全国高中数学青教师展评课：赵爽弦图中的不等式性质的再探究课件(福建福州三中林珍芳)

合集下载

人教A版高中数学选修3-1-3.1 《周髀算经》和赵爽弦图-课件(共16张PPT)

SABC

1 2
a2
同理可得：
b
b
SADE

1 2
b2
D SABC SADE
1 2
a2

1 2
b2
1 2
c2

1 2
b2

1 2
a2
E
c2 b2 a2
中世纪阿拉伯数学家：伊本库拉
21
3
2
1
3
刘徽《九章算术》
• “勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”
中黄实 :( b - a) 2 弦实: c2
案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之朱实四，以勾股之差自相乘，为中实黄，加差实亦成弦实。
勾股定理的证明
弦图
c b
a b2
a2
周髀算经
周公问： “没有梯子可供我们上天，又没有一把合适的尺子可以供
我们量地，那么，怎么确定天有多高地有多广呢？”
商高答： “办法是有的，那就是用勾、股、弦之间的关系，
出入相补原理
朱朱朱出出出
朱朱朱方方方
青青青入入入
青青青入入入朱朱朱入入入
青青青方方方
青青青出出出
青青出青出出
出入相补原理
一个平面（立体）几何图形被分割成若干部分后，面积（体积）的总和保持不变。
出入相补原理在生活中的应用
谢谢
古巴比伦“勾股数”；古代印度，勾股定理的发现与宗教祭祀活
动有关，《绳法经》
古希腊，毕达哥拉斯
古希腊毕达哥拉斯
a b
ba
a
ac
b
a

全国青年教师素养大赛一等奖指数函数及其性质说课课件

y2
x
y 3
x
1 y 2
x
1 y 3
x
3.观察所作出的图象,总结特征. 活动方式：分组活动，合作学习
设计意图：通过自主探索、合作学习不仅体现了学生的主体地位，而且可以让学生在探索过程中体会到利用数形结合这一思想方法，借助图象分析问题，同时感受到从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养.
四、学习目标
课程标准对本节课的教学要求是：理解并掌握指数函数的概念；能借助计算器或计算机画出具体指数函数图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
从认知层次的三个维度对课标进行分解
知识分类：指数函数概念、图象和性质
认知层次
学科内涵：通过实例建立模型
认知水平：理解、掌握行为动词:探索、猜想、归纳、类比、体验、运用
三、设计思想
1.为了突出重点，突破难点，本节课采用列表法、图象法、解析法及图形计算器的实际操作让学生从不同的角度去研究指数函数，对其有一个全方位的认识，从而达到知识的迁移运用. 2.在教学过程中通过自主探究、生生对话、师生对话，培养学生“体会－总结－反思”的数学思维习惯，提高数学素养y2
x
xN

1 y 2
x
xN

……
…………………
设计意图：通过小组间相互PK的教学活动，激发学生探求新知的主动性，培养学生的观察能力、表达能力和归纳能力.
（二）发现问题，探求新知
1.请回顾研究初等函数性质的基本方法和步骤. 2.画出下面四个指数函数的图象.
1.通过具体实例，经合作交流活动得到指数的函数的概念，由学生自主归纳总结并对指数函数的概念进行分析. 2.借助计算器画出具体指数函数的图象，探索、归纳、猜想指数函数的单调性与特殊点.

全国高中数学青年教师展评课对数函数图象的与性质教学设计

课题：对数函数的图像和性质（第一课时）一、教材内容解析1，“对数函数的图像与性质”是普通高中课程标准实验教科书必修1（北师大版）第三章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。

此前，学生已对函数、定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性、对称性等函数性质有了很深刻的了解和掌握。

同时本节课又是在刚刚学习了对数函数的概念和对数函数与指数函数互为反函数的关系后，对对数函数的进一步深入学习。

也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念---图像---性质--应用”的过程。

同时，为后面函数的学习做好铺垫。

2，“对数函数”是基本初等函数之一，对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛应用。

同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题（统计、规划）中也有着广泛的应用。

本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的数学基本技能。

同时，本节课对对数函数的性质研究不仅反映出对数函数与指数函数的关系，同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想，也是高考的重点内容之一。

二、学生学情分析1，心理生理上：高一年级的学生已入校两个月，现处于相对稳定的时期，所以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。

加之，新入高一不久，学生渴望知识和学习的情绪也都空前高涨，主动积极，不畏艰难。

2，知识上：从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，加之对数函数与指数函数的关系学生已明白，可以通过类比的方法研究学习，同时对数函数的应用不管在数学上、生活中都应用广泛。

所以，自然就激发了学生学习本节课的热情与兴趣。

三、教学目标设置a) 教学目标1，知识与技能：掌握对数函数的图像与性质，并且在掌握性质的基础上能进行必要的应用。

同时培养学生数形结合的思想及观察、分析、归纳的思维过程。

2，过程与方法：通过类比的方法画出对数函数的图像，研究对数函数的性质；同时对数函数和指数函数互为反函数，利用反函数的性质（图像关于直线y=x对称）验证对数函数的性质，让学生体会类比、数形结合、转化等数学思想方法。

赵爽弦图中的不等式性质的再探究点评（福建福州三中林珍芳）

赵爽弦图中的不等式性质的再探究点评（福建福州三中林珍
芳）
《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》点评
点评人：福州三中数学教研组组长特级教师林风
由福建省福州第三中学林珍芳老师执教的《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》一课，源于教材，又高于教材，以赵爽弦图为媒介，以基本不等式链为脉络开展丰富多彩的探究学习，知识与能力并举，预设与生成相映，技术与数学融合，不仅扩大了学生的数学视野，促进对数学本质的理解，而且优化了认知结构，提高了学生的数学素养，是一节有创意，有高度，有内涵的好课。

1.取材新颖，富有创意
基本不等式是教材中的经典内容，基于赵爽弦图的基本不等式的教学活动不仅具有丰富的数学内涵，而且还具有深邃和广泛人文价值。

本节课教师自然有序地利用赵爽弦图中有关线段、面积的数学关系，挖掘其中蕴含的不等关系，进而得到基本不等式链，体现了教师独特的思考眼光和丰富的教学经验。

2.问题为媒，思想引领
本节课重视知识的发生、发展和深化的过程，没有落入常见的以“一正、二定、三等”为重点的解题套路式教学。

从整节课的展示可以看出教师有意识地在知识的困惑处、思维的突破点和认知的转折处设计有趣、适度、有挑战性的问题串，并且通过一系列的“设问”、“追问”和学生的递进“作答”、“再答”，吸引学生主动“出声地想”去尝试分析，迁移，由浅入深、层层递进，生动活泼地开展数学“微探究”学习。

3.技术搭台，精彩生成
本节课教师适时、恰当的运用TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）辅助教学，以技术之长助力问题解决、数学建模和探究发现.学生运用类比的方法重构赵爽弦图（利用正三角形证明基本不等式）是本节课的一个高潮和亮点，既出乎意料的，又在情理之中，是不曾预约的精
彩，有道是“技术巧搭台，生成别样好”。

全国高中数学青年教师展评课函数的概念课件(上海第三女子中学)

函数(hánshù)概念的形成
有步骤
1
2
3
第十三页，共20页。
《函数(hánshù)的概念》的教学策略是什么？
函数(hánshù)概念的形成
图式(tú shì)化
f
D
第十四页，共20页。
A
《函数(hánshù)的概念》的教学过程
(gàiniàn)
(gàiniàn)
的概温念故
的概概深念念化的
层层深入(shēnrù)，精致概念
的概应念面面俱到，达成目标用题题变式，有效高效
第十九页，共20页。
《函数的概念(gàiniàn)》的教学过程
小结(xiǎojié)概念的核心
与作
小结提升概念的高度
业作业的布置
(xiǎojié)
第二十页，共20页。
第一页，共20页。
为什么上这节《函数(hánshù)的概念》？
第二页，共20页。
为什么上这节《函数(hánshù)的概念》？
第三页，共20页。
为什么上这节《函数(hánshù)的概念》？
既熟悉 (shúxī)
又陌生
初中的学习
错误的混淆
片面
(piàn miàn)的
理解
第四页，共20页。
《函数的概念(gàiniàn)》教些什么？
第七页，共20页。
《函数(hánshù)的概念》教些什么？
目标
设置
教学( jiāo xué)重点
1.准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义(dìngyì)函数概
2.念的优点。理解并掌握函数的三种表示方法。
教学难点
1.准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义函数概念的优点。

第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《三角函数图象》说课稿

诚西郊市崇武区沿街学校函数())0,0(,sin >>+=ωϕωA x A y 的图象教学设计说明1、内容与内容分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决实际问题的工具，又是学习高等数学及其他学科的根底.学习())0,0(,sin >>+=ωϕωA x A y 的图象及其性质的过程,有助于学习其他的三角函数的图象及其性质.教材先研究了正、余弦函数图象的性质,再由特殊到一般,由简单到复杂,由详细到抽象,逐步分解,分别对函数())0,0(,sin y>>+=ωϕωA x A 中的参数ϕω,,A 进展分解研究,从三个不同角度研究函数())0,0(,sin y>>+=ωϕωA x A 图象与函数x y sin =图象之间的变换关系,从而提醒函数())0,0(,sin y>>+=ωϕωA x A 图象与函数x y sin =图象之间的内在联络,最终形成由函数x y sin =图象变换得到函数())0,0(,sin y >>+=ωϕωA x A ())0,0(,sin y >>+=ωϕωA x A 图象的变换方法. 根据本节教材内容的安排和课标对学生才能的要求,确定如下教学重、难点:教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象以及参数ϕω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象之间的变换关系. 教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变换关系.2、目的与目的分析根据课标对本节课的教学要求，以贯穿创新意识和理论才能的培养为宗旨，从教材的特点和所教的学生的实际出发点，设定教学目的如下：知识与技能结合物理中的简谐振动，理解()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的实际意义；用“五点法〞作出()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象,并借助图形计算器动态演示三角函数图象，研究参数ϕω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步理解三角函数图象各种变换的本质和内在规律；在经历参数A 、ϕ、ω对()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的联络.过程与方法经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现才能和概括总结才能；让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联络，进步学生的推理才能、分析问题和解决问题的才能；在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，浸透数形结合的思想和数学学习的一般方法．情感、态度、价值观通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探究才能、钻研精神和科学态度；通过学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神.3、技术手段分析利用CASIO9750图形计算器进展“数学实验〞.本节课假设采用传统方法讲授，作图量大，耗时多.在实际教学中,大多数教师苦于教学条件的限制,只能用计算机进展演示,学生并没有时机亲自动手绘制图象.我利用CASIO9750图形计算器强大的作图功能，学生现场动手操作，自主探究,对三角函数图象的变换直接进展“数学实验〞,亲身经历并探求图象变化的一般规律．卡西欧图形计算器操作简单，学生容易掌握，通过学生主动参与，互相，营造和谐活泼的课堂气氛.结合电子白板交流展示,使理性分析更直观.在教学过程中利用卡西欧电脑模拟软件,结合电子白板,对学生的操作进展示范指导,动态演示,加强师生交流,使图象变化本质的过程明晰可见.4、教学问题诊断分析教学中，学生在以下几个方面可能出现问题：由于本节课涉及ϕω,,A 三个参数对图象变换的影响,假设仅用传统方法作图讲授，学生被动承受，教学效果并不理想.而借助CASIO 图形计算器强大的作图功能进展教学,让学生亲历图象变换过程,主动探求并发现规律,进步学生的学习数学的兴趣，调动学生学习数学的积极性.学生对ωϕ,对图象带来的影响在理解上有一定的难度.为此让学生在数学实验的根底上，引导学生发现并比较对应变化点的坐标之间的联络，从而理解变换的本质.由函数x y ωsin =变换得到函数()0,0)sin(≠>+=ϕωϕωx y 是教学中的又一难点,教学中引导学生变化形式,换元考虑,从而化复杂为简单,变陌生为熟悉,打破难点．5、教学过程及预期效果分析根据教学内容结合学生详细情况，我采用了教师启发引导和学生自主探究相结合的教学方式.在整个学习过程中，让学生充分动手操作，动脑考虑，形象直观与理性分析相结合，调动学生学习积极性，激发学生学习兴趣．课前准备[设计意图]通过作三组不同函数的图象，进一步体会“五点法〞作函数图象的根本方法,同时为本节课的图象变换做好准备.创设情境，引出问题[设计意图]结合生活中简谐振动创设问题情境,加强数学与物理学科的联络,让学生体会到数学的应用价值.x y sin =为()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的特殊情况引起学生的探究兴趣,通过设置问题,引起认知冲突,激发求知欲望，引导学生学会学习.互助探究，感受规律以问题为中心的探究式的学习方法的好处是学生主动参与知识的发生、开展的过程，在探究的过程中学习科学的研究方法，对学生的终生学习都有积极意义.课前将全班学生分成八个方阵,分组讨论图象的变换过程.问题1：寻找函数x y sin =，x y sin 2=，x y sin 21=三者图象之间的联络. 问题2：寻找函数x y sin =，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πx y ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 三者图象之间的联络. 问题3寻找函数三者x y sin =，y=sin2x ，y=sin 21x 图象之间的联络.在研究函数图象之间关系时安排了以下步骤：（1）作图观察：使用卡西欧图形计算器作出函数图象，观察比较，大胆猜想；（2）理性考虑：为什么函数的图象之间有这样的关系？（3）得到详细的结论：（4）一般化：其中前两个步骤由组内同学互助探究,后两个步骤请组内推选代表汇报本组“研究成果〞，组与组之间可以互相质疑或者者补充，从而明确参数ϕω，，A 分别对函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象.典例分析，形成才能[设计意图]互动探究部分将ϕω,,A 三元素对图象变换的影响进展分解,本环节通过例题让学生体会三者结合对图象变化的作用,并着重分析先周期后相位与先相位后周期在图象变换过程中的注意点. 回忆反思,拓展深化[设计意图]引导学生从知识和方法两个方面进展小结.培养学生及时总结，概括提升的才能，为在课后能继续独立探究考虑埋下伏笔.课后研究，突出重点[设计意图]通过阅读让学生理解数学学科与人类社会开展间的互相关系，体会数学的科学价值和应用价值；通过考虑题使知识更加完好，落实知识的掌握与思想方法的理解.在课堂上注重学生的主体参与，努力创设教师指导下的学生自主探究、交流的学习方式，通过课堂练习及课后作业，课前制定的教学目的根本得以实现.以上就是我对本节课的一些考虑，由于经历缺乏肯定会有缺乏之处,恳请各位专家批评指导！谢谢！。

中国古代数学史系列微课应用赵爽弦图推导基本不等式

xy ( x y )2 2
xy 25
当x y __5__ 时， xy 25
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25 m 2
c2=a2+b2
B
这就是大家熟悉的勾股定理！
互动交流研讨新知 D
cb
G
F
A
a
H
E
探究2：
显然：S = S1 + S2
C2=2ab+（b-a）2
C
c2=a2+b2
又（b-a）2 ≥0
∴a2+b2 ≥2ab
a +b 一般地，对于B任意实数a、b，我们有 2 2 ≥2ab当
且仅当a=b时，等号成立
基本不等式变换
2
基本不等式
均值不等式
若a>0，b>0，则
ab≤ a b 2
当且仅当 a=b 时取等号
ab
ab a b 2
变形 (1)a b 2 ab (2)ab≤( a b )2
2
ab 2 ab
正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数；
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C
a +b 一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2 ≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
替换后得到：即：即：
( a )2 ( b )2≥2 a b a b≥2 ab
a b ≥ ab (a 0, b 0)
基本不等式变换与均值不等式
填表比较：
适用范围 “=”成立条件
a2 b2≥2ab

拓展“活”教材演绎“好”数学--以“赵爽弦图中的不等式性质再探究”为例

拓展“活”教材演绎“好”数学--以“赵爽弦图中的不等式性
质再探究”为例
林珍芳
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2015(000)011
【摘要】2014年12月,笔者有幸参加了中国教育学会中学数学教学专业委员会组织的全国高中青年数学教师优秀课展示和培训活动,进行了课题为＂赵爽弦图中的不等式性质的再探究＂的教学展示.赛后,笔者对这节课进行了回顾与反思.教材是连接课程方案与教学实践的枢纽,是教学的载体.新课程倡导教师＂用教材＂而不是简单的＂教教材＂,古人云＂书不尽言,言不尽意＂,所以教师需要通过对教材＂再加工＂。

【总页数】4页(P8-11)
【作者】林珍芳
【作者单位】福建省福州第三中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.拓展教材放飞学生探究的心灵--让数学回归生活 [J], 徐为善
2.初中数学教科书中数学探究活动的分析r——以人教版数学教材为例 [J], 徐玉庆
3.关注教材习题归纳数学结论——以教材\"椭圆中点弦问题\"为例 [J], 方诚
4.活用教材习题,推动思维进阶——以苏教版数学三下教材习题拓展教学为例 [J],
陈云菊; 顾晓东
5.活用教材习题,推动思维进阶——以苏教版数学三下教材习题拓展教学为例 [J], 陈云菊; 顾晓东
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

人教A版高中数学选修3-1- 3.1 《周髀算经》与赵爽弦图-课件(共17张PPT)

从而得到 : a2 b2 c2
Aa
D
b
c
E
c
a-b
Bb C
注:这一方法是向常春于1994年3月20日构想发现的新法．
试一试
我们用拼图的方法来说明勾股定理
b
a
是正确的．
ac
cb
证明:上面的大正方形的面积为：c2 4 1 ab b c
2
下面大的正方形的面积为：
a
c
a
b
a2 b2 4 1 ab
∴S矩形ADNM＝2S△ADC．
又∵正方形ACHK和△ABK同底、等高，
∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
G
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， H
F
∴△ADC≌△ABK．
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
C
K
ba
A Mc B
∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．
即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ，也就是 a2+b2=c2．
DN
E
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是
割补法，最早的形式见于公元三、四
世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这
朱实
篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 “弦图”，其中每一个直角三角形称 c 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫
总统巧证勾股定理
由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么这个直角三角形的斜边长应当为多少呢？”

初中数学精品说题稿：再探赵爽弦图

再探“赵爽弦图”原题展示：正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，EF，则正方形ABCD的面积为（）A． 12s B． 10s C．9s D．8sB尊敬的各位评委，老师，大家好：我说题的题目是《再探“赵爽弦图”》，“赵爽弦图”在验证勾股定理时学生已有接触，因此主题定为《再探“赵爽弦图”》，我打算从“命题立意、命题解析、命题主线”三个方面来对本题进行阐述。

一、命题立意知识立意：本题着重考查勾股定理，正方形的性质，图形面积的计算等知识。

能力立意：（1）赵爽弦图嵌套美的赏识。

（2）设元、数形结合等数学思想方法的建构。

（3）读图，识图，解构图形能力的培养。

（4）探究赵爽弦图类型题的解题基本步骤的考查是本题的重点。

二、命题解析本题是2017年温州卷选择题第9题，考查学生的设元、消元、设而不求、方程、数形结合等思想方法，属于较难题，难度值比较大，解决此题是通过设元，设EF=x，用x表示其他线段，表示图形的面积，利用图形寻找到解决问题的等量关系，解决问题的关键是发现直角三角形短直角边等于小正方形的边长即EF 的长，是本题的难点，突破难点可以通过两种方法：①代数法，用x表示线段，发现直角三角形短直角边也等于x即直角三角形短直角边等于小正方形的边长②几何法，利用图形，结合线段的中点，运用线段的和差也能发现直角三角形短直角边等于小正方形的边长。

然后用勾股定理求出大正方形的边长即直角三角形的斜边长，接着消元消去x用Ｓ的关系式表示大正方形的面积，从而解决问题。

在这个过程中，解题思路是：在我们认真研读图形，认真识图后，发现此图实质上可以分解成三个基本的“赵爽弦图”嵌套而成的，具体分解如下：去四条红色的对角线也就是左下图：+通过如此的认图、识图、构图，把此一题一课的主线设计成：一个基本的“赵爽弦图”两个基本的“赵爽弦图”三个基本的“赵爽弦图”。

三、命题主线１、学生在操作中体验“赵爽弦图”（1）、用四个全等的直角三角形围成一个正方形。

全国高中数学青教师展评课三次函数的图象与性质教学设计(青海西宁五中).doc

“三次函数的图象与性质”教学设计一、教学内容解析：三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。

三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，圉绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一人亮点，特别是文科数学。

因此学习和学握三次函数的基本性质很有必要。

但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述°本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过儿何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。

同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。

基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：重点：（1）探究系数a, b, c, d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律；（2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。

难点：根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。

二、教学目标设置：根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标：1、知识与能力：①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。

②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。

③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。

2、过程与方法：通过对函数/（x） = ax' +Z7X2 +cx+d,（QHO）性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，常握研究函数性质的基本过程和方法。

3、情感态度与价值观：通过直观的图形和抽彖的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。

全国高中青年数学教师优质课课 2点评稿,Word版,函数y=Asin(ωx+φ)图像与性质20181012 精品

1 核心素养在课堂教学中扎根
—— 对明小青老师课例《函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质》的点评
1 创设情境，案例鲜活，培养学生数学抽象和建模能力
本课例以学生熟悉的摩天轮入手，通过抽象概括建立函数)sin(ϕω+=x A y 模型，动手操作改变运动点的角速度、圆的半径及其初始位置，从而引出研究函数)sin(ϕω+=x A y 图像的必要性，充分渗透了数学建模思想. 同时教师还能回归数学模型，引导学生思考参数ωϕ,,A 的实际意义，充分感受函数式的魅力，将有趣的情境与美丽的数学高度融合.
2 知识探究，由表及里，培养学生数学运算和逻辑推理能力
最有效的探究需要元知论的调控，最有效的课堂需要充分发动学生参与. 本课例教师与学生同步，通过控制变量法，归纳推理得出函数的图像变换，这是形的直观呈现，然后再通过数的运算，探究新函数的图像关键在“点”，点的坐标变化揭示了图像变换的本质. 课例通过探究式教学，逻辑推理层层推进，提升了学生的数学运算素养.
3 揭示本质，思想升华，培养学生数学数据处理和直观想象能力本课例从正弦函数x y sin =出发，通过逐步改变参数大小，形成“作图、观察、猜想、论证、总结”的研究方法，学生历经从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，为学生终身学习提供了科学的依据.课例小结《今点“明”言》韵味无穷，回顾了数学知识的生成过程，揭示了数学思想的渗透之路，实现了数学文化从学术研究到课程形态的转变.。

全国高中青年数学教师优质课大赛一等奖《函数的单调性与最大(小)值》课件

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）猪肉价格走势图人的情绪变化曲线图某市一天内气温变化图观察以上图象，它们都反映了事物的哪种变化规律？问题1观察下列函数的图象，描述函数有什么变化趋势f(x)=x f(x)=x2在&闻（一OO,+00）上，/U）随着*增大而增大在区间（一8,0）上，/（*）随着X增大而减小在区河（0,+8）上，犬W随着X增大而增大f(x)=0.00lx+1问题3能仿照这样的描述，说明函数/3)=»在区间(-8,0)上是减函数吗？对（一3,0）上任意•X],%2当X j<X2HS,对(0,+00)上任念茶,％2当乂1。

2时，敏乂1)v必少J~~>3X—3—2&—H2。

心2X01234•••/⑴014916•••问题4如何用符号语言刻画函数y=/(x)在定义域I内某个区间Q上是增函数(或减函数)？=增函教走义设函数y项W的定义域为1,区间D.I.Z-------------------------\对区间D上任意声*1＜工2时,都有如：i)V犬电)那么就说函数AW在区间D上是增函数.函数单调性的定义i减函数定义函函数y项W的定义域为/,区间D■/.如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个自变量的值互占，当X1<X2BS,都有7(*1)>犬电，4O y那么就说函数/｛同在区间D上是减函数能类比增函数的定义得到减函数的定义吗?2.单调性、单调区间定义处1)与犬电*的伏小关系r加)/(功t O M尤2如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性.区间D叫做y 项W的单调区间.W回顾此图，根据图象写出函数的单调区间，并说说在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解：函数的单调区间有[0,4),[4,14),[14,24].其中函数在区间[4,14)上是增函数；在区间[0,4),[14,24]上是减函数.辩一辩你认为下列说法是否正确，请说明理由.辨析1：若定义在区间［1,2］上的函数/⑴满足大2)函数/⑴在该区间上是增说教.辨析2:若函救在区间(1,3)和区间［3,5］上都是增函*,刑在区间(1,5］上也是增画衣;/小组合作探究例J2物理学中的玻意耳定律。

《周髀算经》与赵爽弦图说课课件人教新课标

《周髀算经》与赵爽弦图
一、教学内容分析
本节课的内容是人教A版高中数学选修3-1数学史选讲第三讲《中国古代数学瑰宝》第一课时——《周髀算经》与赵爽弦图，主要介绍《周髀算经》中与数学有关的内容、利用“赵爽弦图”证明勾股定理的过程以及在这个过程中蕴含的数学思想。
二、学生学情分析
该内容属于选修系列3的内容，学生在以前的学习中和平常的生活中对中国古代的数学已经有了一定的认识，但都没有系统的学习，更没有进行主动的学习和深入研究。
3.提出问题
勾股图说中的勾股定理，赵爽写为 “勾、股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”
“弦实”就是弦的平方。如果用a表示“勾”，b表示“股”，c表示“弦”，这句话就相当于说:
a2 b2 c2
如何证明？
4.合作、动手解决问题
活动1
活动2
c baa
A
E
D
S大正方形 S小正方形 4S直角三角形
引导启示再探新法
中西对照提炼升华
师生畅谈作业布置
1.视频情境引入课题
视频《中华文明5000年》片段和数学史文化图片，展现中华文化。
2.情景剧推动新课
商高答周公
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度—夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
c2 (b a)2 4 ab 2
化简得： c2 =a2+ b2．
这就证明了
c2 =a2+b2

全国高中数学青年教师展评课基本不等式教学设计(宁夏北方民族大学附中)

《基本不等式》教学设计一.教学内容分析《基本不等式》是高中教材人教A 版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)a b ab a b R +≥∈.在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容.因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.二．教学目标设置《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想.（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性.三．学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.四．教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.五、教学过程设计1.创设情境【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.（请学生在学案上课前完成：4S S S =+大正方形直角三角形小正方形()2222142c ab a b a b ∴=⨯+-=+.）【引言】右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的友好好客.【思考1】赵爽利用弦图最先完成了勾股定理的证明，你还记得这个证明过程吗？（请学生表述推导过程，教师课件展示.）【过渡】在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？【思考2】观察变化的弦图，你能在图中找出面积间的不等关系吗？（教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图，请学生观察并归纳：生1：4S S ≥大正方形直角三角形，得ab b a 222≥+；生2：0S ≥小正方形，得()02≥-b a .）【设计意图】介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育.课前完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面展现了赵爽证明的构图巧妙、精致，是数与形的完美统一，让学生对弦图的认识清晰、完整；另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一.同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系.【归纳】对于两直角边a b 、，有222a b ab +≥.【思考3】上式中何时等号成立？(请学生说明：当a b =时, 222a b ab +=；当a b ≠，222a b ab +>.教师归纳:当且仅当a b =时，等号成立.)【探究1】上式对正实数是成立的，那么对任意实数a b 、，上式都成立吗？请证明自己的结论.（请学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法”证明.教师利用投影仪展示学生的完整证明过程.强调a b =和a b ≠两种情况，说明“当且仅当”的含义.）【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对任意实数a b 、，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.【设计意图】思考2请学生讨论等号成立的条件，了解“当且仅当”的含义，由于此时学生还没有学习简易逻辑的相关知识，无需从“充分必要条件”的角度加以说明.探究1给学生提供思维发展的空间，让学生从对知识的直观感知上升到理性证明，既体现了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫.在此过程中给学生提供了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗透数形结合思想.2.基本不等式0,0)2a b a b +≥>> 【过渡】实际上，在不同的图形中上述不等式有不同的体现，我们再看这样一个情境.【探究2】如图，取正方形对角线上任意一点，分别作正方形两邻边的垂线，切分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两正方形边长分别为a b 、，问：切分出的两正方形面积和与两矩形面积和的大小关系？（请学生自主探究完成，并说明：生1：22S S a b +=+12，32S S ab +=4，由不等式 222a b ab +≥3S S S S +≥+124得：，当且仅当a b =时，等号成立.生2：由正方形的对称性，将切分出的两矩形及较小的正方形分别向较大的正方形翻折，并没有将较大的正方形完全覆盖，故：3S S S S +≥+124 ）【引申】若设切分出的两正方形的面积分别为a b 、, 根据上述不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？(请学生说明：若两正方形的面积分别为a b 、，则其边长分别为b a 、，得：)0,0a b a b +≥>>当且仅当a b =时，等号成立.)【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们又可以得到不等式)0,0a b a b +≥>>，当且仅当a b =时，等号成立.【设计意图】从学生比较熟悉的图形背景中再一次认识不等式222a b ab +≥，既可以根据已知的不等式探究图形中面积间的不等关系，又可以运用“割补法”在图形中体现不等式222a b ab +≥.进而提出引申问题，自然地由不等式222a b ab +≥过渡到)0,0a b a b +≥>>，为基本不等式的产生构造几何背景，并在图形中揭示不等式222a b ab +≥与不等式)0,0a b a b +≥>>的内在联系.【思考4】回顾不等式()0,02>>≥+b a ab b a （①）的生成过程中，你发现它与不等式ab b a 222≥+（②）有怎样的联系呢？（请学生说明：生1：()222222244,0,0a b aba b ab ab a b ab a b a b +≥∴++≥∴+≥>>∴+≥生2：因为0,0a b >>ab 即得①式.生3：在②式中用a 代替2a ，b 代替2b 即得①式.）【设计意图】激发学生的思维，使其从多角度发现不等式222a b ab +≥与不等式)0,0a b a b +≥>>的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种不同描述，其本质是一致的.同时也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯.【说明】通常我们把上式写作0,0)2a b a b +≥>>，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式.（引入课题并板书）【思考5】你能否证明基本不等式？（请学生思考完成.生1：（比较法）210222a b a b +-=≥+∴≥ 当且仅当a b =时，等号成立；生2：（综合法）(20a b a b -≥∴+≥当且仅当a b =时，等号成立;生3：（分析法）()()()()220a b a b a b a b +≥∴+≥∴+-≥∴≥∴+≥要证只要证只要证只要证上式显然成立。

高中数学第五届全国青年教师观摩与评比活动《正弦、余弦函数的周期性》说课稿

正弦、余弦函数的周期性(说课稿)一、教材分析1、教材的地位和作用《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．2、教学重点和难点重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期．二、目标分析学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x 图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教法分析1.教学方法:引导发现法、探索讨论法为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维发展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．2.学法指导: 问题探究法根据课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法．3.教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性．四、教学过程附：板书设计五.评价分析:1．个别学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维,但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的训练以后要加强.2．部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对他们加强辅导．3．学生运用定义求函数周期掌握得不是很好.上黑板板演的学生都出现了不同程度的错误.在以后的教学中还需进一步加强．。