等腰三角形测试题

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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题 (1)

2018年北师大版八年级数学下册1.1《等腰三角形》综合训练题一、选择题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A．35° B．40° C．45° D．50°3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD 等于( )A．36° B．54° C．18° D．64°4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是( )A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C 的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．60°6. 如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44° B．66° C．88° D．92°7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是( )A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AB＝BC D．∠BAC＝90°8. 如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD ＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°9. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A．6 B．3 C．2.5 D．210. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题11.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE ＝____．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.(1)若∠BAC＝80°，则∠BAD＝____；(2)若AB＋CD＝12 cm，则△ABC的周长为____ cm.13. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．14. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．三、解答题15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB.AE＝CE，求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.17. 如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD.18. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y 与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．19. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；(2) 证明：BD＝2EC.参考答案1.B2.A3.B4.C5.C6.D7.C8.D9.C 10.C11.3 12.40°24 13.20°14.12°15.证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，∴AM=AN，∵AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠NAD，在△AMD与△AND中，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM=DN．16.证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．17.证明：如图，连接AC，AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD，∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD．18.解：（1）如图所示，BD即为△ABC关于点B的伴侣分割线；（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分两种情况：①△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°-x，当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且90°≥y＞45°；②△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时180°-x-y=y-90°，当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时∠A=45°，∴y=135°-x．综上所述，当y=90°-x，或y=90°+x，或x=45°且y＞x且90°≥y＞45°，或或y=135°-x时，△ABC存在伴侣分割线．19.解：满足条件的所有图形如图所示：共5个．20.证明：（1）△ABD≌△ACF．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠FAC=∠BAC=90°，∵BD⊥CE，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠ACF，∵在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）. （2）∵△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∵BD⊥CE，∴∠BEF=∠BEC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠FBE=∠CBE，∵在△FBE和△CBE中，∴△FBE ≌△CBE （ASA ）， ∴EF=EC ， ∴CF=2CE ， ∴BD=2CE ．北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.(1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式;(2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

12.3等腰三角形试题

八年级上册第12.3等腰三角形测试题一.选择题1. 小明将两个全等且有一个角为60 的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．12、已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为（）．A 、42 °B 、69°C 、69°或84°D 、42°或69°3、如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠= ，DE 垂直平分AC ，则BCD ∠的度数为（）Ａ．80 Ｂ．75Ｃ．65 Ｄ．454、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°5、如图，已知等边三角形ABC 中，BD CE =，AD 与BE 交于点P ，则APE ∠的度数是（）A ．45B ．55C ．60D ．756、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上爬行（A ，C 端点除外），设甲虫P 到另外两边的距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ，则d 与h 的大小关系是（）Ａ．d h > Ｂ．d h <Ｃ．d h = Ｄ．无法确定7. 如图，15A =∠，AB BC CD DE EF ====，则DEF ∠等于（）A F C D HB M EG BE D C A BF A ．90 B ．75 C ．70 D ．608、如图，△MNP 中， ∠P=60°，MN=NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ=a ，则△MGQ 周长是（） PQ MN GA ．8+2aB ．8+aC ．6+aD ．6+2a二.选择题 1. 在△ABC 中，AB=AC ，若∠B=56º，则∠C=__________．2.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，已知∠E=36°，则∠B= ．4.如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= ．5. 等腰三角形至少有a 条对称轴，至多有b 条对称轴，则b a -＝．6. 有一个等腰三角形，三边分别是3x －2，4x －3，6－2x ，则等腰三角形的周长＿＿＿．7. 如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF •的度数是_____．8.在△ABC 中，B C ⊥AC ，D E ⊥AC ，D 是AB 的中点，若∠A=300，AB=8，则BC= ，DE= 。

2020年沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试题(含答案)

《第15章轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．62．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（）A．2B．C．D．4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个5．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．106．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）A．向右平移7格B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．B．C．D．8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（）A．以1m/s的速度，做竖直向上运动B．以1m/s的速度，做竖直向下运动C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角D．以2m/s的速度，做竖直向下运动9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C 在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）A．B．13C．D．18二．填空题（共8小题）11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为．12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为．13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE ＝40°，则∠DBC＝．14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝时，满足条件的点C恰有三个．15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为步．16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M 关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是．17．如图所示的商标有条对称轴．18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为点分．三．解答题（共8小题）19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE ＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．（1）求AE的长；（2）求△ACD的面积．20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．（1）求∠DAE的度数；（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．（1）当x＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝cm；（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．23．（1）当a＝时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有条对称轴．24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；（2）若∠APO＝∠BPO，①求此时P点的坐标；②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE ＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．2．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA＝GB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（）A．2B．C．D．【分析】由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝72°，由三角形内角和定理得出∠A ＝36°，由作图得出BC＝BD，得出∠BDC＝∠C＝72°，证出∠A＝∠ABD，得出AD ＝BD＝BC即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，∴BC＝BD，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝BC＝；故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证出AD＝BD＝BC是解题的关键．4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．5．如图，△ABC 中，BC ＝10，AC ﹣AB ＝4，AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AD ，则S △BDC 的最大值为（）A ．40B ．28C ．20D ．10【分析】延长AB ，CD 交点于E ，可证△ADE ≌△ADC （ASA ），得出AC ＝AE ，DE ＝CD ，则S △BDC ＝S △BCE ，当BE ⊥BC 时，S △BEC 最大面积为20，即S △BDC 最大面积为10．【解答】解：如图：延长AB ，CD 交点于E ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝∠ADE ＝90°，在△ADE 和△ADC 中，，∴△ADE ≌△ADC （ASA ），∴AC ＝AE ，DE ＝CD ；∵AC ﹣AB ＝4，∴AE ﹣AB ＝4，即BE ＝4；∵DE ＝DC ，∴S △BDC ＝S △BEC ，∴当BE ⊥BC 时，S △BDC 面积最大，即S △BDC 最大面积＝××10×4＝10．故选：D ．【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S △BDC ＝S △BEC 是解题的关键．6．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB 为对称轴作轴对称变换C ．绕AB 的中点旋转180°，再以AB 为对称轴作轴对称D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格【分析】认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出．【解答】解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格．故选：D ．【点评】主要考查了轴对称的性质及平移变化．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点A 关于BC 边的对称点为A ′，点B 关于AC 边的对称点为B ′，点C 关于AB 边的对称点为C ′，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为（）A ．B ．C ．D ．【分析】连接CC '并延长交A 'B '于D ，连接CB '，CA '，依据AC ＝A 'C ，BC ＝B 'C ，∠ACB ＝∠A 'CB '，可得△ABC ≌△A 'B 'C ，进而得出S △ABC ＝S △A 'B 'C ，再根据CD ＝CE ＝EC '，可得S △A 'B 'C ＝S △A 'B 'C '，进而得到S △ABC ＝S △A 'B 'C '．【解答】解：如图，连接CC '并延长交A 'B '于D ，连接CB '，CA '，∵点A 关于BC 边的对称点为A ′，点B 关于AC 边的对称点为B ′，点C 关于AB 边的对称点为C ′，∴AC ＝A 'C ，BC ＝B 'C ，∠ACB ＝∠A 'CB '，AB 垂直平分CC '，∴△ABC ≌△A 'B 'C （SAS ），∴S △ABC ＝S △A 'B 'C ，∠A ＝∠AA 'B '，AB ＝A 'B '，∴AB ∥A 'B '，∴CD ⊥A 'B '，∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD ＝CE ，∴CD ＝CE ＝EC '，∴S △A 'B 'C ＝S △A 'B 'C '，∴S △ABC ＝S △A 'B 'C '，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为，故选：B ．【点评】本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是熟知对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（）A．以1m/s的速度，做竖直向上运动B．以1m/s的速度，做竖直向下运动C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角D．以2m/s的速度，做竖直向下运动【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动．故选：B．【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥想象能力．9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．【分析】严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．【解答】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．故选：C．【点评】主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养．10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C 在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）A．B．13C．D．18【分析】过A作AH⊥OB于H，连接AD，根据MN垂直平分AB，即可得到AD＝BD，当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到△BCD周长的最小值为13+5＝18．【解答】解：如图，过A作AH⊥OB于H，连接AD，∵点A坐标为（10，12），AO＝AB，∴OH＝BH＝10，AH＝12，又∵OC＝3BC，∴BC＝5，CO＝15，∴CH＝15﹣10＝5，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AD+CD，∴当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，此时，Rt△ACH中，AC＝＝＝13，∴△BCD周长的最小值＝13+5＝18，故选：D．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二．填空题（共8小题）11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为4．【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE ＝PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD＝∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE＝PC＝4，根据角平分线的性质得到答案．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝15°，∵PC∥OB，∴∠POD＝∠OPC，∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°，∴PE＝PC＝4，∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为100°．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝BA，得到∠E＝∠A＝50°，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵BD垂直平分AE，∴BE＝BA，∴∠E＝∠A＝50°，∴∠EBC＝∠E+∠A＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE ＝40°，则∠DBC＝15°．【分析】根据线段垂直平分线的概念得到∠AED＝90°，进一步求出∠ABD＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DE⊥AB，∴∠AED＝90°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ABD＝∠A＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝65°，∴∠DBC＝15°．故答案为：15°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝或2时，满足条件的点C恰有三个．【分析】分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l ∥AB，分别交两圆于点C2，C3；分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图所示：分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3，此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC1为边长为2的等边三角形，其高为∴S＝×2×＝（2）如图所示：分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，点C1为l与线段AB的垂直平分线的交点，此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC2和△ABC3均为腰长为2的等腰直角三角形，△ABC1为底边为2，高为2的等腰三角形∴S＝×2×2＝2故答案为：或2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，构造圆，结合圆的切线性质及平行线的性质分类讨论，是解题的关键．15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步．【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了．【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则：①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内；②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内．所以跳行的最少步数为3步．【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M 关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是．【分析】连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，由对称性可知PB＝BM＝BQ、△PBQ等腰三角形，进而即可得出PD＝PB，再根据BM的取值范围即可得出线段PQ长的取值范围．【解答】解：∵∠A＝75°，∠C＝45°，∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，如图所示．∵点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，∴BP＝BQ＝BM，∠PBA＝∠MBA，∠MBC＝∠QBC，∴∠PBQ＝120°，∵PB＝BQ，∴∠BPQ＝∠BQP＝30°，∴cos30°＝＝，∴PD＝PB，∵BC＝4，∠C＝45°，∴2≤BM≤4，∵BM＝PB，∴2≤PB≤4，∴2≤PD≤4×，即≤PD≤2，∵PQ＝2PD，∴2≤PQ≤4．故答案为：2≤PQ≤4．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质和三角函数，解题的关键是证得△BPQ是等腰三角形．17．如图所示的商标有两条对称轴．【分析】根据轴对称图形的对称轴的意义结合图形画出，即可得出答案．【解答】解：有两条对称轴，如图所示：直线AB和直线CD．故答案为：两．【点评】本题考查了对轴对称图形的应用，注意：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形图形叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线叫对称轴．18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为9点30分．【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案．【解答】解：2：30时，分针竖直向下，时针指23之间，根据对称性可得：与9：30时的指针指向成轴对称，故实际时间是9：30．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．三．解答题（共8小题）19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE ＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．（1）求AE的长；（2）求△ACD的面积．【分析】（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DAE＝∠ADE，进而得出AE＝DE＝5；（2）过D作DG⊥AC于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到△ACD 的面积．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠DAB，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE＝5；（2）如图，过D作DG⊥AC于G，又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，∴DG＝DF＝4，∵CE＝6，∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，∴△ACD的面积＝×AC×DG＝×11×4＝22．【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接BD，∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A，∴∠DBA＝66°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24°∵AD＝BC，∴BD＝BC，∴∠C＝∠BDC，∴∠C＝＝78°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．（1）求∠DAE的度数；（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据等腰三角形的性质可求∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理可求∠CAD，再根据角的和差关系可求∠DAE的度数；（2）等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，FD＝ED，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝35°，∴∠C＝35°，∴∠CAE＝35°，∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠C＝55°﹣35°＝20°；（2）证明：∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD，∵∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，∵AD⊥BC，∴D是EF边上的中点，∴FD＝ED，∴BD﹣FD＝CD﹣ED，即BF＝CE．【点评】考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．（1）当x＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝cm；（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．【分析】（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，依据点P运动的路程为6.5cm，即可得到x的值以及CP的长；（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，依据勾股定理即可得到x的值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，∴点P运动的路程为6.5cm，∴x＝6.5÷1＝，此时CP＝AB＝cm；故答案为：，；（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，在Rt△BCP中，BC2+CP2＝BP2，即32+x2＝（4﹣x）2，解之得：x＝，∴当x为时，△ABP为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用勾股定理列方程是解决问题的关键．23．（1）当a＝﹣1时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有3条对称轴．【分析】（1）根据题意得2a+5＝3，解方程即可；（2）轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：（1）由题意得：2a+5＝3，解得：a＝﹣1，故当a＝﹣1时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有3条对称轴．故答案为：﹣1，3．【点评】本题考查了轴对称的性质及解一元一次方程的知识，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，是一个基础题．24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答；（3）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）所作图形如图所示；（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；＝3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．（3）S△ABC【点评】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法．25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．【解答】解：如图所示；【点评】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的解题的关键．26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；（2）若∠APO＝∠BPO，①求此时P点的坐标；②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意画坐标系描点，根据两点之间线段最短，求直线AB解析式，与x轴交点即为所求点P．（2）①作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO，所以此时P、A'、B在同一直线上．求直线A'B解析式，与x轴交点即为所求点P．②法一，根据坐标系里三角形面积等于水平长（右左两顶点的横坐标差）与铅垂高（上下两顶点的纵坐标差）乘积的一半，求得△PAB的面积为12，进而求得△QAP的铅垂高等于6，再得出直线BQ上的点E坐标为（2，8）或（2，﹣4），求出直线BQ，即能求出点Q坐标．法二，根据△QAB与△PAB同以AB为底时，高应相等，所以点Q在平行于直线AB、且与直线AB距离等于P到直线AB距离的直线上．这样的直线有两条，一条即过点P且与AB平行的直线，另一条在AB上方，根据平移距离相等即可求出．所求直线与y轴交点即点Q．【解答】解：（1）∵两点之间线段最短∴当A、P、B在同一直线时，PA+PB＝AB最短（如图1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b∵A（2，2），B（4，﹣3）∴解得：∴直线AB：y＝﹣x+7当﹣x+7＝0时，得：x＝∴P点坐标为（，0）（2）①作点A（2，2）关于x轴的对称点A'（2，﹣2）根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO∵∠APO＝∠BPO∴∠A'PO＝∠BPO∴P、A'、B在同一直线上（如图2）设直线A'B的解析式为：y＝k'x+b'解得：∴直线A'B：y＝﹣x﹣1当﹣x﹣1＝0时，得：x＝﹣2∴点P坐标为（﹣2，0）②存在满足条件的点Q法一：设直线AA'交x轴于点C，过B作BD⊥直线AA'于点D（如图3）∴PC ＝4，BD ＝2∴S △PAB ＝S △PAA '+S △BAA '＝设BQ 与直线AA '（即直线x ＝2）的交点为E （如图4）∵S △QAB ＝S △PAB则S △QAB ＝＝2AE ＝12∴AE ＝6∴E 的坐标为（2，8）或（2，﹣4）设直线BQ 解析式为：y ＝ax +q或解得：或∴直线BQ ：y ＝或y ＝∴Q 点坐标为（0，19）或（0，﹣5）法二：∵S △QAB ＝S △PAB∴△QAB 与△PAB 以AB 为底时，高相等即点Q 到直线AB 的距离＝点P 到直线AB 的距离i ）若点Q 在直线AB 下方，则PQ ∥AB设直线PQ ：y ＝x +c ，把点P （﹣2，0）代入解得c ＝﹣5，y ＝﹣x ﹣5即Q （0，﹣5）ii ）若点Q 在直线AB 上方，∵直线y ＝﹣x ﹣5向上平移12个单位得直线AB ：y ＝﹣x +7∴把直线AB ：y ＝﹣x +7再向上平移12个单位得直线AB ：y ＝﹣x +19∴Q （0，19）综上所述，y 轴上存在点Q 使得△QAB 的面积等于△PAB 的面积，Q 的坐标为（0，﹣5）或（0，19）【点评】本题考查了两点之间线段最短，轴对称性质，求直线解析式，求三角形面积，平行线之间距离处处相等．解题关键是根据题意画图描点，直角坐标系里三角形面积的求法（）是较典型题，两三角形面积相等且等底时，高相等即第三个顶点在平行于底的直线上．1、天下兴亡，匹夫有责。

三角形测试题

A D B 19题 E
C
四、中考模拟题 20.如果以如果以5cm长为等腰三角形的一边另一边为长为等腰三角形的一边,另一边为如果以长为等腰三角形的一边另一边为10cm,则则它的周长应为_____. 它的周长应为 21.如图在△ABC中,已知∠B和∠C的平分线相交于点如图,在中已知∠ 和的平分线相交于点F, 如图已知的平分线相交于点过点F作 ∥ 交过点作DE∥BC交 AB于D,交AC于E,若BD+CE=9,求于交于若求线段DE的长的长. 线段的长
10.3 等腰三角形卷) 等腰三角形(A卷
一、基础巩固题
1.等腰三角形的等腰三角形的_____、______、______三线合一三线合一. 等腰三角形的、、三线合一 2.等腰三角形的一个底角为 °,则它的顶角是等腰三角形的一个底角为50° 则它的顶角是则它的顶角是______. 等腰三角形的一个底角为 3.在△ABC中,AB=AC,∠B=80°,则∠A=_____°. 在中 ∠ °则 ° 4.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC, 在中 ∠ ° ⊥ D为垂足则∠BAD=_____°. 为垂足,则为垂足 ° 5.在△ABC中,∠A=100°,∠B=40°,试判断在中∠ °∠ ° 试判断三角形. △ABC是______三角形是三角形
B
19.已知如图已知:如图是等边△ 一边上的高,延长已知如图,BD是等边△ABC一边上的高延长至E, 是等边一边上的高延长BC至使CE=CD. (1)试比较与DE的大小关系并说明理由试比较BD与的大小关系并说明理由; 的大小关系,并说明理由试比较 (2)若将改为△ABC的角平分线或中线能否得出同若将BD改为的角平分线或中线,能否得出同若将改为△ 的角平分线或中线样的结论? 样的结论

13.3 等腰三角形同步练习测试卷

13．3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【课前预习】1．______________的三角形叫做等腰三角形．2．等腰三角形的两个底角______(简写成“______________”)．3．等腰三角形的________________、________________、________________相互重合(简写成“__________”)．【当堂演练】1．若等腰三角形的两边长为3 cm和4 cm，则这个等腰三角形的腰长为( )A．4 cm B．3 cm C．4 cm或3 cm D．无法确定2．等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为( )A．15 B．11 C．7 D．15或73．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°4．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )A．过顶点的直线 B．底边上的高C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，则下列结论中错误的是( ) A．∠BAD＝∠CAD B．AD⊥BCC．∠B＝∠C D．∠BAC＝∠B第5题图第6题图6．如图，点D在AC上，AB＝AC，AD＝DB，则图中的等腰三角形有______个．7．如图，已知AB∥CD，AB＝AC，∠ABC＝68°，则∠ACD＝______．8．若等腰三角形的一个角为80°，则另两个角分别是______________．9．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠AED＝∠AFD＝90°，AE＝AF.求证：∠1＝∠2.【课后巩固】一、选择题1．(2016·湘西州)一个等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是()A．13 cm B．14 cmC．13 cm或14 cm D．以上都不对2．(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°第2题图第3题图3．(2015·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为()A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是()A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cmC．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm5．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A．44°B．66°C．88°D．92°第5题图第6题图二、填空题6．如图，一张三角形纸片ABC，AB＝AC＝5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕交AC边于点E，则线段AE的长为______．7．等腰三角形中，一边与另一边之比为3∶4，该三角形周长为110，则腰长是________．8．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB 于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心、1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝______.三、解答题9．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AD与BE交于点F，连接CF.求证：BF＝2AE.10．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.(1)如图①，若∠A＝40°，则∠DBC＝______；若∠A＝50°，则∠DBC＝______；若∠A ＝α，则∠DBC＝______；(2)如图②，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．①②第2课时等腰三角形的判定【课前预习】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也__________(简写成“____________”)．【当堂演练】1．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD的长为()A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm第1题图第3题图2．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是() A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．如图，等腰三角形的个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③BO＝OC；④OE＝OD.从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是()A．①②B．①③C．③④D．②③5．在△ABC中：(1)若∠B＝∠C，AB＝5，则AC＝______；(2)若∠B＝50°，∠C＝65°，则△ABC的形状是____________．6．如图，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E，C在同一条直线上．试判断△ABC为__________三角形．第6题图第7题图7．在一次夏令营活动中，小欢同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，由此可知，B，C两地相距______米．8．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB＝AC.9．如图，已知锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【课后巩固】一、选择题1．如图，在△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°2．把两个都有一个锐角为30°且一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于点M、交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有______个．三、解答题5．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．6．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．7．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)若点O在△ABC外部，AB＝AC成立吗？请画图并证明你的结论．①②13．3. 2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定【课前预习】1．____________的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质：(1)等边三角形是______对称图形，且有______条对称轴，对称轴是________________；(2)等边三角形是______的等腰三角形，具有等腰三角形的性质；(3)等边三角形的三个内角都______，并且每一个角都等于______．3．等边三角形的判定定理：(1)三个角都______的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的________________是等边三角形；(3)三条边都______的三角形是等边三角形．【当堂演练】1．等边三角形的对称轴有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD的度数为( )A．30° B．60° C．120° D．180°第2题图第3题图3．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°B．220°C．240°D．300°4．如图，已知P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ.则∠ABC的度数为______°.5．已知△ABC中，AB＝AC.①若AB＝BC，则△ABC是等边三角形；②若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形；③若∠B＝60°，则△ABC是等边三角形．上述结论中正确的有__________(填序号)．6．用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成______个等边三角形．7．如图，△ABC是等边三角形．点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，且AD ＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．【课后巩固】一、选择题1．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形() A．2个B．3个C．4 个D．5个第1题图第2题图2．如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，∠2的度数为() A．60°B．45°C．40°D．30°3．若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题4．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝______°.第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接AA′，则四边形ABC′A′ 的周长为______．6．如图，△ABC，△ADE，△EFG都是等边三角形，点D和G分别是AC和AE的中点，若AB＝4，则多边形ABCDEFG的周长为______．第6题图第7题图7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A 旋转后得到△ACE，则CE的长度为______．三、解答题8．如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)求∠BEC的度数；(2)△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．9．如图，已知在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：点M是BE的中点．第2课时 30°角的直角三角形的性质【课前预习】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的______等于______的一半．【当堂演练】1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，∠B ＝30°，AD ＝2 cm ，则AB 的长为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm2．三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角为30°，这个三角形( )A ．一定是直角三角形B ．一定是钝角三角形C ．不可能是直角三角形D ．不可能是锐角三角形3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，CD 是斜边AB 上的高，则以下关系中不正确的是( )A ．CD ＝12ACB ．BD ＝12CDC ．BD ＝14AB D ．BC ＝12AB 4．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A ．6米B ．9米C ．12米D ．15米5．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，AB ＝10，则BC ＝______.6．如图，点D 为等边△ABC 的边BC 的中点，则AB ∶BD ＝______.第6题图第7题图7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝4 cm ，则∠BCD ＝______，BD ＝______cm.8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，∠A ＝30°，AB ＝8，则DE 的长度是______．第8题图第9题图9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD＝______.10．如图，在△ABC中，若∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交BC于点M、交AB于点N，BM＝12 cm，求AC的长．【课后巩固】一、选择题1．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且DE ⊥BC ，DE ＝12CD ，则∠B 的度数为( ) A ．60° B ．30° C ．20° D ．10°第1题图第3题图2．三角形三个内角之比为1∶2∶3，最长的一边边长为16 cm ，则最短的一边边长为( )A ．8 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．10 cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分AB ，垂足为点D ，交BC 于点E ，BE ＝6 cm ，AC ＝3 cm ，则∠B 的度数为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°4．如图，已知∠ABC ＝60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E ，连接CE.则下列结论：①BE ＝AE ；②BD ＝AE ；③AE ＝2DE ；④S △ABE ＝S △CBE ，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题5．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC ＝1，则EF ＝______.第5题图第6题图6．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∠C ＝30°，以顶点A 为圆心、AB 长为半径画圆弧交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E .若DE ＝a ，则BC 长为______(用含a 的代数式表示)．三、解答题7．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE ∥AB.过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC.(1)求证：OB＝AC；(2)求∠BAC的度数；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？。

初中数学人教版(五四制)八年级上册第二十章轴对称20.3 等腰三角形-章节测试习题(4)

章节测试题1.【答题】若等腰三角形的底角为54°，则顶角为（）A. 108°B. 72°C. 54°D. 36°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵等腰三角形的底角为54°，∴顶角=180°-2×54°=72°，选B.2.【答题】如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=50°，则∠CAD的大小为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 60°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵在△ABC中，AB=AC，∠1=50°，∴∠C=∠B=，又∵AD∥BC，∴∠CAD=∠C=65°.选B.3.【答题】下列三角形不一定全等的是（）A. 面积相等的两个三角形B. 周长相等的两个等边三角形C. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形D. 有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定解答即可.【解答】A、如果△ABC和△DEF中，BC=1，BC上的高AD=2，△DEF的边EF=2，EF 上的高是1，两三角形的面积相等，但△ABC和△DEF不一定全等，故本选项正确；B、△ABC和△DEF，AB=BC=AC，DE=EF=DF，根据周长相等，则AB=BC=AC=DE=DF=EF，根据SSS即可推出两三角形全等，故本选项错误；C、根据直角三角形全等的判定定理HL，推出两三角形全等，故本选项错误；D、△ABC和△DEF中，AC=AB=DE=DF，只能是顶角是100°，在△ABC和△DEF中,，可得△ABC≌△DEF（SAS），故本选项错误；选A.方法总结：此题主要考查了三角形的有关知识，根据三角形的面积公式即可判断A；根据周长求出两三角形的三边相等，根据SSS即可判定两三角形全等；根据HL 即可判断两直角三角形全等；根据SAS即可判断两三角形全等．4.【答题】如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D 作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．选D.5.【答题】若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A. 40°B. 100°C. 40°或100°D. 40°或70°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵等腰三角形中有一个角等于40°，∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2=100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．选C.6.【答题】如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（）A. 120°B. 30°C. 60°D. 80°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B=30°.因为AB的垂直平分线交BC于点D，所以DB=DA，所以∠B=∠DAB=30°.所以∠ADC=∠B+∠DAB=30°+30°=60°.选C.7.【答题】已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于（）A. 95°B. 15°C. 95°或15°D. 170°或30°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为A和B两点在线段EF的中垂线上，所以AE=AF，BE=BF，所以∠AEF=∠AFE，∠BEF=∠BFE.因为∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，所以∠AEF=(180°-70°)÷2=55°，∠BEF=(180°-100°)÷2=40°.①当点A，B在EF的同侧时，∠AEB=∠AEF-∠BEF=55°-40°=15°；②当点A，B在EF的异侧时，∠AEB=∠AEF+∠BEF=55°+40°=95°.选C.8.【答题】如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为（）A. 50°B. 30°C. 75°D. 45°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠A＝30°，所以∠ABC=(180°-30°)÷2=75°，因为AB的垂直平分线交AC于D，所以DA=DB，所以∠A=∠DBA=30°.所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-30°=45°.选D.9.【答题】如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE的度数为（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为DE垂直平分AC，所以EA=EC，∠A=∠ACE.因为∠A＝30°，所以∠ACE=30°.所以∠BCE=∠ACB-∠ACE=80°-30°=50°.选D.10.【答题】如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3.则CE长为（）A. 6B. 9C. 3D. 8【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为ED垂直平分BC，所以∠EDB=90°，EB=EC.因为∠B=30°，∠EDB=90°，所以BE=2DE=6.所以CE=BE=6.选A.11.【答题】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB 于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A. 80°B. 60°C. 40°D. 20°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC=80°.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以EB=EA，所以∠EAB=∠EBA=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.选B.12.【答题】如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE恰好平分△ABC，有以下结论：（1）ED=EC；（2）△BEC的周长等与2AE+EC；(3)图中共有3个等腰三角形；（4）∠A=36°，其中正确的共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】（1）由题意可知DE⊥AB，BE平分∠ABC，∴当EC⊥BC时，有ED=EC，∵AB=AC，∴∠ACB不可能等于90°，∴ED=EC不正确；（2）∵E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∵∠ABE=∠ABC，∠BEC=∠A+∠ABE，∴∠BEC=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠C=∠BEC，∴BE=BC，∴EC+EB+BC=EC+EA+EA=2EA+EC，∴（2）正确；（3）∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠C=∠ABC，∵EA=EB，∴△EAB为等腰三角形，∠A=∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠C=2∠CBE，又∠BEC=∠A+∠ABE=2∠CBE，∴∠BEC=∠C，∴BE=BC，∴△BEC为等腰三角形，∴图中共有3个等腰三角形，∴（3）正确；（4）由（3）可得∠BEC=∠C=2∠EBC，∴2∠EBC+2∠EBC+∠EBC=180°，∴∠EBC=36°，∴∠A=∠ABE=∠EBC=36°，∴（4）正确；∴正确的有（2）（3）（4）共三个，选B.13.【答题】等腰三角形的一个外角比与它相邻的内角大30°，则这个等腰三角形的底角为（）A. 75°B. 37.5°C. 52.5°或75°D. 30°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】设这个外角的度数为，根据题意可得：，解得：，即这个外角为105°，则与其相邻的内角为75°.（1）当这个内角为顶角时，则底角为：；（2）当这个内角为底角时，底角就为75°；综合（1）、（2）可得这个等腰三角形的底角为52.5°或75°.选C.14.【答题】如图，D是ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是（）A. ∠1=2∠2B. ∠1+∠2=90°C. 180°-∠1=3∠2D. 180°+∠2=3∠1【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】AB=AC=BD由三角形角的性质知∠2+∠C=∠1，2∠C+∠2+∠1=180°，消去∠C,可得180°+∠2=3∠1.所以选D.15.【答题】如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC 的外角平分线于M，交AB，AC于F，E，以下结论：①MB⊥BD，②FD=EC，③EC=EF+DG，④CE=MD/2，其中一定正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】解：∵BD分别是∠ABC及其外角的平分线，故MB⊥BD，①成立；而AB=AC，∴∠FDB=∠DBC；∵∠FBD=∠DBC，∴∠FBD=∠FDB，∴FD=BF，FD=EC，②成立；∠C与∠BGC的大小不确定，∴DE不一定等于DG，∵EC=DF=EF+DE，∴EC不一定等于EF+DG；故错误；而CE=BF，④成立.选C.16.【答题】如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A. 1+B. 1+C. 2-D. -1【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为，腰长为，所以周长为.故答案为B.17.【答题】如图所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是（）A. ∠1=∠2B. ∠1=∠3C. ∠B=∠CD. ∠3=∠B【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，∴DA=DC=DE.∴∠2=∠3，AE⊥BC，DE∥AB，∴∠1=∠2，∠B=∠C.故答案为D.18.【答题】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN的周长为（）A. 30B. 36C. 39D. 42【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】解：如图，∵OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠1=∠5，∠3=∠6，又∵MN∥BC，∴∠2=∠5，∠6=∠4，∴BM=MO，NO=CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=MA+AN+MO+ON=AB+AC，又∵AB=12，AC=18，∴△AMN 的周长=12+18=30选A.19.【答题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是（）．A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于点D，∴BD=CD. ∵AB=6，CD=4，∴△ABC的周长=6+4+4+6=20选B.20.【答题】一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为（）A. 20°B. 30°C. 80°D. 120°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：设底角为x，顶角为4x．则2x+4x=180°，解得x=30°，∴4x=120°，选D.。

等腰三角形单元测试题(含答案)

等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11．（2012•）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S △ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．12．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．17．（2006•）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3 ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB 边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△A BC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠MCD，理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．17．（2006•）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG 是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AC•PE，AB•PD=AB•CF+AC•PE，即可求证．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。

中考数学复习《等腰三角形》测试题(含答案)

中考数学复习《等腰三角形》测试题（含答案）一、选择题(每题6分，共30分)1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是(B) A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．[2015·内江]如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为(A) A．40°B．45°C．60°D．70°【解析】∵AE∥BD，∴∠CBD＝∠E＝35°，图23－1∴∠CBA＝70°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.3．[2015·黄石]如图23－2，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(B)A．36°B．54°图23－2 C．18°D．64°【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°.4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)A．6 B．7C．8 D．9【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN.∵MN＝ME＋EN，∴MN＝BM＋CN.∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故选D.5．[2015·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(C)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7 cm，∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，图23－3图23－4∴AN ＋NC ＋BC ＝7(cm)，∵AN ＋NC ＝AC ，∴AC ＋BC ＝7(cm)，又∵AC ＝4 cm ，∴BC ＝7－4＝3(cm)．二、填空题(每题6分，共30分)6．[2014·丽水]如图23－5，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D .若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是__20__.7．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA ＝OB ＝18 cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图23－6②，则此时A ，B 两点之间的距离是__18__cm.图23－6【解析】 ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝OA ＝OB ＝18 cm.8．[2015·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝__15__°. 【解析】 ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ，∠AED ＝90°，∴∠A ＝∠ABD ， ∵∠ADE ＝40°，图23－5图23－7∴∠A＝90°－40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C ＝12(180°－∠A)＝65°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.9．[2014·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB 与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.图23－8 图23－910．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__33__.三、解答题(共8分)11．(8分)[2014·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.图23－10证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC.又∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，连结AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作图23－11为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)解：(2)选择①③⇒②，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.13．(12分)[2015·南充]如图23－12，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.图23－12证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，在△AEF 与△CEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠B ，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CEB (AAS )； (2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BC ＝2CD ， ∵△AEF ≌△CEB ， ∴AF ＝BC ， ∴AF ＝2CD .14．(12分)[2015·铜仁]已知，如图23－13，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连结DF 并延长交BC 的延长线于点E ，EF ＝FD . 求证：AD ＝CE .图23－13证明：如答图所示，作DG ∥BC 交AC 于G ，则∠DGF ＝∠ECF ，在△DFG 和△EFC 中，第14题答图⎩⎪⎨⎪⎧∠DGF ＝∠ECF ，∠DFG ＝∠EFC ，FD ＝EF ，∴△DFG ≌△EFC (AAS )， ∴GD ＝CE ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∵DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∴∠A ＝∠ADG ＝∠AGD ， ∴△ADG 是等边三角形， ∴AD ＝GD ， ∴AD ＝CE .。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13-3等腰三角形》同步达标测试题(附答案)

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（）A．4B．10C．4 或10D．6 或102．已知等腰三角形ABC的周长为20cm，BC＝8cm，则AB的长度是（）A．8cm B．6cmC．8cm或6cm D．8cm或6cm或4cm3．已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（）A．50°B．60°C．30°D．40°4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°5．如图，在△ABC中，D、E是两边AB、AC上的点，DE∥BC，DE＝BE，若∠DBC＝20°，∠C＝65°，则∠A的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．35°B．30°C．25°D．15°7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）°A．150B．120C．90D．808．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．59．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是（）A．10B．8C．6D．410．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB的值为（）A．B．C．D．无法确定二．填空题（共6小题，满分30分）11．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．12．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝．13．如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，则BC＝cm．15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F 作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为．16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是．（填序号）三．解答题（共5小题，满分50分）17．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）AF＝CE．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．19．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE＝BD；（2）求证：MN∥AB．20．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB 的大小为（直接写出结果，不证明）21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去；当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系．故选：B．2．解：（1）当BC＝8cm为底边时，AB为腰，由等腰三角形的性质，得AB＝（20﹣BC）＝6cm；（2）当BC＝8cm为腰时，①若AB为腰，则BC＝AB＝8cm；②若AB为底，则AB＝20﹣2BC＝4cm，故选：D．3．解：∵等腰三角形的一个底角为70°，∴顶角＝180°﹣70°×2＝40°．故选：D．4．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．5．解：∵DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝20°，∴∠DBE＝∠BDE＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠C＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣65°＝75°，故选：D．6．解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，∵CD＝CG，∴∠CGD＝∠2，∴∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，∴4∠E＝60°，∴∠E＝15°．故选：D．7．解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故选：B．8．解：延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：D．9．解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．10．解：∵DE＝CE∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，∵∠B＝60°，∴△ABC及△DCE是等边三角形，∵D为BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AE：AB＝1：2．故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不应为4，而应为9∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22故填：22．12．解：∠B＝30°是底角，如图1：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝30°+30°＝60°，∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，∴∠ADC＝15°+15°＝30°，∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．故∠DAC＝90°或45°．故答案为：90°或45°．13．解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C＝∠AEB＝25°，故答案为：25°．14．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝4cm，DE＝3cm，∴DM＝1cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝cm，∴BN＝cm，∴BC＝2BN＝7cm，故答案为7．15．解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm），故答案为：3cm．16．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故答案是：①②③三．解答题（共5小题，满分50分）17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∵E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝CE．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B （3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，∴∠DEF＝∠B，∴AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DEF＝∠B＝＝70°．19．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，∵∠DCA＝∠ECB＝60°，∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM＝∠CDN，∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN＝60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴MC＝NC，∵∠MCN＝60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC＝∠DCN＝60°，∴∠NMC＝∠DCA，∴MN∥AB．20．解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）AC＝BD，∠APB＝α．21．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE（AAS），（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA＝110°时，∴∠ADC＝70°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC＝100°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．。

等腰三角形测模拟试题

等腰三角形测试题(满分60分)一、选择题(3’*8=24’) 答案: / / / / / / /1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，∠B=50°，则∠CAD等于( ) °°°°6．若等腰三角形的一个内角等于92°，则另两个内角的度数分别为( ) °、16°°、44°°、16°或44°、44°°、46°7．在△ABC中，①若AB=BC＝CA，则△ABC是等边三角形；②一个底角为60°的等腰三角形是等边三角形；③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形;④有两个角都是60°的三角形是等边三角形.上述结论中正确的有.( )个个个个8．下列说法中，正确的有( )①等腰三角形的底角一定是锐角;②等腰三角形的内角平分线与此角所对边上的高重合；③顶角相等的两个等腰三角形的面积相等；④等腰三角形的一边不可能是另一边的两倍.个个个个二、填空题(3’*4=12’)9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D为△ABC内部的一点，DB=DC且∠DBC=∠DCA，则∠BDC等于10．等腰三角形“三线合一”是指____ _____．11．如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，且AB=BD=DC，∠C＝40°，则∠ABD=_______.12．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．三、解答题(6’*4=24’)13. 如图，已知AE ∥BC ，AE 平分∠DAC.求证：AB=AC ．14. 如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：AB ＝AC.15．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于D ，DF ⊥AC 于F. 求证：(1)AE ＝AF.(2) AD ⊥EF16.已知:如图,在等腰三角形ABC 中,腰AB 的垂直平分线MN 交AC 于点 D,BC=8厘米,ΔBDC 的周长20厘米.求AC 的长.12A D B C E A B CD E。

三角形的判定测试题

三角形的判定测试题一、选择题1、以下哪个条件可以判定一个三角形是等腰三角形？A.有一个角是钝角B.有一个角是直角C.两边相等D.任意两边之和大于第三边答案：C.两边相等。

等腰三角形是两边相等的三角形，因此选项C是正确的。

2、在一个直角三角形中，如果已知其中一个锐角为40度，那么另一个锐角为多少度？A. 30度B. 45度C. 50度D. 70度答案：B. 45度。

在一个直角三角形中，两个锐角的和为90度，因此另一个锐角为90度-40度=50度，选项B是正确的。

3、下列哪个条件可以判定一个三角形是直角三角形？A.任意两边之和大于第三边B.任意两边之差小于第三边C.一个角是直角D.两个角是锐角答案：C.一个角是直角。

在直角三角形中，有一个角是直角，因此选项C是正确的。

二、填空题1、在三角形ABC中，AB=AC，则这个三角形是________三角形。

答案：等腰。

因为AB=AC，所以这个三角形是等腰三角形。

2、在三角形ABC中，如果AB=AC=BC，那么这个三角形是_________三角形。

答案：等边。

因为AB=AC=BC，所以这个三角形是等边三角形。

三、判断题1、如果一个三角形的两边相等，那么这个三角形一定是等腰三角形。

（）答案：正确。

如果一个三角形的两边相等，那么这个三角形一定是等腰三角形。

2、如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形。

（）答案：正确。

如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形。

三角形全等判定专题训练题一、概念梳理全等三角形是指两个三角形的大小和形状完全相同，即如果两个三角形满足对应的边长相等、对应的角相等，则这两个三角形全等。

全等三角形是几何中一个非常重要的概念，也是许多几何定理的基础。

二、判定方法全等三角形的判定是几何学中的重要内容，以下是常见的几种判定方法：1、边边边（SSS）：如果两个三角形的三条对应边相等，则这两个三角形全等。

2、边角边（SAS）：如果两个三角形的两条对应边相等，并且这两条边的夹角也相等，则这两个三角形全等。

2020年秋人教版八年级数学上册第13章《等腰三角形》(讲义、随堂测试、习题及答案)

人教版八年级数学上册第13章等腰三角形（讲义）➢ 课前预习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）；（2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）；（3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．D CB A 212. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．➢ 知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写：已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ．证明：➢ 精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．CB C B C B AAA108°60°2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．D CB ADCBAEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．CD B AABCE第4题图第5题图5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ．求证：AE =ED ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD于点D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ． E CB AAB CD8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．11.若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．➢课前预习1.（1）=（2）⊥（3）=2.18或21➢知识点睛1.有两边相等2.轴对称，三线合一，对称轴3.相等，等边对等角相等，等角对等边4.相等，60°5.证明：如图∵AB=AC，AD平分∠BAC∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）∴BD=CD➢精讲精练1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.100°4.108°5.25°6.证明略提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE7.证明略提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．8.∠E=60°提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE9.3cm10.40°或100°11.50°或130°12.这样的点能找4个，作图略13.这样的点能找2个，作图略等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．CDB 2.已知等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为10cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 证明略提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD等腰三角形（习题）➢ 例题示范E DCB A例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ．【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点∴12BE BC =∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中 AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．【思路分析】ACDEA B C D A CD等腰三角形一边长为5cm ，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ① 如果5cm 为底，则根据周长为12cm ，可知腰长为3.5cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．② 如果5cm 为腰，则根据周长为12cm ，可知底边长为2cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm 或2cm ． ➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =80°，求∠C 的度数．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BE ∥AC ，∠BDE =100°，∠BAD =70°，则∠E =______．第2题图第3题图3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）CBAED CB ADB AA ．6B ．7C ．8D ．95. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．N M EC BADCBAPA B CD E7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．➢思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】➢巩固练习 1.50° 2.50° 3.36° 4. D5. 证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD 垂直平分BC ，从而得到PB =PC6. 证明略提示：根据等边对等角可得∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，进而可得∠BAD =∠CAE ，从而证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形对应边相等，可得BD =CE7. 20 D C B A8.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略➢思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。

《易错题》小学数学四年级下册第五单元三角形测试(含答案解析)(3)

《易错题》小学数学四年级下册第五单元三角形测试（含答案解析）(3)
一、选择题
1．等腰三角形中，有一个内角是 50°，另外两个内角（）．
A. 一定是 50°和 80°
B. 一定都是 65°
C. 可能是 50°和 80°，也可能都是 65°
2．下面每组三个角，不可能在同一个三角形内的是（）。
A. 124° 27° 39°
20．36；等腰【解析】【解答】解：∠ C=180°-72°-72°=36°两个角度数相等这是一个等腰三角形故答案为：36；等腰【分析】用三角形内角和 180°减去两个已知角的度数即可求出∠ C 的度数三角形两个
解析： 36；等腰【解析】【解答】解：∠C=180°-72°-72°=36°，两个角度数相等，这是一个等腰三角形。故答案为：36；等腰。【分析】用三角形内角和 180°减去两个已知角的度数即可求出∠C 的度数。三角形两个角度数相等，相当于的两条边就相等，两条边相等的三角形是等腰三角形。
12．B
解析： B 【解析】【解答】一个三角形两个内角的和小于第三个角，这个三角形一定是钝角三角形。故答案为：B。【分析】三角形的内角和是 180°，一个三角形两个内角的和小于第三个角，这个三角形一定是钝角三角形。
二、填空题
13．钝角；425【解析】【解答】一个三角形的最大内角是 95 度它是钝角三角形若它又是一个等腰三角形且顶角就是最大的内角则它的底角是（ 180°-95°） ÷2=425 度故答案为：钝角；425【分析】95 度的角
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析： C 【解析】【解答】50 度的角是顶角：另外两个内角都是：（180-50）÷2=65（度）； 50 度的角是底角：另外一个底角是 50 度，顶角是 180-50-50=80（度）。故答案为：C。【分析】50 度的角可能是顶角，也可能是底角，按两种情况分析解答。

等腰三角形与等边三角形专项练习(精品测试卷)(2022年最新)

A.x=2B.x=0C.x=﹣1D.x=﹣3
6.若式子有意义，则一次函数的图象可能是（）
A. B. C. D.
7.要使直线y=（2m－3）x＋（3n＋1）的图象经过一、二、四象限，则m与n的取值为（）
A.m＞，n＞ B.m＞3，n＞－3
C.m＜，n＜ D.m＜，n＞
8.为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（）
13.如果直线y＝2x＋m不经过第二象限，那么实数m的取值范围是___．
14.表格描述的是y与x之间的函数关系：
x
…
－2
0
2
4
…
y＝kx＋b
…
3
－1
m
n
…
则m与n的大小关系是____________．
15.如图,直线y＝kx＋b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点,则不等式－3≤－2x－5＜kx＋b的解集是_______________．
18．（2020秋•杨浦区校级期中）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长．
19．（2020秋•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，判断AB、CD和BD这三条线段的数量关系（用等式表示），并证明．
20．（2020春•延庆区期中）已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．
25．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．
26．（2020秋•泰兴市期中）已知：如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．求证：BC＝DC．
27．（2020春•渭南期中）已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．求证：△OCD是等边三角形．

中考数学优化训练(等腰三角形与直角三角形)测试题(含答案)

中考数学优化训练(等腰三角形与直角三角形）测试题(含答案)(时间：30分钟分值：40分得分： )评分标准：选择每题3分，填空每题4分．1．等腰三角形的底边长为4，则其腰长x的取值范围是( )A．x＞4 B．x＞2C．0＜x＜2 D．2＜x＜42．如图1，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )图1A．35°B．40°C．45°D．50°3．将一块含有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图2，则三角板的最大边的长为( )图2A．3 cm B．6 cmC．3 2 cm D．6 2 cm4．如图3，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，当∠ACE＝35°时，∠BAD的度数是__________．图35．(8分)如图4，已知等边三角形ABC ，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ.判断△APQ 是什么形状？试证明你的结论．图46．满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为( ) A ．AB ＝41，BC ＝4，AC ＝5 B ．AB ∶BC ∶AC ＝3∶4∶5 C ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋()33tan B -2＝07．(12分)如图5，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AD ，AD 交BC 于点P ，∠BAD ＝30°.图5(1)求证：△ACD 是等边三角形； (2)求∠BDC 的度数．8．如图6，已知线段AB ＝4，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝60°，P 点是直线l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则BP ＝ .图6中考数学优化训练(等腰三角形与直角三角形）测试题参考答案1．B 2.A 3.D 4.20°5．△APQ 为等边三角形．证明如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC. 在△ABP 与△ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，∴△ABP ≌△ACQ(SAS)． ∴AP ＝AQ ，∠BAP ＝∠CAQ. ∵∠BAC ＝∠BAP ＋∠PAC ＝60°， ∴∠PAQ ＝∠CAQ ＋∠PAC ＝60°. ∴△APQ 是等边三角形． 6．C7．(1)证明：∵∠BAC ＝90°，∠BAD ＝30°，∴∠DAC ＝60°. ∵AC ＝AD ，∴△ACD 是等边三角形． (2)∵∠BAD ＝30°，AB ＝AD ，∴∠BDA ＝∠DBA ＝12×(180°－30°)＝75°.由(1)得△ACD 是等边三角形，∴∠ADC ＝60°. ∴∠BDC ＝∠BDA ＋∠ADC ＝75°＋60°＝135°. 8．2或23或27.。

八年级上册数学等腰三角形测试题

.梅川高中学校八年学年度上学期等腰三角形测试题命题：X俊超一、选择题〔每空3分，共30 分〕1、如图4237，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )A．40° B．35° C．25° D．20°2、图6，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE=BE，DF=DC，若∠A=40°，则∠EDF的度数为( )A.45°B.60°C.70°D.80°3、如图,周长为,点、都在边上，的平分线垂直于，垂足为，平分线垂直于，垂足为，若，则的长为--------〔〕A．3 B． C．D．4、已知BD是等腰的角平分线，如果，那么等于〔〕．A． B．C．D．或或5、如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，∠A＝30°，BD＝4cm，则AB＝〔〕A、1cmB、2cmC、8cm D、16cm6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为〔〕A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°7、如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=2DG；②；③；④图中有8个等腰三角形。

其中正确的是〔〕A、①③B、②④C、①④D、②③8、把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图5所示的图形，两条直角边在同一直线上．则图中等腰三角形有〔〕个.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取最小值时，则∠ECF的度数为A. 30°B. 22.5°C. 15°D. 45°10、如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为〔〕A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°二、填空题〔每空3 分，共30 分〕11、如图12，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1=OB1，连接，在，上分别取点、，使，连接，…，按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则θ1=___________；θn=___________.12、如图，已知AB=2，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，连接PG，则PG的最小值是_______.13、如图，在△ABC中，AB＝AC，BM、CM分别是∠ABC、∠ACB的平分线，DE经过点M，且DE//BC，则图中有个等腰三角形．14、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是°．15、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AC. 则AB : AE＝.13题14题15题16、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为．17、如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是.18、光线以如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ间来回反射，已知=60°，β=50°，则= .19、如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用，，，，…表示，其中x轴与边，边与，与，…均相距一个单位，则顶点的坐标为；的坐标为；〔n为正整数〕的坐标为．20、等腰三角形的周长为20 cm，一边长为6 cm，则底边长为__________．三、解答题〔每空？分，共60分〕21、(8分〕已知：如图15，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.〔1〕求证：△ABC是等腰三角形；〔2〕判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.22、(8分〕作图：〔不写作法，但必须保留作图痕迹，如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，〔点M，N表示大学，AO，BO表示公路〕.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。