1——求二次函数解析式专题
二次函数解析式习题及详解
二次函数解析式习题及详解二次函数是高中数学中的重要内容之一、它的解析式可以用一般形式y = ax^2 + bx + c 表示，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
解析式中的x 是自变量，y 是因变量，表示二次函数的图像上的点的坐标。
下面我们来看一些关于二次函数解析式的习题及详解。
1.求解一元二次方程3x^2+4x-1=0的解。
解：这是一个一元二次方程，可以写成 3x^2 + 4x - 1 = 0。
按照二次方程求解的步骤，我们可以先计算出Δ（delta），再根据Δ 的值来分类讨论。
首先计算Δ = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 × 3 × (-1) = 16 + 12 = 28根据Δ的值可以得出以下结论：-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实数解。
-当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
我们计算得到Δ=28>0，所以方程有两个不相等的实数解。
接下来，我们可以继续使用求根公式：x=(-b±√Δ)/2a来求解方程的解。
x1=(-4+√28)/(2×3)≈0.236x2=(-4-√28)/(2×3)≈-1.570。
所以方程3x^2+4x-1=0的解为x≈0.236和x≈-1.570。
2.求解二次函数y=x^2+4x-5的图像与x轴交点的坐标。
解：要求解二次函数与x轴交点的坐标，就是求解方程y=x^2+4x-5=0的解。
我们可以使用因式分解或者求根公式来解这个方程。
这里我们使用求根公式：将方程y=x^2+4x-5=0转化为一元二次方程的标准形式，即x^2+4x-5=y=0。
根据一元二次方程的求根公式x=(-b±√Δ)/2a，我们可以计算出方程的解。
a=1,b=4,c=-5；Δ = b^2 - 4ac = 16 + 20 = 36；x1=(-4+√36)/(2×1)=1x2=(-4-√36)/(2×1)=-5所以方程y=x^2+4x-5=0的解为x=1和x=-5因此，该二次函数图像与x轴交点的坐标为（1,0）和（-5,0）。
二次函数解析式的求法专题
二次函数解析式的求法专题1.已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（-1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．2.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）点C（0，5），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MAB的面积．3.如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．4.二次函数的图象经过（3，1），且当x=2时有最大值为3．求此函数关系式．5.设二次函数的图象的顶点坐标为（-2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．6.已知抛物线对称轴是直线x=2，且图象经过点（2，1）和点（1，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．7.如图，已知二次函数y=1x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，-6）两点．2（1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴；（2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式．8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．，0）三点，求这个二次9.一个二次函数的图象经过（0，-1），（-2，0），（12函数的解析式．10.已知二次函数图象的顶点为（3，-1），与y轴交于点（0，-4）（1）求二次函数解析式；（2）求函数值y＞-4时，自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，把（-1，5）代入得a（-1-1）2+9=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+9；（2）当y=0时，-（x-1）2+9=0，解得x1=4，x2=-2，所以B、C两点的坐标为（-2，0），（4，0），×9×（4+2）=27．所以△ABC的面积=12【解析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），把C（0，5）代入得a•1•（-5）=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，则M（2，9）×（5+1）×9=27．所以△MAB的面积=12【解析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把C（0，5）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先把解析式配成顶点式，然后写出M点的坐标，再利用三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．3.【答案】解；（1）设二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3；（2）当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=0，x2=-2，则D（-2，3），观察函数图象得当x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．【解析】（1）由于已知抛物线与x轴两交点，则设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C（0，3）代入求出a的值即可得到抛物线解析式；（2）通过解方程-x2-2x+3=3可得到D（-2，3），然后观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数与不等式．4.【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，把（3，1）代入得：a+3=1，解得：a=-2，则抛物线解析式为y=-2（x-2）2+3=-2x2+8x-5．【解析】根据题意找出顶点坐标，设出顶点式，把已知点坐标代入求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，以及二次根式的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5.【答案】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，，解得a=-19（x+2）2+2．所以这个函数的关系式为y=-19【解析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．6.【答案】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把（2，1）代入得a•1•（-1）=1，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3；（2）由（1）得A（1，0），B（3，0），当x=0时，y=-x2+4x-3=-3，则C（0，-3），×（3-1）×3=3．所以△ABC的面积=12【解析】（1）利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把（2，1）代入求出a的值即可；（2）由（1）可确定A点和B点坐标，再求出C点坐标，然后根据三角形的面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7.【答案】解：（1）把A（2，0），B（0，-6）代入y=-12x2+bx+c得{c=−6−2+2b+c=0，解得{c=−6b=4，所以抛物线解析式为y=-12x2+4x-6，∵y=-12（x-4）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=4，（2）y=-12x2-6．【解析】（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解关于b、c的方程组即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式得到对称轴；（2）利用顶点为（0，-6）写出抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.【答案】解：（1）由题意，得 {a −b +c =−4c =−2a +b +c =2，解这个方程组，得 a =1，b =3，c =-2，所以，这个二次函数的解析式是y =x 2+3x -2；（2）y =x 2+3x -2=（x +32）2-174，顶点坐标为（-32，-174），对称轴是直线x =-32．【解析】（1）把已知三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．9.【答案】解：设抛物线解析式为y =a （x +2）（x -12）， 把（0，-1）代入得a •2•（-12）=-1，解得a =1．所以抛物线解析式为y =（x +2）（x -12），即y =x 2+32x -1．【解析】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y=a （x+2）（x-），然后把（0，-1）代入求出a 的值即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．10.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，，把（0，-4）代入得9a-1=-4，解得a=-13所以抛物线解析式为y=-1（x-3）2-1，3（x-3）2-1=-4，解得x1=0，x2=6，（2）y=-4时，-13所以当0＜x＜6时，y＞-4．【解析】（1）设顶点式y=a（x-3）2-1，然后把（0，-4）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）计算函数值为-4所对应的自变量的值，然后利用二次函数图象求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．第11页，共11页。
完整版)二次函数求解析式专题练习题
完整版)二次函数求解析式专题练习题1.已知抛物线经过点A(1,1)，求这个函数的解析式。
解析式为y = ax^2 + bx + c，代入点A得1 = a + b + c。
因为抛物线是二次函数，所以需要三个点才能确定解析式。
无法确定解析式。
2.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3)，且过点(1,0)，求此二次函数的解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得3 = 4a - 2b + c，代入过点(1,0)得0 = a + b + c。
解得a = -1，b = 1，c = 0，所以解析式为y = -x^2 + x。
3.抛物线过顶点(2,4)且过原点，求抛物线的解析式。
因为过顶点，所以解析式为y = a(x - 2)^2 + 4.因为过原点，所以代入(0,0)得0 = 4a - 4，解得a = 1.所以解析式为y = (x -2)^2 + 4.4.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为(1,5)，则它们的解析式为。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为顶点坐标为(1,5)，所以解析式为y = a(x - 1)^2 + 5.设两个交点的横坐标为p和q，且p < q，则有8 = |(p - 1)(q - 1)|/4，化简得4p + 4q = pq - 4.因为顶点在抛物线的对称轴上，所以p + q = 2.解得p = -2，q = 8.代入顶点坐标得a = 1/9.所以解析式为y = (x - 1)^2/9 + 5.5.已知二次函数当x = -1时有最小值-4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为在x轴上截得线段长为4，所以有b^2 - 4ac = 16.因为当x = -1时有最小值-4，所以有a < 0.代入最小值得-4 = a - b + c。
解得a = -1，b = 4，c = -1.所以解析式为y = -x^2 + 4x - 1.6.抛物线经过(0,0)和(12,0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式。
怎样求二次函数的解析式
怎样求二次函数的解析式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1怎样求二次函数的解析式二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点，往往会综合其他函数和几何而作为压轴题，有一定的难度。
这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点，因此学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的第一关。
一、三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用一般式y = ax 2 +bx +c . 解题策略：通过各种途径搜索转化题目的各个信息找到三个点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此类问题是中考中最常见的一类。
例1 已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,由已知可得043a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ ，解之得1,2,3.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故所求二次函数解析式为y=x 2+2x-3.例2 （2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． 求该抛物线的解析式； 解：由题意知：A （0，6），C （6，0）， 设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ,则：⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==c b a c b a c63603906解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=6131c b a∴该抛物线的解析式为6312++-=x x y例3 （2010 山东省德州）已知二次函数c bx ax y ++=2A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)． 求此函数的解析式及图象的对称轴； 解：∵二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点C (0，-3)，∴c =-3．x将点A (3，0)，B (2，-3)代入c bx ax y ++=2得⎩⎨⎧-+=--+=.32433390b a b a ，解得：a =1，b =-2． ∴322--=x x y ．配方得：412--=）（x y ，所以对称轴为=1． 例4 （2010 山东莱芜）在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .求此抛物线的解析式；解：∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a ， 解得343323a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为：32334632+-=x x y . 例5．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．解：（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：xyOA BCP Q MN020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． 二、顶点型若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标，则可以用顶点式y =a (x-h )2+k . 解题策略：想方设法找到顶点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此法比较简单。
求二次函数的解析式--专题练习题-含答案
求二次函数的解析式专题练习题姓名：班级：1．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B和D(4，－23 )，求抛物线的解析式．2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求直线CM的解析式；(3)求△MCB的面积．3．已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式是( )A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋64．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(2，1)，求二次函数的解析式．2x …－4 －3 －2 －1 0 …y …－5 0 3 4 3 …(1)求此二次函数的解析式；(2)画出此函数图象；(3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝____，c＝____；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x＝－1 2 .(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．答案:1. 解：y＝16x2－13x－22. 解：(1)y＝－x2＋4x＋5(2)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，则M点坐标为(2，9)，可求直线MC的解析式为y＝2x＋5(3)把y＝0代入y＝2x＋5得2x＋5＝0，解得x＝－52，则E点坐标为(－52，0)，把y＝0代入y＝－x2＋4x＋5得－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，则B点坐标为(5，0)，所以S△MCB ＝S△MBE－S△CBE＝12×152×9－12×152×5＝153. D4. 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，又顶点在y＝x＋1上，那么顶点的横坐标是1，设此函数的解析式是y＝a(x－1)2＋2，再把(2，1)代入函数中可得a(2－1)2＋2＝1，解得a＝－1，故函数解析式是y＝－(x－1)2＋2，即y＝－x2＋2x＋15. 解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(－1，4)，设y＝a(x＋1)2＋4，把(0，3)代入得a(0＋1)2＋4＝3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3(2)图象略(3)－5＜y≤46. 解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x －3)，即y＝x2－2x－3(2)由(1)可知y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则y的最小值为－4＞－5，因此无论m 取何值，点M都不在这个二次函数的图象上7. 解：∵抛物线的对称轴为x＝－1，在x轴上截得的线段长为4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，设抛物线解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，把(－2，－6)代入得a·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a＝2，所以抛物线解析式为y＝2(x＋3)(x－1)，即y＝2x2＋4x－68. (1) 2 0(2)(－1，－1)(3)由平移知两个图象顶点之间的距离＝22＋32＝139. y＝－x2＋2x＋310. 解：(1)y＝－12x2－12x＋3(2)由y＝0得－12(x＋12)2＋258＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形，∴M点坐标为(0，0)；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝OC2＋OB2＝32，∴BM＝32，∴M点坐标(32－3，0)．综上所述，M点坐标为(32－3，0)或(0，0)。
二次函数专题(一)-待定系数求解析式
二次函数专题(一):待定系数求解析式一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣82．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣23．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；=1，求点B的坐标．（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？二次函数专题(一):待定系数求解析式参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8【分析】顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8）故二次函数的解析式为y=2（x﹣1）2﹣8故选D．【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．2．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，得到：，解得：，则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．故选C．【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为±6．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，∴顶点的纵坐标为零，即y===0，解得b=±6．【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．【分析】根据与x轴的另一交点到原点的距离为4，分这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0）两种情况，利用待定系数法求函数解析式解答即可．【解答】解：∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0），设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，①当这个交点坐标为（﹣4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=x2+2x，②当这个交点坐标为（4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x，综上所述，二次函数解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．故答案为：y=x2+2x或y=﹣x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+5．【分析】根据图象可得抛物线经过的三个点的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可．【解答】解：根据题意得，抛物线经过点（0，5），（﹣4，2），（2，4），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．故答案为：y=﹣x2﹣x+5．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法之一，根据图形找出图象经过的三个点的坐标是解题的关键．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；（2）利用表中数据求解．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S=1，求点B的坐标．△OAB【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标及对称轴；（3）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得到×2×|t2﹣2t|=1，则t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x；（2）因为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x=1；（3）设B（t，t2﹣2t），因为S=1，△OAB所以×2×|t2﹣2t|=1，所以t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，解方程t2﹣2t=1得t1=1+，t2=1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t=﹣1得t1=t2=1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．【分析】（1）此题知道顶点坐标，适合用二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k来解答．（2）求出与坐标轴的交点坐标，结合已知的顶点坐标，描点、连线．【解答】解：（1）已知二次函数的顶点P（1，﹣4）可设解析式为y=a（x﹣1）2﹣4把A（0，﹣3）代入上式，得﹣3=a﹣4，即a=1∴解析式为y=（x﹣1）2﹣4化为一般式为y=x2﹣2x﹣3（2）当y=0时，原式化为：x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）当x=0时，y=﹣3．因此与y轴交点坐标为：（0，﹣3）．如右图：【点评】解答此题要熟悉①二次函数的解析式：（1）一般式y=ax2+bx+c，（a，b，c为常数且a≠0）（2）顶点式y=a（x﹣h）2+k，（h，k）为顶点坐标，（3）交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．②描点法作图．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？【分析】（1）由OC与OD的长，求出MD的长，确定出M坐标，设y=a（x﹣2）2+6，把C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式设出P坐标，过点P做x轴的垂线，交x轴于点E，利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长，用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积，进而得出S与x的函数解析式，利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可．【解答】解：（1）∵OC=4，OD=2，∴DM=6，∴点M（2，6），设y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣，∴该抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+6；（2）设点P（x，﹣（x﹣2）2+6），即（x，﹣x2+2x+4），x＞0，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，则PE=﹣x2+2x+4，DE=x﹣2，S=x（﹣x2+2x+4+4）﹣×2×4﹣（x﹣2）（﹣x2+2x+4），即S=﹣x2+4x=﹣（x﹣4）2+8，∴当x=4时，S有最大值为8．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
一、二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
求二次函数解析式的典型题
求二次函数解析式的典型题一．解答题（共9小题）1．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．2．（2007•天津）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．3．（2007•上海）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．4．（2005•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．5．（2005•芜湖）已知二次函数图象经过（2，﹣3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．6．（2004•沈阳）如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）观察图象，当x取何值时，y＜0，y=0，y＞0．7．（2003•甘肃）已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．8．（1999•河南）已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．9．已知二次函数的图象的对称轴为x=2，函数的最小值为3，且图象经过点（﹣1，5），求此二次函数图象的关系式．参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：因为抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），所以设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式即可解答．解答：解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．2．（2007•天津）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：此题考查了待定系数法求a、b、c的值，根据题意可得三元一次方程组，解方程组即可求得待定系数的值；利用配方法或公式法求顶点坐标即可．解答：解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c；由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得；解这个方程组，得a=2，b=2，c=﹣4；∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．（2）y=2x2+2x﹣4=2（x2+x﹣2）=2（x+）2﹣，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，方程组的解法，同时还考查了抛物线顶点坐标的求法．3．（2007•上海）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．解答：解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：0=4a﹣4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．点评：考查用待定系数法来求函数解析式、坐标系里点的平移的特点．4．（2005•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：已知了抛物线上三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；进而可根据函数的解析式求出抛物线的开口方向，及对称轴方程与顶点坐标（用配方法或公式法求解均可）．解答：解：（1）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y=ax2+bx+c，得：解得：；则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．点评：考查学生对二次函数知识的掌握情况，这样的题目可让思维和能力不同的考生能有不同的表现．解函数的解析式的问题可以利用待定系数法，转化为方程组问题．5．（2005•芜湖）已知二次函数图象经过（2，﹣3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：根据对称轴是x=1，抛物线与x轴两交点距离为4确定抛物线与x轴的交点，再利用交点式求抛物线的表达式．解答：解：∵抛物线与x轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴∴抛物线与x轴两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x﹣3）又∵抛物线过（2，﹣3）点∴﹣3=a（2+1）（2﹣3）解得a=1∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．点评：本题考查了抛物线的对称性和待定系数法求抛物线的表达式，题目比较普遍．6．（2004•沈阳）如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）观察图象，当x取何值时，y＜0，y=0，y＞0．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．分析：（1）直接利用图中的三个点的坐标代入解析式用待定系数法求解析式；（2）把解析式化为顶点式求顶点坐标和对称轴；（3）依据图象可知，当图象在x轴上方时，y＞0，在x轴下方时，y＜0，在x轴上时，y=0．解答：解：（1）A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），设解析式为y=ax2+bx+c，代入可得：，解得：．故解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，故顶点坐标为：（1，﹣4），对称轴为直线x=1；（3）观察图象可得：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，当x=﹣1或x=3时，y=0，当﹣1＜x＜3时，y＜0．点评：主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数及其图象的性质．7．（2003•甘肃）已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：（1）把点（0，5）代入函数的解析式中，转化为关于m的一元一次方程解答；（2）求出函数解析式，根据函数解析式就可求出顶点坐标和对称轴．解答：解：（1）∵图象过点（0，5），由题意：．解得m=3．∴二次函数解析式为y=x2+6x+5．（2）∵y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，∴此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x=﹣3．点评：此题考查了用待定系数法求二次函数解析式和用配方法求顶点坐标和对称轴．8．（1999•河南）已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：先设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法，把点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），代入可解得二次函数的解析式．解答：解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把三点分别代入得（1）a+b+c=﹣1，（2）c=1，（3）a﹣b+c=13，（1）（2）（3）联立方程组解得a=5，b=﹣7，c=1，故这个二次函数的解析式y=5x2﹣7x+1．点评：考查用待定系数法求函数解析式．9．已知二次函数的图象的对称轴为x=2，函数的最小值为3，且图象经过点（﹣1，5），求此二次函数图象的关系式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：根据二次函数的对称轴为x=2，函数的最小值为3，可知其顶点坐标为（2，3）；因此本题可用顶点式设所求的二次函数解析式，然后将点（﹣1，5）的坐标代入抛物线中即可求得函数的解析式．解答：解：根据题意设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+3；将点（﹣1，5）代入得，a=，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣x+．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求函数的解析式．。