9第九章多重共线性
多重共线性
多重共线性多重共线性（multicollinearity ）的特征● 多重共线性是指一个回归模型中的一些或全部解释变量之间存在有一种“完全”或准确的线性关系：0...2211=+++k k X X X λλλ其中k λλλ,...,,21为常数，但不同时为零。
● 0...2211≈+++k k X X X λλλ， 近似的多重共线性● 通过巴伦坦图做简单的描述。
共线性部分可用两圆圈的重叠部分来衡量。
重叠部分越大，共线性程度越高。
● 我们定义的多重共线性仅对X 变量之间的线性关系而言，它们之间的非线性关系并不违反无多重共线性的假设i i i i u X X Y +++=2210βββ多重共线性的后果●如果多重共线性是完全的，诸X变量的回归系数将是不正确的，并且它们的标准误差为无穷大●如果多重共线性是不完全的，那末，虽然回归系数可以确定，却有较大的标准误差，意思是，系数不能以很高的精确或准精确加以估计，这会导致：-参数估计不精确，也不稳定-参数估计量的标准差较大，影响系数的显著性检验●多重共线性产生的后果具有一定的不确定性●在近似的多重共线性的情况下，只要模型满足CLRM 假定，回归系数就为ＢＬＵＥ，但特定的样本估计量并不一定等于真值。
多重共线性的来源（1）许多经济变量在时间上由共同变动的趋势，如：收入，投资，消费（2）把一些经济变量的滞后值也作为解释变量在模型中使用，而解释变量和滞后变量通常相关，如：消费和过去的收入多重共线性一般与时间序列有关，但在横截面数据中也经常出现多重共线性的检验● 多重共线性是普遍存在的，造成的后果也比较复杂，对多重共线性的检验缺少统一的准则－ 对有两个解释变量的模型，作散点图，或相 关系数，或拟和优度Ｒ平方。
－ 对有多个解释变量的模型，分别用一个解释 变量对其它解释变量进行线性回归，计算拟 和优度22221,...,,k R R R－ 考察参数估计值的符号，符不符合理论 － 增加或减少解释变量，考察参数估计值的变 化－ 对比拟和优度和ｔ检验值多重共线性的修正方法● 增加样本观测值，如果多重共线性是由样本引起的，可以通过收集更多的观测值增加样本容量。
多重共线性检验方法
多重共线性检验方法多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，导致回归模型估计的不稳定性和不准确性。
在实际的数据分析中，多重共线性经常会对回归分析结果产生严重影响，因此需要采用适当的方法来检验和解决多重共线性问题。
本文将介绍几种常用的多重共线性检验方法，帮助读者更好地理解和处理多重共线性问题。
1. 方差膨胀因子（VIF）。
方差膨胀因子是一种常用的多重共线性检验方法，它通过计算自变量的方差膨胀因子来判断自变量之间是否存在多重共线性。
方差膨胀因子的计算公式为，VIF = 1 / (1 R^2)，其中R^2是自变量对其他自变量的线性相关性的度量，VIF越大表示自变量之间的共线性越严重。
一般来说，如果自变量的VIF大于10，就可以认为存在严重的多重共线性问题。
2. 特征值和条件指数。
特征值和条件指数是另一种常用的多重共线性检验方法，它们是通过对自变量之间的相关矩阵进行特征值分解得到的。
特征值表示了自变量之间的共线性程度，而条件指数则可以用来判断自变量之间的共线性是否严重。
一般来说，特征值大于1或条件指数大于30就表示存在严重的多重共线性问题。
3. Tolerance（容忍度）。
容忍度是一种用来判断自变量之间共线性的指标，它是方差膨胀因子的倒数。
一般来说，如果自变量的容忍度小于0.1，就可以认为存在严重的多重共线性问题。
4. 相关系数和散点图。
除了上述的定量方法，我们还可以通过观察自变量之间的相关系数和绘制散点图来判断是否存在多重共线性。
如果自变量之间的相关系数接近1或-1，或者在散点图中存在明显的线性关系，就可能存在多重共线性问题。
5. 多重共线性的解决方法。
一旦发现存在多重共线性问题，我们可以采取一些方法来解决。
例如，可以通过删除相关性较强的自变量、合并相关性较强的自变量、使用主成分分析等方法来减轻多重共线性的影响。
此外，还可以使用岭回归、套索回归等方法来处理多重共线性问题。
总之，多重共线性是回归分析中常见的问题，需要及时进行检验和处理。
多重共线性
多重共线性多重共线性1．基本定义：多重共线性是指几条不同的直线在空间上并不相交，却具有相同的方向。
它通常用于表示两个变量之间相关性的强弱。
其大小反映了两个随机变量之间线性关系的密切程度。
如果相关系数很大，说明两个随机变量的关系非常密切。
如果某些变量相关性很小，而另一些变量相关性很大，则可能存在多重共线性问题。
多重共线性问题往往与自相关、偏相关等现象紧密相联。
因此，在实际工作中需要注意分析处理。
2．举例，认识应用2。
1。
行程公差与最大实体原则相似，不过没有共线的问题。
直线a， b在一条直线L上，当A沿着b移动，即垂直于C方向时，测量的A到C的距离最大。
多重共线性解决的一般思路是找出每条直线的最大特征长度，使这条直线尽可能靠近C，使其最大长度保持最小值，且满足最小比例等式，则多重共线性消失。
2。
2。
由某条直线与第一条直线的夹角（半角）、该条直线在第一条直线的方向（正方向），判断其是否满足“共线”条件。
3．引申举例，认识误区一旦问题里面出现共线情况，有时还会存在并列、相交、非全等关系。
而多重共线性和最大实体原则都只适用于平行线之间的相互关系。
所以我们在看问题时不仅要考虑空间上的问题，还要把问题进行细化。
注意挖掘隐藏在现象背后的事物之间的本质联系。
另外，最好能先确定两条直线所在平面内的最大特征长度。
当然，并非越小越好，太小也是无法辨别出来的。
4．小结多重共线性问题和最大实体原则一样，也是个常见的测量问题。
主要的应用范围包括如下几个方面：线形、管形、板形、电气图、发动机缸体测量等等。
5．拓展延伸现实中，经常遇到线形共线或线形重合的问题。
而从广义上来讲，测量就是将测得的一系列点之间的数据联系起来，找出各数据的规律。
即找出这些数据间的相互关系。
本次课程，就是让我们对多重共线性问题有了初步的认识，包括解决问题的一般思路和方法。
接下来，会专门安排实践部分去巩固本次所学的知识。
完全多重共线性的情形
利用统计软件进行检验：一些统计软件（如SPSS、SAS等）提供了检 验完全多重共线性的方法，如条件指数法、特征根法等。
04
观察模型残差：如果模型残差存在明显的模式或趋势，则可能存在完 全多重共线性。
02
完全多重共线性的影响
对模型的影响
模型参数估计值不稳定
模型预测能力下降
在完全多重共线性的情况下，模型参 数的估计值会变得非常不稳定，因为 存在多个变量相互依赖，导致估计的 参数值波动很大。
02
在设定模型时，应避免过度拟合和过拟合，保持模型的简洁性
和可解释性。
在设定模型时，应充分考虑变量的选择和筛选，避免引入过多
03
的冗余变量和完全多重共线性的变量。
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在这种情况下，解释变量的矩阵X的秩 小于其列数，使得矩阵X无法通过逆矩 阵X^(-1)来求解模型参数。
完全多重共线性的判定
01
观察解释变量之间的相关性：如果解释变量之间存在完全的正相关或 负相关关系，则可能存在完全多重共线性。
02
计算解释变量之间的方差膨胀因子（Variance Inflation Factor, VIF）：如果VIF值大于10，则可能存在完全多重共线性。
解释性差
由于参数估计的不稳定性和模型诊断的失效，完全多重共线性导致 模型的解释性大大降低，很难清晰地解释自变量和因变量之间的关 系。
假设检验失去意义
在完全多重共线性的情况下，假设检验失去意义，因为任何变量的改 变都会对其他变量产生影响，导致检验结果不可靠。
03
完全多重共线性的识别
基于相关系数的识别
05
完全多重共线性的预防
增加样本容量
样本容量增加可以提供更多的数 据点，有助于减少估计的误差， 从而降低完全多重共线性的风险。
多重共线性检验方法
多重共线性检验方法多重共线性是多元回归分析中常见的问题，指的是自变量之间存在高度相关性，导致回归系数估计不准确甚至失真。
在实际应用中，多重共线性可能会对模型的解释能力和预测能力造成严重影响，因此需要采取相应的检验方法来识别和应对多重共线性问题。
一、多重共线性的影响。
多重共线性会导致回归系数估计不准确，增大回归系数的标准误，降低统计推断的准确性。
此外，多重共线性还会使得模型的解释能力下降，使得模型对自变量的解释变得模糊不清，降低模型的预测能力。
因此，识别和解决多重共线性问题对于保证模型的准确性和稳定性至关重要。
二、多重共线性的检验方法。
1. 方差膨胀因子（VIF）。
方差膨胀因子是一种常用的多重共线性检验方法，它通过计算每个自变量的方差膨胀因子来判断自变量之间是否存在多重共线性。
通常情况下，方差膨胀因子大于10时，就表明存在严重的多重共线性问题。
2. 特征值检验。
特征值检验是通过计算自变量矩阵的特征值来判断自变量之间是否存在多重共线性。
当特征值接近0或者为0时，就表明存在多重共线性问题。
3. 条件数（Condition Number）。
条件数是通过计算自变量矩阵的条件数来判断自变量之间是否存在多重共线性。
通常情况下，条件数大于30就表明存在多重共线性问题。
4. 相关系数和散点图。
通过计算自变量之间的相关系数和绘制散点图来初步判断自变量之间是否存在多重共线性。
当自变量之间存在高度相关性时，就可能存在多重共线性问题。
三、处理多重共线性的方法。
1. 剔除相关性较强的自变量。
当自变量之间存在高度相关性时，可以考虑剔除其中一个或者几个相关性较强的自变量，以减轻多重共线性的影响。
2. 主成分回归分析。
主成分回归分析是一种处理多重共线性的方法，它通过将自变量进行主成分变换，从而降低自变量之间的相关性，减轻多重共线性的影响。
3. 岭回归和套索回归。
岭回归和套索回归是一种通过对回归系数进行惩罚来减轻多重共线性影响的方法，通过引入惩罚项，可以有效地缩小回归系数的估计值，减轻多重共线性的影响。
什么是多重共线性如何进行多重共线性的检验
什么是多重共线性如何进行多重共线性的检验多重共线性是指在统计模型中，独立变量之间存在高度相关性或者线性依赖关系，从而给模型的解释和结果带来不确定性。
在回归分析中，多重共线性可能导致系数估计不准确、标准误差过大、模型的解释变得复杂等问题。
因此，对于多重共线性的检验和处理是非常重要的。
一、多重共线性的检验多重共线性的检验可以通过以下几种方式进行：1. 相关系数矩阵：可以通过计算独立变量之间的相关系数，判断它们之间的关系强度。
当相关系数超过0.8或-0.8时，可以视为存在高度相关性，即可能存在多重共线性问题。
2. 方差扩大因子（VIF）：VIF是用来检验自变量之间是否存在共线性的指标。
计算每一个自变量的VIF值，当VIF值大于10或者更高时，可以视为存在多重共线性。
3. 条件数（Condition index）：条件数也是一种用来检验多重共线性的指标。
它度量了回归矩阵的奇异性或者相对不稳定性。
当条件数超过30时，可以视为存在多重共线性。
4. 特征值（Eigenvalues）：通过计算特征值，可以判断回归矩阵的奇异性。
如果存在特征值接近于零的情况，可能存在多重共线性。
以上是常用的多重共线性检验方法，可以根据实际情况选择合适的方法进行检验。
二、多重共线性的处理在检测到存在多重共线性问题后，可以采取以下几种方式进行处理：1. 去除相关性强的变量：在存在高度相关变量的情况下，可以选择去除其中一个或多个相关性较强的变量。
2. 聚合相关变量：将相关性强的变量进行加权平均，得到一个新的变量来替代原来的变量。
3. 主成分分析（PCA）：主成分分析是一种降维技术，可以将相关性强的多个变量合并成为一个或多个无关的主成分。
4. 岭回归（Ridge Regression）：岭回归是一种缓解多重共线性的方法，通过加入一个正则化项，来使得共线性变量的系数估计更加稳定。
5. Lasso回归（Lasso Regression）：Lasso回归也是一种缓解多重共线性的方法，通过对系数进行稀疏化，来选择重要的变量。
多重共线性(统计累赘)的概念、特征及其测量方式和处理方式
试述多重共线性（统计累赘）的概念、特征及其测量方式和处理方式。
1、概念多重共线性是指自变量之间存在线性相关关。
倘若其中两个自变项的关系特别强，则在相互控制后就会使每者的效果减弱，而其他的变相的效果就会因此而增大。
2、特征3、产生原因产生多重相关性的原因主要包括四方面。
一是没有足够多的样本数据; 二是选取的自变量之间客观上就有共线性的关系; 还可能由其它因素导致, 如数据采集所用的方法, 模型设定, 一个过度决定的模型等。
但多数研究者认为共线性本质上是由于样本数据不足引起的。
4、测量方式（1）经验式的诊断方法通过观察,得到一些多重相关性严重存在的迹象。
①在自变量的简单相关系数矩阵中,有某些自变量的相关系数值较大。
②回归系数的代数符号与专业知识或一般经验相反;或者该自变量与因变量的简单相关系数符号相反。
③对重要自变量的回归系数进行t 检验,其结果不显著。
特别是当F 检验能在高精度下通过,测定系数R 2的值也很大,但自变量的t 检验却全都不显著,这时多重相关性的可能将会很大。
④如果增加或删除一个变量,或者增加或删除一个观测值,回归系数发生了明显的变化。
⑤重要自变量的回归系数置信区别明显过大。
⑥在自变量中,某一个自变量是另一部分自变量的完全或近似完全的线性组合。
⑦对于一般的观测数据,如果样本点的个数过少,比如接近于变量的个数或者少于变量的个数,样本数据中的多重相关性就会经常存在。
（2）统计检验方法共线性的诊断方法是基于对自变量的观测数据构成的矩阵X ’X 进行分析,使用各种反映自变量间相关性的指标。
共线性诊断常用的统计量有方差膨胀因子VIF 或容限TOL 、条件指数和方差比例等。
方差膨胀因子VIF 是指回归系数的估计量由于自变量的共线性使其方差增加的一个相对度量。
对于第i 个回归系数,它的方差膨胀因子定义为：VIF=1/1-R 2=1/TOL i 其中R2i 是自变量Xi 对模型中其余自变量线性回归模型的R 平方。
多重共线性
多重共线性基本概念(1)多重共线性； (2)完全多重共线性；(3)不完全多重共线性；练习题1、什么是变量之间的多重共线性？举例说明。
2、判断题：（1）存在完全多重共线性时，模型参数无法估计；（2）存在多重共线性时，一定会使参数估计值的方差增大，从而造成估计效率的损失； 3、完全多重共线性和不完全多重共线性之间的区别是什么？ 4、产生多重共线性的经济背景是什么?5、多重共线性的危害是什么?为什么会造成这些危害?检验多重共线性的方法思路是什么?有哪些克服方法?6、考虑下列一组数据Y-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 2X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3X13579111315171921现在我们进行如下的回归分析：12233i i Y X X u βββ=+++请回答如下问题：（1）你能估计出该模型的参数吗？为什么？ （2）如果不能，你能估计哪一参数或参数组合？ 7、将下列函数用适当的方法消除多重共线性： （1）消费函数为012C W P u βββ=+++其中C 、W 、P 分别表示消费、工资收入和非工资收入，W 和P 可能高度相关，但研究表明122ββ=。
（2）需求函数为0123s Q Y P P u ββββ=++++其中Q 、Y 、P 和s P 分别为需求量、收入水平、该商品价格水平及其替代品价格水平，P 和s P可能高度相关。
基本概念解释(1)多重共线性指两个或两个以上解释变量之间存在某种线性相关关系。
(2)完全多重共线性指，在有多个解释变量模型中，解释变量之间的线性关系是准确的。
在此情况下，不能估计解释变量各自对被解释变量的影响。
(3)不完全多重共线性指，在实际经济活动中，多个解释变量之间存在多重共线性问题，但解释变量之间的线性关系是近似的，而不是完全的。
练习题答案1、如果在经典回归模型Y X U β=+中，如果基本假定6遭到破坏，则有()1k r x k <+，此时称解释变量之间存在完全多重共线性。
计量经济学之多重共线性
计量经济学之多重共线性引言多重共线性是计量经济学中一个重要的概念，在经济学研究中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将深入探讨多重共线性的概念、原因和影响，并介绍一些常见的解决方案和应对方法。
什么是多重共线性？多重共线性是指在回归分析中，自变量之间存在高度相关性的情况。
具体来说，多重共线性指的是自变量之间线性相关性较高，可能导致回归分析的结果不准确或难以解释。
多重共线性的原因多重共线性的产生有多种原因，以下是一些常见的原因：1.样本选择偏倚：当样本中存在特定的特征或者数据的选择方式导致一些变量的相关性增强。
2.变量的定义重复：有些变量可能在定义上重复，导致它们之间存在高度相关性。
3.缺少重要变量：当回归模型中存在遗漏的重要变量时，其他变量可能会代替这些遗漏的变量，导致多重共线性。
4.数据测量误差：测量误差也可能导致自变量之间存在高度相关性。
多重共线性的影响多重共线性可能会对回归模型产生一系列的问题和影响：1.估计系数不准确：多重共线性会导致回归系数的估计不准确，使得对自变量的解释变得困难。
2.系数符号相反：多重共线性可能导致估计系数的符号与理论预期相反。
3.误差项的方差增加：多重共线性会导致误差项的方差增加，从而降低了模型的精确度。
4.解释力度减弱：多重共线性会降低模型的解释力度，使得我们难以解释模型的结果。
解决多重共线性的方法针对多重共线性问题，我们可以采取以下方法来解决：1.增大样本量：增大样本量可以降低变量之间的相关性，从而减轻多重共线性的影响。
2.删除相关变量：通过检验变量之间的相关性，删除相关性较高的变量，可以减轻多重共线性的程度。
3.主成分分析：主成分分析是一种降维的方法，可以将相关性较高的变量合并为一个主成分，从而避免了多重共线性的问题。
4.增加惩罚项：在回归模型中增加惩罚项，如岭回归或lasso回归，可以减轻多重共线性的影响。
5.使用时间序列数据：对于存在多重共线性的房地产数据等时间序列数据，可以使用时间序列模型来避免多重共线性的问题。
多重共线性名词解释
多重共线性名词解释多重共线性多重共线性，是指同一条曲线在不同时期反映了同一经济行为。
从外部看来，这些具有相同特征或因素的影响在不同的经济行为中是互不相关的。
但是，这些事物之间却存在着内在联系：外在表象或因素之间存在的线性关系可以用一个概念进行解释，就是说，事物在不同时期的不同影响因素是有机整体。
从更广泛的意义上说，每一个影响因素都具有相同的行为，并且，与其他影响因素有机地结合起来，构成一个统一的模式，而该模式又反过来对另一类型的影响因素产生决定性的影响。
11、地方政府支出变动； 12、总统选举（赢者通吃）； 13、结构变迁，也叫结构演化； 14、创新系统； 15、全球化； 16、文化遗产。
2、现代主义的城市设计理念，将都市视为由“住宅区—商业区—工业区”三部分组成的体系。
3、城市设计必须考虑城市空间的问题，即研究如何使人们的生活活动与各种建筑要素、城市的生态环境之间保持协调和融洽，从而达到舒适、安全、健康、卫生和高效率的目的。
4、城市形象是城市的面子。
5、美国城市设计师查尔斯·罗奇(Charles Lorich)最早提出这个概念，认为当代城市不仅需要考虑功能、技术和经济的问题，而且还应考虑空间和社会层面的问题。
6、区域化导致市场分割。
7、超大城市化正在发展。
8、现代主义强调标准化、简约化和功能性，注重形式逻辑、数字技术和系统分析，因此在城市设计领域颇受推崇。
9、我国正处于城镇化快速发展阶段。
10、“城乡规划是一门为公众利益服务的艺术。
”6、区域化导致市场分割，尤其在资本积累时期。
城市边缘化现象严重。
7、目前的城市空间扩张伴随着高成本、高风险和高消耗。
8、现代主义空间追求便捷、开放和轻松。
9、城市结构理论的发展与新城市主义思潮的兴起。
10、美国城市设计师查尔斯·罗奇(Charles Lorich)最早提出这个概念，认为当代城市不仅需要考虑功能、技术和经济的问题，而且还应考虑空间和社会层面的问题。
计量经济学：多重共线性
影响比较大的，略去影响较小的。
元线性回归模型并进行OLS估计，拟合优度最大且接近1时，说明
这个变量与其他所有解释变量间存在共线性。
第三节 多重共线性的检验
辅助回归法中的方差膨胀因子：
对 于 多 元 线 性 回 归 模： 型Yi 0 1 X 1i ... k X ki ui 为 判 断 诸 自 变 量 间 是存 否在 多 重 共 线 性 ， 进如 行下 辅 助 回 归 ： X ji 0 1 X 1i ... j 1,i X j 1,i j 1,i X j 1,i ... k X ki v i , j 1,2,...,k 若 上 述 辅 助 回 归 的 可系 决数 为 R2 X j的 方 差 膨 胀 因 子 为 ： j， 则 定 义 自 变 量 1 VIF j 1 R2 j
第一节 多重共线性的概念
若有c0+c1X1i+c2X2i+…+ckXki=0 i=1,2,…,n。其中: ci不全为0，则称
解释变量间存在完全多重共线性
若存在：c0+c1X1i+c2X2i+…+ckXki≈0 i=1,2,…,n。 其中：ci不全为0，
则称为解释变量间存在近似多重共线性。
完全共线性的情况并不多见，一般出现的是在一定程度上的共线性，
第二节 多重共线性的来源与后果
4、参数估计值不稳定，经济含义不合理
样本观测值稍有变动、增加或减少解释变量等都会使参数估计值发生较大变 化，甚至出现符号错误，从而不能正确反映解释变量对被解释变量的影响。
5、模型的预测功能失效
较大的方差容易使预测区间变大，从而使预测失去意义
注意：只要模型满足经典假设，则在近似多重共线性情况下，OLS估计量仍 然满足无偏性、线性性和有效性。但此时，无偏性并不意味着对某一给定样 本，其参数估计值就等于真实值。有效性也不意味着参数估计量的方差一定 很小。
《多重共线性》课件
诊断方法比较
检验统计量
检验统计量提供量化指标，可以 明确指出多重共线性的程度，但 其依赖于样本数据，稳定性相对
较差。
图形化诊断
图形化诊断直观易理解，但可能存 在主观性，并且难以量化多重共线 性的程度。
综合运用
在实际应用中，应综合运用多种方 法进行多重共线性的诊断，以确保 诊断结果的准确性和可靠性。
Condition Index
Condition Index是诊断多重共线性的另一种统计量，当某些Condition Index值特别 大时，可能存在多重共线性问题。
图形化诊断
散点图
通过绘制自变量间的散点图，可以直 观地观察到是否存在线性关系，从而 初步判断是否存在多重共线性问题。
相关系数矩阵
通过绘制相关系数矩阵，可以观察到 自变量间的相关系数，当某两个自变 量的相关系数接近1或-1时，可能存 在多重共线性问题。
多重共线性的影响
参数估计值不稳定
01
模型中的参数估计值会随着样本的微小变化而发生较大的变化
，导致模型预测的不稳定性。
模型预测精度降低
02
由于参数估计值的不准确，会导致模型的预测精度降低，预测
结果的可信度下降。
模型解释性差
03
由于解释变量之间的高度相关关系，使得模型难以解释各个解
释变量对因变量的影响程度，降低了模型的解释性。
多重共线性PPT课件
目 录
• 多重共线性的定义 • 多重共线性的成因 • 多重共线性的诊断 • 多重共线性的处理 • 案例分析
01
多重共线性的定义
什么是多重共线性
1
共线性是指解释变量之间存在高度相关性的现象 。
2
在多元线性回归模型中，如果解释变量之间存在 高度相关关系，会导致模型估计的参数不准确， 甚至出现完全错误的结论。
多重共线性问题的定义和影响多重共线性问题的检验和解决方法
多重共线性问题的定义和影响多重共线性问题的检验和解决方法多重共线性问题的定义和影响，多重共线性问题的检验和解决方法多重共线性问题是指在统计分析中，使用多个解释变量来预测一个响应变量时，这些解释变量之间存在高度相关性的情况。
共线性是指两个或多个自变量之间存在线性相关性，而多重共线性则是指两个或多个自变量之间存在高度的线性相关性。
多重共线性问题会给数据分析带来一系列影响。
首先，多重共线性会导致统计分析不准确。
在回归分析中，多重共线性会降低解释变量的显著性和稳定性，使得回归系数估计的标准误差变大，从而降低模型的准确性。
其次，多重共线性会使得解释变量的效果被混淆。
如果多个解释变量之间存在高度的线性相关性，那么无法确定每个解释变量对响应变量的独立贡献，从而使得解释变量之间的效果被混淆。
此外，多重共线性还会导致解释变量的解释力度下降。
当解释变量之间存在高度的线性相关性时，其中一个解释变量的变化可以通过其他相关的解释变量来解释，从而降低了该解释变量对响应变量的独立解释力度。
为了检验和解决多重共线性问题，有几种方法可以采用。
首先，可以通过方差膨胀因子（VIF）来判断解释变量之间的相关性。
VIF是用来度量解释变量之间线性相关性强度的指标，其计算公式为：VIFi = 1 / (1 - R2i)其中，VIFi代表第i个解释变量的方差膨胀因子，R2i代表模型中除去第i个解释变量后，其他解释变量对第i个解释变量的线性回归拟合优度。
根据VIF的大小，可以判断解释变量之间是否存在多重共线性。
通常来说，如果某个解释变量的VIF大于10或15，那么可以认为该解释变量与其他解释变量存在显著的多重共线性问题。
其次，可以通过主成分分析（PCA）来降低多重共线性的影响。
PCA是一种降维技术，可以将高维的解释变量压缩成低维的主成分，从而减少解释变量之间的相关性。
通过PCA，可以得到一组新的解释变量，这些新的解释变量之间无相关性，并且能够保留原始解释变量的主要信息。
多重共线性(Multi-Collinearity)
i 0 1 1i 2 2i
k ki i
（i=1,2,…,n）
其基本假设之一是解释变量
X,
1
X2,,
X
k
互相独立 。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性， 则称为多重共线性。
如果存在
c1X1i+c2X2i+…+ckXki=0
i=1,2,…,n
其中: ci不全为0，即某一个解释变量可以用其它解释 变量的线性组合表示，则称为解释变量间存在完全
2
1
x12i 1 r 2
2
x12i
所以，多重共线性使参数估计量的方差增大。
方差扩大因子(Variance Inflation Factor)为1/(1-r2)， 其增大趋势见下表：
相关系 0 0.5 0.8 0.9 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 0.999 数平方 方差扩 1 2 5 10 20 25 33 50 100 1000 大因子
多重共线性(Multi-Collinearity)
§2.8 多重共线性
Multi-Collinearity
一、多重共线性的概念 二、多重共线性的后果 三、多重共线性的检验 四、克服多重共线性的方法 五、案例
一、多重共线性的概念
1、多重共线性
• 对于模型
Y X X X
以二元回归模型中的参数估计量ˆ 为例，ˆ 的方差为
1
1
Var(ˆ )
1
ˆ 2
(X X
)1
22
(
ˆ
2
(
x2
2i
)
x2 )( x2 ) ( x
多重共线性问题课件
多重共线性的表现形式
相关性矩阵
通过计算自变量之间的相关性矩阵，可以发现高度相关的自变量 。
特征值
在多重共线性情况下，某些特征值的绝对值会接近于0，这表明自 变量之间存在高度相关。
方差膨胀因子
数据收集阶段预防
总结词
在数据收集阶段，预防多重共线性的关键是保证 数据的准确性和完整性，以及合理的数据样本量 。
总结词
在数据收集阶段，可以通过增加样本量来降低多 重共线性的影响。
详细描述
数据的质量直接关系到模型的准确性和可靠性， 因此需要确保数据的准确性和完整性。此外，合 理的数据样本量可以降低随机误差的影响，提高 模型的稳定性和可靠性。
多重共线性问题的
03
诊断
特征值诊断法
总结词
通过计算模型中自变量的特征值来判断是否存在多重共线性问题。
详细描述
特征值诊断法是通过计算自变量的特征值来判断自变量之间的相关性。如果自变量的特征值接近于零 ，说明该自变量与其他自变量高度相关，存在多重共线性问题。
条件指数法
总结词
通过计算自变量之间的条件指数来判断 是否存在多重共线性问题。
VS
详细描述
条件指数是一种衡量自变量之间相关性的 指标，如果条件指数大于一定阈值，说明 自变量之间存在多重共线性问题。
方差膨胀因子法
总结词
通过计算自变量的方差膨胀因子来判 断是否存在多重共线性问题。
详细描述
方差膨胀因子是衡量自变量对因变量 影响的放大程度，如果方差膨胀因子 大于一定阈值，说明自变量之间存在 多重共线性问题。
Байду номын сангаас
多重共线性
解决方法
解决方法
（1）排除引起共线性的变量 找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去，以逐步回归法得到最广泛的应用。 （2）差分法 时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型。 （3）减小参数估计量的方差：岭回归法（Ridge Regression）。 （4）简单相关系数检验法
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简介
简介
对线性回归模型 基本假设之一是自变量，之间不存在严格的线性关系。如不然，则会对回归参数估计带来严重影响。为了说 明这一点，首先来计算线性回归模型参数的 LS估计的均方误差。为此。重写线性回归模型的矩阵形式为 其中服从多元正态分布，设计矩阵 X是的，且秩为 p。这时，参数的 LS估计为，而回归系数的 LS估计为。 注意到由此获得的 LS估计是无偏的，于是估计的均方误差为 其中是的特征根。显然，如果至少有一个特征根非常接近于零，则就很大，也就不再是的一个好的估计。由 线性代数的理论知道，若矩阵的某个特质根接近零，就意味着矩阵 X的列向量之间存在近似线性关系。 如果存在一组不全为零的数，使得 则称线性回归模型存在完全共线性；如果还存在随机误差 v，满足，使得 则称线性回归模型存在非完全共线性。 如果线性回归模型存在完全共线性，则回归系数的 LS估计不存在，因此，在线性回归分析中所谈的共线性 主要是非完全共线性，也称为复共线性。判断复共线性及其严重程度的方法主要有特征分析法(analysis of eigenvalue)，条件数法 (conditional numbers)和方差扩大因子法(variance inflation factor)。
产生原因
产生原因
主要有3个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 （2）滞后变量的引入 （3）样本资料的限制
影响
影响
09多重共线性
2．多重共线性的经济解释 （1）经济变量在时间上有共同变化的趋势。如在经济上升时期，收入、消费、就业率等 都增长，当经济收缩期，收入、消费、就业率等又都下降。当这些变量同时进入模型后就 会带来多重共线性问题。 （2）解释变量与其滞后变量同作解释变量。 3．多重共线性的后果 （1）当 rxi xj = 1，X 为降秩矩阵，则 (X 'X) -1 不存在， ˆ = (X 'X)-1 X 'Y 不可计算。 （2）若 rxi xj 1，即使 rxi xj 1， ˆ 仍具有无偏性。
5．多重共线性的克服方法 5.1 直接合并解释变量 当模型中存在多重共线性时，在不失去实际意义的前提下，可以把有关的解释变量直
1
接合并，从而降低或消除多重共线性。
如果研究的目的是预测全国货运量，那么可以把重工业总产值和轻工业总产值合并为
工业总产值，从而使模型中的解释变量个数减少到两个以消除多重共线性。甚至还可以与
E( ˆ ) = E[(X 'X)-1 X 'Y ] = E[(X 'X) -1X '(X + u)] = + (X 'X)-1X ' E(u) = .
（3）当 rxi xj 1 时，X 'X 接近降秩矩阵，即 X 'X 0，Var( ˆ ) = 2 (X 'X)-1 变得很 大 时，Var( ˆ )为 rxi xj = 0 时的 2.78 倍。当 rxi xj = 0.95 时，Var( ˆ )为 rxi xj = 0 时的 10.26 倍。
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假定6：随机扰动项方差相同
如果不满足这个假定，称为异方差
假定7：无自相关，即两个随机扰动项之间不相 关（P101,图6-3)
如果不满足这个假定，称为存在自相关
假定8 ：如果有多个解释变量，要求解释变量间 没有很强的线性关系
如果不满足这个假定，称为存在多重共 线性。
如果违背其中的一个假定： 如果违背其中的一个假定：
∆Yt = Yt −Yt−1
则模型变为
∆X2t = X2t − X2t −1
∆X3t = X3t − X3t −1
∆Yi = β1 + β2∆X 2i + β3∆X3i + ∆ui
因为经济时序数据中，做了差分的变量，其相关性比原变量的相关性弱， 因为经济时序数据中，做了差分的变量，其相关性比原变量的相关性弱， 即多重共线性的程度有明显的降低。 即多重共线性的程度有明显的降低。 但变化后的模型中的随机误差项可能出现序列相关(注意 该方法慎用)。 注意:该方法慎用 但变化后的模型中的随机误差项可能出现序列相关 注意 该方法慎用 。
引入每个新变量之后， 引入每个新变量之后，如果
1) 拟合优度得以改进 R2 提高 ，而且每个参数统计检验显著，则引入 拟合优度得以改进( 提高)，而且每个参数统计检验显著， 的 变量保留; 变量保留 2) 拟合优度无明显提高甚至下降，对其它参数无明显影响，则舍弃该变量 拟合优度无明显提高甚至下降，对其它参数无明显影响，则舍弃该变量. 3) 拟合优度提高，但方程内其它参数的符号和数值明显变化，可以肯定产 拟合优度提高，但方程内其它参数的符号和数值明显变化， 生了严重多重共线性。 生了严重多重共线性。 注意: 这时对于3), 需考察变量间线性相关的形式和程度，经过经济意义的 需考察变量间线性相关的形式和程度， 注意 这时对于 综合权衡，在线性相关程度最高的两个变量中，略去其中对因变量影响较小， 综合权衡，在线性相关程度最高的两个变量中，略去其中对因变量影响较小，经 济意义相对次要的一个，保留影响较大，经济意义相对重要的一个。 济意义相对次要的一个，保留影响较大，经济意义相对重要的一个。此时不宜轻 率舍去新引入变量，否则会造成模型设定偏误和随机项与解释变量相关的后果。 率舍去新引入变量，否则会造成模型设定偏误和随机项与解释变量相关的后果。
第二节 多重共线性的后果 p270
一、总述 二、完全共线性的后果 三、多重共线性（即不完全多重共线性） 的后果 返回
一、总述
理论后果：注意，即便样本数据中存在多 重共线性，ols估计量依然是blue（因为在 证明高斯-马尔科夫定理时没有用到无多重 共线性假定），但是：
无偏性是一个重复抽样性质，但在实践中很难 得到大量重复样本。 虽然依然是ols估计量具备最小方差性，但该方 差绝对数值较大。 多重共线性本质上是一个样本回归现象。
例12-1,产品需求量的回归 产品需求量的回归
同上 Y：产品需求量；X2产品价格； X3：消费者收入； 消费者收入； ：产品需求量； 产品价格； X4：工资 回归 Y=B1+B2X2+B4X4 +u
实际上X 实际上 4=300-2X2 +u，即不完全多重共线性 ， 回归得： Y^=145.37-2.7975X2-0.3191X4 T 1.21 -3.44 -0.7971 R2=0.9778 返回
三、重新考虑模型：
是否遗漏重要变量 变换函数形式：例如将线性回归变换为双对数 模型
四、利用先验信息
例1：能源需求 例2：综合运用横截面数据和时间序列数据
五、变量变换
把总量指标变为人均指标 把名义变量变为实际变量 改用差分形式
如果 设Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut , X2t 与X3t 之间存在多重共线性，令
实际上X 实际上 3=300-2X2 将上式代入回归方程，得到新的回归，结果： 将上式代入回归方程，得到新的回归，结果： Y^=49.667-2.1576X2 T = 66.538 -17.935 R2=0.9757 当解释变量间存在完全线性关系时， 当解释变量间存在完全线性关系时，无法获得所有参数 的估计值；也就无法进行统计推断。 的估计值；也就无法进行统计推断。 返回
该假定被违背的后果是什么？
即OLS估计量的性质将发生什么样的变化？
如何检验假定被违背？ 有什么样的补救措施，使得我们仍然能够 得到性质优良的估计量？ 下面3章主要针对多重共线性、异方差、自 相关展开讨论。
第一节 多重共线性含义及其形成的原因
一、完全多重共线性含义 二、不完全多重共线性含义 三、多重共线性形成的原因 返回
作业
讨论:p281-12.10 作业：P284 12.26
有可能出向F检验很显著，但每个t统计量都不 显著的情形
解释变量间两两高度相关， 二、解释变量间两两高度相关， 可以说明存在多重共线性
方法：计算线性回归模型中解释变量X2， 方法：计算线性回归模型中解释变量 ， X3，… ，Xk 两两的简单相关系数，得相关系 两两的简单相关系数， ， 数矩阵（ 数矩阵（观察两两之间的线性相关性是否密 γ ⋯ γ γ 切）。
非实验得到的经济数据普遍存在多重共线性。返回
完全共线性的后果（补充） 二、完全共线性的后果（补充）
1、无法估计参数 2、所估计参数的标准差无穷大 返回
三、多重共线性（即不完全多重共线 多重共线性（ 性）的后果 p271
1、所估计参数的方差和标准误的绝对数值 较大，随会着变量间相关程度的增大而快 速增大
不完全多重共线性含义p268 二、不完全多重共线性含义
对于回归： 对于回归：Y=b0+b1 X1+b2X2+…biXi… 当Xi和其他解释变量之间接近完全线性相 关，我们称为回归存在不完全多重共线性
实践中很少碰到完全共线性情形；从现在起， 我们所说的多重共线性是指不完全多重共线性。 “多重”的含义：不但解释变量和被解释变量 间存在线性关系，解释变量间也存在线性关系。
一、完全多重共线性含义 p266
对于回归： 对于回归：Y=b0+b1 X1+b2X2+…biXi…
当Xi和可以表示为其他解释变量之间的线性组 合的时候，称为回归存在完全的多重共线性
例12-1,产品需求量的回归 产品需求量的回归
我们有下表的数据 Y：产品需求量；X2产品价格； X3：消费者收入； 消费者收入； ：产品需求量； 产品价格； X4：工资 回归 Y=A1+A2X2+A3 X3+u
三、多重共线性形成的原因（补充） 多重共线性形成的原因（补充）
1、经济变量间运动的共同趋势：一些时间序列 的经济变量间容易出现同步增长或同步下降的趋 势
生产函数的回归中，劳动和资本投入是一起增长的， 他们之间很容易存在多重共线性
2、模型设定原因（略） 3、样本资料的原因：
例：作电力消费关于收入和住房面积的回归，收入和 住房面积间存在高度相关返回 返回
4、另外，容易出现回归系数符号和理论不 符合的情形 返回
第三节 多重共线性的检验
多重共线性在经济数据，尤其在时间序列 数据中是普遍存在的，只是程度不同，有 一些经验法则可以用于多重共线性的检验 检验
注意：如果回归结果仅用于预测，多 重共线性的存在不会影响预测
一、R2或者调整后的R2较大， F检验很显 著，但显著的t统计量不多，这是多重共线 性的典型特征
由于方差变大，我们会得到
更宽的置信区间/或者更小的t值（标准差相比数据 中不存在多重共线性时增大了）
2、判定系数较高，但t值并不都是统计显 著的
3、可以估计出参数，但换为另一个样本时， 参数的估计值会发生很大的变化，即参数 估计不稳定
Y^=145.37-2.7975X2-0.3191X4 Y^=100.56-2.5164X2-0.1695X4
三、偏相关系数检验（略）
四、 辅助回归判定系数测度法
方法：计算模型中每个解释变量 方法：计算模型中每个解释变量Xi 对其余解释变量的辅助回归
X j = f (X2 ,⋯, X j−j
2 R2 ；
X 2 = f（X3 ,⋯, X k )
进 F检 ， 果 绝 验 零 设 表 模 之 存 多 共 性 行 验 如 拒 F检 的 假 ， 明 型 间 在 重 线 ；
22 23 2k
γ γ 33 ⋯ γ 3k 32 ( 点击 “quick/group statistics/correlation/ /ok) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ γ k 2 γ k3 ⋯ γ kk
但如果解释变量间相关度不高，并不能肯定不存在多 重共线性（因为有可能是复杂的相关）
R2
F
t
P275,例10.7 例
猪肉对鸡肉、牛肉对鸡肉的交叉价格弹性 不显著 查看相关系数矩阵 做辅助回归
第四节 多重共线性的修正方法
一、直接删除不重要的变量 如果某个变量的引入引起多重共线性，本 身不是重要变量，则直接删除这个变量 二、获取额外的数据或者新的样本
换一批数据，新的数据里面的多重共线性可能 并不严重
第九章 多重共线性
目录
总述
第一节多重共线性含义及其形成的原因 第二节 多重共线性的后果 第三节 多重共线性的检验 第四节 多重共线性的修正方法 作业
回顾： 回顾：经典线性回归模型的基本假定
假定1：线性 假定2：解释变量X是非随机的 假定3：随机扰动项均值为零 假定4：样本容量N>待估参数个数 假定5：解释变量 X值有变异性
六、逐步回归法 首先，用因变量 对每一个解释变量 分别进行回归， 对每一个解释变量Xi分别进行回归 首先，用因变量Y对每一个解释变量 分别进行回归，从中确定一个基本回 归方程。 归方程。 然后，逐一引入其它解释变量，重新再作回归，逐步扩大模型的规模。 然后，逐一引入其它解释变量，重新再作回归，逐步扩大模型的规模。