四川省成都市高考数学零诊试卷(理科)
四川省成都市高2021届2020年高三零诊数学试卷(文科、理科)
四川省成都市高2021届2020年高三零诊数学试卷(文科、理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 $A=\{x|0<x<2\}$，$B=\{x|x\geq1\}$，则 $A\capB=$A) $\{x|0<x\leq1\}$ (B) $\{x|0<x<1\}$ (C) $\{x|1\leqx<2\}$ (D) $\{x|0<x<2\}$2.复数 $z=2i/(2-i)$（$i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3.已知函数 $f(x)=\begin{cases} |x-1|。
& x\leq 1 \\ e^{\ln x}。
& x>0 \end{cases}$，则 $f(f(2))=$A) 0 (B) 1 (C) $e^{-1}$ (D) 24.为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部、教育部、XXX等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”。
某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动。
已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：xxxxxxxx39 xxxxxxxx82 xxxxxxxx78 xxxxxxxx38xxxxxxxx48 xxxxxxxx15 xxxxxxxx77 xxxxxxxx17 xxxxxxxx92 若从随机数表第6行第9列的数开始向右数，则抽取的第5名学生的学号是A) 17 (B) 23 (C) 35 (D) 375.“$k=223$” 是“直线 $y=kx+2$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切”的A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件6.已知离心率为2的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0,b>0$）与椭圆$\dfrac{y^2}{84}+\dfrac{x^2}{ab}=1$ 有公共焦点，则双曲线的方程为A) $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ (B)$\dfrac{x^2}{b^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ (C) $x^2-a^2y^2=b^2$ (D) $y^2-a^2x^2=b^2$7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果 $S$ 为A) $-1$ (B) $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ (C) 0 (D) $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$8.设函数 $f(x)$ 的导函数是 $f'(x)$。
四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题(解析版)
成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z =，故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx =+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】k【详解】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =，故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p 成立不能推出命题q 成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B .6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C.4 D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x ∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x =，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x F x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m m FP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11e a -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2e a =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x '=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a <-<，即11e a -<<-，所以函数()f x 在1(1,a -上单调递增，在1(,e)a -上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.01,0.015,0.02a b c ===,（2）平均数为70.5，中位数为71.7.（3）35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1、,,a b c 成等差数列以及成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400可得关于,,a b c 的方程，求出其解即可.（2）利用组中值可求均值，利用公式可求中位数.3）根据频率之比可得抽取人数之比，再用列举法求出基本事件的总数和随机事件中的基本事件的个数，故可求对应的概率.【小问1详解】因为,,a b c 为等差数列，故2b a c =+，又()220.03101a b c +++⨯=，故220.07a b c ++=，因为成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400，故()4000.03101000a +⨯=，故0.01a =，故0.015,0.02b c ==.【小问2详解】由频率分布直方图可得平均数为：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前3组的频率之和为0.10.150.20.45++=，前4组的频率之和为0.10.150.20.30.75+++=，故中位数在区间[)70,80中，设该数为x ，则700.50.451100.36x --==，故57071.73x =+≈.【小问3详解】区间[)80,90、[]90,100上的频率之比为0.15:0.13:2=，故5人中在分数在[)80,90内的人数为3人，记为,,a b c ，分数在[]90,100内的人数为2人，记为,A B ，从5人中随机抽取两人进行现场知识答辩，共有10种取法：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，{}{}{}{},,,,,,,a b a c c b A B .设C 为“两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内”，则C 中的基本事件为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，共6个，故()63105P A ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）217.【解析】【分析】（Ⅰ）要证明平面11D DBB ⊥平面ABCD ，只需证明AD ⊥平面11D DBB 即可；（Ⅱ）取BD 的中点O ，易得1D O ⊥面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面1B BC 的法向量为n 与AB ，再利用公式||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=<>=⋅ 计算即可.【详解】（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos603BD AB AD AB AD =+-⋅= ，则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而11,AD D D BD D D D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD .由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO =-=-，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)A B C D D ---，则11(23,2,0),(3,0,1),(3,1,0)AB BB DD BC ====-设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则1110000z n BB n BC y ⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令1x =，则y z ==n = ，所以，||sin |cos ,|7||||n AB n AB n AB θ⋅=<>===⋅ ，即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217.【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在，()3,0T ，109-【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出,,a b c ；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理再结合斜率的两点公式求解即可.【小问1详解】如图以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知，64PF PE PA PE AE EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长26a =的椭圆，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，由题意m 必定是存在的联立两个方程得221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，()22Δ100160590m m =++>得R m ∈，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）所以()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+-()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得()()222405991TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=，29t =，又∵0t >∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，()10()()故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.2因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 22θθθ=+1cos 23sin 2222θθ-=+⨯12cos 22224θθ⎫=-+⎪⎪⎝⎭π2264θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。
四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方 均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为
，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业
点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业
A．①③
B．①②③
C．②④
D．①④
3. 在四面体
中，
（）
A．
，
，向量 与 的夹角为 ，若
，
B．
C．
，则该四面体外接球的表面积为
D．
4. 《天津日报》2022年11月24日报道，我市扎实推进实施深入打好污染防治攻坚战“1+3+8”行动方案，生态环境质量持续稳定向好，特别是 大气环境质量改善成效显著．记者从市生态环境局获悉，1至10月份，全市PM2.5平均浓度为34微克/立方米、同比改善8.1%，优良天数222 天，同比增加3天，重污染天2天，同比减少4天，为10年来最好水平．小明所在的数学兴趣小组根据2022年8月天津市空气质量指数（AQI）
四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题
一、单选题
1. 设 均为不等于 的正实数，则“
”是“
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
”的
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2. 已知函数
；现给出如下结论：① 是奇函数；② 是周期函数；③ 在区间
上有三个零点；④ 的
最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ）
21. 已知正项数列 满足 （1）求 的通项公式； （2）已知数列
四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x /万元1020304050销售额y /万元62758189根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（ ）A ．68B ．68.3C ．68.5D ．702. 复数的虚部是（ ）A．B．C．D．3. 设向量，，，且满足，则（ ）A．B．C．D ．24. 已知cos(α－β)＝，cos2α＝，α∈(0，)，β∈(0，π)，且α＜β，则α＋β＝（ ）A．B．C．D．5. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6. 若集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 若复数满足，则（ ）A．B．C．D．8. 设，，，则（ ）A．B．C．D．9. 欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）A．的定义域为，其值域也是B．在其定义域上单调递增，无极值点C．不存在，使得方程有无数解四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题D．，当且仅当是素数时等号成立10.如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（）A．三棱锥的体积为定值B．的最小值为C ．平面D ．当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为11. 下列选项中描述的多面体，一定存在外接球的有（ ）A ．侧面都是矩形的三棱柱B ．上、下底面是正方形的四棱柱C ．底面是等腰梯形的四棱锥D ．上、下底面是等边三角形的三棱台12.如图，半圆面平面，四边形是矩形，且，，分别是，线段上的动点（不含端点），且，则下列说法正确的有（）A ．平面平面B．存在使得C ．的轨迹长度为D ．直线与平面所成角的最大值的正弦值为13.已知奇函数满足，若当时且，，则实数________.14.不等式的解集是______．15. 若将函数表示为，其中为实数，则___________.16. 在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求边；(3)若，求周长的最大值.17. 已知函数，其中．(1)求函数的极值；(2)若函数有4个零点，求实数a 的取值范围．18. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．(1)求线段的长度；(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．19. 如图，平面四边形，其中．将沿折起，使P在面上的投影即为在线段上，且，为中点，过作平面，使平行于平面，且平面与直线分别交于D、E，与交于G．（1）求的值；（2）求多面体的体积．20. 已知中心在原点的椭圆的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．(1)求椭圆的方程；(2)若点的坐标为，点，是椭圆上的两点点，，不共线，且，证明直线斜率存在时过定点，并求面积的取值范围．21. 已知函数.（1）求的最小值；（2）若存在区间，使在上的值域为，求实数的取值范围.。
四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知，设，，则有（ ）A．B．C．D．2. 已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）A．B．C．D． 3. 的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（ ）A．B．C．D．4. 若函数是增函数．则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.已知集合，集合，则A B =（ ）A．B．C．7. 已知复数z 在复平面上对应的点为，为虚数单位，则下列正确的是（ ）A．B．C．D．是实数8. 在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）A．当点的坐标为时，B ．当点的坐标为时，直线的斜率为C ．存在点，使得为钝角D ．存在点，使得9. 设，若关于x 的不等式在上恒成立，则的最小值是________________．10.如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.11. 把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有__________种．四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)四、解答题12.函数的定义域是______．13.在平面直角坐标系中，已知定点，，半径为的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且在轴右侧，圆被轴截得的弦长为．(1)求圆的方程；(2)当变化时，是否存在定直线与动圆相切？如果存在求出定直线的方程；如果不存在，请说明理由．14. 如图所示，直角梯形PABC 中，，，D 为PC 上一点，且，将PAD 沿AD 折起到SAD位置．(1)若，M 为SD 的中点，求证：平面AMB ⊥平面SAD ；(2)若，求平面SAD 与平面SBC 夹角的余弦值．15. 如图，已知，､分别为边､上的点，且，与交于，设存在和使.（1）求和的值；（2）用表示.16. 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB =2，AB 1⊥BC 1，O ，O 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值.。
四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题 (2)
一、单选题1. 已知，，，则下列关系正确的为（ ）A．B．C．D．2.函数（为自然对数底数）的零点所在的区间是A．B．C．D．3. “对任意正整数，不等式都成立”的一个必要不充分条件是（ ）A．B．C．D．4. 下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（ ）A．B．C．D．5. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（）A ．全村年用电量的众数一定是500度B ．抽取50户用电量的中位数小于其平均数C ．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电D．全村用电量为度的概率约为0.00157. 已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则的最小值是（ ）A．B．C．D．8.展开式中的常数项为（ ）A ．13B ．17C ．18D ．229. 已知集合,，，则（ ）A．B．C．D．10.若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ）A．若是递增数列，则B．若是递减数列，则四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题二、多选题C ．若，则D ．若，则是等比数列11. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，其成绩都在区间内.按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间内的人数为40，则下列结论正确的是（）A．B．图中C ．估计该市全体学生成绩的平均分为84分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）D ．若对80分以上的学生授予“优秀学生”称号，则该市约有14000人获得该称号12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）A ．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D ．当时，有且仅有一个点，使得平面13.如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱锥的外接球，则（）A ．球心到平面的距离是B ．球心到平面的距离是C．球的表面积是D．球的体积是14. 如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是A ．与平行B ．与为异面直线C ．与成60°角D ．与垂直三、填空题四、填空题五、解答题六、解答题15. 若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.16.已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为___________.17. 已知一圆锥纸盒母线长为6，其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则的最大值为_________．18. 已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.19.已知函数则______；若，则______.20.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值21. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.22. 2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业，因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生女生合计90分钟以上80x 18090分钟以下y z 220合计160240400(1)求x 、y 、z 的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82823.艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人体免疫系统中最重要的CD 4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：七、解答题八、解答题年份20112012201320142015201620172018年份代码x12345678感染者人数单位：万人85请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；建立y 关于x 的回归方程系数精确到，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：；，，，参考公式：相关系数，回归方程中，，．24.已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：.25. 某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：九、解答题利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏检率时，求临界值和错检率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．26. 已知双曲线：的焦距为，其中一条渐近线的方程为.以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点О的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点.(1)求椭圆E 的方程；(2)若点Р为椭圆E的左顶点，，求的取值范围.。
四川省成都市第七中学高考数学零诊模拟考试试题 理(含解析)
四川省成都市第七中学2019届高考数学零诊模拟考试试题理（含解析）一、单选题（每小题5分，共60分）1. 设全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用交集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，故选C.2. 若复数满足，则复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：把变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可得结果.详解：，，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二次函数的单调性，结合函数的定义域，根据复合函数的单调性求解即可.详解：得或，令，则为增函数，在上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为，故选D.点睛：本题主要考查二次函数与幂函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 15B. 37C. 83D. 177【答案】B【解析】分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量i的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果．详解：执行程序，可得，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，符合，输出；故选：B点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：考察函数图象可知: 命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题．考点：命题的真假判断．6. 已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：由已知得，，结合能得到的值.详解：是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，，，，，，故选C.点睛：本题考查椭圆的定义，基本性质和平面向量的知识. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.7. 在公比为的正项等比数列中，，则当取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】A...........................8. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析：由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，根据三视图中数据利用棱柱的体积公式可得结果.详解：由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，其中棱柱的高为，底面积为，可得几何体的体积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，则，由，，则，故选B．【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．10. 若函数在处有极大值，则常数为（）A. 2或6B. 2C. 6D. -2或-6【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在x=2处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的 c值舍去．详解：∵函数f（x）=x（x﹣c）2=x3﹣2cx2+c2x，它的导数为=3x2﹣4cx+c2，由题意知在x=2处的导数值为 12﹣8c+c2=0，∴c=6或 c=2，又函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．当c=2时，=3x2﹣8x+4=3（x﹣）（x﹣2），不满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．当c=6时，=3x2﹣24x+36=3（x2﹣8x+12）=3（x﹣2）（x﹣6），满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．故 c=6．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值，意在考查学生对该知识的掌握能力. (2)本题是一个易错题，容易错选A，函数f(x)在点处的导数是函数在处有极值的必要非充分条件.11. 在中，，，则角（）A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：在中，利用，结合题中条件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.详解：在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即，，所以，所以，所以，故选D.点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.12. 设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，可得在上为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或，解可得的取值范围，即可得到结论.详解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 计算__________．【答案】【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：,故答案为.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，属于简单题.14. 已知函数，，是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则__________．【答案】1【解析】分析：根据勾股定理可得，求得，，从而可得函数解析式，进而可得结果.详解：令的最小正周期为，由，可得，由是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则由勾股定理可得，即，解得，故，可得，，故，故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.15. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.16. 如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：设，可得，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.详解：如图，连接，已知，，又，，设，，当时，有最小值，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答题（17-21题每小题12分，22题10分，共70分）17. 设为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据数列的递推关系，利用作差法可得是首项为，公差的等差数列，从而可求的通项公式；（2）求出，，利用裂项法即可求数列的的前项和.详解：（1）由，可知，两式相减得，即，∵，∴，∵，∴（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，∴的通项公式.（2）∵，∴，∴数列的前项和.点睛：本题主要考查等差数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.（1）证明：；（2）若点为线段的中点，平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（2）由（1）知，结合面面垂直的性质可得，平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量取平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）连接，因为，，所以为正三角形，又点为的中点，所以.又因为，为的中点，所以.又，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知.又平面平面，交线为，所以平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，可得得，由（1）知平面，则取平面的一个法向量，，故二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：.所有蜜柚均以40元/千克收购；.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】（1）；（2）应该选择方案.【解析】分析：（1）利用列举法，从蜜柚中随机抽取个的情况共有种，其中量小于克的仅有1种情况，由古典概型概率公式可得结果；（2）若按方案收购，求出总收益为（元），若按方案收购，收益为元，从而可得结果.详解：（1）由题得蜜柚质量在和的比例为，∴分别抽取2个和3个. 记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为，，，则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：（2）若按方案收购，，，，，，，，，，其中质量小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为（元），若按方案收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为，蜜柚质量低于2250克的个数为，∴收益为元，∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.点睛：本题主要考查直方图的应用、古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）依题意，面积为，联立方程组，解得,所以椭圆的方程，；（2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数关系求出，设线段的中点为，则的坐标为.接着按，两类，代入，列方程，可求得或.试题解析：（1）由,得.再由,解得,由题意可知，即,解方程组，得,所以椭圆的方程，.（2）由（1）可知点，的坐标是,设点的坐标为,直线的斜率为.则直线的方程为,于是两点的坐标满足方程组,消去并整理，得.由,得.从而..设线段的中点为，则的坐标为以下分两种情况：①当时,点的坐标是,线段的垂直平分线为轴，于是.由,得.②当时,线段的垂直平分线方程为.令,解得,由,整理得.故.综上,或.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】解析几何解答题一般为试卷两个压轴题之一，“多考想，少考算”，但不是“不计算”.常用的解析几何题目中的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念简化运算，条件等价转化简化运算，用形助数简化运算，设而不求简化运算.圆锥曲线题目运算量较大时，要合理利用圆锥曲线的几何特征将所求的问题代数化.本题第一问主要就是利用方程的思想，根据题意列出方程组，即可求得椭圆方程.视频21. 已知.（1）当时，求证：；（2）若有三个零点时，求的范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）令，，，利用导数可得在上单调递减，，从而可得结论; （2）有三个零点等价于有三个零点，当时，当时，可得是单调函数，至多有一个零点，不符合题意，当时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性，结合函数图象可得的范围是.详解：（1）证明：，令，，，，在上单调递减，，所以原命题成立.（2）由有三个零点可得有三个零点，，①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，时，；时，；时，观察可得，且，当时，；单调递增，所以有，即，时，，单调递减，时，单调递减，由（1）知，，且，所以在上有一个零点，由，且，所以在上有一个零点，综上可知有三个零点，即有三个零点，所求的范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22. 选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）由直线参数方程得，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程得t2+2(cosα-sinα)t-7=0，利用韦达定理化简得，最后根据三角函数有界性求最小值.试题解析：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+(y-3)2=9．（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2(cosα-sinα)t-7=0．由△=4(cosα-sinα)2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以又由直线过点(1,2)，故，结合参数的几何意义得所以|PA|+|PB|的最小值为．。
2023届四川省成都市高三摸底考试(零诊)理科数学试题及答案
秘密★启用前2023届四川省成都市高三摸底考试（零诊）理科数学试题★祝考试顺利★(含答案)第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}12A x x =∈-<≤N ,{}1B x x =≤,则A B ⋂=（ ）A ．{}0,1B ．{}11x x -<≤C ．{}0,1,2D ．{}01x x <≤ 2．复数1i 2i iz -=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若实数x ,y 满足约束条件,1,2 2.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．32B ．2C ．4D ．6 4．设1ln 3a =,0.312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log 3c =,则a ,b ,c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．a c b << D ．c b a <<5．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的月用电量都在50~300kw ·h 之间,适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x 的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间[)100,250内的户数分别为（ ）A ．0.0046,72B ．0.0046,70C ．0.0042,72D ．0.0042,706．已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若()()14f f -=,且1a >-,则a =（ ） A ．12- B ．0 C ．1 D ．27．已知焦距为4的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线30x -=垂直,则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．22126x y -= C ．2213y x -= D ．22162x y -= 8．若函数()2ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增,则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．(]0,1D ．(]0,29．赵爽是我国古代著名数学之家,他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形1111A B C D 构成,如图所示．已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4,若在“赵爽弦图”中随机取一点,则该点取自四边形1111A B C D 区域内的概率为（ ）A ．925B ．125C ．1625D ．42510．若数据9,m ,6,n ,5的平均数为7,方差为2,则数据11,9,21m -,17,21n -的平均数和方差分别为（ ）A ．13,4B ．14,4C ．13,8D ．14,811．如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M ,N 分别为1BB ,CD 的中点．有下列结论：。
四川省成都市第七中学2023届高三上学期零诊模拟检测理科数学试题(原卷版)
成都七中高2023届零诊模拟检测试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 设非空集合M ，N 满足M N N ⋃=，则（ ）A. x N ∀∈，有x M ∈B. x N ∀∉，有x M ∉C. 0x M ∃∉，有0x N∈ D. 0x N ∃∈，有0x M∉2. 若复数z 满足()112i z i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知,,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OA OB OC ++=，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A.38B.58C.78D.1984. 数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N +=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的个数（ ）①10n n a a +<<； ②22221231n a a a a a ++++< ；③对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a ++++>---- 成立；④11n a n <+.A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(3,6)，圆222:680C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则3PN QM +的最小值为.A. 12+B. 16+C. 16+D. 20+6. 德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是()A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅-C 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D. 11114(135721P =-+-+⋅⋅⋅-7. 在正四面体ABCD 中，异面直线AB 与CD 所成的角为α，直线AB 与平面BCD 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（）.A. βαγ<<B. αβγ<< C.γβα<< D. βγα<<8. 对于角θ，当分式tan sin tan sin θθθθ+有意义时，该分式一定等于下列选项中哪一个式子（ ）A.tan cos tan cos θθθθ+ B.tan sin tan cos θθθθ- C.tan sin tan cos θθθθ- D.tan sin tan sin θθθθ-9. 对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A. 2014B. 2013C.20155D. 100710. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）A38B.34C.23D.1211. 已知不等式e (3)20(1)+--<<x a x x a 恰有2个整数解，则a 的取值范围为（ ）A.2324e 3e≤<a B.2324e 3e<≤a C.324e 3≤<a D.324e 3<≤a 的的.12. 已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若215430HP HF HF ++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“[]1,2x ∃∈，使得2ln 0x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为________.14. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x -=，则()2021f a =______．15. 已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，c≠0，则2ba c-的取值范围为______________．16. 设函数()()21241,12,1x x f x x x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若恰好存在互不相等的4个实数1234,,,x x x x ，使得()()()()123412347f x f x f x f x x x x x ====，则a 的取值范围为__________.三、解答题：共7017～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN 区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P 在弧AB 上，点M 和点N 分别在线段OA 和线段OB 上，且90OA =米，3AOB π∠=．记POB θ∠=．（1）当4πθ=时，求OM ON ⋅ ；（2）请写出顾客的休息区域OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值．18. 如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；（2）当四棱锥P MNDB -体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P --余弦值的绝对值为若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．19. 新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律．志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用x 表示注射疫苗后的天数．y 表示人体中抗体含量水平（单位：miu/mL ，即：百万国际单位毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数x 123456抗体含量水平y510265096195根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，dx y c e =⋅与y a bx =+（a ，b ，c ，d 均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y 与x 关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；（3）从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y 值大于50的天数为X ，求X 的分布列与数学期望．参考数据：其中ln y ω=．参考公式：用最小二乘法求经过点()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，…，(),i i u v 的线性回归方程ˆˆˆv bu a =+的系数公式， ()()()1122211n niii i i i nniii i u u v v u v nuvb unuu u ====---==--∑∑∑∑ ，ˆˆa v bu=-．20. F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M，直线1:4l y mx =+与抛物线C 有两个不同的交点,,A B l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122m ≤≤ 时，22AB DE +的最小值.21. 已知函数1()3ln f x x b x x=-+．（1）当4b =-时，求函数()f x 的极小值；（2）若[]1,x e ∃∈上，使得114()b x f x x x+--<-成立，求b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l的参数方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且AB =，求直线l 的倾斜角．[选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()3g x x =+．（Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求a b +的最小值．。
2020成都市高三零诊考试数学理科试题及详细解析
2020成都市高三零诊考试数学理科试题及详细解析1.题目：已知复数 $z=i(1-i)$，求其虚部。
解析：本题考察复数的定义与代数表示法、虚数单位的定义与性质、复数运算的法则与基本方法、复数虚部的定义与确定的基本方法。
通过复数运算的法则与基本方法，结合问题条件，可以得到复数 $z$ 的代数表示式。
利用复数虚部确定的基本方法，可以求出复数 $z$ 的虚部，选项为 A。
2.题目：已知集合 $A=\{1.2.3.4\}$，$B=\{x|x-x-6<0\}$，求 $A\cap B$。
解析：本题考察集合的表示法、一元二次不等式的定义与解法、集合交集的定义与运算方法。
通过一元二次不等式的解法，结合问题条件化简集合 $B$，利用几何交集运算的基本方法，可以求出 $A\cap B$，选项为 B。
3.题目：已知某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，判断下列说法的正确性。
解析：本题考察茎叶图的定义与性质、极差的定义与求法、中位数的定义与求法、众数的定义与求法、平均数的定义与求法。
通过茎叶图的性质，分别求出甲所得分数的极差、乙所得分数的中位数、甲、乙所得分数的众数和平均数，判断选项的正确性。
11+15+17+20+22+22+24+32+3321.8。
98+11+12+16+18+20+22+22+31x乙17.8，21.8>17.8，∴x甲x乙所以选项D错误。
选D。
x+2y-2≤4。
4、若实数x，y满足约束条件x-1≥0，2y≥x，则z=x-2y的最小值为（）AB2y≥x，C4D6x甲解析】考点】不等式表示的平面区域的定义与求法；不等式组表示的平面区域（可行域）的定义与求法；最优解的定义与求法。
解题思路】根据约束条件，画出可行域图形，然后求目标函数在可行域内的最小值，即可得出答案。
详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，y由x+2y-2=0，得x=1，x+2y-2=0，得x=2，x-1=0，x-1=0，y=1/2，y=0，y=0，Ax+2y-2=0A（1，1/2），B（1，0），C（2，0），当目标函数经过点A时，z=1-2×1/2=1-1=0；当目标函数经过点B时，z=1-2×0=1-0=1；当目标函数经过点C时，z=2-2×0=2-0=2，∴z=x-2y的最小值为0，所以选项A正确，∴选A。
四川省成都市高三数学摸底(零诊)考试试题 理
成都市2017届高三摸底（零诊）数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．152.对抛物线212x y =，下列判断正确的是（ ） A ．焦点坐标是(3,0) B ．焦点坐标是(0,3)- C ．准线方程是3y =- D ．准线方程是3x = 3.计算0000sin 5cos55cos175sin 55-的结果是（ ） A ．12-B ．12C． D4.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,m n αβ⊥⊥，且βα⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A ．m n ⊥B ．//m nC ．m 与n 相交D ．m 与n 异面5.若实数,x y 满足条件0222x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．46.曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（ ）A ．2y x ππ=-+ B ．2y x ππ=+ C ．2y x ππ=-- D ．2y x ππ=- 7.已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件8.若定义在R 上的奇函数()f x 满足：12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则称该函数为满足约束条件K 的一个“K 函数”，有下列函数：①()1f x x =+；②3()f x x =-；③1()f x x=；④()f x x x =，其中为“K 函数”的是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 9.设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，00132016xx +=；命题:,(0,)q a b ∀∈+∞，11,a b b a++中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝10. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π11.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:4C x y -=有相同的右焦点2F ，点P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点，若22PF =，则椭圆1C 的离心率为（ ）ABC1- D12.如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，,,M N Q 分别是线段1111,,AD B C C D 上的动点，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时，三棱锥Q BMN -的体积为（ ）A ．312a B ．314a C3a D ．3112a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.计算：lg 42lg 5+=_____________.14.函数32()44f x x x x =-+的极小值是_____________.15.已知圆22:2410C x y x y +--+=上存在两点关于直线:10l x my ++=对称，经过点(,)M m m 作圆C 的切线，切点为P ，则MP =_____________.16.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足'ln ()()x xf x f x x +=，且1()f e e=，则不等式(1)(1)f x f e x e +-+>-的解集是_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2112,66a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求证：121n b b b +++<.18.（本小题满分12分）王师傅为响应国家开展全民健身运动的号召，每天坚持“健步走”，并用计步器对每天的“健步走”步数进行统计，他从某个月中随机抽取10天“健步走”的步数，绘制出的频率分布直方图如图所示.（1）试估计该月王师傅每天“健步走”的步数的中位数及平均数（精确到小数点后1位）； （2）某健康组织对“健步走”结果的评价标准为：现从这10天中随机抽取2天，求这2天的“健步走”结果不属于同一评价级别的概率.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知090BAC ∠=，1AB AC ==，12BB =，0160ABB ∠=.（1）证明：1AB B C ⊥；（2）若12B C =，求二面角11B CC A --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，点Q 在直线:2l x =上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若O 为坐标原点，P 为直线l 上一动点，过点P 作直线'l 与椭圆相切于点A ，求POA∆面积S 的最小值. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln ()x a x f x x-=，其中2[,), 2.71828a e e ∈-+∞=为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：当12x x ≠，且12()()f x f x =时，122x x +>. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程和直线l 的倾斜角；（2）设点(0,1)P ，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求PA PB +的值.参考答案一、选择题：1-5.BCDAC 6-10.ACDBA 11-12.BD二、填空题：13. 2 14. 0 15. 3 16. (1,)e -三、解答题：17.解：（1）∵1161166S a ==，∴66a =. 设公差为d ，∴6244a a d -==，∴1d =.∴2(2)2(2)1n a a n d n n =+-=+-⨯=. （2）由（1），得111(1)1n b n n n n ==-++. ∴12111111(1)()()122311n b bb n n n +++=-+-++-=-++. ∴121n b b b +++<（2）设“在10天是任取2天，评价级别相同”为事件A ，“在10天中任取2天，评价级别不相同”为事件B .则22222621017()45C C C P A C ++==. ∵事件A 与事件B 互为对立事件， ∴1728()1()14545P B P A =-=-=. 19.解:（1）连结1B A ，在1ABB ∆中，∵22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-∙∙∠=∴1AB =.又11,2AB BB ==，∴由勾股定理的逆定理，得1ABB ∆为直角三角形. ∴1B A AB ⊥.∵CA AB ⊥，1B A AB ⊥，1CA B A A =,∴AB ⊥平面1AB C . ∵1B C ⊂平面1AB C ∴AB ⊥1B C（2）在1AB C ∆中，∵112,B C AB ==,1AC =,则由勾股定理的逆定理，得1AB C ∆为直角三角形， ∴1B A AC ⊥.以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，1AB 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则(0,1,0)AC =，1(AC =-，1(0,1,B C =，1(1,0,CC =. 设平面1ACC 的法向量为1111(,,)n x y z =.由11100AC n AC n ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩1111111000y y x y x ==⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩. 令11z =，则平面1ACC 的一个法向量为1(3,0,1)n =. 设平面11B CC 的法向量为2222(,,)n x y z =.由1222221222220000B C n y y CC n x x ⎧⎧⎧∙=-==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨∙=-==⎪⎪⎪⎩⎩⎩.令21z =，则平面11B CC的一个法向量为2(3,n =.设二面角11B CC A --的平面角为θ，易知θ为锐角.∴1212cos n n n n θ∙==∙20.解：（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2， ∴半焦距1c =.∵点Q 在直线:2l x =上，c =22a c =.又1c =，∴22a =. ∴21b =.∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）依题意，直线'l 的斜率存在，可设直线'l 的方程为y kx m =+，设0(2,)P y ，11(,)A x y .联立22220y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩消去y ，可得222(12)4220k x kmx m +++-=. ∵0∆=，∴2221m k =+. 且12212km x k -=+，1212my k=+，02y k m =+.则OP =又直线OP 的方程为02y y x =，∴点A 到直线OP的距离d ∴01122111222(2)2221212POA km mS OP d y x y k m k k ∆-=∙=-=+-++=221212k km m k m k k ++=+=++m =时）2k >=，∴20k k k >+≥.∴S k =+.∴2222()12210S k k k Sk S -=+⇒+-+=.由'2840S S ∆=-≥⇒≥，当且仅当k =.同理，取m =时，也可得当k =时S. ∴POA ∆面积S. 21.解：（1）()ln ()x a x f x x -=的定义域是(0,)+∞，'2ln ()a x x af x x +-=. 设()lng x a x x a =+-，则'()1a x ag x x x+=+=.①当0a >时，'()0g x >在(0,)+∞成立，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增. 且0(0,)x ∃∈+∞，使得000()ln 0g x a x x a =+-=. 当x 变化时，'(),(),()g x f x f x 变化情况如下表：∴()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增. ②当0a =时，()ln f x x =，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增. ③当20e a -≤<时，当x 变化时，'()g x ，()g x 变化情况如下表：∴min ()()ln()2[ln()2]g x g a a a a a a =-=--=--.∵20e a -≤<，∴20a e ≤-≤，ln()20a --<，min ()0g x >. ∴()0g x ≥在(0,)+∞成立，即'()0f x ≥在(0,)+∞上成立. ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增. 综上所述：①当0a >时，()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增；其中0x 满足000()ln 0g x a x x a =+-=；②当20e a -≤<时，()f x 在(0,)+∞上单调递增. （2）当1a =时，(1)ln ()x xf x x-=的定义域是(0,)+∞， '2ln 1()x x f x x +-=.此时()ln 1g x x x =+-，则'1()10g x x=+>. ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，(1)0g =. 当x 变化时，'(),(),()g x f x f x 变化情况如下表：∵12x x ≠，且12()()f x f x =，则1201x x <<<（不妨设12x x <）. 设函数()(1)(1),01F x f x f x x =+--<<.∴'''22ln(1)ln(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x F x f x f x x x ++--=++-=++-22222(1)ln(1)(1)ln(1)4(1)(1)x x x x x x x -+++--=+-.当(0,1)x ∈时，ln(1)x x >+且ln(1)x x ->-.∴22(1)(1)ln(1)x x x x ->-+，且22(1)(1)ln(1)x x x x -+>+-. ∴2222222(1)ln(1)(1)ln(1)4(1)(1)480x x x x x x x x x x x -+++--<--+-=-<即当(0,1)x ∈时，'()0F x <.∴函数()F x 在(0,1)上单调递减.∴()(0)0F x F <=，即当(0,1)x ∈时，(1)(1)f x f x +<-. ∵101x <<，∴1011x <-<.∴112(2)()()f x f x f x -<=.∵()f x 在(1,)+∞上单调递增，21x <且112x <-，又12(2)()f x f x -<， ∴122x x -<.∴122x x +>22.解：（1）易得曲线C 的普通方程为2214x y +=.∵直线l 的普通方程为10x y -+=，∴直线l 的倾斜角为4π.（2）显然点(0,1)P 在直线:10l x y -+=上.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得250t +=.此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点,A B 对应的参数,A B t t ,∴A B PA PB t t +=+=。
【精品高三数学试卷】2019-2020成都高三(上)零诊(理科)+答案
2019-2020学年四川省成都高三（上）零诊数学试卷（理科）一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合{||1|1}A x x =-<，2{|10}B x x =-<，则(A B = )A ．(1,1)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(0,1)2．（5分）若1122aii i+=++，则(a = ) A ．5i --B ．5i -+C ．5i -D ．5i +3．（5分）设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x <<时，2()f x x x =-，则5()(2f -=)A ．14-B ．12-C ．14D ．124．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元5．（5分）设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则()A ．5166BO AB AC =-+B ．1162BO AB AC =-C ．5166BO AB AC =- D ．1162BO AB AC =-+6．（5分）执行如图的程序框图，则输出x 的值是( )A ．2016B ．1024C ．12D ．1-7．（5分）等差数列{}n a 中的2a 、4032a 是函数321()4613f x x x x =-+-的两个极值点，则2220174032log ()(a a a = )A ．624log +B ．4C ．323log +D ．324log +8．（5分）以下三个命题正确的个数有( )个 ①：若225a b +≠，则1a ≠或2b ≠；②：定义域为R 的函数()f x ，函数()f x 为奇函数是(0)0f =的充分不必要条件； ③：若0x >，0y >且21x y +=，则11x y+的最小值为32+A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A ．3[3，1] B ．6[3，1] C ．6[3，22]3D ．22[3，1] 11．（5分）函数2()sin (4cos 1)f x x x =-的最小正周期是( ) A ．3πB ．23π C ．π D ．2π12．（5分）如图，已知ABC ∆，其内部有一点O 满足OAB OAC OBC OCA θ∠=∠=∠=∠=，命题:p θ最大值有可能超过36度；命题q ：若三边长对应分别为a ，b ，c ，则2a bc =；则正确的选项为( )A ．p 真q 假B ．p 假q 假C ．p 真q 真D ．p 假q 真二.填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．（5分）命题p ：“0x R ∃∈，200220x x ++”，则命题p 的否定p ⌝是 ．14．（5分）曲线y x 与直线(0)x a a =>，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，实数m ，n 满足190m n m n a n -⎧⎪+⎨⎪⎩，则2m n -的取值范围是 ．15．（5分）已知抛物线22y mx =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，P 是两曲线的公共点，若5||6PF m =，则此椭圆的离心率为 ．16．（5分）定义在区间(0，2]上的函数2()(2)()f x x ln x x t =--+恰有2个不同零点，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知4B π=，cos cos20A A -=．（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆．18．（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；（3）从样本中身高在165~180cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm 之间的概率．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． （1）证明：1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求二面角111A A B C --的余弦值的绝对值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，与x 轴负半轴交于(2,0)A -，离心率12e = （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y 两点，若12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．21．（12分）设函数1()(21)x f x e x ax +=+-，其中1a < （1）当0a =时，()f x 的零点个数；（2）若()0f x <的整数解有且唯一，求a 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin()0,02)4l πρθρθπ-=．（1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．2019-2020学年四川省成都高三（上）零诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．【解答】解：由A 中不等式变形得：111x -<-<， 解得：02x <<，即(0,2)A =2{|10}(1,1)B x x =-<=- (1,2)AB ∴=-故选：B ． 【解答】解：1122aii i+=++，1(2)(12)5ai i i i ∴+=++=， 51(51)5i i i a i i i i---∴===+-． 故选：D ．【解答】解：根据题意，()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数， 则511()()()222f f f -=-=-，又由当01x <<时，2()f x x x =-，则21111()()2224f =-=-，故511()()244f -=--=，故选：C ．【解答】解：由题意可得1(8.28.610.011.311.9)105x =++++=，1(6.27.58.08.59.8)85y =++++=，代入回归方程可得ˆ80.76100.4a=-⨯=， ∴回归方程为ˆ0.760.4yx =+， 把15x =代入方程可得0.76150.411.8y =⨯+=， 故选：B ． 【解答】解：D 为ABC ∆中BC 边上的中点，∴1()2AD AB AC =+， O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，∴23OD AD =， ∴1()3OD AB AC =+， ∴111151()()()232366BO BD OD BC AB AC AC AB AB AC AB AC =-=-+=--+=-+． 故选：A ．【解答】解：模拟执行程序框图，可得 2x =，0y =满足条件1024y <，执行循环体，1x =-，1y = 满足条件1024y <，执行循环体，12x =，2y = 满足条件1024y <，执行循环体，2x =，3y = 满足条件1024y <，执行循环体，1x =-，4y =⋯观察规律可知，x 的取值周期为3，由于102434131=⨯+，可得： 满足条件1024y <，执行循环体，1x =-，1024y = 不满足条件1024y <，退出循环，输出x 的值为1-． 故选：D ． 【解答】解：321()4613f x x x x =-+-，2()86f x x x ∴'=-+，等差数列{}n a 中的2a 、4032a 是函数321()4613f x x x x =-+-的两个极值点，240328a a ∴+=，240326a a =， ∴24032201742a a a +==，322201*********log ()log (46)233log 3a a a log log ∴=⨯=+=+． 故选：C ．【解答】解：对于②，若225a b +≠，则1a ≠或2b ≠，因为逆否命题：1a =且2b =则225a b +=是真命题，所以①正确；对于②，函数()f x 的定义域为R ，函数()f x 为奇函数是(0)0f =的充分不必要条件，故选项②正确；对于③，若0x >，0y >且21x y +=，则11112()(2)332y xx y x y x y x y+=++=+++且仅当21x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1x =，1y =时取“=”，故③正确；故选：D ．【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D ．【解答】解：由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α的取值范围是111[,][,]22AOA C OA ππ∠∠．不妨取2AB =．在1Rt AOA ∆中，111sinAA AOA AO ∠==．111111sin sin(2)sin 22sin cos 23C OA AOA AOA AOA AOA π∠=-∠=∠=∠∠==>， sin12π=．sin α∴的取值范围是6[,1]3． 故选：B ．【解答】解：函数2()sin (4cos 1)f x x x =-化简可得：223()4sin cos sin 4sin (1sin )sin 3sin 4sin sin3f x x x x x x x x x x =-=--=-=． ∴最小正周期23T π=． 故选：B ． 【解答】解：方法1: 在ACO ∆中，根据正弦定理得sin(2)sin b m πθθ=-，即sin 2sin b mθθ=① 在CBO ∆中，根据正弦定理得sin(2)sin b m πθθ=-，即sin()sin b mθαθ=+② 由①②得sin 2sin()b a θθα=+，即sin 2sin()b a θθα=+． 又sin sin2A θ=，sin sin()C θα=+，sin sin b Aa C=在ABC ∆中，根据正弦定理得sin sin A a C c =，即得a bc a=， 2a bc ∴=．q ∴为真． 2a bc =，b ∴不是最长边，B ∴∠，C ∠至少有一个超过2θ，∴内角和超过5θ，所以p 错误．方法2：如图延长AO 交BOC ∆的外接圆于点D ，则2DBC DOC CAB θ∠=∠==∠，BCD BOD ABO ABC θ∠=∠=+∠=∠~ABC BCD ∴∆∆，∴AB BCBC DC=． 又CDA CDO CBO CAD θ∠=∠=∠==∠，DC AC ∴=． ∴AB BCBC AC=，即2BC AC BA =，即2a bc =．q ∴为真． 2a bc =，b ∴不是最长边，B ∴∠，C ∠至少有一个超过2θ，∴内角和超过5θ，所以p 错误． 故选：D ．二.填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p ：“0x R ∃∈，200220x x ++”，则命题p 的否定p ⌝是：x R ∀∈，2220x x ++>． 故答案为：x R ∀∈，2220x x ++>．【解答】解：由题意，曲线y x =与直线x a =，0y =所围成封闭图形的面积为23320022|33axdx x a ==⎰∴32223a a =，9由实数m ，n 满足140m n m n n -⎧⎪+⎨⎪⎩，作出可行域如图，(4,0)A ，联立14m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得5(2B ，3)2．化目标函数2u m n =-为22m un =-， 由图可知，当直线22m un =-过A 时，直线在n 轴上的截距最小，z 有最大值为4； 当直线22m u n =-过B 时，直线在n 轴上的截距最大，z 有最小值为12-． 2u m n ∴=-的取值范围是：1[2-，4]． 故答案为：1[2-，4]．【解答】解：设2(2y P m ，)y ，由抛物线的定义可得：25||226y m PF m m +==，化为：2223y m =， 又2m c =，2283c y ∴=．点P 在椭圆上，∴4222214y y m a b +=，即222248193c c a b+=，222b a c =-． 化为：422243790c a c a -+=，4243790e e ∴-+=，解得214e =或9， (0,1)e ∈，2故答案为：12． 【解答】解：定义在区间(0，2]上的函数2()(2)()f x x ln x x t =--+恰有两个不同零点 ⇔函数()0f x =在区间(0，2]上有2个不同零点2x ⇒=或2()0ln x x t -+=在(0,2)上有且只有一个解21x x t ⇔-+=在(0,2)上有且只有一个解y t ⇔=与21y x x =-++在(0,2)上有且只有一个交点可知最大值为1()254x y==；(0)1x y ==；(2)1x y ==-． 又当01x <时，20x x t -+>恒成立， 211()24t x ∴>--+，14t ∴>，t ∴取值范围为15(,1]{}44；故答案为：15(,1]{}44．三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上． 【解答】解：（1）因为cos cos20A A -=， 所以22cos cos 10A A --=， 解得1cos 2A =-，cos 1A =（舍去）．所以23A π=，又4B π=，所以12C π=．（2）在ABC ∆中，因为23A π=，由余弦定理所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++， 又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+， 所以2a =，又因为sin sinsin()1234C πππ==-=， 由正弦定理sin sin c aC A=得c ，所以1sin 12ABC S ac B ∆==．【解答】解：（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400． （2）由统计图知，样本中身高在170~185cm 之间的学生有141343135++++=人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm 之间的频率 350.570f ==故由f 估计该校学生身高在170~180cm 之间的概率0.5p = （3）样本中女生身高在165~180cm 之间的人数为10，身高在170~180cm 之间的人数为4． 设A 表示事件“从样本中身高在165~180cm 之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170~180cm 之间”，则 P （A ）26210213C C =-=【解答】解：（1）证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ， 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点， 又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ． 由于AO ⊂平面ABO ，故1B C AO ⊥． 又1B O CO =，故1AC AB =．（2）解：因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =．又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两相互垂直， 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，||OB 为单位长，建立空间直角坐标O xyz -， 因为160CBB ∠=︒，所以1CBB ∆为等边三角形， 又AB BC =，则1(1,0,0),(0,A B B C ，111113333(0,,),(1,0,),(1,,0)3333AB A B AB B C BC =-==-==--， 设(n x =，y ，)z 是平面11AA B 的法向量，则11100nAB nA B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取1x =，得(1,3,3)n =．设m 是平面111A B C 的法向量，则111100m A B m B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取(1,3,3)m =-，1cos ,||||7m n m n m n ∴<>==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17．【解答】解：（1）由题有2a =，12c e a ==．1c ∴=，2223b a c ∴=-=． ∴椭圆方程为22143x y +=．（2）法22222,1:(34)84120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， △222222644(34)(412)0129k m k m m k =-+->⇒<+，122834kmx x k-+=+，212241234m x x k -=+． 又AM AE k k = ∴3113110062422y y y y x x --=⇒=+++同理24262y y x =+ 又12341111y y y y +=+∴1212122112121212222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+=1212214()y y x y x y ⇒+=+1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m ⇒+++=+++ 1212(4)()280k m x x kx x m ⇒-+-+=，22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k --+⇒--+=⇒=+++．m k ∴=-，此时满足22129m k <+(1)y kx m k x ∴=+=-∴直线MN 恒过定点(1,0)．法2：设直线AM 的方程为：12x t y =-则1222112(34)120143x t y t y t y x y =-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩， 0y ∴=或1211234ty t =+， ∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++同理222226834t x t -=+，22221234ty t =+， 当34x =时，由3132x t y =-有316y t =． ∴16(4,)E t 同理26(4,)F t ，又12341111y y y y +=+， ∴221212123434121266t t t t t t +++=+，12121212()(34)126t t t t t t t t +++⇒=， 当120t t +≠时，124t t =-， ∴直线MN 的方程为121112()y y y y x x x x --=-- 122222221121111112222222221211112112121112112122212121212343468126868124(34)44444()()(1)6868343434343434(34)()3434t tt t t t t t t t t y x y x y x x x t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t -++---+⇒-=-⇒-=-⇒=-+=-=---+++++++++++++-++，∴直线MN 恒过定点(1,0)当120t t +=时，此时也过定点(1,0)综上直线MN 恒过定点(1,0)．【解答】解：（1）1()(23)x f x e x +'=+，当32x >-时，()0f x '>，函数单增，且0x =时函数值都已经大于0了；当32x <-时，()0f x '<，函数单减，且()0f x <，所以只有一个零点．（2）观察发现(1)0f -<，下证除整数1-外再无其他整数而1()(23)x f x e x a +'=+-， ①当1x >-时，11x e +>，231x +>根据同向不等式乘法得到1(23)1x e x ++>，因为1a <， 所以1()(23)0x f x e x a +'=+->，所以函数单增，且x 趋于+∞时函数值显然很大很大； 但要保证只有唯一整数1-，需要(0)0f >，却发现恒成立． ②当1x <-时，要保证只有唯一整数1-，首先需要(2)0f -，得到32ae当2x <-时，11x e e +<，231x +<-根据同向不等式得到11(23)x e x e ++<-，又因32a e>，所以1()(23)0x f x e x a +'=+-<，所以函数在2x <-单减，且(2)0f -> 综上所述：()0f x <的整数解有且唯一时，312a e<． [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解答】解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin()4l πρθ-=sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=． （2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程， 将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为(1,)2π．。
四川省成都市2024届高三下学期零诊摸底测试理科数学试题卷
四川省成都市2024届高三下学期零诊摸底测试理科数学试题卷一、单选题1．设集合{}220A xx x =--<∣，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =I （ ） A ．{2,0,1}-B ．{}1,0,1,2-C ．{}0,1D ．{}1,22．命题“0m ∃∈NN ”的否定为（ ）A ．m ∀∉NNB ．m ∀∈NNC ．0m ∃∈NND ．0m ∃∉NN3．双曲线2212x y -=的渐近线方程为（ ）A．y x =B ．12y x =± C．y = D ．2y x =±4．执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为4，则输入的x 的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．165．若实数x ，y 满足20300x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值为（ ）A ．0B ．6C ．7D ．96．全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”.为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分.现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ）A ．甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数B ．甲、乙两组评分的中位数不相同C ．甲组评分的极差大于乙组评分的极差D ．甲组评分的众数小于乙组评分的众数 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F ，G ，H ，分别是11A B ，AD ，11B C ，11C D 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．C ，G ，1A ，F 四点共面B ．直线//EF 平面11BDD BC ．平面//HCG 平面11BDD BD ．直线EF 和HG 8．函数()e 20232xf x x =--的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．18B ．316 C ．14D ．3810．已知直线 :120()l mx y m m ++-=∈R 和圆22:2410C x y x y +-++=，则“0m =”是“圆C 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．记函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为奇函数，且当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒有()()tan f x f x x'<成立，则（ ）A ππ64f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ34⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．如图①，已知边长为4的等边ABC V ，点,E F 分别为边,AB AC 的中点.现以EF 为折痕将ABC V 折起为四棱锥A PCFE '-，使得A B '=②，则四棱锥A BCFE '-的外接球的表面积为（ ）A ．15πB ．16πC ．52π3D ．19π二、填空题 13．已知复数1iiz -=（其中i 为虚数单位）)，则z =． 14．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项.小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击.假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是（填写具体项目名称）.15．已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于P ，Q 两点，若点(1,1)-在以PQ 为直径的圆上，则直线l 的方程为.16．一条直线与函数ln y x =和e x y =的图象分别相切于点()11,P x y 和点()22,Q x y ，则()()121e 1y x -+的值为.三、解答题17．记函数()f x 的导函数为()f x '，已知3()10f x x ax =++，(2)0f '=. (1)求实数a 的值； (2)求()f x 在[3,4]-的值域.18．某种产品的价格x （单位：万元/吨）与需求量y （单位：吨）之间的对应数据如下表所示：(1)已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程； (2)请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由．参考公式：ˆˆay bx =-，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11A B B C ⊥，12AB AA AC ===.(1)求证：AC ⊥平面11A ABB ；(2)若D ，E 分别为棱AB ，AC 上的动点，且BD AE =.当三棱锥1A A DE -的体积最大时，求二面角1A DA E --的余弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，椭圆E 上的点到其左、右焦点的距离之和为4.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过左焦点F 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若椭圆E 上存在点N 满足(0)ON OM λλ=>u u u r u u u u r，求四边形AOBN 面积的最小值及此时λ的值.21．已知函数2()ln f x x ax =+，其中a ∈R . (1)当2a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)当1x >时，若()e x f x <恒成立，求整数a 的最大值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin cos 5ρθρθ+=.设曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点.(1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； (2)已知点(2,3)P ，求11||||PA PB +的值.。
2024届四川省成都市高三零诊模拟考试数学(理)试题【含答案】
高2024届零诊模拟考试数学试题(理科)一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.设1i2i 1i z -=++，则z 的虚部为（）A.iB.3iC.1D.32.若直线1:10l x ay ++=与直线2:10l ax y ++=平行，则=a （）A.0B.1- C.1D.1±3.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（） A.10 B.52C.10D.504.已知函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x ∈R 时，“()0f x '>”是“()f x 单调递增”的（）A 充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的=a （）A.0B.8C.12D.246.直线2x =与抛物线()2:20C y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准线方程为（）A.14x =-B.12x =-C.=1x -D.2x =-7.函数lg y x =的图象经过变换10:2x xy y ϕ''=⎧⎨=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x =（）A.1lg x-+ B.1lg x+ C.3lg x-+ D.3lg x+8.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁9.设曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，且π,2π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)，曲线C 上动点P 到直线:143x y l +=的最短距离为（）A.0B.15C.25D.110.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为（）．A.227B.4715C.7825D.531711.点,A B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，2AB BC ==，已知球O 的表面积是12π，设直线PB 和AC 所成角的大小为α，直线PB 和平面PAC 所成角的大小为β，四面体PABC 内切球半径为r ，下列说法中正确的个数是（）①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ；③sin cos αβ=；④12r >A.1B.2C.3D.412.函数()e 1sin(11)x f x x =--在[0,)+∞上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.13.命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________．14.函数()cos xf x x=的图象在πx =处的切线方程为________．15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．16.双曲线2222:1(,0)x y H a b a b-=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF △内切圆半径为r ，若223PF r ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为______.三、解答题：共5道大题，共70分.17.设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f ¢-、(1)f 的值；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．18.信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y /千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：v51i ii x v=∑ 1.919e 0.177e 61.192.4538.52 6.81119 2.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线 wu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1221ni ii ni i u w nuwu nuβ==-=-∑∑， w u αβ=+．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且2,AB AC D ==为11B C 的中点，1122AA B C ==．（1）证明：1AC //平面1A BD ；（2）求平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值．20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O .已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(2,3)-，直线PT 与y 轴交于点Q .当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ △面积的最大值.21.设函数()e xf x ax =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若函数f (x )有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：πsin 24x ρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．且二者交于M ，N 两个不同点．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，||||52PM PN +=，求a 的值．一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.C2.B3.A4.D5.C6.B7.B8.C9.B 10.C 11.C 12.B二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.13.命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________．00x ∃>，00tan x x ≤14.函数()cos xf x x=的图象在πx =处的切线方程为________．0x y +=15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．80.516.双曲线2222:1(,0)x y H a b a b-=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF △内切圆半径为r ，若223PF r ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为______.5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共5道大题，共70分.17.设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f ¢-、(1)f 的值；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．（1）(1)6f '-=，5(1)12f =（2）max 5()12=f x ，min 5()12=-f x 【分析】（1）求出函数的导函数，令=1x -求出(1)f ¢-，再令1x =求出()1f ；（2）由（1）可得32135()23212f x x x x =-+-，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.【小问1详解】因为321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，所以2(1)()22f f x x x '-'=-+，取=1x -，则有(1)(1)32f f '-'-=+，即(1)6f '-=；所以3213()2(1)32f x x x x f =-+-，取1x =，则有5(1)(1)6f f =-，即5(1)12f =．故(1)6f '-=，5(1)12f =．【小问2详解】由（1）知32135()23212f x x x x =-+-，[]0,2x ∈，则2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--，所以x 、()f x '与()f x ，[]0,2x ∈的关系如下表：x(0,1)1(1,2)2()f x '+-()f x 512-单调递增极大值512单调递减14故max 5()(1)12f x f ==，min 5()(0)12f x f ==-．18.信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y /千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：v51i ii x v=∑ 1.919e 0.177e 61.192.4538.526.811.192.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线 wu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1221ni ii ni i u w nuwu nuβ==-=-∑∑， w u αβ=+．（1）310（2） 6.811.19x y =⨯，不会超过20千亿元．【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为310；（2）将指数型函数模型x y a b =⋅两边取对数可得ln ln ln y a x b =+，即ln ln v a x b =+，再利用参考数据可得回归方程为 6.811.19x y =⨯，将2023年的年份代码6代入可得19.3420y ≈<$，即可得出结论.【小问1详解】从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有()8.1,9.6，()8.1,11.5，()8.1,13.8，()8.1,16.7，()9.6,11.5，()9.6,13.8，()9.6,16.7，()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率310P =．【小问2详解】x y a b =⋅两边同时取自然对数，得()ln ln ln ln xy a ba xb =⋅=+，则ln ln v a x b =+．因为3x =， 2.45v =，52155ii x==∑，所以5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i ii x v xvb xx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ln ln 2.450.1773 1.919a v x b =-⋅=-⨯=，所以 1.9190.177vx =+ ，即 ln 1.9190.177y x =+，所以 1.9190.177e 6.81 1.19x x y +==⨯$，即y 关于x 的回归方程为 6.811.19x y =⨯．2023年的年份代码为6，把6x =代入 6.811.19x y =⨯，得 66.811.19 6.81 2.8419.3420y =⨯=⨯≈<，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且2,AB AC D ==为11B C 的中点，1122AA B C ==．（1）证明：1AC //平面1A BD ；（2）求平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值．（1）证明见解析（2）33【分析】（1）连接1AB 与1A B 交于点O ，连接OD ，则1//AC OD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由已知条件得CA ⊥面11ABB A ，则1CA AB ⊥，由22211ABAB BB +=得1AB AB ⊥.以A 为坐标原点，1,,AB AB AC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由AB ⊥面1AB C 得平面1AB C 的一个法向量为()11,0,0n =u r ，设平面1AA D 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，由12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩求得()21,1,1n =- ，然后利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】连接1AB 与1A B 交于点O ，连接OD111ABC A B C - 为三棱柱，11ABB A ∴为平行四边形，点O 为1AB 的中点又D 为11B C 的中点，则1//AC OD ，又OD ⊂ 平面11,A BD AC ⊄平面1A BD ，1AC ∴//平面1A BD ．【小问2详解】解法1：11,,CA AB CA AA AB AA A ⊥⊥⋂= ，CA ∴⊥面11ABB A 1AB ⊂ 面11ABB A ，1CA AB ∴⊥222211(22)22AB CB AC ∴=-=-=112,2,22AB AB BB === ，22211AB AB BB ∴+=，即1AB AB ⊥以A 为坐标原点，1,,AB AB AC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()1110,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,2,2,2,1,2,1A A B B C D ---()()112,2,0,1,0,1AA A D ∴=-=11,,AB AB AB AC AB AC A⊥⊥⋂= AB ∴⊥面1AB C ，则平面1AB C 的一个法向量为()11,0,0n =u r设平面1AA D 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，则12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200x y x z -+=⎧⎨+=⎩令()21,1,1,1,1,1x y z n ===-∴=-设平面1AB C 与平面1AA D 的夹角为θ，()1221211010113cos 33111(1)n n n n θ⋅⨯+⨯+⨯-∴====⨯++-∴平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值是33．解法2：设点E 为BC 的中点，点F 为AC 的中点，连接DE 交1BC 于点Q ，连接,,AE AQ EF ，设点P 为AQ 的中点，连接,EP FP点E 为BC 的中点，点D 为11B C 的中点1//EQ BB ∴且1122EQ BB ==，点Q 为1B C 的中点11ACC A 为矩形，1AC AA ∴⊥又1,,AC AB AB AA A AC ⊥⋂=∴⊥ 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥∴在1ACB 中，11,2,22AC AB AC B C ⊥==，可得12AB =1AB C ∴ 为等腰直角三角形，其中112,22AC AB B C ===而点Q 为1B C 的中点，1AQ B C ∴⊥且2AQ =点P 为AQ 的中点，点F 为AC 的中点1//FP B C ∴且1112242FP CQ B C ===，FP AQ∴⊥又 在Rt ABC 中，2AB AC ==，点E 为BC 的中点，2AE ∴=∴在AEQ △中，2AE EQ AQ ===，且点P 为AQ 的中点EP AQ ∴⊥且62EP =EPF ∠∴即为平面1AB C 与平面1AA D 的夹角∴在EFP △中，1261,,222EF AB FP EP ====2223cos 23EP FP EF EPF EP FP ∠+-∴==⋅．∴平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值是33．20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O .已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(2,3)-，直线PT 与y 轴交于点Q .当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ △面积的最大值.（1）22143x y +=（2）632-【分析】（1）由2BT BP BQ =+代入可求出1c =，再由||||PB PT =，用两点间的距离公式可求出3b =，再由22a b c =+，即可得出答案.（2）设直线BT 的方程为(3)3tx y =--，与22143x y +=联立，由韦达定理可求出22434D t y t -=+，设直线PT 的方程为22(3)3t x y ++=--，令0x =，可求出32Q ty t =+，表示出DTQPTB S S ，即可求出22234DTQt t S t -=⋅+△，结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】设(),0F c -，因为当T 与F 重合时，有||||PB PT = ，且2BT BP BQ =+，所以()()()0,,,0,(2,3),,0,Q B b T c P Q y --，()()(),,2,3,0,Q BT c b BP b BQ y b =--=--=-，由2BT BP BQ =+，知()()()2,2,30,Q c b b y b --=--+-所以()220c -=-+，即1c =，()()()2,3,2,31,3PB b PT c =-=-+-=，由||||PB PT =知22||PB PT = ，所以22222(3)1(3)b +-=+，即3b =，则222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】设直线BT 的方程为(3)3tx y =--，与22143x y +=联立，可得()22224233120t y t y t +-+-=且0∆>，有2231234D t y t -⋅=+，即22434D ty t -=⋅+，设直线PT 的方程为22(3)3t x y ++=--，令0x =，可得32Q ty t =+，由()sin ,sin 333DTQ Q D Q D DTQ PTB PTBS y y y y QT DT DTQ QT DT S S S PT BT BTP PT BT ⋅-⋅⋅∠⋅====-⋅⋅∠⋅⋅ ，由题意知：=3PTB S ，则22234DTQt t S t -=⋅+△，(0,2)t ∈，而22222(2)21=1121844424(2)42t t t t t t t -+-=-≤⋅-++-++-+，当222t +=，即222t =-时取等，且()0,2t ∈，故DTQ △面积的最大值为632-.21.设函数()e xf x ax =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若函数f (x )有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围.（1）答案见解析（2）[1,)+∞【分析】（1）求出()e xf x a '=-，分e a ≤、e a >讨论，可得答案；（2）由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设1212e e 0x x ax ax -=-=，消去a 可得221121e e e x x x x x x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，求出2x ，1x ，将其代入1211x x λλ+>+得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，再利用导数分1λ≥、01λ<<讨论可得答案..【小问1详解】由()e x f x ax =-知()e xf x a '=-，1）当e a ≤时，且有[1,)x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 单调递增，故无极值；2）当e a >时，有(1,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，而(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单增，故()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值，()f x 无极大值.综上，当e a ≤时，()f x 无极值；当e a >时，()f x 极小值为ln a a -，()f x 无极大值；【小问2详解】由（1）可知当e a >时，(ln )(1ln )0f a a a =-<，1(00f =>），且x f x →+∞→+∞，（），由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设可知1212e e 0x xax ax -=-=，消去a 可得221121e e e x x x x x x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，即2ln 1t t x t =-，1ln 1t x t =-，将其代入1211x x λλ+>+，整理可令得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，而()()22221(1)1(1)(1)(1)t t F t t t t t λλλλ--+'=-=++，1)当1λ≥时，且(1,)t ∈+∞，有()22(1)0(1)t F t t t λ-'≥>+，()F t 单调递增，()(1)0F t F >=，满足题设；2)当01λ<<时，且211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()0F t '<，()F t 单调递减，()(1)0F t F <=，不满足题设；综上，λ的取值范围为[1,)+∞.关键点点睛：第二问解题关键点是1212e e 0x x ax ax -=-=消去a 可得221121e e e x x xx x x -==，令211x t x =>得2x 、1x ，将其代入1211x x λλ+>+构造函数(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，本题还考查了学生思维能力、运算能力.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：πsin 24x ρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．且二者交于M ，N 两个不同点．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，||||52PM PN +=，求a 的值．（1）()()2221+1-+-=x a y a ，2y x =+（2）2或4-【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；（2）先判断出P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，写出直线l 的标准参数方程，代入曲线的普通方程中，得到1a ≠，分1a >-且1a ≠，1a ≤-两种情况，列出方程，求出答案.【小问1详解】由2sin 2cos a ρθθ=+，得22sin 2cos a ρρθρθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即222()(1)1x a y a -+-=+；由πsin 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，故直线l 的直角坐标方程为2y x =+．【小问2详解】因为π2,2sin π02cos =-=，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，而直线l 的标准参数方程为22222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2222x y y ax +=+，整理可得2(322)440t a t a -+++=．由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->，解得1a ≠．又12322t t a +=+，1244t t a =+．当1a >-，且1a ≠时，有1t ，20t >，则1212||||2(3)52PM PN t t t t a +=+=+=+=，解得2a =，满足要求；当1a ≤-时，有120t t ≤，则()()212122121||||21524PM PN t t t t t t t a t +=+==--+-==，解得4a =-，满足要求．故a 的值为2或4-．。
四川省成都市第七中学2021年高三零诊模拟数学(理)试题
12.函数/（力=5111£（485--1）的最小正周期是（）
A. -B. —C.乃D.24
33
12.如图，已知AA5C,其内部有一点0满足ZOAB=ZOAC=ZOBC=ZOCA= 8,命题〃：©最大值有可能超过36度；命题“：若三边长对应分别为。*，c,则/ 二儿： 则正确的选项为（）
川省成都市第七中学
学校:姓名：班级：考号：
一、单选题
1.已知集合4 ={刈工一1]<1},B = {x|x2-1<0},则AU6=()
A. (-1,1)B. (-1,2)C. (1,2)D. (0,1)
2.若二^ =1 + 2，，则及数〃=()
2 + i
A.-5-iB. -5 + /C. 5-ZD. 5 + i
过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
21.设函数/（x） = e*L（2x+l） — o¥,其中
（1）当4 = 0时，/（X）的零点个数;
（2）若/（x）＜0的整数解有且唯一，求。的取值范胤
22.在极坐标系下，已知圆。：夕=cos，+sin。和直线
C.12.0万元D. 12.2万元
。为AO边上靠近点A的三等分点，则（）
B.BO = -AB--AC62
D.BO = --AB + -AC66
6.执行如图的程序框图，则输出工的值是（
7
8.等差数列｛%｝中的〃?、是函数/（力=1/一4/ + 61一1的两个极值点，则
lOg?(见，^2017 ・ 〃4032 )=(
9.以下三个命题正确的个数有（）个.①若标+N工5,则。W1或/?02；②定义
四川省成都市第七中学2020届高三数学零诊模拟试题 理(含解析)
【答案】 ，
【解析】
【分析】
特称命题改为全称命题，把“ ”改为“ ”，“存在”改为“所有"，再否定结论。
【详解】命题 是特称命题，它的否定是全称命题,
∴ 。 ∴ 为真.
∵ ，∴ 不是最长边，∴ 至少有一个超过 ，∴内角和超过 ，所以 错误。
方法2：如图
延长 交 的外接圆于点 ，则 ，
∴ ，∴ 。
又∵ ，∴ 。
∴ ，即 ，即 。
【点睛】本题考查了命题的判断,计算量较大，意在考查学生的计算能力。
第Ⅱ卷
二、 填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分
【解析】
【分析】
①根据原命题与逆否命题真假关系；②根据奇函数的定义与性质判断；③根据基本不等式判断.
【详解】当 且 时， 成立，
根据原命题与逆否命题真假一致,故①正确；
定义域为 的奇函数 必有 ，
定义域为 函数 且满足 不一定是奇函数,如 ，故②正确；
若 ， 且 ，
则
当且仅当 即 时等号成立，故③正确;
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式将 化简为 的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.
【详解】解：
，可得其最小正周期为 ，
故选B。
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期性的,属于中档题型
12.如图,已知 ,其内部有一点 满足 ，命题 最大值有可能超过36度；命题 若三边长对应分别为 ，则 ;则正确的选项为（ ）
A. 真 假B。 假 假C。 真 真D。 假 真
四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.函数在上的大致图象为（ ）A．B．C．D．2. 一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．D ．3. 已知P为所在平面内一点，且满足，，则A．B．C．D．4. 已知定义在R上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．55. 已知某圆锥的高为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）A．B．C．D．6.已知全集，集合，集合，则A．B．C．D．7. 在的展开式中，的系数为（ ）A．B ．1C．D ．48.已知抛物线:的焦点为，准线为，和是上的两个动点，且，，设线段的中点在上的射影为点，则（ ）A．B．C ．1D．9. 已知A，，，是表面积为20π的球体表面上四点，且，，则（ ）A．若，则平行直线与间距离的最大值为3B．若，则平行直线与间距离的最小值为C ．若A，，，四点能构成三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为4D ．若，则四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题 (2)四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题10. 已知向量，，则正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C．若与的夹角为钝角，则D．若向量是与同向的单位向量，则11. 如图，在等腰梯形ABCD 中，，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．12.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（）A．准线方程为B．焦点坐标C．点的坐标为D．的长为313. 抛物线的焦点到准线的距离为______．14. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为__________，若直线的倾斜角为，则其斜率为__________．15.已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为________.16.已知等差数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的通项公式.17.记是公差不为的等差数列的前项和，若，．(1)求的通项公式；(2)设，，求数列的前项的和．18. 已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的图象（要列表）．19. 已知椭圆的离心率为e，且过，两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.20. 如图1所示，平面多边形中，四边形为正方形，，，沿着将图形折成图2，其中，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求四棱锥的体积.21.如图，在三棱锥P-ABC中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为棱、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.。
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2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题．本大题共10小题，每小题5 分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）（2014•成都模拟）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+ =（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）2．（5 分）（2014•成都模拟）设全集U=｛1，2，3，4｝，集合S=｛l，3｝，T=｛4｝，则（∁U S）A∪．T｛等2，于4（｝ B．）｛ 4｝ C．∅D．｛1，3，4｝3．（5 分）（2014•成都模拟）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p 为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5 C．∃x0∈R，2 =5 D．∃x0∈R，2 ≠54．（5 分）（2014•成都模拟）计算21og63+log64 的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．35．（5分）（2015•青岛模拟）已知实数x，y 满足，则z=4x+y 的最大值为（）A．10 B．8 C．2 D．06．（5分）（2014•成都模拟）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b7．（5 分）（2014•成都模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10 日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（）A．这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B．这10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．（5 分）（2014•成都模拟）已知函数f（x）= sinωx+cosωx（ω>0）的图象与直线y=﹣2 的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f （x ）的单调递减区间是（）10．（5 分）（2015•河南模拟）如图，已知椭圆 C l ： +y 2=1，双曲线C 2：=1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与 C 2的一条渐近线相交于 A ，B 两点，且C 1与该 渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分答案填在答题卡上．11．（5 分）（2015•兰州一模）已知 α∈（0， ）， cos α= ，则 sin （π﹣α）=12．（5 分）（2014•成都模拟）当 x >1 时，函数 的最小值为13 ．（ 5 分）（ 2014• 成都模拟）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积14．（5 分）（2014•成都模拟）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是 ．A ． C ． 9． ［k π+ ，k π+］，k ∈z B ．［k π﹣ ，k π+ ］，k ∈z ［2k π+ ，2k π+ ］，k ∈z D ．［2k π﹣ ，2k π+ ］，k ∈z5 分）（2014• 成都模拟）已知定义在 R 上的偶函数 f （x ）满足 f （4﹣x ）=f （x ），且当 x ∈ ﹣1，3］时，f （x ）= 则 g （x ） =f （ x ）﹣|1gx|的零点个数 是（ A ) 7 B ．8 C ．9 D ．10 5 B ．C ．D ．15．（5 分）（2014•成都模拟）已知直线y=k（x+ ）与曲线y= 恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+ =l上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B 中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1>λ2 的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共75 分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）（2014•成都模拟）已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列｛a n｝的通项公式；（Ⅱ）设b n= ，求数列｛b n｝的前n 项和T n．17．（12 分）（2014•成都模拟）在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且• =0．（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+ ）的值域．18．（12 分）（2014•成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地（I）已知该地区共有高二学生42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F 六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率．19．（12 分）（2014•成都模拟）如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B 的（一I点），求V证C：⊥B平C面⊥A平B面C，VA且C；VC =2，点M为线段VB的中点．20．（13分）（2014•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x 轴于点D，记满足= （+ ）的动点M 的轨迹为Γ．（Ⅰ）求轨迹Γ 的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG 交①轨证迹明F：于λ2点m2Q=4，k2且+1；= λ ，λ∈R．②求△AOB 的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．21．（14 分）（2014•成都模拟）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）= ax2﹣bx，其中a，b∈R．（I）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a>0，且a为常数时，若函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1>x2≥4，总有>0 成立，试用a 表示出b的取值范围；（Ⅲ）当b=﹣ a 时，若f（x+1）≤ g（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求 a 的最小值．2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）参考答案与试题解析（I ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）设 b n = ，求数列｛b n ｝的前 n 项和 T n ．【分析 （Ⅰ）根据等差数列，建立方程关系即可求数列｛a n ｝的通项公式． （Ⅱ）求出数列｛b n ｝的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差是 d ， ∵a 2=3，S 7=49，∴ ，解得∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．n则数列｛b n ｝为等比数列，则数列｛b n ｝的前 n 项和T n = ． 17．（ 12 分）（2014•成都模拟）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 向量 =（a ﹣b ，c ﹣a ）， =（a+b ，c ）且 • =0．Ⅰ）求角 B 的大小；Ⅱ）求函数 f （A ）=sin （A+ ）的值域．解答】解：（Ⅰ）∵ =（a ﹣b ，c ﹣a ）， =（a+b ，c ），且 • =0，∴（a ﹣b ）（ a+b ）﹣c （a ﹣c ）=0，即 a 2+c 2=b 2+ac ，∴cosB= = ， ∵B ∈（0，π）， ∴B= ；Ⅱ）由（Ⅰ）得：A=π﹣ ﹣C ∈（0，），∴A+ ∈（ ， ），一、选择题1.D ．2．.A ．3.D ．4． B ．5． B ．6． D7． 二、填空题：A9． D ．10． C ． 16．（ 12分）（2014•成都模拟）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且a 2=3，S 7=49，n ∈N *． C ．8． 15．Ⅱ）b n =∴sin （A+ ）∈（ ，1］，则 f （A ）=sin （A+ ）的值域为（ ，1］．18．（ 12 分）（2014•成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地认为作业多 认为作业不多 总数喜欢电脑游戏72名 36名 108 名 不喜欢电脑游戏32名 60名 92名 （I ）已知该地区共有高二学生 42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为 作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A ，B ，C ，D ，E ，F 六名学生中，但有 A ，B 两名学生认为作业多如果从速六名【分析 （机I ）抽根取据两样名本，数求据至统少计有表一，名可学得生2认00为名作学业生多中的喜概欢率电．脑 游戏并认为作业不多的人有36 名，求出其占总人数的概率，再乘以高二学生的总数即可； （Ⅱ）求出至少有一名学生认为作业多的事件的个数，和从这六名学生中随机抽取两名的基【解答】个解：数（，Ⅰ两）者42相50除0×，即可求出至少有一 名学生认为作业多的概率是多少． 答：欢电脑游戏并认为作业不多的人有 7650 名．（Ⅱ）从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数是 至少有一名学生认为作业多的事件的个数是：15﹣ =15﹣6=9（个）所有至少有一名学生认为作业多的概率是 ．答：至少有一名学生认为作业多的概率是 ． 19．（ 12 分）（2014•成都模拟）如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于 A ，B 的 一（I 点），求V 证C ：⊥B 平C 面⊥A 平B 面C ，VA 且C ；VC =2，点M 为线段VB 的中点．Ⅱ）若AC=1，求二面角 M ﹣VA ﹣C 的余弦值．分析（Ⅰ）由线面垂直得 VC ⊥BC ，由直径性质得 AC ⊥BC ，由此能证明 BC ⊥平面VAC ． Ⅱ）分别以 AC ，BC ，VC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向【解答 （出Ⅰ二）面证角明M ：﹣∵V V A C ﹣⊥C 平的面余A 弦BC 值，．B C ⊂平面 ABC ，∴VC ⊥BC ， ∵点C 为⊙O 上一点，且AB 为直径，∴AC ⊥BC ， 又∵VC ，AC ⊂平面 VAC ，VC ∩AC=C ，∴BC ⊥平面 VAC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC ⊥VC ，VC ⊥AC ，AC ⊥BC ，第6页（共10页）分别以 AC ，BC ，VC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，则 A （ 1， 0 ， 0 ），V （ 0 ，0 ， 2 ），B （ 0 ， 2 ， 0 ），=（1，0，﹣2），， 设平面VAC 的法向量 = =（0，2 ，0），20 ．（ 13 分）（ 2014 • 成都模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是圆 x 2+y 2=4 上一动点， PD ⊥x 轴于点D ，记满足 = （ + ）的动点 M 的轨迹为 Γ．Ⅰ）求轨迹 Γ 的方程；Ⅱ）已知直线l ：y=kx+m 与轨迹F 交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交①轨证迹明F ：于λ2点m 2Q =4，k 2且+1；= λ ，λ∈R ．②求△AOB 的面积 S （λ）的解析式，并计算 S （λ）的最大值．【分析 （Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；（Ⅱ）设 A （x 1，y 1）， B （x 2，y 2），由直线代入椭圆方程，消去 y ，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2 ﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．②由已知条件得m ≠0，|x 1﹣x 2|=，由此能求出△AOB 的面积，再利用基本 不等式求最大值．【解答】解：（Ⅰ）设 M （x ，y ）， P （x 0，y 0），则 D （x 0，0），且 x 02+y 02=4，① ∵ = （ + ），∴②x0代=x 入，①y0=可2y 得，x ②2+4 y 2=4；（由Ⅱ直）线代①入证椭明圆：方设程A ，（消x1去，y y 1，），得B （（1x +24，k 2y ）2）x ，2+ 8kmx+4m 2﹣4=0， 设平面VAM 的法向量 =（x ， y ，z ），∴，∴二面角 M ﹣VA ﹣C 的余弦值为 ． ，取y= ，得 ∴cos <∴x 1+x 2= ，x 1x 2= （1）∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=又由中点坐标公式，得 G （ ， ），将 Q （ ， ）代入椭圆方程，化简，得 λ2m 2=1+4k 2 ，（2 ）．1），（2）得 m ≠0，λ>1 且|x 1﹣x 2|= ，（3）△AOB 令 =t ∈ （ 0 ， +∞ ），则 S= ≤ ≤1 （当且仅当 t=1 即 λ = 时取等号）， ∴λ= 时，S 取得最大值 1．21．（ 14 分）（2014•成都模拟）巳知函数 f （x ）=x1nx ，g （x ）= ax 2﹣bx ，其中 a ，b （I ）求函数 f （x ）的最小值；（Ⅱ）当 a >0，且a 为常数时，若函数 h （x ）=x[g （x ）+1]对任意的 x 1>x 2≥4，总有>0 成立，试用a 表示出 b 的取值范围；（Ⅲ）当 b=﹣ a 时，若 f （x+1）≤ g （x ）对 x ∈[0，+∞）恒成立，求 a 的最小值． 【分析 （I ）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．II ）由函数 h （x ）=x[g （x ）+1]对任意的 x 1>x 2≥4，总有 可得函数 h （x ）=在 x ∈[4，+∞）上单调递增．因此 h ′（x ）=ax 2﹣2bx+1≥0 在[4，+∞）上恒成立．变形为=ax+ 在[4，+∞）上恒成立⇔2b ≤ x ∈[4，+∞）．令 u （x ）=，x ∈[4，+∞）．对 a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出． >0 成立， 结合（2）、（3），得S 1，+∞），+∞）．由题意G（x）≤0 对x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1﹣ax﹣a，II ）由函数 h （x ）=x[g （x ）+1]对任意的 x 1>x 2≥4，总有 ∴函数 h （x ）=在 x ∈[4，+∞）上单调递增．令 u ′（x ）=0，解得 ．∴u （x ）在上单调递减，在 上单调递增． 单调递增．u （x ）min == ，∴ ，即 ． ii ）当时，即 ，函数 u （x ）在[4，+∞）上单调递增， ∴ ，即 ．综上可得：当 时，即 ．当 ， ．III ）当 b=﹣ a 时，令 G （x ）=f （x+1）﹣ g （x ）=（x+1）ln （x+1） +∞）． 由题意 G （x ）≤0 对 x ∈[0，+∞）恒成立．G ′（x ）=ln （x+1）+1﹣ax ﹣a ，x ∈[0，+∞）． （i ）当 a ≤0 时，G ′（x ）>0，∴G （x ）在x ∈[0，+∞）上单调递增． ∴（G ii （）x 当）a >>G 0（时0，）令=0v 在（x x ∈）（=G 0，′（+x ∞），）成x ∈立[0，，+与∞题）．意 矛盾，应舍去． ，①当 a ≥1 时，v ′（x ）≤0 在 x ∈[0，+∞）上成立．∴v （x ）在 x ∈[0，+∞）单调递减．x ∈[0，+∞）． 解答】解： 对 a 分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可．I ）f ′（x ）=lnx+1（x >0），令 f ′（x ）=0，解得 x= ．∴函数 f （x ） 在 上单调递减；在单调递增．∴当 x= 时， f （x ）取得最小值．且 h ′（x ）=ax 2﹣2bx+1≥0 在[4，+∞）上恒成立．∴ =ax+ 在[4，+∞）上恒成立⇔2b ≤ ，x ∈[4，+∞）． i ）当时，即 时，u （x ）在 上单调递减，在 ﹣ax ，x ∈[0， >0 成立， 令 u （ x ）=x ∈[4，+∞）．（a >0）．则上 则第11页（共10∴v （x ）≤v （0）=1﹣a ≤0，∴G ′（x ）在 x ∈[0，+∞）上成立．∴G （x ）在 x ∈[0，+∞）上单 ∴G （x ）≤G （0）=0 在 x ∈[0，+∞）成立，符合题意．，x ∈[0，+∞）．∵v （0）=1﹣a >0，∴v （x ）>0 在 上成立，即 G ′（x ）>0 在上成立， ∴G （x ）在 上单调递增，∴G （x ）>G （0）=0 在成立，与题意矛盾． 综上可知：a 的最小值为 1．∴v （x ）在 上单调递增， 在 单调递减．②当 0<a <1 时，。