高中数学椭圆讲义及例题

7.椭圆

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。.

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.

2、椭圆的标准方程

1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；

2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122

22=+b

x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：22

1x y m n

+=

或者 mx 2+ny 2=1 。

3、椭圆：122

22=+b

y a x )0(>>b a 的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程122

22=+b

y a x )0(>>b a ：是

以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对

称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆1

22

22=+b

y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，

坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,

b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a

c

a c e ==

22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a

y

x=

+2

2。

注意：椭圆1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x的图像中线段的几何特征（如下图）：

假设已知椭圆方程1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x（0,0

a b

>>），且已知椭圆的准线方程为2a

x

c

=±，试推导出下列式子：（提示：用三角函数假

设P点的坐标

e

PM

PF

PM

PF

=

=

2

2

1

1

4、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所

构成的图形。即上图中有e

PM

PF

PM

PF

=

=

2

2

1

1

5、椭圆1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x与1

2

2

2

2

=

+

b

x

a

y

)0

(>

>b

a的区别和联系

标准方程1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

)0

(>

>b

a1

2

2

2

2

=

+

b

x

a

y

)0

(>

>b

a

图形

性质

焦点)0,

(

1

c

F-，)0,(2c

F)

,0(

1

c

F-，),0(2c

F

焦距c

F

F2

2

1

=c

F

F2

2

1

=

范围a

x≤，b

y≤b

x≤，a

y≤

对称性关于x轴、y轴和原点对称

顶点)0,

(a±，)

,0(b±)

,0(a±，)0,

(b±

轴长长轴长=a2，短轴长=b2

离心率)1

0(<

<

=e

a

c

e

准线方程

c

a

x

2

±

=

c

a

y

2

±

=

焦半径

1

ex

a

PF+

=，0

2

ex

a

PF-

=

1

ey

a

PF+

=，0

2

ey

a

PF-

=