y =kx +m,y 2=4x 得，k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0， x 1+x 2=4−2km k 2．所以x 0=x 1+x 22=2−km k 2，y 0=kx 0+m =2k ，即D(2−km k 2,2k).因为直线l 2与圆E ：(x −3)2+y 2=6相切于点D ， 所以|DE|2=6；DE ⊥l 2， 从而(2−km k 2−3)2+(2k )2=6；2−km k 2−3=−2，整理可得(2k )2=2，即k =±√2． 所以m =0，故l 2的方程为y =√2x 或y =−√2x.…(12分)解析：(1)|PN|=|PM|，点P 到定点N 的距离等于到直线l 1的距离，说明P 点的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，求解抛物线方程即可．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 0,y 0)，直线l 2斜率为k ，显然k ≠0，由{y =kx +m,y 2=4x 得，k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0，利用韦达定理结合，直线l 2与圆E ：(x −3)2+y 2=6相切于点D ，(2−km k 2−3)2+(2k )2=6；求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)由已知得当a =1时，f′(x )=2xe x +x 2e x +2x +4=(xe x +2)(x +2)． 令g (x )=xe x +2，则g′(x )=(x +1)e x ． 当x <−1时，g′(x )<0；当x >−1时，g′(x )>0．易知函数g (x )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增， 所以g (x )min =g (−1)=−1e +2>0，所以g(x)=xe x +2>0， 则当x <−2时，f′(x )<0；当x >−2时，f′(x )>0， 因此f (x )在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增， 所以f (x )min =f (−2)=4e −2−4．(2)f′(x )=2xe x +x 2e x +2x +4a =(xe x +2)(x +2)令ℎ(x )=xe x +2a (x >0)． ①当a ≥0时，ℎ(x )=xe x +2a >0．又因为x +2>0，x ∈(0,+∞)，所以f′(x )=(xe x +2a )(x +2)>0， 此时f (x )在(0,+∞)单调递増，所以函数f (x )无极值．②当a <0时，ℎ′(x )=(x +1)e x >0，ℎ(x )在(0,+∞)上单调递增．又ℎ(0)=2a <0，ℎ(−2a )=−2a (e −2a −1)>0，所以ℎ(x )=xe x +2a 在(0,+∞)上存在唯一零点，设为x 0(x 0>0)，所以当x ∈(0,x 0)时，ℎ(x )<0，f′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x )>0，f′(x )>0，f (x )单调递增， 所以当a <0时，函数f (x )在(0,+∞)上存在极值点x 0． 综上所述，a 的取值范围是(−∞,0)．解析：(1)求导后可得f′(x)=(xe x +2)(x +2)，令g(x)=xe x +2，利用导数可知函数g(x)>0恒成立，由此可得函数f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，进而得到最小值； (2)分a ≥0及a <0讨论，当a ≥0时，f(x)无极值；当a <0时，利用导数可知满足题意，进而得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ． (2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0， 所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)≤x ，即为|x +1|−|x −1|≤x ，等价于{x ≤−1−2≤x 或{−1<x ≤12x ≤x 或{x >12≤x ，解得：−2≤x ≤−1或−1<x ≤0或x ≥2．故不等式f(x)≤x 的解集为[−2,0]∪[2,+∞)； (Ⅱ)当x ≥12时，f(x)+x 2>1⇔|ax −1|<x 2+x ， 由|ax −1|<x 2+x ，得−x +1x −1<a <x +1x +1当x ≥12时，函数g(x)=x +1x+1≥2√x ·1x+1=3，所以最小值为3；ℎ(x)=−x +1x −1在[12,+∞)单调递减，所以最大值为ℎ(12)=12， 故a 的取值范围是(12,3)．解析：本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用．(Ⅰ)当a =1时，化简不等式去掉绝对值符号，转化求解不等式f(x)≤x 的解集即可．(Ⅱ)当x ≥12时，f(x)+x 2>1⇔|ax −1|<x 2+x ，去掉绝对值符号，转化求解函数的最值即可．。
甘肃省2020届高三年级第二次诊断考试数学(文科)试题(含答案)
2020年甘肃省第二次高考诊断考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21≤≤-=x x A ，{}1,1-=B ，则B A I =A ．{}1,1-B ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}11≤≤-x x2．若)1)(1(i i iz +-=，则zA ．i 2B ．0C ．i -D ．i 2-3．已知向量)3,2()1,1(-=-=b a ，b a =A ．5B ．1C ．5D ．254．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，x x f lg )(=，则函数)(x f 的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．15．命题“0cos 2020),0[2>-+∞∈∀x x x ，”的否定为A ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∃x x x ，B ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∈∀x x x ，C ．0cos 2020),0[0200≤-+∞∉∃x x x ，D ．0cos 2020),0[0200<-+∞∉∀x x x ， 6．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410442==+S a a ，，则1a 的值为A ．9B ．1C ．9-D ．2-8．在棱长均相等的四面体OABC 中，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为1000cm 3的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2×100cm 的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A ．π31102B ．π1652C ．31102D ． π852 10．已知21F 、F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，)0,2(1-F ，若双曲线的左支上有一点P ，满足221-=-PF PF ，则该双曲线的渐近线方程为A ．x y 3±=B ．x y 33±=C ．x y 3±=D ．x y 31±= 11．定义在R 上的函数)(x f y =在]1,(-∞上单调递减，且)1(+x f 是偶函数，则使)3()12(f x f >-成立的x 的取值范围是A ．),1(+∞B ．),2()0,(+∞-∞YC ．)1,0(D ．)0,(-∞12．在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群众男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年甘肃省高考二诊文科数学答案
5 2e2
依题意则有
f f
(0) (2)
8a 5 e2 (4a
2e2 , 1) 2e2
,
得
a a
8 3, 4
, 由于 5-2e2 1，故此时不成立；
8
（iii）当 2a 2, 即 a 1 时， f (x) 在 (0,2) 上单调递增，依题意则有 f (0) 2e2 ,得
5 2e2
y2 2x（x 0)
………………………5 分
2
（2）将
x
a
2
t, 代入 y 2
y
2
2 t. 2
2x ，化简得t2 2 2t 4a 8 0 ，由判别式 0 得 a
3, 2
设 A,B 两点对应参数为 t1,t2 ，则 t1 t2 2 2,t1t2 8 4a ，依题意有 t1 4 t2 ，即
（i）当 2a 0, 即 a 0 时，f (x) 在 (0,2) 单调递减，依题意则有，f (2) (4a 1)e2 2e2
成立，得 a 3 ，此时不成立； 4
（ii）当 0 2a 2, 即 1 a 0 时， f (x) 在 (0,2a) 上单调递增,在 (2a,2) 上单调递减,
=
4(
1 k2
4(1 k) k
k 2 ) 2( 1 k
k)
=
2( 1 k
2 k)
1
，所以直线
MN
的方程为
y
4k
=
2( 1
2 k)
1
x
(4k 2
2k
3)
，即
(
1 k
k
1) 2
y
x
1.
k
故 经过定点 (1, 0) .