2019年-2015年五年全国高考解答题专题概率统计-教师用卷

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2019年高考全国卷及各省单独命题真题概率统计专题总结与突破

2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A . 8号学生B . 200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C . 2.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． ∵4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.3.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516 B . 1132 C . 2132D . 1116 【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A . 4.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案解析】（1）X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+()()()88776101413p p p p p p p -=-+-++-=.由于8=1p ，故18341p =-，所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.5.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23 B . 35 C . 25 D . 15【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .6.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有2 0个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . 【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=. 7.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小。

高考数学《概率与统计》专项练习(解答题含答案)(20200625015328)

………………………………………………………………………………………２
分
（Ⅱ）令 w＝x，先建立 y 关于 w 的回归方程
由于 d^＝∑ｉ＝18(wi －w)(yi － y) ∑＝ｉ18(wi － w)2＝ 108 .81.6 ＝68…………………３分
c^＝ y－ d^w＝563－ 68×6.8＝ 100.6 …………………４分 ∴ y 关于 w 的回归方程为 y^＝ 100.6＋68w…………………５分 ∴ y 关于 x 的回归方程为 y^ ＝ 100.6＋ 68x…………………６分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 x＝ 49 时
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2019 年我国生活垃圾无害化处
理量．附注：
参考数据：
7
yi
i1
7
9.32
ti yi
， i1
40.17 ，
7
( yi
i1
y)2
＝ 0.55， 7 ≈2.646．
需了解
年宣传费 x(单位：千元 )对年销售量 y(单位： t) 和年利润 z(单位：千元 )的影响．对近 8 年的
年宣传费 xi 和年销售量 yi(i ＝ 1， 2， … ， 8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些
统计量的值．
3
x
y
w
∑i ＝ 18(xi－ x )2 ∑i ＝ 18(wi－w )2
＝ 28 ………………………………………………………………３
分
7
( yi y)2
i1
＝ 0.55 ………………………………………………４分

(做)全国卷历年高考概率与统计及解排列组合真题

(做)全国卷历年高考概率与统计及解排列组合真题在全国卷历年高考中，概率与统计以及排列组合是常见的考试题型。

掌握这些知识点对于高考非常重要。

本文将为您提供一些关于概率与统计以及排列组合真题的解题方法与技巧。

概率与统计概率概率是描述事件发生可能性的一种数值表示方法。

在高考中，常见的概率问题有：- 确定事件发生的可能性；- 计算事件的概率；- 利用概率性质解决问题。

解题方法：1. 确定样本空间：在概率问题中，首先要确定所有可能的结果组成的集合，即样本空间。

2. 确定事件：确定要求解概率的事件。

3. 计算概率：通过计算事件发生的可能性与总事件数之比，得到事件的概率。

统计统计是通过收集、整理和分析数据以得出结论的方法。

在高考中，常见的统计问题有：- 数据的整理与呈现；- 描述性统计；- 探索性数据分析；- 统计推断。

解题方法：1. 理解题目要求：确保正确理解题目中的统计问题要求。

2. 整理数据：对给定的数据进行整理和分类。

3. 进行计算：根据题目要求使用适当的统计方法进行计算和分析。

4. 得出结论：根据计算结果进行结论推断，并确保符合统计学原则。

排列组合排列组合是指在给定条件下，对元素的排列或组合的不同情况进行计数。

在高考中，常见的排列组合问题有：- 计算排列数；- 计算组合数；- 利用排列组合解决问题。

解题方法：1. 确定问题类型：确定是排列问题还是组合问题。

2. 确定条件：根据题目所给条件，确定元素的范围和约束条件。

3. 应用公式：根据排列和组合的定义和公式进行计算。

4. 解决问题：根据计算结果回答题目要求或解决相关问题。

在备考高考时，熟练掌握概率与统计以及排列组合的知识点，并熟练运用解题方法，可以提高解答概率与统计和排列组合题目的准确性和效率。

以上是关于全国卷历年高考概率与统计以及解排列组合真题的简要介绍。

希望对您备考高考有所帮助！。

2019年高考概率统计试题汇编及分析含解析

2019高考全国一卷为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和/3,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(7=0,1,,8)表示“甲药的累计得分为，时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=。

，〃8=1,p t=ap t_x+bp t+cp M(z=1,2,,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0), c=P(X=l).假设a=0.5,^=0.8,⑴证明：｛p,+i-pJ(Z=0,l,2,,7)为等比数列；(ii)求P a，并根据A的值解释这种试验方案的合理性.解析：(1)首先根据题意，随机试验一轮试验共4个结果，我们用符号+-分别表示治愈和未治愈。

则甲+乙+,甲+乙-，甲-乙+,甲-乙-。

P(X=—1)=p｛甲—乙+｝=(l-a)6p(X=O)=P｛甲+乙+｝+P(甲-乙一｝=邱+(1-a)(l-p)P(X=1)=p｛甲+乙一｝=a(l-&)所以X的分布列为：X-10+1p(l-a)P邱+(1-a)(l-p)a(l-B)(2)当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。

假设四轮试验都是甲+乙一,则甲药比乙药多四只，认为甲药更有效。

此时甲药得分为4分，乙药得分为-4分，所以甲药、乙药在试验开始时都赋予4分。

2019年高考数学真题专题15 概率与统计(解答题)

专题15 概率与统计（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.8 50=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.6 50=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：748.602≈．【答案】（1）产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=．产值负增长的企业频率为20.02100=．用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%．（2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52211100i ii s n y y ==-∑ 222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.02960.02740.17s ==⨯≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）0.35a =，0.10b =；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．4．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为, , , , , A B C D E F ．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i ）见解析，（ii ）1115．【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C{, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B FCD C E{,},C F {,},{,},{,}D E D F E F，共15种．（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B CE BF E C F D F E F，共11种．所以，事件M发生的概率11 ()15P M=．5．【2019年高考北京卷文数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数约为400；（2）0.04；（3）见解析．【解析】（1）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为401000400 100⨯=．（2）记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则1()0.0425P C ==．（3）记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B 的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（2）知，4(0)0.P E =．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，()P E 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）模型①：226.1亿元，模型②：256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠，理由见解析．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．7．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）3【解析】（1）频率分布直方图如下:（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．【答案】（1）第二种生产方式的效率更高，理由见解析；（2）列联表见解析；（3）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802m+==．列联表如下：（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．9．【2018年高考北京卷文数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（1）0.025；（2）0.814；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000．第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，故所求概率为500.025 2000=．（2）方法1：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51=372．故所求概率估计为37210.8142000-=．方法2：设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B．没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部．由古典概型概率公式得16280.8142)00(P B==．（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．10．【2018年高考天津卷文数】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）分别抽取3人，2人，2人；（2）（i）见解析，（ii）521．【分析】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为 {A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． 11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附： P （） 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）0.62；（2）列联表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）新养殖法优于旧养殖法．【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，计算A 的概率；（2）将数据填入对应表格，代入卡方公式，计算215.705K ≈，对照参考数据可作出判断；（3）先从均值（或中位数）比较大小，越大越好，再从数据分布情况看稳定性，越集中越好，综上可得新养殖法优于旧养殖法．【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62．因此，事件A 的概率估计值为0.62．（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2=22006266343815.70510010096104⨯⨯-⨯⨯⨯⨯（）≈．由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．【名师点睛】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为1．（2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和．（3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性．12．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．【答案】（1）18.0-≈r ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）（ⅰ）需对当天的生产过程进行检查；（ⅱ）均值与标准差的估计值分别为10.02，0.09．【分析】（1）依公式求r ；（2）（i ）由9.97,0.212x s =≈，得抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii ）剔除第13个数据，则均值的估计值为10.02，方差为0.09．【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,,16)i x i i =的相关系数为16()(8.5)0.18ix x i r --==≈-∑．由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，0.09≈．【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【答案】（1）0.6；（2）Y 的所有可能值为900，300，-100，Y 大于零的概率为0.8．【分析】（1）先确定需求量不超过300瓶的天数为2163654++=，再根据古典概型的概率计算公式求概率；（2）先分别求出最高气温不低于25（36天），最高气温位于区间[20，25）（36天），以及最高气温低于20（18天）对应的利润分别为900,300,100-，所以Y 大于零的概率估计为3625740.890+++=．【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y=6450-4450=900；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6300+2（450-300）-4450=300；若最高气温低于20，则Y=6200+2（450-200）-4450=-100．所以，Y的所有可能值为900，300，-100．Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．14．【2017年高考北京卷文数】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30]，[30，40]，，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（1）0.4；（2）20；（3）:32．【分析】（1）根据频率分布直方图，表示分数大于等于70的概率，就求最后两个矩形的面积；（2）根据公式：频数=总数⨯频率进行求解；（3）首先计算分数大于等于70的总人数，根据样本中分数不小于70的男女生人数相等再计算所有的男生人数，100−男生人数就是女生人数．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4-=．所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4．（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=．（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=．所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为::604032=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为:32．【名师点睛】（1）用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法．分布表在数量表示上比较准确，而直方图比较直观．（2）频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1．。

2015-2019全国试卷(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)高考汇编-统计概率

2015-2019全国高考数学试卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）试题汇编-统计概率（2015年全国卷一19.）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑i=18(x i -x )2∑i=18(w i -w )2∑i=18(x i -x )(y i -y )∑i=18(w i -w )(y i -y )46.65636.8289.8 1.61469108.8表中w i =√x i ,w =18∑i=18w i .(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n(u i -u )(v i -v )∑i=1n(u i -u )2,α^=v -β^u .解：(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2分) (Ⅱ)令w=√x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i=18(w i -w )(y i -y )∑i=18(w i -w )2=108.81.6=68, c ^=y -d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x .(6分) (Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68√49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32.(9分) (ii)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z 的预报值 z ^=0.2(100.6+68√x )-x=-x+13.6√x +20.12. 所以当√x =13.62=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)(2015全国二卷18.)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A 地区B 地区456789(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解：(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4 6 83 5 1 3 6 46 4 2 6 2 4 5 56 8 8 6 4 37 3 3 4 6 99 2 8 6 5 1 8 3 2 17 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2. P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2) =P(CB1CA1)+P(CB2CA2) =P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(CA1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.（2016年全国一卷19.）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n 的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 解：(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)(2016全国卷二18.)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解：(Ⅰ)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(Ⅱ)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P (AB )P (A )=P (B )P (A )=0.150.55=311.因此所求概率为311.(7分)(Ⅲ)记续保人本年度的保费为X 元,则X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)(2016全国卷三18.)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:参考数据:∑i=17y i =9.32,∑i=17t i y i =40.17,√∑i=17(y i -y )2=0.55,√7≈2.646.参考公式:相关系数r=∑i=1n(t i -t )(y -y )√∑i=1n(t i -t )∑i=1n (y i -y ),回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b ^=∑i=1n(t i -t )(y i -y )∑i=1n(t i -t )2,a ^=y -b ^t .解：(Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得t =4,∑i=17(t i -t )2=28,√∑i=17(y i -y )2=0.55,∑i=17(t i -t )(y i -y )=∑i=17t i y i -t ∑i=17y i =40.17-4×9.32=2.89,r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.(4分)因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(6分) (Ⅱ)由y =9.327≈1.331及(Ⅰ)得b ^=∑i=17(t i -t )(y i -y )∑i=17(t i -t )2=2.8928≈0.10,a ^=y -b ^t =1.331-0.10×4≈0.93.所以,y 关于t 的回归方程为y ^=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得y ^=0.93+0.10×9=1.83. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)（2017全国卷一19．）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的学科网数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．解：因此σ的估计值为0.0080.09≈.（2017全国卷一18．）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：（2）220015.70510.82810010096104K ⨯==>⨯⨯⨯有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。

2019年-2015年五年全国高考解答题专题数列-学生用卷

iv. b ac 且 ac 0 →为 a、b、c 等比数列的充要.
注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个.
③ an cq n ( c, q 为非零常数).
④正数列{ an }成等比的充要条件是数列{ log x an }（ x 1 ）成等比数列.
⑷数列{ an
A ank ank 2
（ n, k N * , n k 0 ）
前 n 项和
Sn
n 2
(a1
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
等比数列
等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和
等比数列 an1 q(q 0) an an an1q ； an am q nm an a1q n1 （ a1 , q 0 ） G ank ank (ank ank 0)
q n1 an ， q nm an (m n)
a1
am
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
① an an1 d (n 2, d为常数) ②2 an an1 an1 ( n 2 ) ③ an kn b ( n, k 为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
① an an1q(n 2, q为常数, 且 0)
{an}为A P an1 an d (常数） {an}为G P
an1 q(常数） an
an = a1 +（n-1）d= ak +（n-k）
an a1q n1 ak q nk
d= dn + a1 -d
sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) d 2

2019年高考真题概率统计专题总结与突破(可下载) 附详细答案解析

10
2.【答案解析】
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8 ，因此男顾 50
客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.6 ，因此女顾客对该商场服务满 50
意的概率的估计值为0.6．
(ii)求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理Байду номын сангаас．
5.（2019 年全国卷 2,文数 4 题,满分 5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3
只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标
的概率为
A.
2 3
B.
3 5
C.
2 5
D.
1 5
6.（2019 年全国卷 2,文数 14、理数 13 题,满分 5 分）我国高铁发展迅速，技术
D . 11 16
4.（2019 年全国卷 1,理数 21 题,满分 12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两
种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮
选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一
只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的
10 人
14 人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式
都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2
人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A

高考文数专题15 概率与统计(解答题)(2017-2019)真题分类汇编(学生版)

专题15 概率与统计（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）≈．8.6023．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．4．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？A B C D E F．享受（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．5．【2019年高考北京卷文数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．7．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．9．【2018年高考北京卷文数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）10．【2018年高考天津卷文数】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．12．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5)2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．14．【2017年高考北京卷文数】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30]，[30，40]，，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．。

2019年高考真题概率统计专题整理小题+大题详细答案解析

2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .1116【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A .3.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .15【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=.5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A .6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D .7.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。

2015-2019年高考真题---计数原理和概率统计

2015-2019年高考真题---计数原理和概率统计一、单选题1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18 C．12 D．92．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.34．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A．13B．12C．23D．345．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%6．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 7．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．158．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元9．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．5610．二项式()()1nx n N *+∈的展开式中2x项的系数为15，则n =（） A ．4B ．5C ．6D ．711．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石12．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8013．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 14．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.315．(x 2+x +y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 A ．10B ．20C ．30D ．6016．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个17．已知(1)n x 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122B ．112C ．102D ．9218．从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518B ．49C ．59D ．7919．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.720．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．5，5B ．3，5C ．3，7D ．5，721．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．2422．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差23．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（） A ．110B ．35C ．310D ．2524．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A ．16B ．14C ．13D ．1225．设复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（） A ．3142π+B ．112π+ C ．1142π-D ．112π- 26．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（） A ．8B ．15C ．16D ．3227．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是 ( ) A ．19 B ．20 C ．21.5D ．2328．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是（）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关29．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（） A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p << D ．2112p p << 30．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60D ．7231．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 32．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<33．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．11834．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ35．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（） A ．310B ．15C ．110D ．12036．在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( )A．34B．23C．13D．1437．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．15二、解答题38．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．39．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.40．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．41．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

2015年高考真题概率与统计(理科)

2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）1．（2015•广东理）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？2．（2015•新课标二卷理）（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．3．（（2015•新课标一卷理）本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望 4．（2015•重庆理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =，w =1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：5．（2015•天津理）（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.7．（2015•陕西理）本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．8．【2015高考山东，理19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；分；若能被10整除，得1分.若能被5整除，但不能被10整除，得1（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.9．（2015•湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．11．（2015•安徽理）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．13．（2015•北京理）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅱ）如果25（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）参考答案1．（1）44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）平均值40；方差：（3）23人．63.89%．【解析】试题分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．2．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.48．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”； 2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C = ．1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B PC 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 3．（1）14；（2）分布列见解析，期望为35．【解析】试题分析：（1）本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为310C ，其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为111235C C C ，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此X 的可能值分别为0,1,2，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为35．试题解析：（1）令A 表示事件“三个粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有1112353101(A)4C C C P C ==；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，且383107(X 0),15C P C ===12283107(X 1),15C C P C ===21283101(X 2),15C C P C ===故7713E(X)0121515155=???．考点：古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力． 4．（Ⅰ）y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）100.6y =+46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w 先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()()ii i ii w wy ydw w ==--=-∑∑=108.8=6816， ∴ cy dw =- =563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为 100.668y w =+， ∴y 关于x 的回归方程为100.6y =+（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.6y =+， 576.60.24966.32z=⨯-= . （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.620.12zx x =+-=-+ ，13.6=6.82，即46.24x =时，z取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识5．（Ⅰ）635;()52E X =【解析】（Ⅰ）由已知，有22222333486()35C C C C P A C +== 所以事件A 发生的概率为635. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k k C C P X k k C -===所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望. 6．（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99100p =. （2）X 的分布列为：X 的期望为()2E X =.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=.（2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力. 7．（Ⅰ）分布列见解析，32；（Ⅱ）0.91．【解析】试题分析：（Ⅰ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（Ⅱ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）（Ⅱ）设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +==0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=．考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率． 8．（Ⅰ）有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）X 的分布列为21EX =【解析】试题分析：（Ⅰ）明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；（Ⅱ）试题解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出X 的分布列和数学期望EX . 解：（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为3984C =随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此()3839203C P X C === ()24391114C P X C =-== ,()12111114342P X ==--=,因此0(1)13144221EX =⨯+-⨯+⨯= 考点：1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.9．（1）107；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，即可知X 的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴1(3,)5X B ，于是00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()P X C ===，故X 的分布列为X 的数学期望为 13()355E X =⨯=.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.10．（Ⅰ）Z 的分布列为：()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为第20题解答第20题解答第20题解答因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=考点：线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布． 11．（Ⅰ）310；（Ⅱ）350. 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .得出1123253()10A A P A A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400.依此求出各自的概率136,,101010，列出分布列，求出期望136200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=.试题解析：（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .1123253()10A A P A A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400.22251(200)10A P X A ===.31123232353(300)10A C C A P X A +===. 136(400)1(200)(300)1101010P X P X P X ==-=-==--=.136200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=. 考点：1.概率；2.随机变量的分布列与期望.12．（Ⅰ）12；（Ⅱ）分布列见解析，期望为52．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P =创（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P ==?=创所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632=???．考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望． 13．（Ⅰ）37，（Ⅱ）1049，（Ⅲ）11a =或18 【解析】试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为37；如果25a =，甲、乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为1049，由于A 组数据为10，11，12，13，14，15，16；B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，由于A ，B 两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以11a =或18.试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率37P =； (Ⅱ) 如果25a =，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率1049P =. (Ⅲ)把B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，可见当11a =或18a =时，与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)考点：1、古典概型；2、样本的方差。

全国卷历年高考概率与统计真题归类分析2019(含答案)

全国卷历年高考概率与统计归类分析2019.7（2015-2019年，14套）一、小题（16题，统计7，概率9）（一）统计图表获取信息1.（2015全国2卷理科3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解析】由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关.选D.2.（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，选A.3.（2016全国3卷理科3）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0C ︒以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均气温高于20C ︒的月份有5个4.（2018全国1卷理科3）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( ) A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；选A.5.（2019全国3卷理科3）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 6.（2019全国2卷理科5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确．7.（2019全国2卷理科13）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点评】统计小题主要考查由统计图表获取信息，利用样本估计总体，特别是由平率分布直方图如何估计总数、中位数、平均数，以容易题为主。

历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计选择题及填空题)汇编(附答案)

历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计选择题及填空题）汇编考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________． 2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)． 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．.的考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．4．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．的2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．参考答案考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．【答案】64【答案解析】：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种； (2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种．故答案为：64．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】36【答案解析】： 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C = 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A = 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36．二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．【答案】60【答案解析】：展开式的通项公式()()6361841661C 212C kkk kk kk k T x x x ---+⎛⎫=-=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，令1842k -=可得，4k =，则2x 项的系数为()4644612C 41560--⨯⨯=⨯=．故答案为：60．2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】(1)． 5; (2)． 10．【答案解析】:332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=，34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=故答案为5,10．3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】240【答案解析】： 622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项： ()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r rr r xC x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．【答案】(1)．80 (2)．122【答案解析】：5(12)x +的通项为155(2)2rr r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，580a ∴=；113355135555222122a a a C C C ∴++=++=5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)．【答案】‐28【答案解析】：因为()()()8881=y y x y x y x y x x⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x-=-， ()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为‐28故答案为：‐28 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160.的【答案解析】：6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =．故答案：160．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．【答案】4- 【答案解析】：的展开式的通项令1240r -=，解得，故常数项为．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【答案解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．【答案】，5【答案解析】9)x展开式的通项为919(0,1,2,,9)r r r r T C x r -+== ，当0r =时，可得二项式9)x +展开式的常数项是0919T C =．若系数为有理数，则(9)r -为偶数即可，故r 可取1,3,4,5,7,9，即246810,,,,T T T T T 共5项．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．【答案】28【答案解析】：83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为2268311(2)286428864C x x ⎛⎫⋅⋅-=⨯⨯= ⎪⎝⎭．考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．为的【答案】①． 0.05 ②．35##0.6 【答案解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ，所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=，白球个数为3n ；甲盒中黑球个数为25%4n n ⨯=，白球个数为3n ；甲盒中黑球个数为50%63n n ⨯=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ，黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个，所以，()93155n P B n ==．故答案为：0.05；35． 2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635．【答案解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310【答案解析】：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10= 甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P = 故答案为：3104．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①．23 ②． 2027【答案解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：23；2027．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1)．16 (2)． 23【答案解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23．故答案为：16；23．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．【答案】19【答案解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个．点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个． ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==．故答案为：19．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.【答案】27100【答案解析】法一：100271031923110=⋅⋅=C C C P (分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字) 法二：100271013310110=+-=P C P (分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同) 8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】710的【答案解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为371=1010－．考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．【答案】(1)．13(2)． 1 【答案解析】：因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=．2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．【答案】 ①．1635， ②． 127##517【答案解析】:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种，所以11242437C C C 16(2)C 35P ξ+===，由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P ξ===，16(2)35P ξ==，，()()233377C 31134C 35C 35P P ξξ======所以15163112()1234353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=,故答案为：1635，127．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．【答案】0.18 【答案解析】：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，若第1场或第2场输1场，则12120.60.40.50.60.072P C =⨯⨯⨯⨯=，若第3场或第4场输1场，则21220.60.50.50.60.108P C =⨯⨯⨯⨯=，所以甲以4：1获胜的概率是120.18P P +=．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．【答案】 (1)． 1 (2)． 89【答案解析】:2244224461(2)366m n m n m n C P C C C ξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=．由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=．故答案为1；89．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14 【答案解析】因为()22,X N σ ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．。

2019年高考真题概率统计专题总结小题+大题详细答案解析

2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11163.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .154.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．127.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.88.（2019年江苏卷5题,满分5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.9.（2019年江苏卷6题,满分5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.10.（2019年浙江卷7题,满分4分）设01α<<，则随机变量X 的分布列是则当α在()0,1内增大时，.A ()D X 增大B ．()D X 减小C .()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大11.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82812.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．13.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈.14.（2019年全国卷2,理数18题,满分12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.P X=；（1）求()2（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率.15.（2019年全国卷3,文数、理数17题,满分12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．16.（2019年北京卷,文数17题,满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于2000元大于2000元支付方式仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．17.（2019年北京卷,理数17题,满分13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18.（2019年天津卷,文数15题,满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记A B C D E F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不为,,,,,享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工A B C D E F项目子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.19.（2019年天津卷,理数16题,满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．答案解析1.【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A .3.【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=.5.【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A .6.【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D .7.【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。

2019年高考数学(理)真题与模拟题分类训练专题10 概率与统计(教师版含解析)

专题10 概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查．【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X ；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333kkkP X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 127p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-，所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．12．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若(01)0.4P ξ<<=，则(02)P ξ<<=A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2【答案】B【解析】由正态分布的图象和性质得(02)2(01)20.40.8P P ξξ<<=<<=⨯=．故选B ．【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．13．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．100，10B ．100，20C ．200，10D ．200，20【答案】D【解析】由题得样本容量为(350020004500)2%100002%200++⨯=⨯=，抽取的高中生人数为20002%40⨯=人，则近视人数为400.520⨯=人，故选D ．14．【陕西省2019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X ，则X 的数学期望是 A ．1B ．2C ．32D ．52【答案】A【分析】先计算依次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率，进而利用二项分布求数学期望即可．【解析】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为111224⨯=， ∴1~(4,)4X B ，∴1()414E X =⨯=．故选A ．【名师点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望．如果离散型随机变量服从二项分布~(,)B n p ，也可以直接利用公式()E np ξ=求数学期望．15．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 A ．35,33,30B ．36,32,30C ．36,33,29D ．35,32,31【答案】B【分析】先将各年级人数凑整，从而可确定抽样比；再根据抽样比计算得到各年级抽取人数．【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的总人数所占比例分别为1849，1649，1549，因此，各年级抽取人数分别为18983649⨯=，16983249⨯=，15983049⨯=，故选B ． 16．【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则()E ξ=A ．145 B ．135 C ．73D ．83【答案】A【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122()i i E p p p ξξξξ=++++可求得数学期望．【解析】ξ的可能取值为2,3,4，2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525P ξ==⨯=；3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故322312(3)555525P ξ==⨯+⨯=；4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故224(4)5525P ξ==⨯=，所以912414()2342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选A ． 17．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s ><D ．270,75x s ><【答案】A【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案．【解析】由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <．故选A ．【名师点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．18．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000人C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】D【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+950.170.5⨯=，故C 正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误．故选D ． 19．【天津市南开中学2019届高三模拟试题】《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）在（1）中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．【答案】（1）1，3，2；（2）415．【分析】（1）先求出样本容量与总体个数的比，由此利用分层抽样的方法能求出从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7，20），[20，40），[40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数26C 15n ==，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为2232C C 4m =+=，由此能求出这2人来自同一年龄组的概率．【解析】（1）∵样本容量与总体个数的比是6110818=， ∴样本中包含3个年龄段落的个体数分别是：年龄在[7，20）的人数为6108⨯18＝1，年龄在[20，40）的人数为6108⨯54＝3，年龄在[40，80）的人数为6108⨯36＝2， ∴从这三个不同年龄组[7，20），[20，40），[40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7，20），[20，40），[40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为26C 15n ==，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为2232C C 4m =+=，∴这2人来自同一年龄组的概率415m P n ==． 20．【2019北京市通州区三模】为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值．（1）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；（2）从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取2台，求这两台机器的利润率不同的概率；（3）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利1x 万元，销售一台第二类机器获利2x 万元，…，销售一台第五类机器获利5x ，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为()E x ，设123455x x x x x x ++++=，试判断()E x 与x 的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）13；（2）1021；（3）()E x x <．【分析】（1）先由题意确定，本月卖出机器的总数，再确定利润率高于0.2的机器总数，即可得出结果；（2）先由题意确定，销售单价为20万元的机器分别：是第一类有5台，第三类有10台，共有15台，记两台机器的利润率不同为事件B ，由11510215C C ()C P B =即可结果；（3）先由题意确定，x 可能取的值，求出对应概率，进而可得出()E x ，再由123455x x x x x x ++++=求出均值，比较大小，即可得出结果．【解析】（1）由题意知，本月共卖出30台机器，利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台．设“这台机器利润率高于0.2”为事件A ，则101()303P A ==．（2）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万，第一类有5台，第三类有10台，共有15台，随机选取2台有215C 种不同方法，两台机器的利润率不同则每类各取一台有11510C C 种不同方法，设两台机器的利润率不同为事件B ，则11510215C C 10()C 21P B ==．（3）由题意可得，x 可能取的值为8,5,3,1051(8)306P x ===，21(5)3015P x ===， 1083(3)305P x +===，51(10)306P x ===，因此113177853*******(55)E x =⨯+⨯+⨯+⨯=；又8531032955x ++++==，所以()E x x <．21．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ．方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）96625；（2）第一种方案；（3）分布列见解析，6()5E X =．【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ，所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===，（2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==，因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X 的分布列如下：所以()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率．。

2019年全国各高三数学联考试题重组卷专项题型一：概率与统计(文)(教师版)

2019年全国各高三数学联考试题重组卷专项题型一：概率与统计（文）（教师版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！题型二概率与统计〔文〕【备考要点】概率问题综合性强，都是以实际问题为背景，对运用数学思想方法的要求高。

重点考查随机事件、古典概型、互斥事件、独立事件、n 次独立重复试验中恰好发生k 次等五种事件的概率.会用样本频率分布估计总体分布,会用样本平均数估计总体期望值,会用样本的方差估计知识约占全卷总分的10%左右。

基本上是是一个选择题或填空题、一个解答题。

概率与统计问题是每年高考必考内容.其考查特点一是重视对等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n 次独立重复试验种恰好发生k 次的概率计算公式等五个基本公式的应用试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.【2017高考题型】概率与统计高考对概率与统计内容的考查,往往以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,2017年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置,可见概率统计在高考中属于中档题。

在今年的高考中,可能涉及等可能事件,互斥事件,对立事件,独立事件的概率的求法,对于这部分,我们还应当重视与传统内容的有机结合【2018命题方向】【原题】〔本小题总分值13分〕为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.〔Ⅰ〕求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；〔Ⅱ〕求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率【解析】基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”.2分〔Ⅰ〕设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，4分那么()2163P A ==.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.…7分〔Ⅱ〕设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，…10分那么()4263P B ==.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.…13分【试题出处】海淀区高三年级第一学期期末试题数学〔文科〕【原题】〔本小题共12分〕2017年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”、A 、B 、C 、D 四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A 、B 、C 、D 四个管理部门的现场市民代表〔每一名代表只参加一个部门的问政〕人数的条形图如下、为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：〔I 〕假设市民甲选择的是A 部门，求甲的调查问卷被选中的概率；〔11〕假设想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D 部门的概率、【解析】〔Ⅰ〕由条形图可得，分别负责问政,,,A B C D 四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A 部门的市民为40人、由分层抽样可得从A 部门问卷中抽取了40204200⨯=份、设事件M =“市民甲被选中进行问卷调查”，所以4()0.140P M ==、答：假设甲选择的是A 部门，甲被选中问卷调查的概率是0.1、…………〔6分〕〔Ⅱ〕由图表可知，分别负责问政A ，B ，C ，D 四部门的市民分别接受调查的人数为4，5，6，5、其中不满意的人数分别为1，1，0，2个、记对A 部门不满意的市民是a ；对B 部门不满意的市民是b ；对D 部门不满意的市民是d c ,、设事件N=“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D ”、从填写不满意的市民中选出2人，共有〔a ，b 〕，〔a ，c 〕，〔a ，d 〕，〔b ，c 〕，〔b ，d 〕，〔c ，d 〕共6个基本事件；而事件N 有〔a ，c 〕，〔a ，d 〕，〔b ，c 〕，〔b ，d 〕，〔c ，d 〕共5个基本事件，所以5()6P N =、答：这两人中至少有一人选择的是D 的概率是65、……………〔12分〕【试题出处】湖北省武昌区2018届高三年级元月调研测试数学试题〔文〕【原题】(此题12分)某企业招聘中，依次进行A 科、B 科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。

2015年高考数学—概率(解答+答案)

2015年高考数学—概率（解答+答案）1.（2015新课标Ⅰ文数（19）（本小题满分12分））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x ry u r w u r821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()iii w w y y =--∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w 1 x 1, ，w u r =1881i w =∑1（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 。

根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？+u的斜率和附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （u n v n）,其回归线v=αβ截距的最小二乘估计分别为：2.（2015新课标II文数18．（本小题满分12分））某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。

A地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表（1）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由频率/5060708090100 满意度评分405060708090满意度评分100 频率/3.（2015安徽文数17.（本小题满分12分））某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100]（Ⅰ）求频率分布图中a的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.4.（2015北京文数（17）（本小题13分））某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。