2018年高考一轮江苏数学理科第3章第12课课时分层训练12

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2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(江苏卷)

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.
5．[2，+∞）
【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为 .
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
6．
【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.
9．
【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.
详解：由得函数的周期为4，所以因此
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．
5．函数的定义域为________．
6．（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

2018版高考数学理江苏专用一轮复习练习第三章导数及

第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________.解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案1 e5．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，解得a ＝12. 答案 126．(2017·南师附中月考)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 07．(2017·苏北四市模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2 x ，∴由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 答案－18．(2016·全国Ⅱ卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x＋1)的切线，则b ＝________.解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案 1－ln 2 二、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2016·山东卷改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数：①y＝sin x；②y＝ln x；③y＝e x；④y＝x3.其中具有T性质的是________(填序号)．解析若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于①：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于②：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于③：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于④：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案①12．(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 213．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。

2018江苏高考数学试题及答案word版

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绝密★启用前2018 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学 I注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包括非选择题（第 1 题 ~ 第 20 题，共 20 题） .本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点。

3.请仔细查对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考据号与自己能否符合。

4.作答试题，一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡上的指定地点作答，在其余位置作答一律无效。

5.如需变动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 小分，合计70 分。

请把答案填写在答题卡相应地点上。

1. 已知会合 A {0,1,2,8}, B { 1,1,6,8},那么A B __________.2. 若复数 z 知足i z 1 2i , 此中i是虚数单位 , 则 z z的实部为 __________.3. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如下图, 那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 __________.4.一个算法的伪代码如下图 , 履行此算法 , 最后输出的S的值为 __________.5. 函数f x log 2 1 的定义域为__________.6. 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 , 现从中任选 2 名学生去参加活动, 则恰巧选中 2 名女生的概率是 __________.7. 已知函数y sin(2 x )(2) 的图像对于直线x对称,则的值是__________.2 38. 在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x2 y21(a 0, b 0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐a2 b2近线的距离为3c ,则其离心率的值是__________. 29. 函数f (x)知足f ( x 4) f ( x)( x R) ,且在区间 ( 2,2) 上cos x,0 x 2f ( x) 2 , 则f ( f (15)) 的值为 __________.1|,| x 2 x 0210. 如下图 , 正方体的棱长为2, 以其全部面的中心为极点的多面体的体积为__________.11. 若函数 f (x) 2x3 ax 2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点,则 f ( x) 在 [ 1,1]上的最大值与最小值的和为__________.12. 在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 l : y 2x 上在第一象限内的点, B5,0 以 ABuuur uuur, 则点A的横坐标为 __________.为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ,若 AB CD 013. 在 ABC 中,角A, B, C所对应的边分别为a,b, c, ABC 120o , ABC 的均分线交AC 于点 D ,且 BD 1,则 4a c 的最小值为__________.14. 已知会合A x | x 2n 1,n N* ,B x | x 2n , n N*,将A B 的全部元素从小到大挨次摆列组成一个数列a n , 记S n为数列的前n项和 , 则使得S n 12a n 1建立的 n 的最小值为 __________.二、解答题15. 在平行四边形ABCD A1B1C1D1中, AA1 AB, AB1 B1C11.求证 : AB / /平面A1B1C2.平面 ABB1 A1平面 A1BC16. 已知, 为锐角 , tan 4,cos 5 3 51.求 cos2 的值。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)

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保持平常心，顺其自然2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5. 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S 点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。

2018年高考江苏数学(含答案)

f ( x0 ) g ( x0 ) ，则称 x0 为函数 f ( x) 与 g ( x) 的一个“S 点”．%网
2 6 ， 7
（1）证明：函数 f ( x) x 与 g ( x) x2 2 x 2 不存在“S 点”；（2）若函数 f ( x) ax2 1 与 g ( x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f ( x) x2 a ，g ( x)
f ( f (15)) 的值为
▲ ． 10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．
11．若函数 f ( x) 2 x3 ax2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点，则 f ( x) 在 [1,1] 上的最
-2-
大值与最小值的和为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y 2 x 上在第一象限内的点， B(5,0) ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为 ▲ ． 13．在 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， ABC 120 ， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD 1 ，则 4a c 的最小值为 ▲ ． 14．已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*} ．将 A
be x ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f ( x) x
与 g ( x) 在区间 (0, ) 内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分 16 分）设 {an } 是首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列， {bn } 是首项为，公比为 q 的等比数列．（1）设 a1 0, b1 1, q 2 ，若 | an bn | b1 对 n 1, 2,3, 4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a1 b1 0, m N* , q (1, m 2] ，证明：存在 d R ，使得 | an bn | b1 对 n 2,3, 均成立，并求的取值范围（用 b1 , m, q 表示）．

2018年高考一轮江苏数学理科附加题部分第3章第67课课时分层训练11

课时分层训练(十一)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2017·如皋市高三调研一)已知函数f (x )＝e 3x －6－3x ，求函数y ＝f (x )的极值． [解] 由f ′(x )＝3e 3x －6－3＝3(e 3x －6－1)＝0，得x ＝2.极小值所以f (x )在x ＝2处取得极小值－5，无极大值． 2．(2017·镇江期中) 已知函数f (x )＝e 2x －1－2x . (1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)证明：当x ∈R 时，f (x )≥0 恒成立. 【导学号：62172356】 [解] (1)函数f (x )＝e 2x －1－2x ，定义域为R ， f ′(x )＝e 2x －1×(2x －1)′－2＝2e 2x －1－2. (2)由题意f ′(x )＝2e 2x －1－2，x ∈R ， x ，f ′(x )，f (x )在x ∈R 上变化如下表：当x ＝12时f (x )取得极小值也是最小值，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f (x )≥0恒成立．3．(2016·北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． [解] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎨⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．4．已知函数f (x )＝x －e ax (a ＞0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2a 上的最大值. 【导学号：62172357】[解] (1)f (x )＝x －e ax (a ＞0)，则f ′(x )＝1－a e ax ，令f ′(x )＝1－a e ax ＝0，则x ＝1a ln 1a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln 1a ；减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ，＋∞.(2)当1a ln 1a ≥2a ，即0＜a ≤1e 2时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝2a －e 2；当1a ＜1a ln 1a ＜2a ，即1e 2＜a ＜1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ＝1a ln 1a －1a ；当1a ln 1a ≤1a ，即a ≥1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －e.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·如皋市高三调研一)设函数f (x )＝ax ＋x e b －x (其中a ，b 为常数)，函数y ＝f (x )在点(2,2e ＋2)处的切线的斜率为e －1.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解] (1)因为f ′(x )＝a ＋e b －x －x e b －x ，所以f ′(2)＝a －e b －2＝e －1，① 且f (2)＝2a ＋2e b －2＝2e ＋2，②由①②得a ＝e ，b ＝2，所以f (x )＝e x ＋x e 2－x . (2)f ′(x )＝e ＋e 2－x －x e 2－x ，由f ″(x )＝－e 2－x －e 2－x ＋x e 2－x ＝e 2－x (x －2)＝0，得x ＝2. 当x 变化时，f ″(x )，f ′(x )的变化情况如下表：f ′(x )最小值＝所以f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．2．已知函数f (x )＝(x －k )2e xk .(1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝(x －k )2e xk ，得 f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x )＝0，得x ＝±k ，若k >0，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：k ，k )．若k <0，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：k )．(2)当k >0时，因为f (k ＋1)＝ek ＋1k>1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e .当k <0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k )＝4k 2e . 所以∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k<0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时，k的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.3．已知函数f(x)＝e x－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．[解](1)f′(x)＝e x＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(e x－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(e x＋e－x)＋(4b－2)]＝2(e x＋e－x－2)(e x＋e－x－2b＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.②当b>2时，若x满足2<e x＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.4．设函数f(x)＝e2x－a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－a x，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－ax在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b满足0<b<a4且b<14时，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋a ln2a≥2a＋a ln2a.故当a>0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.。

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)_专题3.3导数的综合应用(测)

专题3.3 导数的综合应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2017课标3，理11改编】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =_________【答案】12【解析】2. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >->⇒-<<- 3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为．【答案】(0,)+∞ 【解析】试题分析：令()()x f x g x e =，则()()()0xf x f xg x e'-'=<，因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)(0)(2)1g(0)1f x f x f f +=-+⇒==⇒=，因此()()1(0)0x f x e g x g x <⇒<=⇒>4. 【2017届高三七校联考期中考试】若()1ln ,(),0xexf x x a xg x a e =--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211|()()|||()()f x f xg x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】22[3,0)3e - 【解析】则()'21()10xe x a h x x ex-=--≤在(3,4)x ∈上恒成立，[]11,3,4x x e a x e x x --∴≥-+∈恒成立令[]11(),3,4x x e u x x ex x--=-+∈，[]21112(1)113'()11,3,424x x x e x u x ee x x x ---⎡⎤-⎛⎫∴=-+=--+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 21211331,'()0244x e e u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ，()u x ∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大值为22(3)33u e =-综上，实数a 的取值范围为22[3,0)3e -.5. f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则af (b )与bf (a )的大小关系为________．【答案】af (b )≤bf (a )【解析】∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f x x 2≤－2fxx 2≤0.则函数f x x在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f a a≥f b b.即af (b )≤bf (a )．6.设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，127.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．【答案】40【解析】由y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40，由于0<x <40时，y ′<0；当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．8.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【解析】f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0.9.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【答案】2110.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________．【答案】[1，＋∞)解析】因为对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1k≤f x 2k ＋1恒成立，所以kk ＋1≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max . 因为g (x )＝e 2xex ，所以g ′(x )＝(x e 2－x )′＝e 2－x ＋x e 2－x ·(－1)＝e 2－x (1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e ；因为f (x )＝e 2x 2＋1x，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e，当且仅当e 2x ＝1x，即x ＝1e时取等号，故f (x )min ＝2e.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max ＝e 2e ＝12. 所以kk ＋1≥12.又因为k 为正数，所以k ≥1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。

2018年高考一轮江苏数学理科附加题部分第3章选修4-1 第70课课时分层训练14

课时分层训练(十四)A组基础达标(建议用时：30分钟)1．如图70-11，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC 于点D.图70-11求证：△ABD∽△AEB.[证明]因为AB＝AC.所以∠ABD＝∠C.又⊙O是三角形ABC的外接圆，所以∠E＝∠C，从而∠ABD＝∠E.又∠BAE＝∠BAD.故△ABD∽△AEB.2．(2017·泰州模拟)如图70-12，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC 经过圆心O，且BC＝2OC.图70-12求证：AC＝2AD. 【导学号：62172368】[证明]连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ，所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .3．如图70-13，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若P A ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．图70-13[解] 由切割线定理，得P A 2＝PC ·PD .因此PD ＝P A 2PC ＝623＝12.又PC ＝3，所以CD ＝PD －PC ＝9.由于CE ∶ED ＝2∶1，因此CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，AE ·EB ＝CE ·ED ，所以BE ＝CE ·ED AE ＝6×39＝2.4．如图70-14，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F .证明：图70-14(1)∠MEN ＋∠NOM ＝180°；(2)FE ·FN ＝FM ·FO . 【导学号：62172369】[证明] (1)如图所示，因为点M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，则∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ONE ＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，点O ，M ，E ，N 四点共圆．由割线定理，得FE ·FN ＝FM ·FO .B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．如图70-15，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD .图70-15(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．[解] (1)证明：连结OP ，∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴AC ∥BD .又OA ＝OB ，PC ＝PD ，∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线．(2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6.过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2.∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝46，∴CD ＝4 6.2．(2016·全国卷Ⅰ)如图70-16，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°，以O为圆心，12OA 为半径作圆．图70-16(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .[证明] (1)设E 是AB 的中点，连结OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切．(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心．设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .3．如图70-17，圆内接四边形ABCD 的边BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．图70-17(1)若EF∥CD，证明：EF2＝F A·FB；(2)若EB＝3EC，EA＝2ED，求DCAB的值．[解](1)证明：因为四边形ABCD内接于圆，所以∠B＝∠CDE. 又EF∥CD，所以∠CDE＝∠FEA，因此，∠B＝∠FEA.而∠F为公共角，所以△F AE∽△FEB，于是，F AFE＝FEFB，即EF2＝F A·FB.(2)由割线定理，得ED·EA＝EC·EB，即ED·2ED＝EC·3EC，所以EC2ED2＝23，即ECED＝63.因为∠B＝∠CDE，∠CED是公共角，所以△ECD∽△EAB，于是，DCAB＝ECEA＝EC2ED＝12·ECED＝66.4．(2016·全国卷Ⅲ)如图70-18，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．图70-18(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.[解](1)如图，连结PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第

1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示. 2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1.(教材改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1＝________. 答案 35解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －(6a 1＋15d )＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9，解得a 1＝35.2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，则这五个数的积为________.答案－3581解析设第三个数为a ，公差为d ，则这五个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23.所求5个数分别为－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.故它们的积为－3581.3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝________. 答案 98解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98.4.设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 答案 28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型一等差数列基本量的运算例1 (1)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.(2)(2016·徐州、宿迁模拟)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________. 答案 (1)6 (2)179解析 (1)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179. 思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是______. 答案 20解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝－4，从而a 9＝a 1＋8d ＝20.题型二等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由. (1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数.所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为________.(2)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，若前5项的和S 5＝5，则其公差为________. 答案 (1)a n ＝1n(2)2解析 (1)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(2)因为a 4＋a 6＝10，所以2a 5＝10，则a 5＝5，又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故a 3＝1，从而2d ＝a 5－a 3＝4，故d ＝2.(3)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式.①证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列. ②解由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑n k ＝1(a k ＋1－a k )＝∑n k ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值为_____.答案 (1)114 (2)－2 018解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.答案 (1)88 (2)3727解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6.等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝________。

2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第3章第12课课时分层训练12Word版含答案

课时分层训练(十二)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是________．M >N [M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)． ∵a 1，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0， ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M >N .]2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴β3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，－β3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0，∴2α－β3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π.]3．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________________. 【导学号：62172071】⎩⎨⎧x (30－2x )≥216，0＜30－2x ≤18[设矩形的宽为x m ，面积为S m 2，根据题意得S ＝x (30－2x )≥216,0＜30－2x ≤18，∴⎩⎨⎧x (30－2x )≥216，0＜30－2x ≤18.]4．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连结)z >y >x [∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2 ＝2c (a －b )>0，则y 2>x 2，即y >x . 同理可证z >y .∴z >y >x .]5．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的________条件．充分不必要 [因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．]6．(2016·北京高考改编)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则下列不等关系正确的是________．(填序号)①1x －1y >0； ②sin x －sin y >0； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0; ④ln x ＋ln y >0.③ [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故③正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0，故①错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故②错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故④错误．]7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是________．①②③ [由a ＞b ＞1，c ＜0得，1a ＜1b ，c a ＞cb ；幂函数y ＝xc (c ＜0)是减函数，所以a c ＜b c ；因为a －c ＞b －c ，所以log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，①②③均正确．]8．已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ，则实数b 的取值范围是________.【导学号：62172072】(－∞，－1) [∵ab 2＞a ＞ab ，∴a ≠0，当a ＞0时，b 2＞1＞b ，即⎩⎨⎧ b 2＞1，b ＜1，解得b ＜－1；当a ＜0时，b 2＜1＜b ，即⎩⎨⎧b 2＜1，b ＞1无解．综上可得b ＜－1.]9．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．27 [将4≤x 2y ≤9两边平方，得16≤x 4y 2≤81.①由3≤xy 2≤8，得18≤1xy 2≤13.②由①②，得2≤x 3y 4≤27，即x 3y 4的最大值是27.]10．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是__________________． a b 2＋b a 2≥1a ＋1b [a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，a 2b 2＞0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .] 二、解答题11．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0.求证：e (a －c )2＞e(b －d )2. [证明] ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0， ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0，∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2. 12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 【导学号：62172073】[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5.当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．设[x ]表示不超过x 的最大整数，x ，y 满足方程组⎩⎨⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是________．(93,94) [⎩⎨⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5化为：⎩⎨⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x ]－12＋5，解得[x ]＝20，y ＝73. ∵x 不是整数，∴20<x <21. ∴93<x ＋y <94.]2．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为________．(0,2)[由已知及三角形三边关系得⎩⎨⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得0＜2×c a ＜4，∴ca的取值范围为(0,2)．]3．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．[解] 设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ， lg xy ＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， ∴⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1， ∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y . ∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy ≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，取值范围为[6,10]．4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a ＞b ＞c ，求ca 的取值范围． [解] ∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，c a ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，∴c a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12.。

2018年高考数学江苏卷-答案解析

江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{1,8}【解析】观察两个集合即可求解。

【考点】集合的交集运算2.【答案】2【解析】2i (i)i i i 12i a b a b a b +=+=-=+，故2,1,2i a b z ==-=-.【考点】复数的运算 3.【答案】90【解析】8989909191905++++= 【考点】茎叶图，数据的平均数4.【答案】8【解析】代入程序前11I S =⎧⎨=⎩符合6I <，第一次代入后32I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入；第二次代入后54I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入，第三次代入后78I S =⎧⎨=⎩，不符合6I <，输出结果8S =，故最后输出S 的值为8.【考点】伪代码5.【答案】[2,)+∞【解析】2log 100x x -⎧⎨>⎩≥，解之得2x ≥，即[2,)+∞. 【考点】函数的定义域，对数函数6.【答案】310【解析】假设3名女生为,,a b c ，男生为,d e ，恰好选中2名女生的情况有：选a 和b ，a 和c ，b 和c 三种。

总情况有a 和b ，a 和c ，a 和d ，a 和e ，b 和c ，b 和d ，b 和e ，c 和d ，c 和e ，d 和e 这10种，两者相比即为答案310【考点】古典概型7.【答案】：6π- 【解析】函数的对称轴为+k 2ππ+()2k k ππ∈Z ，故把3x π=代入得2,326k k πππϕπϕπ+=+=-+ 因为22ππϕ-<<，所以0,6k πϕ==-.【考点】正弦函数的图像和性质8.【答案】2 【解析】由题意画图可知，渐近线b y x a=与坐标轴的夹角为60。

故22224b c a b a a ==+=，故2c e a==. 【考点】双曲线的几何性质9.【答案】2【解析】因为(4)()f x f x +=，函数的周期为4，所以11(15)(1),(1)122f f f =--=-+=∴1((15))cos 242ff f f π⎛⎫===⎪⎝⎭.【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解10.【答案】4 3【解析】平面ABCD为底面边长，高为1的正四棱锥，141233⨯⨯=.【考点】空间几何体的结构，体积的计算11.【答案】3-【解析】3221()212f x x ax a xx=-+⇒=+令'322312()2,()20231g x x g x x xx x=+=->⇒-+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∵有唯一零点∴32(1)213()231a g f x x x==+=⇒=-+求导可知在[1,1]-上，min max()(1)4,()(0)1f x f f x f=-=-==∴min max()()3f x f x+=-【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用12.【答案】3【解析】∵AB为直径∴AD BD⊥∴BD即B到直线l的距离。

2018年高考一轮江苏数学理科附加题部分第3章第65课课时分层训练9

课时分层训练(九)A组基础达标(建议用时：30分钟)1．已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足AC＝AB，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程．[解]由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x0－1,2y0－4)，代入点C的轨迹方程得4x20＋4(y0－2)2＝9，化简得x20＋(y0－2)2＝9 4，故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝9 4.2．动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线. 【导学号：62172348】[解]设点P(x，y)，则k AP＝yx－a，k BP＝yx＋a.由题意得yx－a·yx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.所以点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A，B两点)．(2)当k≠0时，(*)式即x2a2－y2ka2＝1，①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A，B两点)．②若k<0，(*)式可化为x2a2＋y2(－ka2)＝1.当－1<k<0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A，B两点)；当k＝－1时，(*)式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A，B两点)；当k <－1时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去A ，B 两点)． 3．如图65-3所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．图65-3[解] 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)．设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．4．在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知点E (1,0)，若A ，B 是曲线C 上的两个动点，且满足EA ⊥EB ，求EA →·BA →的取值范围. 【导学号：62172349】[解] 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则点D 的坐标为(x 0,0)．由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y .因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4.所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)因为EA ⊥EB ，所以EA →·EB →＝0. 所以EA →·BA →＝EA →·(EA →－EB →)＝EA →2.设点A (x 1，y 1)，则x 214＋y 21＝1，即y 21＝1－x 214. 所以EA →·BA →＝EA →2＝(x 1－1)2＋y 21 ＝x 21－2x 1＋1＋1－x 214＝34x 21－2x 1＋2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23.因为点A (x 1，y 1)在曲线C 上，所以－2≤x 1≤2. 所以23≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23≤9，所以EA →·BA →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，9.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．如图65-4，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．图65-4[解] 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .2．已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程．[解] 由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，① 直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2yx ，③∴x ≠0，且|x |< 2.∵点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)． 3．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB ＝23，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．[解] (1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，距离为23，满足题意．若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，得d ＝1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．因为OQ →＝OM →＋ON →，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2. 又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以x 2＋y 24＝4(y ≠0)，所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆，且除去短轴端点．4．已知点A (－1,0)，F (1,0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N .问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋1，y )，FP →＝(x －1，y )，AF →＝(2,0)．由AP →·AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x . 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)直线l 的方程为y ＝2(x ＋1)，设Q (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．过点M 的切线方程设为x －x 1＝m (y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0.由Δ＝16m2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x＋x 1)．同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．因为Q (x 0，y 0)在切线上，所以⎩⎨⎧y 1y 0＝2(x 0＋x 1)，y 2y 0＝2(x 0＋x 2).所以点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在直线yy 0＝2(x 0＋x )上，所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x )．又MN ∥l ，所以2y 0＝2，即y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，所以x 0＝－12，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.。

2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第1章第3课课时分层训练3Word版含答案

课时分层训练(三)A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·启东中学高三第一次月考)命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是________. 【导学号：62172014】∃x ∈R ，x 2<0 [“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2<0”．]2．(2017·如皋市高三调研一)命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是________命题．(填“真”或“假”)假 [∵命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”是真命题，故其否定是假命题．]3．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为________．(綈p )∨(綈q ) [“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p ∧q ，而p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．]4．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号)①p 为真；②綈p 为假； ③p ∧q 为假； ④p ∧q 为真．③ [p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．]5．下列命题中为假命题的是________．①∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x ＞sin x ； ②∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2；③∀x ∈R,3x ＞0；④∃x 0∈R ，lg x 0＝0.② [对于①，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故①正确；对于②，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故②错误；对于③，易知3x ＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确．]6．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172015】(－∞，0)∪(4，＋∞) [因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.] 7．(2017·盐城中学月考)已知命题“綈p 或綈q ”是假命题，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③綈p 或q ；④綈p 且q .其中真命题的个数为________．3 [∵“綈p 或綈q ”是假命题；∴綈p 及綈q 均是假命题，从而p ，q 均是真命题．即p 或q ，p 且q ，綈p 或q 均是真命题，綈p 且q 为假命题．]8．(2017·南京二模)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[e,4] [若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.]9．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0 ＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________.【导学号：62172016】(1，＋∞) [命题p 为真时，a ≤1；“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即綈p 为真且q 为真，即a >1.]10．已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋2≤0；q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0.若“p∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．[1，＋∞) [若存在x 0∈R ，mx 20＋2≤0成立，则m <0，所以若p 为假命题，m 的取值范围是[0，＋∞)；若任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，则Δ＝4m 2－4<0，即－1<m <1，所以若q 为假命题，m 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是[1，＋∞)．]二、解答题11．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围.【导学号：62172017】[解] (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.∴若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1，∴命题q 为真时，m ≤1.∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎨⎧ 1≤m ≤2，m >1，得1<m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <1或m >2，m ≤1，得m <1. 综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．12．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．[解] 由“p 或q 为真，p 且q 为假”可知，p ，q 中有且仅有一个为真命题，又p 真⇔⎩⎨⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝－m <0⇒m >2，x 1·x 2＝1>0q 真⇔Δ<0⇒1<m <3. (1)若p 假q 真，则⎩⎨⎧m ≤2，1<m <3⇒1<m ≤2；(2)若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m >2，m ≤1或⎩⎨⎧m >2，m ≥3⇒m ≥3. 综上所述，m ∈(1,2]∪[3，＋∞)．B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”；②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中为真命题的是________．(填序号)①②③ [①正确．②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．由于存在性命题的否定为全称命题，所以③正确．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]2．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．[1，＋∞) [由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.]3．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数m 的取值范围．[解] 因为∀x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，即f (x )min ＝0.若∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则只要满足g (x )min ≤0. 而函数g (x )在区间[0,2]上是单调减函数，故g (x )min ＝g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ≤0，即m ≥14.故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 4．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，x ＋1x >c .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数c 的取值范围．[解] 若命题p 为真，则0<c <1.若命题q 为真，则c <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，2≤x ＋1x ≤52，则必须且只需2>c ，即c <2.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 、q 必有一真一假．当p 为真，q 为假时，⎩⎨⎧ 0<c <1，c ≥2，无解；当p 为假，q 为真时，⎩⎨⎧ c ≥1，c <2，所以1≤c <2. 综上，c 的取值范围为[1,2)．。

2018年江苏高考数学试题及答案(无错版)001 精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则AB = ▲ ．2．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 ▲ ．3．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是 ▲ ．4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为 ▲ ． 5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是． 6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s = ． 7．已知tan()24x π+=，则xx2tan tan 的值为．8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是． 9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是．10．已知1e ，2e 是夹角为π32的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若0a b ⋅=，则实数k 的值为．11．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是．13．设1271a a a =≤≤≤…，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是．14．设集合{(,)|A x y =222(2)2mx y m ≤-+≤，},x y R ∈，{(,)|B x y =2m x y ≤+≤21m +，},x y R ∈，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,．（1）若sin()2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD ∠=，,E F 分别是,AP AD 的中点．求证：（1）直线//EF 平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD ．17．（本小题满分14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切Read a ，bIf a >b Then m ←a Else m ←b End If Print mP EFABCDxyO3π 712π 2-去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x （cm ）．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k ．（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值；（2）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意0k >，求证：PA PB ⊥．19．（本小题满分16分）已知,a b 是实数，函数3()f x x ax =+，2()g x x bx =+，)(x f '和)(x g '是()f x 和()g x 的导函数．若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致．A60E FBx xCD PxyBPCOAMN（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，求实数b 的取值范围；（2）设0a <且b a ≠，若)(x f 和)(x g 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值．20．（本小题满分16分）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，已知对任意整数k M ∈，当n k >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立．（1）设{1}M =，22=a ，求5a 的值；（2）设{3,4}M =，求数列}{n a 的通项公式．附加题21．[选做题]A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与2r （12r r >）．圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）．求证：:AB AC 为定值．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x ty t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：|21|3x x +-<．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱柱1111ABCD ABC D -中，12AA=，1AB =，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．设二面角1A DN M --的大小为θ．（1）当90θ=时，求AM 的长；（2）当6cos 6θ=时，求CM 的长．23．（本小题满分10分）ABC D 1A1B1C1DNM设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,a b ∈{}1,2,3,,n …，a b >．（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ；（2）记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求n B ．。

2018年高考一轮江苏数学理科第3章第13课课时分层训练13

课时分层训练(十三)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]2．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是________.【导学号：62172076】{a |0≤a ≤4} [由题意知a ＝0时，满足条件， a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.]3．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >－12，则实数a ＝________.－2 [不等式ax －1x ＋1<0等价于(ax －1)(x ＋1)<0，由题意可知x ＝－1及x ＝－12是方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两个实数根，∴1a ＝－12，即a ＝－2.]4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.52[由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.]5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．[－1,4] [令f (x )＝x 2－2x ＋5，则f (x )＝(x －1)2＋4≥4，由a 2－3a ≤4得－1≤a ≤4.]6．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． [0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]7．(2016·苏北四市摸底考试)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，则不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由f (log 2x )<f (2)可得－(log 2x )2＋2log 2x <－4＋4， ∴log 2x (2－log 2x )<0， ∴log 2x >2或log 2x <0， ∴x >4或0<x <1，即不等式f (log 2x )2<f (2)的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．]8．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________. 【导学号：62172077】[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]9．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为________．{x |x <－ln 3} [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根， ∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23，b ＝－1×13＝－13.∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13.不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13. 解得x <ln 13， ∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]10．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．b <－1或b >2 [由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∵x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.] 二、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【导学号：62172078】[解] (1)由题意可知ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，符合题意， ②当a ≠0时，只需⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1.综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )min ＝22，∴ax 2＋2ax ＋1的最小值为12. 即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a 24a ＝12，a >0，解得a ＝12.∴不等式x 2－x －34<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32.12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知命题∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] (1)由x 2－x －m ＝0可得m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.∵－1<x <1，∴－14≤m <2，∴M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－14≤m <2. (2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ， ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，即a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，即a <－14，2－a ≥2，③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不合题意．综上可得a <－14或a >94.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－2) [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2017·南通第一次学情检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋2. (1)若不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，求a 和b 的值；(2)若b ＝2a ＋1，对任意a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，f (x )>0恒成立，求x 的取值范围．[解] (1)因为不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，所以与之对应的二次方程ax 2－bx ＋2＝0的两个根为1和2，由韦达定理，得a ＝1，b ＝3.(2)令g (a )＝a ()x 2－2x －x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得x >2或x <1.故实数x 的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

2018年全国普通高等学校招生统一考试数学真题及答案(江苏卷)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1. 已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5. 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a. 9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A 1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A 1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB 1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S 点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。

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2018年江苏数学高考试题数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高。

圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B I ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y =232x x --的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10, ()2,01,5x axf xx x+-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a∈R若59()()22f f-=，则f（5a）的值是▲ .12. 已知实数x，y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x2+y2的取值范围是▲ .13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BC CA⋅=u u u r u u u r，1BF CF⋅=-u u u r u u u r，则BE CE⋅u u u r u u u r 的值是▲ .14.在锐角三角形ABC中，若sin A=2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABC△中，AC=6，4πcos.54B C==，（1）求AB的长；（2）求πcos(6A-)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. 若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？(1) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600x y x y+--+=及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,TA TP TQ+=u u r u u r u u u r,求实数t的取值范围。

2018江苏高考数学试题及答案解析(K12教育文档)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅,其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π，则()()15f f 的值为．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅,则点A 的横坐标为．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、， 120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证:(1)11AB A B C 平面∥； (2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； (2）求tan()αβ-的值．17．(本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分）焦如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，点12(3,0),(3,0)F F -,圆O 的直径为12F F ． (1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △,求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值;(3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >,判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示)．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2,AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线,切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分）已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．（1）求A 的逆矩阵1-A ；（2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5:不等式选讲］(本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1=2,点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．（本小题满分10分)设*n ∈N ,对1,2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序（2,1)，(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8} 2．2 3．90 4．85．[2，+∞）6．3107．π6-8．29．2210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明:（1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：(1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ)=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ）平方米,△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是［14,1)．（2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ),θ∈［θ0，π2）．设f (θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈［θ0，π2)，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′,得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ)为增函数；当θ∈（π6，π2)时，()<0f θ′,所以f (θ)为减函数, 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解:（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=．（2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得 222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=,从而42AB =．设1122,,()(),A x y B x y , 由(*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去）,则2012y =，因此P 的坐标为102(,)2．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f (x ）=x ,g (x )=x 2+2x —2,则f ′（x )=1，g ′（x )=2x +2．由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′(x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解, 因此，f （x ）与g （x )不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f (x ）与g （x )的“S ”点，由f (x 0）与g （x 0）且f ′（x 0)与g ′(x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（＊）得01ln 2x =-,即120e x -=,则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此,a 的值为e2．（3）对任意a 〉0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h (x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）与g （x ）且f ′（x )与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**) 此时，0x 满足方程组（*＊），即0x 是函数f （x )与g （x ）在区间（0,1）内的一个“S 点"．因此，对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2,3,4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1,1≤d ≤3，3≤2d ≤5,7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此,d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···,m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x 〈f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时,数列1{}1n q n --单调递减,故数列1{}1n q n --的最小值为mq m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2,从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． (2）设P (x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2,0）,直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4,0）,倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2, 所以π4cos 236AB ==．因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．［选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科％网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,设AC ，A 1C 1的中点分别为O ,O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--,故111|||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅．因此,异面直线BP 与AC 1 (2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ,z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1,2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以2018江苏高考数学试题及答案解析(word 版可编辑修改)牛人数学助力高考数学 (1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。

2018年高考一轮江苏数学理科附加题部分第1章第62课课时分层训练6

课时分层训练(六)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)1．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，求ξ的方差．[解] 依题意，随机变量ξ服从超几何分布，ξ可能的取值为1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 4C 3－k 2C 36，k ＝1,2,3.ξ的概率分布为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.V (ξ)＝15×(1－2)2＋35×(2－2)2＋15×(3－2)2＝0.4.2．现有一游戏装置如图62-2，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得10张奖票，若落入B 槽，得5张奖票；若落入C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．图62-2(1)求投球一次，小球落入B 槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X ，求X 的概率分布及均值.【导学号：62172336】[解] (1)由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)落入A 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，落入B 槽的概率为12，落入C 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.X 的所有可能取值为0,5,10， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，P (X ＝5)＝12＋14×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×12＝2132.P (X ＝10)＝14＋14×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×14＝2164.所以X 的概率分布为E (X )＝0×164＋5×2132＋10×2164＝10516.3．(2017·南通二调)一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励(k ∈N ＋)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元．(1)求概率P (X ＝0)的值；(2)为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！) 【导学号：62172337】 [解] (1)事件“X ＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P (X ＝0)＝3×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572.(2)依题意，X 的可能值为k ，－1,1,0，且P (X ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163＝1216，P (X ＝－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫563＝125216，P (X ＝1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×56＝572，P (X ＝0)＝2572，结合(1)知，参加游戏者的收益X 的数学期望为 E (X )＝k ×1216＋(－1)×125216＋1×572＝k －110216(元)．为使收益X 的数学期望不小于0元，所以k ≥110，即k min ＝110.4．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的概率分布和数学期望E (X )． [解] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．[解] (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率 P ＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1136.(2)ξ的取值为0,1,2,3，所以ξ的概率分布列为所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.2．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？[解] (1)依题意，p 1＝P (40＜X ＜80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X ＞120)＝550＝0.1.由二项分布知，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意知，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X ＞120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X ＞120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 4008 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 3．(2017·南通模拟)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望． [解] (1)记“该网民购买i 种商品”为事件A i ，i ＝2,3，则：P (A 3)＝34×23×12＝14，P (A 2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124，所以该网民至少购买2种商品的概率为P (A 3)＋P (A 2)＝14＋1124＝1724. 该网民至少购买2种商品的概率为1724. (2)随机变量h 的可能取值为0,1,2,3， P (h ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝124，又P (h ＝2)＝P (A 2)＝1124，P (h ＝3)＝P (A 3)＝14，所以P (h ＝1)＝1－124－1124－14＝14.所以随机变量h 的概率分布为：故数学期望E (h )＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝2312.4．(2017·苏州市期中)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测式，共设置了A ，B ，C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B ，C 的概率均为a (0<a <1)，且这三个测试项目能否通过相互独立．(1)用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望E (X )(用a 表示)；(2)若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围． [解] (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 02(1－a )2＝12(1－a )2；P (X ＝1)＝12C 02(1－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 12a (1－a )＝12(1－a 2)； P (X ＝2)＝12C 12a (1－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 22a 2＝12(2a －a 2)； P (X ＝3)＝12C 22a 2＝12a 2. 从而X 的概率分布为X E (X )＝0×12(1－a )2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12. (2)P (X ＝1)－P (X ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a )2]＝a (1－a )， P (X ＝1)－P (X ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2， P (X ＝1)－P (X ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a (1－a )≥0，1－2a 2≥0，1－2a 22≥0，得0<a ≤12，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.。