数学北师大版八年级下册三角形的中位线PPT
三角形的中位线教学课件--北师大版初中数学八年级(下)
理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的
对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，
连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．
课堂小结
１、三角形中位线的定义
2、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三 边的一半
3、会利用三角形中位线定理解决一些实际 问题
D
E
F
B
DE和边BC关系
C
位置关系： DE∥BC
数量关系： DE= 1 BC. 2
知识讲授
知识讲授
2.三角形的中位线定理
定理：三角形的中位线平行于第三边,
并且等于它的一半.
∵AD=DB,AE=EC
A
符号语言：∴DE∥BC,
D
E
1
DE= BC
2
B
C
知识讲授
已 求知 证：：DDEE∥是B△CA，BCD的E＝中12位B线C
随堂训练
随堂训练
1.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中
点， 且AD=10cm，那么OE= 5 cm.
2.三角形的周长为18cm，面积为48cm2 ，这 个三角形的三条中位线围成三角形的周长
是 9cm ，面积是 12cm2 .
思考:
①图中有几个平行四边形？ ②图中有几个三角形？它们有什么关系？
A
A
10
D
E5 O
D
E C
B
C
BF
随堂训练
D B
D
A
3.三角形的中位线__平__行_于__第三边,并 且__等__于__第三边的____一__半______
E 4．如图：在△ABC中，DE是中位 线。 C （1）若∠ADE=60°，则∠B= 60° ;
三角形的中位线-北师大版八年级数学下册课件
A H
E B F
D
G
C
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴EF∥AC, EF
1 2
AC .
HG∥AC, HG 1 AC.
2
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
A H
E B F
D
G
C
例.如图,在等边三角形 ABC 中,点
D,E 分别是边 BC,AC的中点,过点E作
∴△ADE≌△CFE(SAS).
D
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴BD∥CF.
∵AD=BD,
B
∴BD=CF. ∴四边形ABCD是平行四边形.
(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC, DE 1 DF 1 BC.
2
2
A EF C
三角形中位线性质的运用
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
∠A=50° ，∠B=60°,则∠AED 等于（ ）. A
A.70° B.67.5° C. 65° D.60°
2.如图,在▱ABCD 中,AD =4,点 E,F 分别是 BD,CD的中点,则 EF
等于（ ） A
A. 2 B.3 C.4 D.5
3.如图,▱ABCD 的周长为 36,对角线 AC,BD 相交于
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
A
求证:DE∥BC, DE 1 BC.
2
D
E
B
C
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与 BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于 是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.
北师大版八年级数学下册三角形的中位线课件
亲爱的同学们： 今天我们上了一节有关
三角形中位线的课，在这节课 上，我学会……
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半。 应用： ① 证明平行问题。② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
∴四边形EFGH是平行四边形 (一组对边平行并且
相等的四边形是平行四边形).
证明: 连结AC BD ∵ EF和HG分别是⊿ABC 和
A
H
D
E G
⊿ADC的中位线
B
F
C
∴ EF//AC HG//AC(三角形的中位线平行于第三
边,并且等于张三边的一半)
∴ EF//HG 同理可证 EH//FG ∴四边形EFGH是平行四边形 (两组对边分别平行的 四边形是平行四边形).
你还能用不 同的方法加
DE 1 BC 2
以证明吗?
A
D
EF
B
C
D B
A E C
A
D
E
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
A 如果 DE是△ABC的中位线
D B
E 那么 ⑴ DE∥BC， ⑵ DE=1/2BC
C
用 ① 证明平行问题
途 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
四边形
（2007湖南怀化）如图： A1，B1，C1 分别是
BC，AC，AB 的中点，A2 ，B2，C2 分别是 B1C1，A1C1 ，
A1B1的中点这样延续下去．已知△ABC的周长是
1，△A1B1C1 的周长是 L1 ，△A2B2C2 的周长是L2
1
伊川县九中八年级数学下册第六章平行四边形3三角形的中位线课件新版北师大版3
讨论 三角形的中位线与中线有什么区别？
答 : 中位线是连结三角 形两边中点的线段 ; 中线是连结一个顶点和 它的对边中点的线段。
思考
从上述的做法中 , 你能猜想出三角形两边中
点的连线与第三边有怎样的关系？ A
猜想1 : DE//BC
猜想2：DE= 1 BC
D
E
2
B
C
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
(1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数 ; (2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差 ; (3)根据经验 , 走时稳定性较好的电子钟质量更优 , 假设两种类型的电子钟 价格相同 , 请问 : 你买哪种电子钟 ？为什么 ？
解：(1)甲种电子钟走时误差的平均数为： 110×(1－3－4＋4＋2－2＋2－1－1＋2)＝0， 乙种电子钟走时误差的平均数为： 110×(4－3－1＋2－2＋1－2＋2－2＋1)＝0， ∴两种电子钟走时误差的平均数都是 0 秒
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
平均数 方差
甲
乙
丙
丁
8.2 8.0 8.0 8.2 2.1 1.8 1.6 1.4
5．某农科所対甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试
验 , 它们的平均亩产量分别是x甲＝610千克 , x乙＝608千克 , 亩产量的方差
分别是s甲2＝29.6 , s乙2＝2.7.那么关于两种小麦推广种植的合理决策是
A : 4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.9 5.8 5.2 5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0
B : 4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9 5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3
北师大数学八年级下册第六章-三角形的中位线经典讲义
第02讲_三角形的中位线知识图谱三角形的中位线知识精讲一．三角形的中位线三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线性质DE ∥BC ， 12DE BC =如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，则线段DE 是△ABC 的中位线．求证：DE ∥BC ， 12DE BC =证明过程：延长DE 到F ，使EF = DE ，连接 FC 、DC 、AF 1）证明四边形ADCF 是平行四边形 2）证明四边形BCFD 是平行四边形∴DE// BC 且DE=EF=12BC 2．任意两点的中点坐标公式：平面直角坐标系内的任意两点()11A x y ， ，()22B x y ，，线段AB 的中点C 的坐标为121222x xy y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ABCD EABCDEF出现两个中点，无三角形→构造三角形如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H分别为四边中点连接对角线AC 、BD ，则HG 为△ADC的中位线，HG ∥AC 且HG ＝12AC 。
最后可证四边形HEFG 为平行四边形三．易错点（1）注意中线与中位线的区分 （2）中位线的辅助线构造三点剖析一．考点：1．中位线定理．二．重难点： 构造中位线，解决相关的角度线段问题．三．易错点：中线与中位线的区别．中位线定理例题1、 如图，▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3cm ，则AB 的长为（ ）A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.12 cm【答案】 B【解析】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC ；又∵点E 是BC 的中点， ∴BE=CE ，∴AB=2OE=2×3=6（cm ） 故选：B ．例题2、 如图，在Rt △ABC 中，△A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A.1B.2C.D.1+【答案】 A【解析】 如图，△在Rt △ABC 中，△C=90°，△A=30°， △AB=2BC=2．又△点D 、E 分别是AC 、BC 的中点， △DE 是△ACB 的中位线， △DE=AB=1．例题3、 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCEH GFEA BCD中，DE 的最小值是（ ）A.5B.6C.12D.13【答案】 A【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°， ∴BC ⊥AB ．∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴OD ＝OE ，OA ＝OC ．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短，此时OD ⊥BC ． ∴OD 是△ABC 的中位线，∴12.52OD AB ==，∴ED ＝2OD ＝5．例题4、 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=DE ，求证：∠CDF=∠A ．【答案】 见解析【解析】 证明：∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，∵点F 在BC 的延长线上， ∴DE ∥CF ， ∵DE=CF ，∴四边形CEDF 为平行四边形， ∴DF ∥CE ，∴∠CDF=∠ECA ，∵∠ACB=90°，E 为AB 的中点， ∴CE=21AB=AE ， ∴∠A=∠DCE ， ∴∠CDF=∠A ．例题5、 （1）如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则BME CNE ∠=∠，求证：AB CD =．（提示取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线） （2）如图2，在ABC ∆中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，若5AB DC ==，60OEC ∠=︒，求OE 的长度．【答案】 （1）见解析（2）52【解析】 连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴EH AB ∥，12EH AB =，FH CD ∥，12FH CD =BME CNE ∠=∠，∴HE HF =， ∴AB CD =；（2）解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ， AB CD =，∴HO HE =，∴HOE HEO ∠=∠，60OEC ∠=︒，∴60HEO AGO ∠=∠=︒， ∴OEH ∆是等边三角形， 5AB DC ==∴52OE =随练1、 一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ） A.6 B.12 C.18 D.36 【答案】 C【解析】 根据题意，画出图形如图示， 点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴DE=12BC ，DF=12AC ，EF=12AB ，∵AB+CB+AC=36，∴DE+DF+FE=36÷2=18． 故选C ．随练2、 如图，△ABC 中，已知AB=8，△C=90°，△A=30°，DE 是中位线，则DE 的长为（ ）A.4B.3C.D.2【答案】 D【解析】 △△C=90°，△A=30°， △BC=AB=4， 又△DE 是中位线， △DE=BC=2．故选D ．随练3、 如图，已知ABC △是锐角三角形，分别以AB 、AC 为边向外侧作两个等边三角形ABM △和CAN △，D 、E 、F 分别MB 、BC 、CN 的中点，连结DE 、FE ，求证：DE EF =.【答案】 证明见解析【解析】 连接MC 、BN ，ABM ∵△和CAN △是等边三角形，60BAM CAN ∠=∠=︒∴，MA BA =，AN AC =， BAM BAC CAN BAC ∠+∠=∠+∠∴， 即MAC BAN ∠=∠， 在MAC △与BAN △中 MA BA MAC BAN AN AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， MAC BAN ∴△≌△， MC NB =∴，D ∵、E 、F 分别是MB 、BC 、CN 的中点，12DE MC =∴，12EF BN =，DE EF =∴.随练4、 如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ．若AB=14，AC=19，则MN 的长度为__________．【答案】 2.5【解析】 延长BN 交AC 于D ，∵AN ⊥BN ，AN 平分∠BAC ，∴AN 是BD 的垂直平分线，∵点M 是BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，111 2.5222MN CD AC AD AC AB ==-=-=（）（） 随练5、 已知，如图，四边形ABCD 中AD BC =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、EF 和BC 的延长线分别交于M 、N 两点，求证：AME BNE ∠=∠．ABCMN ABC D EFMNNMFD C BA【选项】【答案】见解析【解析】证明：连接BD，取BD的中点G，连接EG、FGE、F、G分别是AB、CD、BD的中点//FG BC∴，//EG AD且1=2FG BC，1=2EG ADAME FEG∴∠=∠,BNE GFE∠=∠AD BC=FG EG∴=FEG EFG∴∠=∠AME BNE∴∠=∠．拓展1、如图，在△ABC中，从A点向∠ACB的角平分线作垂线，垂足为D，E是AB的中点，已知AC＝4，BC＝6，则DE的长为（）A.1B.43C.32D.2【答案】A【解析】如图，延长AD交BC于F，∵CD是∠ACB的角平分线，CD⊥AD，∴AD＝DF，AC＝CF，（等腰三角形三线合一），又∵E是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴12DE BF=，∵AC＝4，BC＝6，∴BF＝BC－CF＝6－4＝2，∴1212DE=⨯=．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A.2B.3C.52D.4【答案】 B【解析】 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点 ∴DE ∥AB∴∠EDC=∠ABC ∵BF 平分∠ABC ∴∠EDC=2∠FBD在△BDF 中，∠EDC=∠FBD+∠BFD ∴∠DBF=∠DFB∴FD=BD=12BC=12×6=3．3、 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝________．【答案】 5【解析】 ∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴BC 2＋AC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE ＝EC ＝4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝3， ∴225AD DC AE DE ==+=．4、 如图，点A ，B 为定点，定直线l △AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值： ①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤△APB 的大小． 其中会随点P 的移动而变化的是（ ）A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤【答案】 B【解析】 △点A ，B 为定点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点， △MN 是△PAB 的中位线， △MN=AB ，即线段MN 的长度不变，故①错误； PA 、PB 的长度随点P 的移动而变化，所以，△PAB 的周长会随点P 的移动而变化，故②正确；△MN 的长度不变，点P 到MN 的距离等于l 与AB 的距离的一半， △△PMN 的面积不变，故③错误；直线MN ，AB 之间的距离不随点P 的移动而变化，故④错误； △APB 的大小点P 的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点P 的移动而变化的是②⑤． 故选：B5、 如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边△ACD 、等边△ABE ，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ，当ACAB=______时，四边形ADFE 是平行四边形．【答案】32【解析】 当ACAB =32时，四边形ADFE 是平行四边形．理由：∵ACAB =32，∴∠CAB=30°，∵△ABE 为等边三角形，EF ⊥AB ，∴EF 为∠BEA 的平分线，∠AEB=60°，AE=AB ， ∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°， ∴∠FEA=∠BAC ， 在△ABC 和△EAF 中， ACB EFA BAC AEF AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△EAF （AAS ）； ∵∠BAC=30°，∠DAC=60°， ∴∠DAB=90°，即DA ⊥AB ， ∵EF ⊥AB ， ∴AD ∥EF ，∵△ABC ≌△EAF ， ∴EF=AC=AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形6、 如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点．求证：()12EF BC AD =-【答案】 见解析【解析】 如图所示，连接AE 并延长，交BC 于点G ． AD BC ∥，∴ADE GBE ∠=∠，EAD EGB ∠=∠，又E 为BD 中点，∴AED GEB ∆∆≌．∴BG AD =，AE EG =． 在AGC ∆中，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点∴F 、E 是AGC ∆的为中位线，∴EF BC ∥，()()111222EF GC BC BG BC AD ==-=-，即()12EF BC AD =-。
三角形的中位线课件(共19张PPT)数学北师大版八年级下册
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣三角形中位线定理的数量关系， 将证明线段的倍数关系转化为证明 OF 是△ ABC 的中位线 .
感悟新知
证明：如图 6-3-2，连接 BE. ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB ∥ CD， AB=CD，点 O 是 AC 的中点 . ∵ E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线 上的一点，且 CE=DC， ∴ AB ∥ CE， AB=CE. ∴四边形 ABEC 是平行四边形 .
感悟新知
知1－讲
2. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等 于第三边的一半 . 几何语言： 如图 6-3-1，∵ AD=BD， AE=EC，
∴
DE
∥
BC，且
Hale Waihona Puke DE=1 2BC.
感悟新知
3. 三角形中位线的应用
知1－讲
(1) 三角形中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的
双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；
感悟新知
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
知1－练
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE.∴DB＝EC.
∵点 F，G，H 分别为 BE，DE，BC 的中点，
∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△ BCE 的中位线．
∴FG＝12BD，FH＝12CE.∴FG＝FH.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
◆一个三角形有三条中位线 .
◆三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形， ▲▲ 三个面积相等的平行四边形 . ▲▲
◆三角形的中位线与三角形的中线的区别：
三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，
北师大版八下数学三角形的中位线课件
A E
B
A
G
E
H
E
H
BD
BA
C
F
D
G
C
G
F
G
C
D
F
对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线相等且垂直的四
边形
菱形
矩形
正方形
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第 三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在 三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
动手操作、讨论交流，展示拼图方法。
A
D
EF
A
D
EF
B
C
如 图，延 长DE 到 F， 使EF=DE ，连 结CF.
B
C
证法二：过点C作AB 的平行线交DE的延长线 于F
A
D
E
证法三：如图，延长DE F 至F,使EF=DE，
连接CD、AF、CF
B A
D
B
F
C G
E C
证法四：如图，过E作 AB的平行线交BC于F ，过点A作BC的平行 线交FE于G
北师大版数学八年级下
第六章 平行四边形 6.3三角形的中位线
智力竞猜
已知:如图,△ABC的周长是c,以它的三边中
点为顶点组成一个新三角形;以这个新三角形
三边中点为顶点又组成一个小三角形…… 依
次画下去 (1)求这两个小三角形的周长。
A
(2)第n个小三角形的周长。
D GE
KH
B
F
C
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握 它的性质．
的距离。
C
小明是这样做的：先在AB外选 一点C，然后测出AC，BC的中点
6.3三角形的中位线-北师大版八年级数学下册课件(共15张PPT)
目录
content
01 学 习 目 标 02 课 堂 学 习 03 课 堂 小 结 04 当 堂 检 测
学习目标 1 经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力。
2
证明三角形中位线定理，发展演绎推理能力；运用三角形中位线 定理解决简单问题
02
1. 如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、CA的中点，并且 ∠ADE=70°，∠A=80°，则∠C= 30°. 2. 如图2所示，在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA 、AB的中 点，△ABC的周长是18cm，则△DEF的周长是 9 cm.
3．如图3，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
C．3
D．4
感谢聆听！
∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为 25
.
【例1】如图4，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点， 试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
归纳与小结：1.在此四边形问题的解决中，依然运用了
思想，将四边形问题
成三角形问题，具体做法为连接
；
2.本例中点四边形EFG点四边形的形状都是
.
【例2】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知：如图，△ABC的中，D、E分别是边AB、AC的中点，AF是BC边上的中线 求证： DE与AF互相平分
03
课堂小结
Life isn't about waiting for the storm to pass. it's about learning to dance
三．课堂小结
1.三角形中位线的定义：连接
北师大版八数学下册三角形的中位线课件
A
2m
B
D 1m
E
C
A、B一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 A B两点的距离是多少？为什么？
M
40
20
C
N
B
∵点DE是△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
如图， △ABC 中，点D、E分别是AB与AC 的中点，证明：DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
结论：
三角形的中位线平行于第三边，并且等 于第三边的一半。
试一试：
你能解决本节课开始提出的问题了吗？
解答：先在沙堆外取一点C，连接 CA、CB 再取 CA、CB 的中点D、E,并量得D、E间的距 离，假设其大小为 1m 则A、B 间的距离为 2m 。（ 根据是： 三角形 的中位线等于第三边的一半）
C
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝ FC． 求证：AE、DF互相平分．
A
D
F
B
E
C
例1 求证三角形的一条中位线与第三边
上的中线互相平分．
已知:如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝
FC．
求证:AE、DF互相平分．
那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
思考：
三角形的中位线有哪些性质呢？
1、画△ABC； 2、画△ABC 的中线DE； 3、量出DE和BC 的长度，量出∠ADE和∠B 的度数； 4、猜想DE和BC 之间有什么关系。为什么？
北师大版八年级下册三角形的中位线课件
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半.
符号语言：
∵DE分别是△ABC的中位线.
∴DE∥BC
DE
1 BC 2
D
B
A E C
议一议
中位线把三角形分成4个小三角形，它们的面积有怎样的 关系？你能证明吗？
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况 下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外 选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由 此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?
6.3 三角形的中位线
人生必须往前跑； 不一定要跑得快； 但一定要跑的久。
知识回顾
1．你学习了有关平行四边形还有哪些知识？
平行四边形的性质
①平行四边形对边平行；
边 ②平行四边形对边相等；
角 对角线
③平行四边形对角相等； ④平行四边形对角线互相平分；
平行四边形的判定
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
A
M
C
N
N
B
变式提升
若MN之间还有阻隔，你有什么办法求出AB的长？
A
M
C
N
N
B
议一议
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形ED
G
C
你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?
课堂检测
1、已知三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，则连
边 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
角 对角线
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形平行四边形；
课本引例
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与 其面积相等的平行四边形吗？
北师大版八年级下册三角形的中位线课件
转中心，把△ ADE绕点E按顺时针方 D
向旋转180°，得到△ CFE，则D ，
E
F
E ， F同在一直线上， △ADE ≌ △CFE.
DE=EF
，且
B
C
在△ADE和 △CFE中，
∵ ∠ADE=∠F， AD=CF，
∴ AB ∥ CF.
∵ BD=AD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴ ∴
DF∥BC . DE∥BC，
A
四边形ABCD中， E，F， G，
H分别为AB，BC， CD，DA
E
的中点.
求证：四边形EFGH是平
行四边形. 证明：连接AC.
B
F
∵ EF 是△ABC的中位线， ∴同理EFHG∥∥ACAC，E，FH=G12=A12CA. C. ∴ EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
H D G
创设情境，引入新课
猜想：中位线DE与边BC有怎样的关系？（位置 关系与数量关系）
A
D B
DE∥BC
E C
1
DE= BC
2
师生互动，探究新知
已知：如图，△ABC中，D，
A
E分别是AB，AC的中点.求证： D
E
DE∥BC，DE= 1 BC.
2
B
C
启示1：证明直线平行的方法有哪些？ 由角的相等或互补得出平行，由平行四边形
学以致用，巩固新知
想一想： 如果△ABC的三边长分别为a，b，c， AB，BC， AC各边的中点分别为D，E，F，则△DEF的周长是多 少？ △DEF的三边就是△ABC的三条中位线，长
度分别为△ABC的三边长的一半，故△DEF的周
《三角形的中位线》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (4)
DE
③一点个．三角形共有三条中位线． B F C
3、研究三角形的中位线的性质：
三角形的中位线定理：三角形的中位线
平行于第三边 ,且等于它的一半．
：在△ABC中 ,DE是△ABC的一条中位线
求结证论：
DE 1 BC
D证E明∥：B过C ,D作DE ,∥BC ,交2 AC于E ,点, D
程.
①方程两边都是整式
一元二次方程要素
②只含有一个未知数 ③未知数的最||高次数是2次
试一试
1、判断以下方程中,哪些是一元二次方程?
(1) x2 +
1 2x
－3=0
(不是)
(2)x3-x+4=0
(不是) (不是)
(3) x2 － 2y －3=0
( 是)
(4) –5y2 ＋3y +1=0
(是 ) (不是 )
①
X2-16x+25=0
②
相同点： 方程两边都是整式;都含有一个未知数
不同点： 方程①中的未知数x最||高次是1次
方程②中的未知数x最||高次是2次
你能结合方程①给方 程②起一个名字吗？
一元二次方程
一元二次方程的定义
方程X2 -16x +25 =0的两边都是整式 ,只含有一个未知数 , 并且
未知数的最||高次数是2次 ,我们把这样的方程叫做一元二次方
答：A、B两点的距离是
A
40m．因为MN是△ABC
的中位线 ,利用三角形中 位线定理得MN等于AB
M
的一半 ,所以AB为MN的
2倍 ,等于40m.
C
B N
求证：顺次连结四边形四条边的中点 ,所得的四边形
北师大版八年级数学下册课件《三角形的中位线》
A
E
B
H
F
D G
C
探究新知 结论 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
猜测: 顺次连接矩形各边中点的线段组成一个菱形. 菱形
探究新知
做一做: （1） 顺次连结平行四边形各边中 点所得的四边形是什么？
（2）顺次连结菱形各边中点所得的 四边形是什么？
（3）顺次连结正方形各边中点所 得的四边形是什么？
关于中点多边形的几个结论 1.中点多边形与原多边形形状__不__一__定__相__同_____. 2.中点多边形的各边与原多边形各边__平__行_____,且等于原多边 形各边的__一__半_____. 3.中点多边形的周长等于原多边形周长的__一__半_____,面积等于
1
原多边形面积的___4___.
∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB. 又AD=DB，∴DE= A1M，DE∥AM.
2
∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°.
∵ CM=CA，∴ ∠ACN=60°，AN=MN.
∴ AN AC • sin∠ACN = 3 ，
2
∴ AM 3 ，
2
DE 3 . ∴
2
探究新知 方法总结
与中位线定理有关的辅助线作法 (1)如果有中线可将中线延长一倍. (2)如果有线段倍分问题时可考虑作中位线. (3)如果有中点,可在同一三角形一边上取中点,作 中位线,或构造一个三角形,使图形中的线段为所 构造三角形的中位线.
点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=A.2
B.3
C.4
D.5
课堂检测
基础巩固题
1.如图,点D,E分别是△ABC边BA,BC的中点,AC=3,则DE的
北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线课件
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形。
A
H
E
B
F
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线
D
证明：如图，连接AC
G
同∵理EFE得是F/：△/ A12GBAHC/的C/中12 A位C 线
求证：AE与DF互相平分.
证明:连接DE、EF，
A
因为AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC 同理EF ∥AB。
D
F
所以四边形ADEF是平行四边形。
所以AE、DF互相平分。
你还有其他方法吗？
B
E
C
如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上,且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E是AB的中点,连接EF,求 证:EF是△ABD的中位线.
其中的道理是: 连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
练习：名校课堂107页，知识点1,2
例2.已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对 角线BD的中点，E是DC的中点，F是AB的中 点．求证∠1＝∠2．
证明：因为P是对角线BD的中点，E是DC的中点， 所以PE=1BC;
方法二 延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴CF∥BD，CF=BD ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC ∴又DDEE∥= B12 CD且F DE=12BC
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
C
GH//EF
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平行四边形
户县石井初中 赵雪瑞
3. 三角形Βιβλιοθήκη 中位线1.探索并掌握三角形中位线的概念、定理； 2. 经历三角形中位线定理的探索过程，发展观察及抽 象思维能力;
3.3.会利用三角形中位线的定理解决有关问题；体会转 化思想在数学解题中的作用．
问题情景：
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地 上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、 E，若测出DE的长，就能求出池塘BC的长， 你知道为什么吗？
探索新结论
思考：四边形BCFD是平行四边形吗？ 探索新结论：若四边形BCFD是平行四边形，那么 ＤＥ与ＢＣ有什么位置关系和数量关系呢？
探究活动一
三角形中位线的定义
请你阅读教材本节“想一想”的内容 1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形中位线与中线的区别： 中位线：中点与中点的连线；
法三：延长DE到点F，使EF=DE， 连结AF、CF、CD ∵AE=EC∴DE=EF∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC 又D为AB中点，∴DB∥=FC.所以，四边形BCFD是平行四边形 ,DF//BC,DF=BC ∴ DE//BC,DE=1/2BC
法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G ∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF∴△AEG≌△CEF ∴AG=FC，GE=EF又∵AB∥GF，AG∥BF∴四边形ABFG是 平行四边形 ∴BF=AG=FC，AB=GF又∵D为AB中点，E为GF中点，∴DB∥=EF∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC即DE=1/2BC
G
DF // BC
F
F
F
法二：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE ,⊿ADE≌⊿CFE. ∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF, ∴AB∥CF又∵BD=AD=CF, ∴四边形BCFD是平行四边形
,DF//BC,DF=BC ∴ DE//BC,DE=1/2BC
【三角形中位线定理的几何符号语言：】
∵AD=DB,AE=EC
（或线段DE是⊿ABC的中位线）
∴DE∥BC,DE=1／2BC
探究活动三： 三角形中位线性质定理的应用 认真自研课本P151页“议一议” 已知:如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是AB、BC 、CD 、 DA的中点，试猜想四边形 EFGH的形状, 并证明你的猜想。
中 线：顶点与对边中点的连线 。
【预习自测】画出△ABC的中位线 ，并指出任意一个 三角形有几条中位线？
探究活动二：
三角形中位线定理
动手操作， 总结归纳
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三 边，且等于第三边的一半。 D B A E C
证明定理
已知：如图，DE是△ABC的中 位线. 求证:DE∥BC,DE=1／2BC
谈感悟：
1.本节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？
2.三角形中位线定理的用途： （1）证明平行问题； （2）证明一条线段是另一条线段的两倍或一半。
作业布置：
课本 P152习题6.6 1.2.3 提升：问题解决4
驶向胜利 的彼岸
分析：能否将四边形问题转化为三角形 来解决？应如何添加辅助线？由学生独 立完成解答过程 。
方法点拨：
温馨提示：
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形； ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线。
互动探究 1
比一比，谁最棒
1.如图，DE是⊿ABC的中位线，若BC=8，则DE=（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 2.如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上 选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的 长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？ 3.在△ABC中，D、E、F分别是各边中点，AB=6cm， AC=8cm， BC=10cm，则△DEF的周长为 cm,面积 为 cm2,为原三角形面积的 。
C E B
D
A
创设情景 请你按照下面的操作步骤完成. 1、怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的 两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC （2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE （3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将 △ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
证明:延长DE到F,使DE=EF,连接CF. 在△ADE和△CFE中 ∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE ∴△ADE≌△CFE（SAS）∴∠A=∠ECF,AD=CF ∴CF∥AB ∵BD=AD∴BD=CF∴四边形DBCF是平行四边形 ∴DF∥BC,DF=BC ∴DE∥BC,DE=1／2BC
还有其它的证明方法吗
A
D
E
B
第1题
C
第2题
第3题
互动探究 2
课外延伸
1、如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的 中点， （1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则 DE= cm； （2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你 的猜想． 2、如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地 间的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、 CB的中点D、E。 ①若DE的长为36cm，求A、B两地间的距离 ②如果D、E两地间还有阻隔，你有什么解决办法？