1——求二次函数解析式专题
二次函数解析式习题及详解
二次函数解析式习题及详解二次函数是高中数学中的重要内容之一、它的解析式可以用一般形式y = ax^2 + bx + c 表示，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
解析式中的x 是自变量，y 是因变量，表示二次函数的图像上的点的坐标。
下面我们来看一些关于二次函数解析式的习题及详解。
1.求解一元二次方程3x^2+4x-1=0的解。
解：这是一个一元二次方程，可以写成 3x^2 + 4x - 1 = 0。
按照二次方程求解的步骤，我们可以先计算出Δ（delta），再根据Δ 的值来分类讨论。
首先计算Δ = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 × 3 × (-1) = 16 + 12 = 28根据Δ的值可以得出以下结论：-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实数解。
-当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
我们计算得到Δ=28>0，所以方程有两个不相等的实数解。
接下来，我们可以继续使用求根公式：x=(-b±√Δ)/2a来求解方程的解。
x1=(-4+√28)/(2×3)≈0.236x2=(-4-√28)/(2×3)≈-1.570。
所以方程3x^2+4x-1=0的解为x≈0.236和x≈-1.570。
2.求解二次函数y=x^2+4x-5的图像与x轴交点的坐标。
解：要求解二次函数与x轴交点的坐标，就是求解方程y=x^2+4x-5=0的解。
我们可以使用因式分解或者求根公式来解这个方程。
这里我们使用求根公式：将方程y=x^2+4x-5=0转化为一元二次方程的标准形式，即x^2+4x-5=y=0。
根据一元二次方程的求根公式x=(-b±√Δ)/2a，我们可以计算出方程的解。
a=1,b=4,c=-5；Δ = b^2 - 4ac = 16 + 20 = 36；x1=(-4+√36)/(2×1)=1x2=(-4-√36)/(2×1)=-5所以方程y=x^2+4x-5=0的解为x=1和x=-5因此，该二次函数图像与x轴交点的坐标为（1,0）和（-5,0）。
二次函数解析式的求法专题
二次函数解析式的求法专题1.已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（-1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．2.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）点C（0，5），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MAB的面积．3.如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．4.二次函数的图象经过（3，1），且当x=2时有最大值为3．求此函数关系式．5.设二次函数的图象的顶点坐标为（-2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．6.已知抛物线对称轴是直线x=2，且图象经过点（2，1）和点（1，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．7.如图，已知二次函数y=1x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，-6）两点．2（1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴；（2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式．8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．，0）三点，求这个二次9.一个二次函数的图象经过（0，-1），（-2，0），（12函数的解析式．10.已知二次函数图象的顶点为（3，-1），与y轴交于点（0，-4）（1）求二次函数解析式；（2）求函数值y＞-4时，自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，把（-1，5）代入得a（-1-1）2+9=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+9；（2）当y=0时，-（x-1）2+9=0，解得x1=4，x2=-2，所以B、C两点的坐标为（-2，0），（4，0），×9×（4+2）=27．所以△ABC的面积=12【解析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），把C（0，5）代入得a•1•（-5）=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，则M（2，9）×（5+1）×9=27．所以△MAB的面积=12【解析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把C（0，5）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先把解析式配成顶点式，然后写出M点的坐标，再利用三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．3.【答案】解；（1）设二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3；（2）当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=0，x2=-2，则D（-2，3），观察函数图象得当x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．【解析】（1）由于已知抛物线与x轴两交点，则设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C（0，3）代入求出a的值即可得到抛物线解析式；（2）通过解方程-x2-2x+3=3可得到D（-2，3），然后观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数与不等式．4.【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，把（3，1）代入得：a+3=1，解得：a=-2，则抛物线解析式为y=-2（x-2）2+3=-2x2+8x-5．【解析】根据题意找出顶点坐标，设出顶点式，把已知点坐标代入求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，以及二次根式的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5.【答案】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，，解得a=-19（x+2）2+2．所以这个函数的关系式为y=-19【解析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．6.【答案】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把（2，1）代入得a•1•（-1）=1，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3；（2）由（1）得A（1，0），B（3，0），当x=0时，y=-x2+4x-3=-3，则C（0，-3），×（3-1）×3=3．所以△ABC的面积=12【解析】（1）利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把（2，1）代入求出a的值即可；（2）由（1）可确定A点和B点坐标，再求出C点坐标，然后根据三角形的面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7.【答案】解：（1）把A（2，0），B（0，-6）代入y=-12x2+bx+c得{c=−6−2+2b+c=0，解得{c=−6b=4，所以抛物线解析式为y=-12x2+4x-6，∵y=-12（x-4）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=4，（2）y=-12x2-6．【解析】（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解关于b、c的方程组即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式得到对称轴；（2）利用顶点为（0，-6）写出抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.【答案】解：（1）由题意，得 {a −b +c =−4c =−2a +b +c =2，解这个方程组，得 a =1，b =3，c =-2，所以，这个二次函数的解析式是y =x 2+3x -2；（2）y =x 2+3x -2=（x +32）2-174，顶点坐标为（-32，-174），对称轴是直线x =-32．【解析】（1）把已知三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．9.【答案】解：设抛物线解析式为y =a （x +2）（x -12）， 把（0，-1）代入得a •2•（-12）=-1，解得a =1．所以抛物线解析式为y =（x +2）（x -12），即y =x 2+32x -1．【解析】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y=a （x+2）（x-），然后把（0，-1）代入求出a 的值即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．10.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，，把（0，-4）代入得9a-1=-4，解得a=-13所以抛物线解析式为y=-1（x-3）2-1，3（x-3）2-1=-4，解得x1=0，x2=6，（2）y=-4时，-13所以当0＜x＜6时，y＞-4．【解析】（1）设顶点式y=a（x-3）2-1，然后把（0，-4）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）计算函数值为-4所对应的自变量的值，然后利用二次函数图象求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．第11页，共11页。
完整版)二次函数求解析式专题练习题
完整版)二次函数求解析式专题练习题1.已知抛物线经过点A(1,1)，求这个函数的解析式。
解析式为y = ax^2 + bx + c，代入点A得1 = a + b + c。
因为抛物线是二次函数，所以需要三个点才能确定解析式。
无法确定解析式。
2.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3)，且过点(1,0)，求此二次函数的解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得3 = 4a - 2b + c，代入过点(1,0)得0 = a + b + c。
解得a = -1，b = 1，c = 0，所以解析式为y = -x^2 + x。
3.抛物线过顶点(2,4)且过原点，求抛物线的解析式。
因为过顶点，所以解析式为y = a(x - 2)^2 + 4.因为过原点，所以代入(0,0)得0 = 4a - 4，解得a = 1.所以解析式为y = (x -2)^2 + 4.4.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为(1,5)，则它们的解析式为。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为顶点坐标为(1,5)，所以解析式为y = a(x - 1)^2 + 5.设两个交点的横坐标为p和q，且p < q，则有8 = |(p - 1)(q - 1)|/4，化简得4p + 4q = pq - 4.因为顶点在抛物线的对称轴上，所以p + q = 2.解得p = -2，q = 8.代入顶点坐标得a = 1/9.所以解析式为y = (x - 1)^2/9 + 5.5.已知二次函数当x = -1时有最小值-4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为在x轴上截得线段长为4，所以有b^2 - 4ac = 16.因为当x = -1时有最小值-4，所以有a < 0.代入最小值得-4 = a - b + c。
解得a = -1，b = 4，c = -1.所以解析式为y = -x^2 + 4x - 1.6.抛物线经过(0,0)和(12,0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式。
怎样求二次函数的解析式
怎样求二次函数的解析式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1怎样求二次函数的解析式二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点，往往会综合其他函数和几何而作为压轴题，有一定的难度。
这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点，因此学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的第一关。
一、三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用一般式y = ax 2 +bx +c . 解题策略：通过各种途径搜索转化题目的各个信息找到三个点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此类问题是中考中最常见的一类。
例1 已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,由已知可得043a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ ，解之得1,2,3.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故所求二次函数解析式为y=x 2+2x-3.例2 （2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． 求该抛物线的解析式； 解：由题意知：A （0，6），C （6，0）， 设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ,则：⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==c b a c b a c63603906解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=6131c b a∴该抛物线的解析式为6312++-=x x y例3 （2010 山东省德州）已知二次函数c bx ax y ++=2A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)． 求此函数的解析式及图象的对称轴； 解：∵二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点C (0，-3)，∴c =-3．x将点A (3，0)，B (2，-3)代入c bx ax y ++=2得⎩⎨⎧-+=--+=.32433390b a b a ，解得：a =1，b =-2． ∴322--=x x y ．配方得：412--=）（x y ，所以对称轴为=1． 例4 （2010 山东莱芜）在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .求此抛物线的解析式；解：∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得343323a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为：32334632+-=x x y . 例5．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．解：（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：xyOA BCP Q MN020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． 二、顶点型若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标，则可以用顶点式y =a (x-h )2+k . 解题策略：想方设法找到顶点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此法比较简单。
求二次函数的解析式--专题练习题-含答案
求二次函数的解析式专题练习题姓名：班级：1．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B和D(4，－23 )，求抛物线的解析式．2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM的解析式；(3)求△MCB的面积．3．已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式是( )A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋64．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式．2x …－4 －3 －2 －1 0 …y …－5 0 3 4 3 …(1)求此二次函数的解析式；(2)画出此函数图象；(3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝____，c＝____；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－1 2 .(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．答案:1. 解：y＝16x2－13x－22. 解：(1)y＝－x2＋4x＋5(2)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，则M点坐标为(2，9)，可求直线MC的解析式为y＝2x＋5(3)把y＝0代入y＝2x＋5得2x＋5＝0，解得x＝－52，则E点坐标为(－52，0)，把y＝0代入y＝－x2＋4x＋5得－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，则B点坐标为(5，0)，所以S△MCB ＝S△MBE－S△CBE＝12×152×9－12×152×5＝153. D4. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y＝x＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y＝a(x－1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a＝－1，故函数解析式是y＝－(x－1)2＋2，即y＝－x2＋2x＋15. 解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(－1，4)，设y＝a(x＋1)2＋4，把(0，3)代入得a(0＋1)2＋4＝3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3(2)图象略(3)－5＜y≤46. 解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x －3)，即y＝x2－2x－3(2)由(1)可知y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则y的最小值为－4＞－5，因此无论m 取何值，点M都不在这个二次函数的图象上7. 解：∵抛物线的对称轴为x＝－1，在x轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，设抛物线解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把(－2，－6)代入得a·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a＝2，所以抛物线解析式为y＝2(x＋3)(x－1)，即y＝2x2＋4x－68. (1) 2 0(2)(－1，－1)(3)由平移知两个图象顶点之间的距离＝22＋32＝139. y＝－x2＋2x＋310. 解：(1)y＝－12x2－12x＋3(2)由y＝0得－12(x＋12)2＋258＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝OC2＋OB2＝32，∴BM＝32，∴M点坐标(32－3，0)．综上所述，M点坐标为(32－3，0)或(0，0)。
二次函数专题(一)-待定系数求解析式
二次函数专题(一):待定系数求解析式一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣82．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣23．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；=1，求点B的坐标．（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？二次函数专题(一):待定系数求解析式参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8【分析】顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8）故二次函数的解析式为y=2（x﹣1）2﹣8故选D．【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．2．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，得到：，解得：，则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．故选C．【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为±6．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，∴顶点的纵坐标为零，即y===0，解得b=±6．【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．【分析】根据与x轴的另一交点到原点的距离为4，分这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0）两种情况，利用待定系数法求函数解析式解答即可．【解答】解：∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0），设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，①当这个交点坐标为（﹣4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=x2+2x，②当这个交点坐标为（4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x，综上所述，二次函数解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．故答案为：y=x2+2x或y=﹣x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+5．【分析】根据图象可得抛物线经过的三个点的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可．【解答】解：根据题意得，抛物线经过点（0，5），（﹣4，2），（2，4），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．故答案为：y=﹣x2﹣x+5．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法之一，根据图形找出图象经过的三个点的坐标是解题的关键．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；（2）利用表中数据求解．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S=1，求点B的坐标．△OAB【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标及对称轴；（3）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得到×2×|t2﹣2t|=1，则t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x；（2）因为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x=1；（3）设B（t，t2﹣2t），因为S=1，△OAB所以×2×|t2﹣2t|=1，所以t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，解方程t2﹣2t=1得t1=1+，t2=1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t=﹣1得t1=t2=1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．【分析】（1）此题知道顶点坐标，适合用二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k来解答．（2）求出与坐标轴的交点坐标，结合已知的顶点坐标，描点、连线．【解答】解：（1）已知二次函数的顶点P（1，﹣4）可设解析式为y=a（x﹣1）2﹣4把A（0，﹣3）代入上式，得﹣3=a﹣4，即a=1∴解析式为y=（x﹣1）2﹣4化为一般式为y=x2﹣2x﹣3（2）当y=0时，原式化为：x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）当x=0时，y=﹣3．因此与y轴交点坐标为：（0，﹣3）．如右图：【点评】解答此题要熟悉①二次函数的解析式：（1）一般式y=ax2+bx+c，（a，b，c为常数且a≠0）（2）顶点式y=a（x﹣h）2+k，（h，k）为顶点坐标，（3）交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．②描点法作图．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？【分析】（1）由OC与OD的长，求出MD的长，确定出M坐标，设y=a（x﹣2）2+6，把C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式设出P坐标，过点P做x轴的垂线，交x轴于点E，利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长，用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积，进而得出S与x的函数解析式，利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可．【解答】解：（1）∵OC=4，OD=2，∴DM=6，∴点M（2，6），设y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣，∴该抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+6；（2）设点P（x，﹣（x﹣2）2+6），即（x，﹣x2+2x+4），x＞0，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，则PE=﹣x2+2x+4，DE=x﹣2，S=x（﹣x2+2x+4+4）﹣×2×4﹣（x﹣2）（﹣x2+2x+4），即S=﹣x2+4x=﹣（x﹣4）2+8，∴当x=4时，S有最大值为8．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
一、二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
求二次函数解析式的典型题
求二次函数解析式的典型题一．解答题（共9小题）1．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．2．（2007•天津）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．3．（2007•上海）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．4．（2005•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．5．（2005•芜湖）已知二次函数图象经过（2，﹣3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．6．（2004•沈阳）如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）观察图象，当x取何值时，y＜0，y=0，y＞0．7．（2003•甘肃）已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．8．（1999•河南）已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．9．已知二次函数的图象的对称轴为x=2，函数的最小值为3，且图象经过点（﹣1，5），求此二次函数图象的关系式．参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：因为抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），所以设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式即可解答．解答：解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．2．（2007•天津）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：此题考查了待定系数法求a、b、c的值，根据题意可得三元一次方程组，解方程组即可求得待定系数的值；利用配方法或公式法求顶点坐标即可．解答：解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c；由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得；解这个方程组，得a=2，b=2，c=﹣4；∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．（2）y=2x2+2x﹣4=2（x2+x﹣2）=2（x+）2﹣，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，方程组的解法，同时还考查了抛物线顶点坐标的求法．3．（2007•上海）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．解答：解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：0=4a﹣4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．点评：考查用待定系数法来求函数解析式、坐标系里点的平移的特点．4．（2005•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：已知了抛物线上三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；进而可根据函数的解析式求出抛物线的开口方向，及对称轴方程与顶点坐标（用配方法或公式法求解均可）．解答：解：（1）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y=ax2+bx+c，得：解得：；则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．点评：考查学生对二次函数知识的掌握情况，这样的题目可让思维和能力不同的考生能有不同的表现．解函数的解析式的问题可以利用待定系数法，转化为方程组问题．5．（2005•芜湖）已知二次函数图象经过（2，﹣3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：根据对称轴是x=1，抛物线与x轴两交点距离为4确定抛物线与x轴的交点，再利用交点式求抛物线的表达式．解答：解：∵抛物线与x轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴∴抛物线与x轴两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x﹣3）又∵抛物线过（2，﹣3）点∴﹣3=a（2+1）（2﹣3）解得a=1∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．点评：本题考查了抛物线的对称性和待定系数法求抛物线的表达式，题目比较普遍．6．（2004•沈阳）如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）观察图象，当x取何值时，y＜0，y=0，y＞0．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．分析：（1）直接利用图中的三个点的坐标代入解析式用待定系数法求解析式；（2）把解析式化为顶点式求顶点坐标和对称轴；（3）依据图象可知，当图象在x轴上方时，y＞0，在x轴下方时，y＜0，在x轴上时，y=0．解答：解：（1）A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），设解析式为y=ax2+bx+c，代入可得：，解得：．故解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，故顶点坐标为：（1，﹣4），对称轴为直线x=1；（3）观察图象可得：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，当x=﹣1或x=3时，y=0，当﹣1＜x＜3时，y＜0．点评：主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数及其图象的性质．7．（2003•甘肃）已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：（1）把点（0，5）代入函数的解析式中，转化为关于m的一元一次方程解答；（2）求出函数解析式，根据函数解析式就可求出顶点坐标和对称轴．解答：解：（1）∵图象过点（0，5），由题意：．解得m=3．∴二次函数解析式为y=x2+6x+5．（2）∵y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，∴此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．点评：此题考查了用待定系数法求二次函数解析式和用配方法求顶点坐标和对称轴．8．（1999•河南）已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：先设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法，把点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），代入可解得二次函数的解析式．解答：解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把三点分别代入得（1）a+b+c=﹣1，（2）c=1，（3）a﹣b+c=13，（1）（2）（3）联立方程组解得a=5，b=﹣7，c=1，故这个二次函数的解析式y=5x2﹣7x+1．点评：考查用待定系数法求函数解析式．9．已知二次函数的图象的对称轴为x=2，函数的最小值为3，且图象经过点（﹣1，5），求此二次函数图象的关系式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：根据二次函数的对称轴为x=2，函数的最小值为3，可知其顶点坐标为（2，3）；因此本题可用顶点式设所求的二次函数解析式，然后将点（﹣1，5）的坐标代入抛物线中即可求得函数的解析式．解答：解：根据题意设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+3；将点（﹣1，5）代入得，a=，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣x+．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求函数的解析式．。
专题21.10 二次函数解析式的确定【六大题型】(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题21.10 二次函数解析式的确定【六大题型】【沪科版】【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 (1)【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 (2)【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】 (3)【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】 (4)【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】 (6)【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 (6)【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：x…﹣1012345…y… 3.51﹣0.5﹣1﹣0.51 3.5…（1）求这个二次函数的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）．（1）求m的值；（2）求这个二次函数解析式；（3）求y1大于y2时，x的取值范围．【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象的顶点坐标；（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为.（直接写出答案）【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABC的面积．【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．（1）求此二次函数的解析式．（2）求点D的坐标及△ABD的面积．【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B （3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；（2）当x＝时，y随x的增大而减小；（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．（1）求平移后的抛物线C的解析式；＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且−12【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．【变式5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，点D为抛物线L的顶点，抛物线L′与L关于y轴对称．（1）求抛物线L的表达式；（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PBC的面积等于四边形OCDB的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】【例6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式．【变式6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是．【变式6-2】（2022秋•二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．【变式6-3】（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：．。
求二次函数的解析式(交点式)
一、设 函数解析式
（1）已知抛物线上任意三点时，可设一般形式；
y ax bx c (a 0)
2
（2）已知抛物线的顶点坐标(对称轴或最值)时，通常 2 一般设顶点式。
y a x h k (a 0)
二、代 入已知点的坐标 三、求 方程（组）的解 四、写 出函数解析式
已知图象与x轴的交点坐标，通常选择交点式
通常选择顶点式
温馨提示：求二次函数的解析式时，应该根据 条件的特点，恰当地设函数表达式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ•8
（一般形式）
•2
做一做 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
(1)已知抛物线与x轴交于A,B 两点且它们的横坐标分别 为－1和2,并经过点M(0,1），求抛物线的解析式？
1 1 2 1 1 2 y x x 1 ( x x 2) ( x 1)( x 2) 2 2 2 2
3
3 2 3 3 3 2 y x x 3 ( x x 2) ( x 1)( x 2) 2 2 2 2
二次函数解析式常见的三种表示形式：
2 (1)一般式：y ax bx c(a 0)
(2)顶点式：y a( x h) (3)交点式：y
2
k (a 0)
6
例2、已知一元二次方程 x2 4 x 5 0 的两个实数根为
x1 , x2 且 x1 x2 ,若 x1 , x2 分别是抛物线 y ax2 bx c(a 0)
与x轴的两个交点A、B的横坐标(如图)，且抛物线与y轴
的交点为C(0,5).
(1)求抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线的顶点为D， 求四边形ABDC的面积； (3)是否存在直线y=kx(k>0)与 线段BD相交且把四边形ABDC的 面积分为相等的两部分？若存在， 求出k;若不存在，请说明理由。
(完整版)二次函数求解析式专题练习题
1．已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．(1)求这个函数的解析式；2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．4．若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7.已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。
9.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式．10．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．11．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式．12．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．13．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)求△OAB 的面积；(4)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．14、在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这名男同学出手处A 点的坐标为（0,2），铅球路线的最高处B 点的坐标为（6,5）。
小专题(三) 求二次函数解析式
小专题(三) 求二次函数解析式类型1 已知二次函数解析式，确定各项的系数如果二次函数解析式中只有1个字母，只需要找到函数图象上1个点的坐标代入即可；如果二次函数解析式中有2个字母，则需要找到函数图象上2个点的坐标；如果二次函数解析式中有3个字母，通常需要找到函数图象上3个点的坐标．1．(泉州中考)已知抛物线y ＝a(x －3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a 的值；(2)若点A(m ，y 1)，B(n ，y 2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．类型2 利用“三点式”求二次函数解析式如果已知函数图象上三点的坐标，通常设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c.2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2 cm ，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线经过点A ，B 和D(4，－23)．求抛物线的表达式．3．(广东模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，2)，(3，2)，(2，3)．(1)请在图中画出△ABC 向下平移3个单位的像△A′B′C′；(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A′B′C′的三个顶点，求此二次函数的关系式．类型3 利用“顶点式”求二次函数解析式如果已知二次函数顶点和图象上另一点，则设二次函数解析式为y ＝a(x －h)2＋k.如果已知对称轴、最大值(最小值)或者二次函数的增减性也考虑利用“顶点式”．4．(普陀区一模)如图，已知二次函数的图象与x 轴交于点A(1，0)和点B ，与y 轴交于点C(0，6)，对称轴为直线x ＝2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．5．(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式．①y 随x 的变化的部分数值规律如下表：②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y ＝ax ＋bx ＋c ； ③函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分(如图)．(2)直接写出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的三个性质．类型4 利用“交点式”求二次函数解析式如果已知二次函数图象与x 轴的两个交点为(x 1，0)，(x 2，0)，那么设二次函数解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)三点；(1)求此函数解析式；(2)对于实数m ，点M(m ，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知二次函数对称轴为x ＝2，且在x 轴上截得的线段长为6，与y 轴交点为(0，－2)，求此二次函数的解析式．类型5 利用“平移规律”求二次函数解析式已知移动后的抛物线的解析式，求移动前抛物线的解析式．可先求移动后抛物线的顶点坐标，再反向移动还原原抛物线的顶点坐标，利用a 不变求出原抛物的解析式．8．如图所示，已知抛物线C 0的解析式为y ＝x 2－2x.提示：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴x ＝－b 2a. (1)求抛物线C 0的顶点坐标；(2)将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1，C 2，C 3，…，C n (n 为正整数)． ①求抛物线C 1与x 轴的交点A 1，A 2的坐标；②试确定抛物线C n 的解析式．(直接写出答案，不需要解题过程)参考答案1.(1)∵抛物线y ＝a(x －3)2＋2经过点(1，－2)，∴a(1－3)2＋2＝－2.解得a ＝－1.(2)由(1)得a ＝－1<0，抛物线的开口向下，在对称轴x ＝3的左侧，y 随x 的增大而增大．∵m<n<3，∴y 1<y 2. 2.设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.由题意得A(0，－2)，B(2，－2)，因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，B ，D 三点，将三点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－2，16a ＋4b ＋c ＝－23，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝－13，c ＝－2.所以抛物线的表达式为y ＝16x 2－13x －2. 3.(1)图略．(2)由题意得A′，B ′，C ′的坐标分别是(0，－1)，(3，－1)，(2，0)，设过点A′、B′、C′的二次函数的关系式为y＝ax 2＋bx ＋c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，9a ＋3b ＋c ＝－1，4a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，c ＝－1.∴二次函数的关系式为y ＝－12x 2＋32x －1.4.设二次函数解析式为y ＝a(x －2)2＋k ，把A(1，0)，C(0，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，k ＝－2.则二次函数解析式为y ＝2(x －2)2－2＝2x 2－8x ＋6，二次函数图象有最低点，即顶点坐标为(2，－2)．5.(1)答案不唯一，以选择条件③为例，由图象可知：二次函数图象的顶点坐标为(1，4)，则可设二次函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4.∵图象经过点(－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝0，代入解析式，得a(－1－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1；与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)；与y 轴的交点为(0，3)；顶点坐标为(1，4)；当x<1时，y 随x 的增大而增大；当x>1时，y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，二次函数有最大值y ＝4.6.(1)因为二次函数图象经过A(－1，0)、B(3，0)，所以设y ＝a(x ＋1)(x －3)．把C(0，－3)代入，得－3＝－3a.解得a ＝1.所以此函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.(2)不在．因为该函数的开口向上，最小值为－4，所以点M(m ，－5)不在这个二次函数的图象上．7.∵抛物线的对称轴为x ＝2，且在x 轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x 轴两交点为(－1，0)，(5，0)．∴设二次函数解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)．将点(0，－2)代入上式，得－2＝a(0＋1)(0－5)，∴a ＝25.因此二次函数解析式为y＝25(x ＋1)(x －5)．即y ＝25x 2－85x －2. 8.(1)∵y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴抛物线C 0的顶点坐标为(1，－1)．(2)①当y ＝0时，则有x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.∴抛物线C 0与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2，0)．∵将抛物线C 0向右平移2个单位，得到抛物线C 1，∴此时抛物线C 0与x 轴的交点(0，0)、(2，0)也随之向右平移2个单位，∴抛物线C 1与x 轴的交点A 1、A 2的坐标分别为：A 1(2，0)、A 2(4，0)． ②抛物线C n 的解析式为：y ＝x 2－(4n ＋2)x ＋4n 2＋4n.。
初中二次函数解析式的确定-例题和答案
第一、求二次函数解析式的问题一．知识要点:1.已知抛物线的顶点(m,n ）及抛物线上的另一点(a,b)，这时可以设抛物线的解析式为：y=k(x-a)2+b.，式中只有一个待定系数k,把(m,n ）代入即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。
2. 已知抛物线与x 轴的交点(x 1，0)和(x 2,0）及抛物线上的另一点(a,b)，这时可以设抛物线的解析式为：y=k(x-x 1 )(x-x 2 ) 式中只有一个待定系数k,把(a,b ）代入即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。
3. 已知抛物线上任意三点(x 1,y 1）(x 2,y 2）(x 3,y 3）这时可以设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c,式中含有三个待定系数a 、b 、c 把(x 1,y 1）(x 2,y 2）(x 3,y 3）代入,得到含a , b, c 的方程组，即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。
二. 重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。
三. 教学建议：求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。
典型例题例1.已知某二次函数的图象经过点A （－1，－6），B （2，3），C （0，－5）三点，求其函数关系式。
例2. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
例3. 已知二次函数图象的对称轴是x =-3，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。
例4. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是例5. 已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式例6. 已知二次函数y m x mx m m =-++-()()()123212≠的最大值是零，求此函数的解析式。
专题1：用待定系数法求二次函数解析式
专题1：用待定系数法求二次函数解析式一、【经典例题】1.（1）如果一个二次函数的图象经过（－1,-11）（2,8）（0,-8）三点，求出这个二次函数的解析式.（2）如果一个二次函数的顶点为(2,1)且经过点（0,3），求出这个二次函数的解析式.（3）已知二次函数的图象与x 轴交于A （—2,0）,B （6,0）两点，与y 轴交于点C （0,- 4）求二次函数解析式.2.如图,已知抛物线的对称轴为直线x=-1,且经过A （1,0），B （0，-3）两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上,是否存在点M,使它到点A 的距离与到点B 的距离之和最小,如果存在求出点M 的坐标,如果不存在请说明理由.()20y ax bx c a =++≠3．如图，抛物线的开口向下，与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ．已知C （0，4），顶点D 的横坐标为﹣，B （1，0）．求抛物线的解析式；二、【练习】1．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）A ．y ＝2x 2+x+2B ．y ＝x 2+3x+2C ．y ＝x 2﹣2x+3D ．y ＝x 2﹣3x+2 2．二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，-3），（3，0）．（1）求b 、c 的值； （2）求该二次函数图象的顶点及坐标和对称轴．3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点A 在x 轴的正半轴上，BC 与y 轴交于点D ，点C 的坐标为（﹣3，4）．（1）点A 的坐标为 ；（2）求过点A 、O 、C 的抛物线解析式，并求它的顶点坐标；4．(如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于点B ，点C ，经过B 、C 两点的抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线2x =．求A 点的坐标及该抛物线的函数表达式.5.如图，ABCD中，A（﹣1，0），B（0，2），BC＝3，求经过B、C、D的抛物线的解析式．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y＝x2+bx﹣2过点C．求抛物线的解析式．。
二次函数中考专题一：二次函数解析式的求法
二次函数中考专题专题一：二次函数解析式的求法待定系数法：（1）已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求出a、b、c；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其中顶点坐标为（h，k）对称轴为直线x=h；（3）若已知抛物线与x轴的交点的横坐标，则可采用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中与x轴的交点坐标为（x1，0）（x2，0）.例题：一、已知三点求解析式1．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（-1，-22），（0，-8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点.2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（-1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.4．已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的解析式.5．已知抛物线C：y＝-x2＋bx＋c经过A（-3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标.6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．求抛物线的解析式．7．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx-4a经过点A（-1，0），C（0，4）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标.二、已知顶点或对称轴求解析式1．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0），求该二次函数的解析式.2．已知抛物线y＝x2＋kx＋k＋3，若抛物线的顶点在y轴上，求此抛物线的解析式。
3．已知某二次函数，当x=3时，函数有最小值-2，且函数图象与y轴交于，求此二次函数的解析式。
试讲课件《求二次函数的解析式》中考专题复习
(-2,-4.4)
(2,-4.4)
例：某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大 门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4.4m，现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装 货宽度为2.4米，请判断这辆车能够顺利通过大门？ （请用三种不同的方法解决）
y=－1.1x²
y
令x=1.2代入得：
一般式：
例1 求经过三点A(-2,-3),B(1,0),
C(2,5)的二次函数的解析式.
解：设解析式为y=ax2+bx+c,代 入A(-2,-3),B(1,0),C(2,5)三点得：
a(-2)2+b(-2)+c=-3
a+b+c=0
a=1
y
·5 ·C
·
·
·
·
-3· –2·
–·1
o ·
B1·
2·
x
·
A·
即： y=-2x2+4x
例：某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大 门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4.4m，现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装 货宽度为2.4米，请判断这辆车能够顺利通过大门？ （请用三种不同的方法解决）
y
x
y=ax²
(-2,-4.4)
(2,-4.4)
·-3
a22+b2+c=5 解得: b=2
c=-3
∴解析式为： y=x2+2x－3
1、已知抛物线经过A(0，0)、B(1，-2)、C(2，3) 三点，求此抛物线的解析式。
y
7 2
x
2－11 2
x
顶点式：y a(x h)2 k
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)1.已知二次函数图像的顶点坐标为（1，-4），与y轴交于点（0，-3），求此二次函数的解析式。
2.已知二次函数y=x^2+bx+c的图像经过点A（-1，12）和B（2，-3）。
1）求这个二次函数的解析式。
2）求这个图像的顶点坐标及与x轴的交点坐标。
3.在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x^2+bx+2的图像的一个交点为（m，3），试求此二次函数的解析式。
4.已知抛物线y=ax^2+bx+c与抛物线y=x^2+2x+3的顶点坐标相同，为（-2，4），求a，b，c的值。
5.已知二次函数y=ax^2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：x。
-2.2y。
-11.111）求这个二次函数的解析式。
2）写出这个二次函数图像的顶点坐标。
6.已知抛物线y=x^2+(m+1)x+m，根据下列条件分别求m 的值：1）若抛物线过原点；2）若抛物线的顶点在x轴上；3）若抛物线的对称轴为x=2.7.已知抛物线经过两点A（1，5）、B（-1，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式。
8.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：1）写出y>0时，x的取值范围；2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；3）求函数y=ax^2+bx+c的表达式。
9.已知二次函数y=x^2+bx+c的图像经过点A（-2，5）、B（1，-4）。
1）求这个二次函数的解析式；2）求这个图像的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；3）画出这个函数的图像。
10.已知：抛物线经过点A（-1，7）、B（2，1）和点C （0，1）。
1）求这条抛物线的解析式；2）求该抛物线的顶点坐标。
11.若二次函数y=ax^2+bx+c的图像与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，4）、C（2，-1）两点，求此二次函数的解析式。
人教版数学九年级上学期课时练习- 待定系数法求二次函数解析式(人教版)
专题22.18 待定系数法求二次函数解析式（专项练习） 1．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，．(1)求b ；(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式．2．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-． （1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．3．已知二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二次函数的表达式．4．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式5．已知二次函数，当x ＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．6．已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，与y 轴的交点坐标为()0,3．（1）求此二次函数的解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．7．已知抛物线214y x bx c =++的对称轴为直线2x =，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式．8．把抛物线y ＝（x ﹣1）2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q （3，0），求平移后的抛物线的解析式．9．已知抛物线经过（3，5），A （4，0），B （-2，0），且与y 轴交于点C ．（1）求二次函数解析式；（2）求△ABC 的面积．10．已知二次函数图象的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求这个二次函数的解析式．11．已知二次函数22yx bx c 的图像经过()1,0A -，()3,0B ，求抛物线的解析式12．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点()()0,1,3,4A B ．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．13．已知抛物线25y ax bx =+-经过点M （﹣1，1），N （2，﹣5）．(1)求a ，b 的值；(2)若P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线上不同的两点，且2122y y =-，求m 的值．14．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点A （0，3），B （2，3），C （-1，0）则（1）该抛物线的对称轴为_________；（2）该抛物线与x 轴的另一个交点为_______；（3）求该抛物线的表达式．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （﹣1，9），C （0，8）．(1)求这个二次函数的解析式；(2)如果点D （x 1，y 1）和点E （x 2，y 2）在函数图象上，那么当0＜x 1＜x 2＜1时，请直接写出y 1与y 2的大小关系：y 1 y 2．16．已知二次函数23y ax bx =+-的图象经过()()1,4,1,0A B --两点．(1)求a 和b 的值；(2)在坐标系xOy 中画出该二次函数的图象．17．已知一个二次函数图象的顶点为(1，0)，与y 轴的交点为(0，1)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．18．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表：请选择合适方法，求此抛物线的函数表达式．19．已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．20．已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．参考答案1．(1)2(2)2y (x 1)4=+-【分析】（1）把点(25)A ，代入函数解析式即可求；（2）利用配方法化成顶点式即可．(1)解：把点(25)A ，代入23y x bx =+-得，5423b =+-，解得，2b =．(2)解：223y x x =+-，22113y x x =++--，2214y x x =++-，2y (x 1)4=+-．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算．2．（1）1m =-；（2）直线1x =-【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用对称轴公式2b x a=-求解即可． 解：（1）∵二次函数y ＝x 2－2mx ＋5m 的图象经过点(1，－2)，∵－2＝1－2m ＋5m ，解得1m =-；∵二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －5．（2）二次函数图象的对称轴为直线2122b x a =-=-=-； 故二次函数的对称轴为：直线1x =-；【点拨】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．3．二次函数的表达式为24y x =+．【分析】将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．解：二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，∴485a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：14a c =⎧⎨=⎩． ∵二次函数的表达式为24y x =+．【点拨】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方程，然后确定二次函数的表达式．4．245y x x =-++【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入求解即可． 解：∵抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，∵设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，∵()()21545y x x x x =-+-=-++．∵该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．5．2241y x x =+-【分析】根据题意，先得出二次函数的顶点坐标为()1,3--，然后设该二次函数的解析式为()213y a x =+-，将点代入求解即可得． 解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为()1,3--，设该二次函数的解析式为()213y a x =+-，∵它的图象经过点()1,5，∵代入函数解析式可得：()25113a =+-，解得：2a =．故该二次函数的解析式为：()22213241y x x x =+-=+-．【点拨】题目主要考查根据待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握顶点式的特点性质是解题关键．6．（1）223y x x =-++；（2）()1,4 ．【分析】（1）利用待定系数法，将(1,0)-，(0,3)两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式； （2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．解：（1）把(1,0)-，(0,3)代入2y x bx c =-++得： 103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）()222232113(1)4=-++=--+-+=--+y x x x x x ，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)．【点拨】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式及二次函数的顶点式，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．7．2114y x x =-+ 【分析】 根据抛物线的对称轴22－＝b a，即可确定b 的值，将点（0，1）代入函数解析式确定c 的值，由此即可确定函数解析式．解：∵抛物线214y x bx c =++的对称轴为直线2x =，14a =， ∵2124b⨯－＝，∵1b ＝－．∵抛物线经过点（0，1），代入函数解析式可得：∵1c ＝．∵该抛物线的解析式为2114y x x =-+． 【点拨】题目主要考查利用对称轴及点的坐标确定函数解析式，熟练掌握根据待定系数法确定函数解析式是解题关键．8．223y x x =--【分析】设平移后的抛物线的解析式为()21y x k =-+ ，将点Q （3，0），代入，即可求解． 解：设平移后的抛物线的解析式为()21y x k =-+ ，∵平移后所得抛物线经过点Q （3，0），∵()2310k -+= ，解得：4k =- ，∵平移后的抛物线的解析式为()221423y x x x =--=-- ．【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．9．（1）二次函数解析式为228y x x =-++；（2）△ABC 的面积为24．【分析】（1）直接利用待定系数法求出函数解析式，进而得出答案；（2）先求出C 点的坐标，利用三角形的面积公式即可求出答案．解：（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得：5(32)(34)a =+-，解得1a =-，∵二次函数解析式为(2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++； （2）令x =0，则y =8，∵C (0，8)， ∵1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法与三角形的面积公式是解题的关键．10．y ＝5x 2﹣10x +3【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），设抛物线的顶点式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2，将点（2，3）代入求a 即可．解：设此二次函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2．∵其图象经过点（2，3），∵a （2﹣1）2﹣2＝3，∵a ＝5，∵y ＝5（x ﹣1）2﹣2，即y ＝5x 2﹣10x +3．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．11．2246y x x =-++【分析】将（-1，0）、（3，0）两点坐标代入22yx bx c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可．解：把（-1，0）、（3，0）代入22y x bx c 中 得201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得46b c =⎧⎨=⎩， ∵二次函数的解析式为2246y x x =-++．【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．12．221y x x =-+，()1,0【分析】直接把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解．解：∵二次函数2y x mx n =++的图象经过点()()0,1,3,4A B ；∵1934n m n =⎧⎨++=⎩， 解得：21m n =-⎧⎨=⎩， ∵221y x x =-+∵对称轴为直线2121x -=-=⨯， ∵21210y =-+=，∵顶点的坐标为()1,0．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 13．(1)24a b =⎧⎨=-⎩(2)2m =- 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）判断出点P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解．(1)解：由抛物线25y ax bx =+-经过M （﹣1，1），N （2，﹣5）两点，得 514255a b a b --=⎧⎨+-=-⎩， 解这个方程组，得24a b =⎧⎨=-⎩； (2)解：∵P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上不同的两点，且2122y y =-∵212444511y =⨯-⨯-= ，2122221111y y =-=-=，∵ 12y y =∵点P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上的对称点，∵抛物线2245y x x =--的对称轴为4122x -=-=⨯，∵2m =-．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．14．（1）x =1；（2）（3，0）；（3） 2y x 2x 3=-++【分析】（1）根据,A B 坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴；（2）根据对称轴以及C 点的坐标即可确定另一个交点；（3）根据待定系数法求解析式即可．解：（1） A （0，3），B （2，3）∴该抛物线的对称轴为x=1故答案为：1x =（2）(1,0)C -，对称轴为1x =∴该抛物线与x 轴的另一个交点为（3,0）;故答案为：（3,0）（3）∵抛物线过点（0,3）、（-1,0）、（2,3）设二次函数的解析式为2()30y ax bx a =++≠由题意得，304233a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得，123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∵223y x x =++-【点拨】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与x 轴的交点问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．15．(1)y =-x 2-2x +8(2)＞【分析】（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．(1)解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （-1，9），C （0，8），∵598a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∵二次函数解析式为y =-x 2-2x +8.(2)∵y =-x 2-2x +8=-（x +1）2+7，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x =-1，∵当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小，∵0＜x 1＜x 2＜1，∵y 1＞y 2．故答案为：＞．【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．16．(1)12a b =⎧⎨=-⎩(2)见分析 【分析】（1）利用待定系数法将()()1,4,1,0A B --两点代入抛物线求解即可得；（2）根据（1）中结论确定函数解析式，求出与x ，y 轴的交点坐标及对称轴，然后用光滑的曲线连接即可得函数图象．(1)解：∵二次函数23y ax bx =+-的图象经过()()1,4,1,0A B --两点，∵3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=-⎩． (2)解：由（1）可得：函数解析式为：223y x x =--，当0y =时，2230x x --=，解得：11x =-，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为：()1,0-，()3,0，抛物线与y 轴的交点坐标为：()0,3-， 对称轴为：21221b x a -=-=-=⨯， 根据这些点及对称轴在直角坐标系中作图如下．【点拨】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及作函数图象，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．17．(1)2(1)y x =-(2)见分析【分析】（1）设抛物线解析式为2(1)y a x =-，将(0,1)代入解析式求解；（2）根据二次函数解析式作图即可．解：(1)设抛物线解析式为2(1)y a x =-，将(0,1)代入2(1)y a x =-得：1a =，∵2(1)y x =-；(2)二次函数图像如下图所示：【点拨】本题考查二次函数的图像以及用待定系数法求二次函数，掌握顶点式的形式是解题的关键．18．212524y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【分析】根据题意利用抛物线的顶点式，并代入（0，6）即可求出抛物线的函数表达式.解：设抛物线的函数表达式：2()(0)y a x h k a =-+≠，由图表可知抛物线的顶点为(0.5,6.25)即125(,)24， 可得2125()24y a x =-+， 代入（0，6）可得1a =-， 所以抛物线的函数表达式为：212524y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，注意掌握二次函数的顶点式为2()(0)y a x h k a =-+≠，顶点为(,)h k . 19．（1）21262y x x =+-；（2）（－2，－8） 【分析】 （1）设抛物线y =ax 2+bx +c ，把三点坐标代入二次函数解析式求出a ，b ，c 的值，即可确定出二次函数解析式；（2）经过配方配成顶点式即可得到答案．解：（1）设抛物线y =ax 2+bx +c ，把（－6，0），（2，0），（0，－6）三点代入解析式，得36604206a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得，1226a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∵抛物线的解析式为：21262y x x =+- （2）221126=2)822y x x x =+-+-（ ∵抛物线的顶点坐标为：（-2，-8）．【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式，本题运用两根式求函数关系式更简单些．20．抛物线的表达式为y =−17（x +3）2+2． 【分析】根据题意可设顶点式y =a （x -h ）2+k ，然后再把点（4，-5）代入进行计算即可解答． 解：∵抛物线的顶点是（-3，2），∵设抛物线的表达式为：y =a （x +3）2+2，把点（4，-5）代入y =a （x +3）2+2中得：a （4+3）2+2=-5，解得：a =−17， ∵抛物线的表达式为：y =−17（x +3）2+2． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．。