计算机控制系统的状态空间设计(精)
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T是一个初等变换阵，可以选择T将闭环可控阵中的K消掉
3. 闭环系统的可观性由[F-GK]及[C-DK]决定。如果开环系统是可控可 观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭环系统可能失去可观 性。 即；开环（C,F）可观 闭环［(C-DK)，(F-GK)］可观
闭环系统可观阵：
例：
C DK 若选K使C-DK=0，则 (C DK )( F GK ) Wo W0 0 n 1 ( C DK )( F GK )
zI F GK , G X ( z0 ) zI F , G X ( z0 ) 0 C, 0 0 R( z0 ) Kx( z0 ) R ( z0 ) C ,
Z0使开环、闭环的输出都为0，零点矩阵的 解与K无关，状态反馈不改变系统的零点
Y ( z)
X ( z)
z z0
Hale Waihona Puke Baidu
Y ( z) N ( z) , 零点： 使N(z)=0（P(z) 0）的zi , i=1...m R( z ) P( z )
( zI F ) X ( z ) GU ( z ) Y ( z ) CX ( z )
0
z z0
CX ( z )
求：K，使闭环极点为 z1,2=0.8j0.25
解：取
u(k ) ( K1 , K2 ) x(k )
1 T 2 K1 / 2 T T 2 K 2 / 2 1, T T 2 / 2 F GK ( K1 , K 2 ) 0 1 T TK 1 TK 1 2
det[ zI ( F GK )] det
z 1 T 2 K1 / 2 T T 2 K 2 / 2 TK1 z 1 TK 2
z 2 (T 2 K1 / 2 TK 2 2) z (T 2 K1 / 2 TK 2 1) 0
z1,2 0.8 j0.25 ( z) z 2 1.6z 0.7
r: p
K :mn
取线性反馈控制
u(k ) Kx(k ) Ir (k )
I－单位阵 闭环系统状态方程：
x(k 1) F GK x(k ) Gr (k )
K改变了状态转移阵，系统极点 K改变了x与y的偶合关系
y(k) C DK x(k) Dr (k)
1. 闭环系统的特征方程由[F-GK]决定，系统的阶次不改变。通过选择状态反 馈增益K，可以改变系统的稳定性。 2. 闭环系统的可控性由[F-GK]及G决定。可以证明，如开环系统可控，闭环 系统也可控，反之亦然。
Wc [F n1G, F n2G, FG, G] [(F GK )n1 G, (F GK )n2 G, (F GK )G, G]T WcT
2 T K1 / 2 TK 2 2 1.6 在T=0.1 K=(10,3.5) 2 T K1 / 2 TK 2 1 0.7
第6章 计算机控制系统的状态空间设计
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 离散系统的状态空间描述 离散系统的可控可观性 状态反馈控制律的极点配置设计 状态观测器设计 调节器设计（控制律与观测器的组合）
6.3.1 状态反馈控制
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) Cx(k ) Du(k )
闭环系统：加入状态反馈： 有：
u (k ) Kx(k ) r (k )
x(k 1) ( F GK ) x(k ) Gr (k )
zI F GK , G X ( z ) R( z ) C , 0
z z0
0
闭环零点矩阵
det[ zI F GK ] 0
zi i
i 1, 2,
,n
( z n ) 0
( z) ( z 1 )( z 2 )
对应系数相等，得n个代数方程
K [ K1 , K2 ,
Kn ]
可求得n个未知系数
Ki
, i 1, 2,
,n
例：
T 2 / 2 1, T x(k 1) u (k ) x(k ) 0 1 T
6.3.2 单输入系统的极点配置
• 系统可控，可任意配置n个极点（P182证明） • 由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然 后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。
1. 系数匹配法
x(k 1) F GK x(k ) Gr (k )
状态反馈闭环系统特征方程 闭环系统期望特征根为: 闭环系统期望特征方程：
1 Wo f11 K1 0 f12 K 2
f11 , F 0,
F12＝K2时不可观
4. 状态反馈不能改变或配置系统的零点 1）零点的定义
G( z )
在状态空间中： x(k 1) Fx(k ) Gu (k ) y (k ) Cx(k ) 使输出为0：
f12 1 , G F22不可控 , C (1 0) f 0 22 选： f11 K1 f12 K 2 u(k ) ( K1 , K2 ) x(k ) F GK F22仍不可控 f 22 0 开环可观阵 1 0 Wo F12＝0时不可观 f f 11 12 闭环
z z0
0 X ( z)
z z0
z z0
z z0
( zI F ) 1 GU ( z )
0 U ( z)
0
写成矩阵形式：
zI F , G X ( z ) C, U ( z ) 0
z z0
0
零点的矩阵形式
3. 闭环系统的可观性由[F-GK]及[C-DK]决定。如果开环系统是可控可 观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭环系统可能失去可观 性。 即；开环（C,F）可观 闭环［(C-DK)，(F-GK)］可观
闭环系统可观阵：
例：
C DK 若选K使C-DK=0，则 (C DK )( F GK ) Wo W0 0 n 1 ( C DK )( F GK )
zI F GK , G X ( z0 ) zI F , G X ( z0 ) 0 C, 0 0 R( z0 ) Kx( z0 ) R ( z0 ) C ,
Z0使开环、闭环的输出都为0，零点矩阵的 解与K无关，状态反馈不改变系统的零点
Y ( z)
X ( z)
z z0
Hale Waihona Puke Baidu
Y ( z) N ( z) , 零点： 使N(z)=0（P(z) 0）的zi , i=1...m R( z ) P( z )
( zI F ) X ( z ) GU ( z ) Y ( z ) CX ( z )
0
z z0
CX ( z )
求：K，使闭环极点为 z1,2=0.8j0.25
解：取
u(k ) ( K1 , K2 ) x(k )
1 T 2 K1 / 2 T T 2 K 2 / 2 1, T T 2 / 2 F GK ( K1 , K 2 ) 0 1 T TK 1 TK 1 2
det[ zI ( F GK )] det
z 1 T 2 K1 / 2 T T 2 K 2 / 2 TK1 z 1 TK 2
z 2 (T 2 K1 / 2 TK 2 2) z (T 2 K1 / 2 TK 2 1) 0
z1,2 0.8 j0.25 ( z) z 2 1.6z 0.7
r: p
K :mn
取线性反馈控制
u(k ) Kx(k ) Ir (k )
I－单位阵 闭环系统状态方程：
x(k 1) F GK x(k ) Gr (k )
K改变了状态转移阵，系统极点 K改变了x与y的偶合关系
y(k) C DK x(k) Dr (k)
1. 闭环系统的特征方程由[F-GK]决定，系统的阶次不改变。通过选择状态反 馈增益K，可以改变系统的稳定性。 2. 闭环系统的可控性由[F-GK]及G决定。可以证明，如开环系统可控，闭环 系统也可控，反之亦然。
Wc [F n1G, F n2G, FG, G] [(F GK )n1 G, (F GK )n2 G, (F GK )G, G]T WcT
2 T K1 / 2 TK 2 2 1.6 在T=0.1 K=(10,3.5) 2 T K1 / 2 TK 2 1 0.7
第6章 计算机控制系统的状态空间设计
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 离散系统的状态空间描述 离散系统的可控可观性 状态反馈控制律的极点配置设计 状态观测器设计 调节器设计（控制律与观测器的组合）
6.3.1 状态反馈控制
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
y(k ) Cx(k ) Du(k )
闭环系统：加入状态反馈： 有：
u (k ) Kx(k ) r (k )
x(k 1) ( F GK ) x(k ) Gr (k )
zI F GK , G X ( z ) R( z ) C , 0
z z0
0
闭环零点矩阵
det[ zI F GK ] 0
zi i
i 1, 2,
,n
( z n ) 0
( z) ( z 1 )( z 2 )
对应系数相等，得n个代数方程
K [ K1 , K2 ,
Kn ]
可求得n个未知系数
Ki
, i 1, 2,
,n
例：
T 2 / 2 1, T x(k 1) u (k ) x(k ) 0 1 T
6.3.2 单输入系统的极点配置
• 系统可控，可任意配置n个极点（P182证明） • 由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然 后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。
1. 系数匹配法
x(k 1) F GK x(k ) Gr (k )
状态反馈闭环系统特征方程 闭环系统期望特征根为: 闭环系统期望特征方程：
1 Wo f11 K1 0 f12 K 2
f11 , F 0,
F12＝K2时不可观
4. 状态反馈不能改变或配置系统的零点 1）零点的定义
G( z )
在状态空间中： x(k 1) Fx(k ) Gu (k ) y (k ) Cx(k ) 使输出为0：
f12 1 , G F22不可控 , C (1 0) f 0 22 选： f11 K1 f12 K 2 u(k ) ( K1 , K2 ) x(k ) F GK F22仍不可控 f 22 0 开环可观阵 1 0 Wo F12＝0时不可观 f f 11 12 闭环
z z0
0 X ( z)
z z0
z z0
z z0
( zI F ) 1 GU ( z )
0 U ( z)
0
写成矩阵形式：
zI F , G X ( z ) C, U ( z ) 0
z z0
0
零点的矩阵形式