江苏省盐城中学11-12学年高一上学期期末考试(数学)
江苏省高一(上)期末数学试卷(附参考答案)
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江苏省高一(上)期末数学试卷(附参考答案)一、单选题(共8小题).1.集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},B={0,1},则集合A∩B中元素的个数是()A.1B.2C.3D.4解:∵集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2},B={0,1},∴A∩B={0,1},∴集合A∩B中元素的个数是2.故选:B.2.函数y=tan(2x﹣)的周期为()A.2πB.πC.D.解:函数y=tan(2x﹣),所以T==.故选:C.3.方程的解的个数为()A.0B.1C.2D.3解:因为方程的解的个数即为函数y=与函数y=log x的交点个数,在同一直角坐标系中,画出草图可得:交点个数只有一个,故方程的解的个数为1,故选:B.4.对于全集U,命题甲“所有集合A都满足A∪∁U A=U”,命题乙为命题甲的否定,则命题甲、乙真假判断正确的是()A.甲、乙都是真命题B.甲、乙都不是真命题C.甲为真命题,乙为假命题D.甲为假命题,乙为真命题解:因为命题乙为命题甲的否定,所以命题乙“存在集合A都满足A∪∁U A≠U”.对于A,因为命题与命题的否定只有一个为真,所以A错;对于B,因为A∪∁U A=U对任何U的子集都成立,所以B错;对于C,因为任何集合A,A∪∁U A=U都成立,但不存在集合A使A∪∁U A≠U,所以C 对;对于D,由C知,D错;故选:C.5.如图,有一个“鼓形”烧水壶正在接水.水壶底部较宽,口部较窄,中间部分鼓起.已知单位时间内注水量不变,壶中水面始终为圆形,当注水t=t0时,壶中水面高度h达到最高h0.在以下图中,最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是()A.B.C.D.解:由于壶底部较宽,口部较窄,中间部分鼓起,则注水过程中,水面逐步增加,一开始递增速度较慢,超过中间部分后,单位时间内递增速度较快,则对应的图象为B,故选:B.6.函数f(x)=log3(x+2)+x﹣1的零点所在的一个区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解:∵f(x)=log3(x+2)+x﹣1,∴f(0)=log32﹣1<0,f(1)=1,∴f(0)f(1)<0,∴f(x)在(0,1)上存在零点.故选:A.7.我国著名数学家华罗庚先生曾说,数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中,经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数的图象可能为()A.B.C.D.解:f(﹣x)===f(x),则函数f(x)是偶函数,图象关于y 轴对称,排除B,C,当0<x<1时,f(x)>0,排除D,故选:A.8.为了提高资源利用率,全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为了新时代的要求.假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是()(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年解:设经过n年后的投入资金为y万元,则y=500(1+20%)n,令y≥1600,即500(1+20%)n≥1600,故,所以=,所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元.故选:C.二、多项选择题9.下列命题中正确的是()A.若a<b<0,c<d<0,则ac>bdB.若a>b,则ka>kbC.若a<b,则|a|<|b|D.若a>b>0,则解:对于A,若a<b<0,c<d<0,则ac>bd,故A正确;对于B,当k≤0时,不等式ka>kb不成立,故B不正确;对于C,若a<b<0,则|a|>|b|,故C不正确;对于D,若a>b>0,则显然成立,故D正确.故选:AD.10.已知点P(1,t)在角θ的终边上,下列关于θ的论述正确的是()A.如果,B.如果,则t=2C.如果t=3,则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ=2D.如果sinθ+cosθ=a(a为常数,0<a<1),则解:对于A,<0⇒θ角终边在三、四象限,又因为点P(1,t)在角θ的终边,所以θ在第四象限,所以A对;对于B,当t=﹣2时,也有,所以B错;对于C,t=3⇒cosθ=,sinθ=⇒sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ==2,所以C对;对于D,sinθ+cosθ=a(a为常数,0<a<1)⇒sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=a2⇒<0,又⇒sinθ<0⇒sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣,sin3θ﹣cos3θ=(sinθ﹣cosθ)•(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)=(sinθ﹣cosθ)(1+sinθcosθ)=﹣[1+]⇒,所以D对.故选:ACD.11.若2x=3,3y=4,则下列说法正确的是()A.xy=2B.C.D.x>y解:∵2x=3,3y=4,∴x=log23,y=log34,∴xy=log23•log34=2,故A正确;x=log23>=,故B错误;x+y=log23+log34>=2,故C正确;x﹣y=log23﹣log34=﹣=>>=0,即x>y,故D正确.故选:ACD.12.水车在古代是进行灌溉的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图,一个半径为6米的水车逆时针匀速转动,水轮圆心O距离水面3米.已知水轮每分钟转动1圈,如果当水轮上一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,经过t秒后,水车旋转到P点,则下列说法正确的是()A.在转动一圈内,点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒B.当t=[0,15]时,点P距水面的最大距离为6米C.当t=10秒时,PP0=6D.若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒解:以水轮所在平面为坐标平面,以水轮轴心O为坐标原点,以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系,点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h=f(t)=A sin(ωt+φ)+B.则,解A=6,B=3,又水轮每分钟转动一周,则,∴f(t)=6sin(φ)+3,由f(0)=6sinφ+3=0,得sinφ=,∴φ=,则f(t)=6sin()+3.对于A,由f(t)=6sin()+3>3,得0π,解得5<t<35,则在转动一圈内,点P的高度在水面3米以上的持续时间为35﹣5=30秒,故A正确;对于B,f(15)=6sin()+3=>6米,故B错误;对于C,当t=10时,,又OP=6,∴,故C正确;对于D,由6sin()+3=9,得,即t=20,则P第二次到达最高点大约需要时间为60+20=80秒,故D正确.故选:ACD.三、填空题13.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(2)的值为.解:设幂函数为:y=x a,∵幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),∴2=4a,∴a=,∴f(2)=.故答案为:14.函数在上的值域为.解:对于函数,当x∈时,2x﹣∈[﹣,π],故当2x﹣=时,y取得最大值为2,当2x﹣=﹣时,y取得最小值为﹣,∴函数在上的值域为[﹣,2],故答案为:[﹣,2].15.若正数a,b满足a+b=2,则ab的最大值为1;的最小值为.解:∵正数a,b满足a+b=2,∴2≥2,解得ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,∴ab有最大值为1.=(+)(a+b)=(5++)(5+2)=,当且仅当b=2a=时取等号.∴的最小值为,故答案为:1,.16.“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形,内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为(40+30)π米.解:由题意,如图所示,可得QT=60米,PQ=60米,连接PO,可得PO⊥QT,因为sin∠QPO=,所以∠QPO=,∠QPT=,所以绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为L=2π×()+60×=(40+30)π米.故答案为:(40+30)π.四、解答题17.求下列各式的值.(1)(e为自然对数的底数);(2).解:(1)==.(2)===.18.已知函数定义域为A,集B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}.(1)求集合A,B;(2)若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知:,解得x>3或x<1,∴集合A=(﹣∞,1]∪(3,+∞),对于集合B满足:x2﹣2mx+m2﹣4=(x﹣m+2)(x﹣m﹣2)≤0,其中m﹣2<m+2,∴B=[m﹣2,m+2];(2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件,则集合B是A的真子集,由(1)知,只需满足m+2<1或m﹣2>3即可,此时解得m<﹣1或m>5,综述,满足题意的m的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(5,+∞).19.设函数.(1)解不等式.(2)若x∈[1,9],求函数f(x)的最大值.解:(1)令,则原式变为,而t2﹣t+2>0恒成立,∴,即,所以2t>t2﹣t+2,即t2﹣3t+2<0,解得t∈(1,2),∴,解得x∈(3,9);(2)当x∈[1,9]时,由(1)中换元知t∈[0,2].当t=0时,f(t)=0;当t=(0,2]时,∵,当且仅当时取等,∴f(x)的最大值为,经检验满足题意,综上所述,f(x)的最大值为.21.已知函数f(x)=x3﹣3x.(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)用定义证明函数f(x)在[0,1]上为减函数;(3)已知x∈[0,2π],且f(sin x)=f(cos x),求x的值.【解答】解.(1)奇函数;证明:函数f(x)=x3﹣3x,定义域x∈Rf(﹣x)=(﹣x)3﹣3(﹣x)=﹣(x3﹣3x)=﹣f(x)故f(x)为奇函数(2)任取0≤x1<x2≤1,=,因为,,0≤x1x2<1所以则f(x1)﹣f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2)所以f(x)在[0,1]上为减函数.(3)x∈[0,2π],﹣1≤sin≤1,﹣﹣1≤cos x≤1f(x)在R上为奇函数且f(x)在[0,1]为减函数,则有f(x)在[﹣1,1]也是减函数,又f(sin x)=f(cos x)⇒sin x=cos x,又x∈[0,2π],则或.22.已知函数(a为常数,且a≠0,a∈R).请在下面四个函数:①g1(x)=2x,②g2(x)=log2x,③,④中选择一个函数作为g(x),使得f(x)具有奇偶性.(1)请写出g(x)表达式,并求a的值;(2)当f(x)为奇函数时,若对任意的x∈[1,2],都有f(2x)≥mf(x)成立,求实数m的取值范围;(3)当f(x)为偶函数时,请讨论关于x的方程f(2x)=mf(x)解的个数.解:(1)若选①g1(x)=2x,则f(x)=,定义域为R,当f(x)为奇函数,f(0)=≠0,不满足条件.奇函数的性质;当f(x)为偶函数,f(﹣x)=f(x),即f(﹣x)===,整理得2a=不是常数,不满足条件.若选②g2(x)=log2x,则函数的定义域为(0,+∞),函数为非奇非偶函数,不满足条件.若选③,则f(x)=.定义域为R,当f(x)为奇函数,f(0)=≠0,不满足条件.奇函数的性质;当f(x)为偶函数,f(﹣x)=f(x),即===,整理得a==﹣=﹣不是常数,不满足条件.若选④g(x)=8x,,,当f(x)为奇函数,f(x)=﹣f(﹣x)⇒a=﹣1;当f(x)为偶函数,f(x)=f(﹣x)⇒a=1.(2)当f(x)为奇函数时,f(x)=2x﹣2﹣x,x∈[1,2],2x∈[2,4],,若对于任意的x∈[1,2],都有f(2x)≥mf(x)成立,,所以m的取值范围是.(3)当f(x)为偶函数时,f(x)=2x+2﹣x,f(2x)=22x+2﹣2x=(2x+2﹣x)2﹣2,令t=2x+2﹣x≥2,则t2﹣2=mt(t≥2),,又在[2,+∞)单调递增,所以h(t)≥1,1.当m<1,此时方程无解;2.当m≥1,存在唯一解t0∈[2,+∞),又因为f(x)=2x+2﹣x为偶函数,不防设0≤x1<x2,,所以f(x)在[0,+∞)单调递增,在(﹣∞,0]单调递减,①当m=1时,t0=2,此时方程有唯一解x0=0;②当m>1时,t0>2,此时方程有两个解,下证必要性:令h(x)=2x+2﹣x﹣t0,h(x)为偶函数,h(x)在[0,+∞)单调递增,h(0)=2﹣t0<0,所以h(x)在有一个零点,又因为函数时偶函数,则在也有一个零点,所以当m>1,t0>2时一共有2两个零点.。
江苏省苏州市11-12学年高一数学上学期期末复习卷(2)苏教版
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3, 4
( 1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出 x 的取值范围;
( 2)当 140 a 280 时,问该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:
在保证能获得最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁)
.
20. 已知 y f x 定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时, f x 2x x2 . ( 1)求 x 0 时, f x 的解析式; ( 2)问是否存在这样的正数 a,b ,当 x a,b 时, g x f x ,且 g x 的值域为
1,1 ,且 f a b 1 , f a b 2 ,求 f a , f b 的值.
1 ab
1 ab
19. 某企业实行裁员增效, 已知现有员工 a 人,每人每年可创纯利润 1 万元, 据评估在生产
条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗员工每年可多创收
0.01万元,但每年需付给
下岗工人 0.4 万元生活费,并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工人数的
16.解:( 1)由 2k
2x
2k
2
6
,所以 k 2
xk 3
,k Z 6
所以,递增区间为 k
,k
k Z.
3
6
(2)在 0, 的最大值为 a 3 , a 3 4 ,所以 a 1. 2
(3)由 2x
2k
6
,得 x k 2
k, Z ,所以 x | x k
,k Z .
6
6
17.解:( 1)因为 BP PA ,所以 BO OP PO OA ,即 2OP OB OA ,所以
AB 上,且 AP t AB 0 t 1 ,则 OA OP 的最大值为
江苏省盐城中学2022-2023学年高一上数学期末考试试题含解析
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断 C;利用复合函数的单调性可判断 D.
【详解】对于 A, f x sin sin x cos cos x sinsin x coscos x sinsin x coscos x f x,
时,存在 , ,故 B 项错误;
C 项,, 可能相交或垂直,当
时,存在 , ,故 C 项错误;
D 项,垂直于同一平面的两条直线相互平行,故 D 项正确,故选 D. 本题主要考查的是对线,面关系的理解以及对空间的想象能力. 考点:直线与平面、平面与平面平行的判定与性质;直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质. 11、C
有“飘移点”,求 a 的取值范围
21.已知函数 f (x) x2 x 2 .求:
(1) f (x) 的值域; (2) f (x) 的零点;
(3) f (x) 0 时 x 的取值范围
22.已知函数
(且
),再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
(1)判断函数 的奇偶性,说明理由;
(2)判断函数 在
2
2
二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案写在答题卡上.)
13.求值:2
log2
1 4
(
8
2
)3
27
+ lg 1 100
(
2 1)lg1=____________
14.若函数 f x log2 x2 ax 3a 在区间 2, 上是增函数,则实数 a 取值范围是______
故选:A 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解,涉及对数运算,属综合简单题. 3、A 【解析】利用半径之和与圆心距的关系可得正确的选项.
江苏省盐城市第一中学2022年高一上数学期末综合测试试题含解析
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A. , 4
B.4,
C.2,
D. , 2
12.函数 f x 2sin x cos 2x ( x R )的最大值为()
A. 3
B.1
2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20 分)
13.已知函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=- 为 f(x)的零点,x= 为 y=f(x)图象的对称轴,
C. 2 BC 3 BA 13 13
D. 1 BC 2 BA 13 13
4.在平行四边形 ABCD 中,E 为 AB 中点,BD 交 CE 于 F,则 AF =( )
A. 2 AB 1 AD 33
C. 1 AB 1 AD 24
B. 3 AB 1 AD 44
D. 2 AB 1 AD 32
5.已知偶函数 f x 在0, 上单调递增,则对实数 a 、 b ,“ a b ”是“ f a f b ”的( )
函数 y ax 图像向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,得到 y ax2 3,
函数 y ax2 3的图像过的定点 2, 4 .
故选: D .
【点睛】本题主要考查的是指数函数的图像和性质,考查学生对指数函数的理解,是基础题.
3、B
【解析】由题,根据向量加减数乘运算得 EF 1 BC 2 BA 4 EF ,进而得 EF 3 BC 2 BA .
故选:C.
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20 分)
13、 5
【解析】先根据 x 是 f x 的零点, x 是 y f x 图像的对称轴可转化为周期的关系,从而求得 的取值
4
4
范围,又根据所求值为最大值,所以从大到小对 赋值验证找到适合的最大值即可
2022-2023学年江苏省盐城市盐城中学高一上数学期末教学质量检测试题含解析
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【解析】∵ , 在 递增,而 ,∴函数 的零点所在的区间是 ,故选B.
10、A
【解析】根据题意可得函数 是奇函数,且在 上单调递增.然后由 ,
可得 ,结合单调性可得 ,所以 ,以上三式两边分别相加后可得结论
【详解】由题意得 ,
当 时, ,于是
同理当 时,可得 ,
又 ,
所以函数 是 上的奇函数
又根据函数单调性判定方法可得 在 上为增函数
者支付宝的余额宝,年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年,可以多获利息()元.(参考数据: )
A.176B.100
C.77D.88
3.若幂函数 的图象经过点 ,则 =
A. B.
C.3D.9
4.已知 ,则 ()
A. B.
C.2D.
5.若 ,则tanθ等于()
A.1B.-1
C.3D.-3
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
由 ,
可得 ,
所以 ,
所以 ,
以上三式两边分别相加可得 ,
故选A.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断及应用,考查函数性质的应用,具有一定的综合性和难度,解题的关键是结合题意得到函数的性质,然后根据单调性得到不等式,再根据不等式的知识得到所求
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
11、【解析】根据幂函数的定义域及对应值域,即可确定图像所在的象限.
2023-2024学年江苏省盐城市高一上册期末联考数学试题(含解析)
![2023-2024学年江苏省盐城市高一上册期末联考数学试题(含解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/6ce2fbebc0c708a1284ac850ad02de80d4d80690.png)
2023-2024学年江苏省盐城市高一上册期末联考数学试题一、单选题1.已知集合{}1A x x =≥-,{}3,2,1,0,1,2B =---,则()R A B = ð()A .{3,2}--B .{3,2,1}---C .{0,1,2}D .{1,0,1,2}-【正确答案】A【分析】根据集合的运算法则计算.【详解】由题意{|1}R A x x =<-ð,所以(){3,2}R A B =-- ð.故选:A .2.已知命题p :关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ,则命题p 的充要条件是()A .10a -<≤B .10a -<<C .10a -≤≤D .1a >【正确答案】B【分析】根据一元二次不等式恒成立得Δ0<即可.【详解】关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ,244010a a a ∆=+<⇒-<<,故命题p 的充要条件是10a -<<,故选:B3.已知角α的终边经过点()2,1P -,则3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为()A B C .D .【正确答案】A【分析】根据三角函数的定义,求得sin α再结合诱导公式,得到3cos sin 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,即可求解.【详解】由题意,角α的终边经过点(2,1)P -,可得r OP ===根据三角函数的定义,可得sinα=又由3cos sin 25παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选:A.4.已知20.30.3,2,a b c ===)A .b<c<aB .b a c <<C .c<a<bD .a b c <<【正确答案】D【分析】根据指数函数的单调性求出01a <<,12b <<,又2>c 进而可得结果.【详解】根据指数函数的单调性知200.30.31a =<=,即01a <<;00.31222b <=<,即12b <<;根据对数函数的单调性知22c =>=,故2>c ,所以a b c <<.故选:D5.若π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()A .0B .23C D 【正确答案】B【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【详解】依题意,令π6t α+=,则1sin 3t =,5ππππ66t αα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭,2ππππ3262t αα+=++=+,所以()5π2ππ2sin cos sin πcos sin sin 2sin 6323t t t t t αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:B.6.函数2()log 21f x x x =+-的零点所在的区间为()A .1(0,2B .(1,2)C .11(,42D .1(,1)2【正确答案】D【分析】先判断函数()f x 的单调性,然后再根据零点存在性定理,通过赋值,即可找到零点所在的区间,从而完成求解.【详解】函数()2log 21f x x x =+-可看成两个函数2log (0)y x x =>和21y x =-组成,两函数在()0+∞,上,都是增函数,故函数()2log 21f x x x =+-在()0+∞,上也是单调递增的,所以2111log 2111110222f ⎛⎫=+⨯-=-+-=- ⎪⎝⎭<,而()21log 121102110f =+⨯-=+-=>,由零点存在性定理可得,函数()2log 21f x x x =+-零点所在区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:D.7.函数()222x xx f x -=+的图象大致是()A .B .C .D .【正确答案】C【分析】利用奇偶性排除AB ,根据函数的值域排除D.【详解】x R ∈,()()222--==+x xx f x f x ,所以()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,排除选项AB ;当0x >时,()2022-=>+x xx f x ,故D 错误,故选:C.8.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数,()f x 在区间π7π,312⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调,则ω的最大值为()A .3B .4C .5D .6【正确答案】B【分析】根据π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数,可得直线π3x =为函数()f x 图像的一条对称轴,进而可得13k ω=+,根据()f x 在区间π7π,312⎛⎫⎪⎝⎭内单调,可得7πππ21234T ≥-=,进而可求解.【详解】由于函数π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数,故直线π3x =为函数()f x 图像的一条对称轴,所以ππππ362k ω+=+,Z k ∈,则13k ω=+,Z k ∈,又7πππ21234T ≥-=,即ππ4ω≥,解得04ω<≤,又13k ω=+,Z k ∈,所以ω的最大值为4,当=4ω时,π()sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π7π,312⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,满足要求,故ω的最大值为4.故选:B二、多选题9.若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是()A .a +c >b +cB .ac 2≥bc 2C .2c a b>-D .(a +b )(a -b )>0【正确答案】AB【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,逐一判断作答.【详解】对于A ,因a ,b ,c ∈R ,a >b ,则a +c >b +c ,A 正确;对于B ,因c 2≥0,a >b ,则ac 2≥bc 2,B 正确;对于C ,当c =0时,20c a b=-,C 不正确;对于D ,当a =1,b =-1,满足a >b ,但(a +b )(a -b )=0,D 不正确.故选:AB10.已知函数()2sin(2)3f x x π=+下列说法正确的是()A .函数()y f x =的图象关于点(,0)3π-对称B .函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称C .函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D .()f x 图象右移6π个单位可得2sin 2y x =的图象【正确答案】BD【分析】根据正弦函数的对称性,可判定A 错误,B 正确;根据正弦函数的单调性,可判定C 错误;根据三角函数的图象变换,可判定D 正确.【详解】对于A 中,令3x π=-,可得(2sin[2(]2sin(03333f ππππ-=-+=-=≠,所以(,0)3π-不是函数()f x 的对称中心,所以A 错误;对于B 中,令512x π=-,可得55(2sin[2()2sin()2121232f ππππ-=-+=-=-,所以函数()f x 关于512x π=-对称,所以B 正确;对于C 中,当2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,则2[,0]3ππ+∈-x ,根据正弦函数的单调性可知函数在已知区间上不单调,所以C 错误;对于D 中,当()f x 向右平移6π个单位后可得2sin[2()]2sin 263y x x ππ=-+=,所以D 正确.故选:BD.11.已知()0,πθ∈,1sin cos 5θθ+=,则下列结论正确的是()A .π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B .3cos 5θ=-C .3tan 4θ=-D .7sin cos 5θθ-=【正确答案】ABD【分析】由题意得()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=,可得242sin cos 25θθ=-,根据θ的范围,可得sin θ,cos θ的正负,即可判断A 的正误;求得sin cos θθ-的值,即可判断D 的正误,联立可求得sin θ,cos θ的值,即可判断B 的正误;根据同角三角函数的关系,可判断C 的正误,即可得答案.【详解】因为1sin cos 5θθ+=,所以()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=,则242sin cos 25θθ=-,因为()0,πθ∈,所以sin 0θ>,cos 0θ<,所以π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故A 正确;所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=,所以7sin cos 5θθ-=,故D 正确;联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,可得4sin 5θ=,3cos 5θ=-,故B 正确;所以sin 4tan cos 3θθθ==-,故C 错误.故选:ABD.12.已知函数()21,04ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩,若方程()()R f x k k =∈有四个不同的实数解,它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ,则()A .104k <<B .23e ex <<C .121x x +=-D .21234e 04x x x x <<【正确答案】ACD【分析】利用对数函数与二次函数的性质画出函数()f x 的图像,结合图像,利用函数对称性和对数运算公式,结合基本不等式解决即可.【详解】当0x <时,()214f x x x =++,易得()f x 开口向上,对称轴为12x =-,所以()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,且102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,当0x =时,21144y x x =++=,注意此时()f x 在0x =处取不到函数值;当0e x <<时,ln 1x <,则ln 10x -<,所以()1e1ln log 1f x x x =-=+,易得()f x 的图像是1elog y x =的图像向上平移1个单位得到的,当e x =时,1elog 10y x =+=,注意此时()f x 在e x =处取不到函数值;当e x ≥时,ln 1x ≥,则ln 10x -≥,所以()ln 1f x x =-,易得()f x 的图像是ln y x =的图像向下平移1个单位得到的,且()()e 0f x f ≥=;综上,画出()f x 与y k =在R 上的图像,如图,.对于A ,因为()f x 与y k =的图像的交点个数即为方程()()R f x k k =∈的解的个数,又()()R f x k k =∈有四个不同的实数解,所以104k <<,故A 正确;对于B ,结合图像可知3e x <,故B 错误;对于C ,结合图像可知()1,x k 与()2,x k 关于12x =-对称,所以121x x +=-,故C 正确;对于D ,因为341ln ln 1x x -=-,所以34ln 2x x =,所以234e x x =,由选项C 知121x x +=-,又120,0x x <<,则()121x x -+-=,所以()()()21212121024x x x x x x -+-⎡⎤<=--≤=⎢⎥⎣⎦,当且仅当12x x -=-且121x x +=-,即1212x x ==-时,等号成立,易知12x x ≠,所以12104x x <<,所以21234e 04x x x x <<,故D 正确.故选:ACD方法点睛:函数零点的求解与判断有以下方法,(1)直接求零点:令()0f x =,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线,且()()0f a f b ⋅<,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.三、填空题13.函数()()lg 1f x x =-的定义域为______.【正确答案】()1,2【分析】由分式中分母不等于0,偶次根式中被开方数大于或等于0,对数函数中真数大于0列式取交集即可.【详解】由题意知,20212101x x x x x -><⎧⎧⇒⇒<<⎨⎨->>⎩⎩∴定义域为(1,2)故答案为.(1,2)14.已知扇形的圆心角为2rad ,扇形的半径长为10cm ,则扇形的面积为______2cm .【正确答案】100【分析】先利用弧长公式计算出弧长,再利用扇形面积12S lr =求解即可【详解】因为扇形的圆心角为2rad ,扇形的半径长为10cm ,所以扇形弧长为21020cm l =´=,则扇形的面积212010100cm 2S =⨯⨯=.故10015.若函数()f x 是R 上的奇函数,且周期为3,当302x <<时,()3xf x =,则()520232f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【正确答案】3【分析】根据奇偶性和周期性,得到5252f f⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()202313f f ==,从而求出答案.【详解】函数()f x 是R 上的奇函数,则()()f x f x -=-,则2525f f⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为()f x 的周期为3,所以()()3f x f x =+,故1255133222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以5252f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()20236743113f f f =⨯+==,故()5232023f f ⎛⎫+= ⎪⎭⎝故316.已知函数()2sin cos f x x x a =-+,()0f x =在区间ππ,22⎛⎫- ⎝⎭上有解,则a 的取值范围是______.【正确答案】(]1,1-【分析】由题意化简()0f x =可得2cos cos 1a x x =+-,设cos t x =,这转化为二次函数问题,即可求解.【详解】令()2sin cos f x x x a =-+0=,则2cos cos 1a x x =+-,令cos t x =,ππ22x -<< ,0cos 1x ∴<≤,即01t <≤,∴函数2cos cos 1y x x =+-21t t =+-在(]0,1内是单调递增的,且(]1,1y ∈-.()0f x =在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,a ∴的取值范围为(]1,1-.故答案为.(]1,1-四、解答题17.(1)化简:()()()()sin πcos πtan 2023π2023πsin tan 2ααααα+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(2)求值.41log 234(0.125)-++【正确答案】(1)sin α;(2)5【分析】(1)利用诱导公式计算可得;(2)根据对数的性质及指数幂的运算法则计算可得.【详解】解:(1)()()()()()()()()sin πcos πtan 2023πsin cos tan sin 2023πcos tan sin tan 2ααααααααααα+-+-⋅-⋅==-⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(2)41log 234(0.125)-++41143log 2148⎛⎫=++ ⎪⎝⎭114522=++=.18.已知函数()3lg 1x f x x -=-定义域为A ,集合{}22290B xx mx m =-+-≤∣.(1)求集合,A B ;(2)若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()(),13,A =-∞+∞ ,[]3,3B m m =-+(2)()(),26,-∞-⋃+∞【分析】(1)根据对数型函数的性质即可求解,A 根据一元二次不等式即可求解B ,(2)将充分不必要条件转化成集合的真子集的关系即可求解.【详解】(1)由题意知:()()303101x x x x ->⇔-->-,解得3x >或1x <.∴集合()(),13,A =-∞+∞ .对于集合B 满足.()()2229330x mx m x m x m -+-=-+--≤又[]333,3m m B m m -<+∴=-+.(2)若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件,则集合B 是A 的真子集,由(1)知,只需满足31m +<或33m ->即可,解得2m <-或6m >.综述,满足题意的m 的取值范围是()(),26,-∞-⋃+∞.19.函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示:(1)求函数()f x 的解析式与单调递减区间;(2)求函数()f x 在[0,]2π上的值域.【正确答案】(1)()2sin(2)4f x x π=+,单调递减区间5,(Z)88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)[【分析】(1)根据图像即可写出2A =,再由图像过30088ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,、即可求出其周期,则可求出2ω=,在将点08π⎛⎫- ⎪⎝⎭,带入()f x ,则可求出4πϕ=.由sin y x =在区间32,2,Z 22k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,则可求出()f x 的单调递减区间.(2)由52,sin 2,1()[[0,]2]244442x x f x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈⇒+∈-⇒∈-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∈⇒.【详解】(1)观察图象得:2A =,令函数()f x 的周期为T ,则322,288T T ππππω⎛⎫=⨯+=== ⎪⎝⎭,由08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得:22,Z 8k k πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭,而||2ϕπ<,于是得0,4πϕ==k ,所以函数()f x 的解析式是()2sin(2)4f x x π=+.由3222,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈解得:5,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈,所以()f x 的单调递减区间是5,(Z)88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)由(1)知,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52444x πππ≤+≤,则当242x ππ+=,即8x π=时max ()2f x =,当5244x ππ+=,即2x π=时,min ()f x =所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的值域是[.20.已知函数()141x f x a =++,且()f x 为奇函数.(1)求a 的值;(2)判断函数()f x 的单调性并证明;(3)解不等式.()()2120f x f x -+->【正确答案】(1)12a =-(2)减函数,证明见解析(3)(),1-∞【分析】(1)由若()f x 在区间D (0)D ∈上为奇函数,则(0)0f =可得a 的值,再由奇函数的定义检验即可.(2)由函数单调性的性质判断其单调性,再由单调性的定义法证明(任取、作差、变形、断号、写结论)即可.(3)由函数()f x 为奇函数处理原不等式得()()212f x f x ->-+,再由函数()f x 在R 上单调递减,比较两个括号中式子的大小,解不等式即可.【详解】(1)∵函数的定义域为R ,函数()f x 为奇函数,∴()00f =,则01041a +=+,得12a =-检验,当12a =-时,()11412x f x =-+,定义域为R ,对于任意实数x ,()1141412412x x x f x --=-=-++所以()()41110412412x x x f x f x -+--+=+=+所以当12a =-时,()f x 为奇函数.(2)由(1)知()11412x f x =-+,()f x 在R 上为单调递减函数.证明:设()()()()21121212121144,41414141x x x x x x x x f x f x -<-=-=++++,∵12x x <,∴12044x x <<,即21440x x ->,1410x +>,2410x +>∴()()12f x f x >,即函数()f x 在定义域R 上单调递减.(3)∵()f x 在R 上为奇函数,()()2120f x f x -+->,∴()()212f x f x ->-+,又∵函数()f x 在R 上单调递减,∴212x x -<-+,解得:1x <,∴不等式的解集为(),1-∞21.如图,一个大风车的半径为4m,8min 旋转一周,它的最低点0P 离地面2m ,它的右侧有一点1P 且距离地面4m .风车翼片的一个端点P 从1P 开始计时,按逆时针方向旋转.(1)试写出点P 距离地面的高度()m h 关于时刻t (min )的函数关系式()h t ;(2)在点P 旋转一周的时间内,有多长时间点P 距离地面超过8m ?【正确答案】(1)()ππ4sin 646h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)83分钟.【分析】(1)建立以圆心为坐标原点的坐标系,根据任意角三角函数的概念表示出P 的纵坐标()ππ4sin 646h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即可求解;(2)令()ππ4sin 6846h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭,解三角不等式即可求解.【详解】(1)以圆环的圆心为坐标原点,过圆心且平行于地面的直线为x 轴,过圆心且垂直于地面的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy .以x 轴非负半轴为始边,1OP 为终边的角为π6-;点P 时刻t 所转过的圆心角为.2ππ84t t =若t 时刻时蚂蚁爬到圆环P 点处,那么以x 轴非负半轴为始边,OP 为终边的角为ππ46t -,则P 点纵坐标为ππ4sin 46t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()ππ4sin 646h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)令()ππ4sin 6846h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭,即ππ1sin 462t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以πππ5π2π2π,Z 6466k t k k +≤-≤+∈,解得4848,Z 3k t k k +≤≤+∈,所以在一周范围内,P 距离地面超过8m 持续时间为:48(48)(8)33k k +-+=分钟.22.定义:若对定义域内任意x ,都有()()f x a f x +>(a 为正常数),则称函数()f x 为“a 距”增函数.(1)若()2,R x f x x =∈,试判断()f x 是否为“1距”增函数,并说明理由;(2)若()34,R f x x x x =-+∈是“a 距”增函数,求a 的取值范围;(3)若()()22,1,x k x f x x ∞+=∈-+,其中R k ∈,且为“2距”增函数,求()f x 的最小值.【正确答案】(1)()f x 是“1距”增函数,理由见解析(2)2a >(3)当0k ≥时,()min ()1f x =,当20k -<<时,()24min ()2k f x -=.【分析】(1)根据定义检验即可;(2)由定义列不等式求a 的取值范围;(3)由条件结合定义列不等式求k 的范围,再求函数的最值.【详解】(1)对任意的()()1R,12220x x x x f x f x +∈+-=-=>,故()f x 是“1距”增函数;(2)()()()()()3322()44331f x a f x x a x a x x a x ax a +-=+-++--+=++-,又()f x 为“a 距”增函数,所以()223310a x ax a ++->恒成立,因为0a >,所以223310x ax a ++->恒成立,所以()2291210a a ∆=--<,所以24a >,故2a >;(3)因为()()22,1,x k x f x x ∞+=∈-+,其中R k ∈,且为“2距”增函数,所以当1x >-时,()()2f x f x +>恒成立,2x y = 增函数,()22(2)2x k x x k x∴+++>+当0x ≥时,()22(2)2x k x x kx +++>+,即4420x k ++>恒成立,420k ∴+>,解得2k >-,当10x -<<时,()22(2)2x k x x kx +++>-,即44220x kx k +++>恒成立,所以()()120x k ++>,解得2k >-,所以2k >-.()22,1,2x k x f x x k +=>->-令0t x =≥,则()22tkt f x +=.①当02k -≤时,即0k ≥时,当0=t 时,()min 1f x ⎡⎤=⎣⎦②当02k ->时,即20k -<<时,当2k t =-时,()24min 2k f x -⎡⎤=⎣⎦综上,当0k ≥时,()min ()1f x =当20k -<<时,()24min ()2k f x -=“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.。
2021-2022学年江苏省盐城市高一上学期期末数学试题(解析版)
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2021-2022学年江苏省盐城市高一上学期期末数学试题一、单选题1.已知集合{}1,3A =-,集合{112}B xx =<<∣,则A B =( ) A .{13}x x <<∣ B .()1,3 C .{}1 D .{}3【答案】D【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】{}1,3A =-,{112}B x x =<<∣,{3}A B ∴=.故选:D 2.圆心角为3π,半径为1的扇形的面积为( ) A .23πB .3π C .6πD .π【答案】C【分析】利用扇形面积公式直接求解即可【详解】因为扇形的圆心角为3π,半径为1, 所以扇形的面积为211236ππ⨯⨯=,故选:C3.设x ∈R ,则“01x <<”是“11x>”,成立的什么条件( ) A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要D .既不充分也不必要 【答案】C【分析】根据充要条件的定义可求解. 【详解】因为当01x <<时, 11x>成立, 当11x>时,10x x ->,所以01x <<,则“01x <<”是“11x>”成立的充要条件, 故选:C.4.将函数()sin2f x x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y g x =的图象,则()g x =( )A .cos2xB .cos2x -C .sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】把函数()sin2f x x =的图象向左平移4π个单位长度后可得: sin 2+sin 2+cos 242y x x x ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ故选:A 5.函数()ln sin x f x x x=-的部分图象大致为( )A .B .C .D .【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可排除D ,取特殊值验证可排除A,B,即得答案. 【详解】函数()ln sin x f x x x=-满足:()ln ln ()sin(-)sin x x f x f x x xx x--==-=-+-,故函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除D;又122π<< ,lnln0sin 2221222f ππππππ⎛⎫==< ⎪⎝⎭--,故排除A,B; 故选:C.6.已知函数()()2log 32f x x a a x =---的定义域为集合A .函数()2sin 2,6g x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,65ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为集合B ,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为( ) A .[]1,1- B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .[)1,-+∞D .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】求出集合A,B ,根据集合之间的包含关系建立不等式求解.【详解】()()2log 32f x a x =--有意义,即A ≠∅320x a a x -≥⎧∴⎨-->⎩解得32a x a ≤<-, 即,32)[a a A -=, 所以32,a a <- 解得1a <,,65x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ, 172,6630x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦πππ,()2sin 2[1,2]6g x x ⎛⎫∴=+∈- ⎪⎝⎭π,即[1,2]B =-,A B ⊆,1322a a ∴-≤<-≤,解得112a ≤<, 故选:B7.若函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,8πθ⎛⎫⎪⎝⎭内存在最小值,则θ的值可以是( )A .4πB .78π C .58πD .38π 【答案】B【分析】根据所给角的范围及正弦函数的性质可确定24+πθ的范围即可得解.【详解】由,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πθ,则2(,2).424x +∈+πππθ 若使()f x 在开区间上取得最小值则必须3242ππθ+>,解得58πθ>, 故选:B8.若31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,记cos sin cos log ,log cos ,1log tan x y z αααααα===+,则,,x y z 的大小关系正确的是( ) A .x y z << B .z x y << C .x z y << D .y x z <<【答案】C【分析】由题意可得0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>,然后利用对数函数的单调性比较大小【详解】因为31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>, 所以cos cos log log 10x ααα=<=, sin sin log cos log sin 1y αααα=>=,cos cos cos 1log tan log (cos tan )log sin z ααααααα=+==,因为0cos sin 1αα<<<,所以cos cos cos log cos log sin log 1ααααα>>, 所以cos 1log sin 0αα>>,即01z <<, 综上,x z y <<, 故选:C 二、多选题9.函数sin y x =和cos y x =具有相同单调性的区间是( ) A .0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C .,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D .,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由正余弦函数的单调性逐个分析判断【详解】对于A ,sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以A不合题意,对于B ,sin y x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,cos y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以B 符合题意,对于C ,sin y x =在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减,cos y x =在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增,所以C 不合题意,对于D ,sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,cos y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,所以D 符合题意, 故选:BD10.下列说法中正确的有( )A .函数()24129f x x x =-+的零点可以用二分法求得B .幂函数的图像一定不会出现在第四象限C .在锐角三角形ABC 中,不等式sin sin cos cos A B A B +>+D .函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数 【答案】BC【分析】对于A ,先求判别式,从而可得()0f x ≥,进而可判断,对于B ,由幂函数的性质判断,对于C ,利用诱导公式结合锐角三角形的性质判断,对于D ,将函数化简后利用周期的定义判断【详解】对于A ,因为2124490∆=-⨯⨯=,函数()f x 的图象是开口向上的抛物线,所以()0f x ≥恒成立,所以函数()24129f x x x =-+的零点不可以用二分法求得,所以A错误,对于B ,对于幂函数y x α=,当1x =时,1y =,所以幂函数图象一定过(1,1),因为当0x >时,0x α>,所以幂函数的图像一定不会出现在第四象限,所以B 正确, 对于C ,在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,所以022A B ππ>>->,所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,同理可得sin cos B A >,所以sin sin cos cos A B A B +>+,所以C 正确,对于D ,sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩, 因为当0x ≥时,sin y x =的周期为2π,当0x <时,sin y x =-的周期为2π,所以函数sin y x =不是最小正周期为π的周期函数,所以D错误, 故选:BC11.已知函数()()21,(1),44,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩,若存在实数m 使得方程()f x m =有四个互不相等的实数根()12341234,,,x x x x x x x x <<<,则下列叙述中正确的有( ) A .120x x +< B .344x x = C .()3f m <D .()23f x x +有最小值 【答案】ABD【分析】作出()f x 的图象如图:由条件知12340,01,12,2,01,x x x x m <<<<<<<<利用数形结合,基本不等式,函数与方程,依次判断各选项即可得出结果.【详解】作出()f x 的图象如图:由条件知12340,01,12,2,01,x x x x m <<<<<<<< 由12()()f x f x m ==得12|21||21|x x -=-,即121221,x x -=-,得12222x x +=,得2>1221x x+<,即120x x +<成立,故A 正确,由34()()f x f x m ==知34,x x 是方程44x m x+-=,即2(4)40x m x -++=的两个根,则344x x =,故B 正确,41(3)3433f =+-=,而01m <<,两者无法比较大小,故C 错误,23()(),f x f x m ==23333333344()()42444f x x f x x x x x x x +=+=+-+=+-≥=∴, 当且仅当3342x x =,即3x =23()f x x +有最小值,故D 正确, 故选:ABD.12.通过等式(0,1)b a c a a =>≠我们可以得到很多函数模型,例如将a 视为常数,b 视为自变量x ,那么c 就是b (即x )的函数,记为y ,则x y a =,也就是我们熟悉的指数函数.若令c e(e =是自然对数的底数),将a 视为自变量0,1)xx x >≠,则b 为x 的函数,记为()y f x =,下列关于函数()y f x =的叙述中正确的有( )A .(e 2f=B .(0,x ∀∈,1)()()11,,f x ex∞⋃+=C .()y f x =在(0,,1)上单调递减D .若()()0,11,x ∞∀∈⋃+,不等式()()2210mx x m f x ++->恒成立,则实数m 的值为0【答案】ACD【分析】根据题意求出函数解析式1()ln f x x=,求函数值判断A ,计算()f x e 判断B ,根据解析式判断C ,根据分离参数及分类讨论的方法,利用极限思想求函数最值,可判断D.【详解】由题意知,y x e =,两边取以e 为底的对数,故1()ln f x x=, ()2ln f e e∴==,故A 正确;(0,x ∀∈,1)()1,⋃+∞时,()1ln 1xf x eex=≠,故B 错误; 当(0,1)x ∈时,ln (,0)y x =∈-∞是增函数,所以1ln y x=为减函数,故C 正确; 当()0,1x ∈时,1()0ln f x x=<,由()()2210mx x m f x ++->恒成立可得2210mx x m ++-<恒成立,即212x m x -<+,而()0,1x ∈时,21132121x x x x-=+-+--,令10,1)(t x =-∈,当0t →时,min 1032y t t=→+-,所以0m ≤,同理,当(1,)x ∈+∞时,1()0ln f x x =>,由不等式恒成立可得212x m x ->+,此时,1,0)(t x =-∈-∞,t →-∞时,max 132y t t=→+-所以0m ≥,所以需满足00m m ≤⎧⎨≥⎩,即0m =,故D 正确. 故选:ACD 三、填空题13.函数()f x ________. 【答案】[1,5]【分析】由被开方数非负,解不等式可得答案【详解】由2650x x -+-≥,得2650x x -+≤,(1)(5)0x x --≤, 解得15x ≤≤,所以函数的定义域为[1,5] 故答案为:[1,5]14.求值:()20.2511(lg5)lg2lg 50tan cos1636ππ-+⨯+-=________. 【答案】2【分析】根据对数的运算法则性质及指数幂的运算化简求值即可. 【详解】原式=21lg 5lg 2(lg 51)2+⨯+ 231lg 5lg 2lg5lg 222=+⨯++- lg5(lg 2lg5)lg 21=+++lg5lg 212=++=故答案为:215.已知角α为第一象限角,其终边上一点(),P x y 满足()()222ln 2ln x y x y -=+,则2cos α-sin α=________.【答案】1【分析】根据对数的运算及性质化简可得34x y =,再由三角函数的定义求解即可. 【详解】由题意知,222ln(2)ln()x y x y -=+, 即222(2),,0x y x y x y -=+>, 化简得34x y =,则222232242cos sin 1.916x x x y x yx x αα---===++ 故答案为:116.函数4422sin cos cos 2sin 1x xy x x =+++的最小值为________. 【答案】140.25【分析】设2cos t x =,则2sin 1x t =-,其中[0,1]t ∈,则原式化为94622y t t =+-+-194[(2)(2)]6422t t t t ⎛⎫=++-+- ⎪+-⎝⎭,整理后利用基本不等式可求得答案【详解】设2cos t x =,则2sin 1x t =-,其中[0,1]t ∈, 原式可化为22(1)22t t y t t-=++- 22[(2)3][(2)2]22t t t t+---=++- 94(2)6(2)422t t t t=++-+-+-+-94622t t=+-+- 194[(2)(2)]6422t t t t ⎛⎫=++-+- ⎪+-⎝⎭19(2)4(2)[94]6422t t t t-+=+++-+- 19(2)4(2)[942]6422t t t t -+≥++⋅-+- 11(1312)644=+-=,当且仅当9(2)4(2)22t t t t -+=+-,即25t =时取等号, 所以4422sin cos cos 2sin 1x xy x x =+++的最小值为14,故答案为:14四、解答题17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式,并求出其单调减区间;(2)当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求满足不等式()f x x 的集合.【答案】(1)()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,单调减区间:()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【分析】(1)根据图象得出振幅,周期,再由特殊点求出初相,即可求出解析式,根据正弦函数的单调性求出单调区间;(2)根据正弦函数性质,解正弦不等式即可. (1)由图可知,22,4,2126A T ⎡⎤⎛⎫==--=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππωω, ()()2sin 2f x x ∴=+ϕ,2sin 2126f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππϕ,2πϕ<3πϕ∴=故()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令3222232k x k πππππ+++, ()71212k x k k ππππ++∈Z ,故单调减区间:()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ; (2)2sin 23x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭π2222333k x k ∴+<+<+πππππ, ()6k x k k ∴<<+∈πππZ ,又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,故x 的取值集合为0,6π⎛⎫⎪⎝⎭.18.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x 时,()22f x x x =+.(1)当0x <时,求函数()f x 的解析式; (2)解不等式()()13f x f x -<+.【答案】(1)()22(0)f x x x x =-<(2)(1,)-+∞【分析】(1)设0x <,根据函数为偶函数()()f x f x =-求解;(2)由函数解析式确定函数的单调性,再由偶函数性质建立不等式求解即可. (1)当0x <时,则0x ->,又()f x 是偶函数,故()()()222()2(0)f x f x x x x x x =-=-+-=-<;(2)当0x 时,()f x 单调递增,0x <时,()f x 单调递减, 且函数为偶函数,故()()13|1|3f x f x x x -<+⇔-<+, 即22(1)(3)x x -<+. 化简得10x +>, 解得1x >-,故不等式的解集为(1,)-+∞.19.已知()()1sin sin 23cos 2f παπααπα⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)若α是第三象限角,且cos α=()f α的值; (2)若()3f α=-,求sin 1cos αα-的值.【答案】(1)()f α=(2)sin 2.1cos αα=-【分析】(1)利用诱导公式化简后,再由同角三角函数的平方关系求出sin α,代入求值即可;(2)根据()3f α=-,化简变形可整体求出sin 1cos αα-得解.(1)由诱导公式可知()()1sin sin 1cos sin 23sin cos 2f ⎛⎫++-+ ⎪++⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭παπααααπαα,因为α是第三象限角,故225sin 1cos 5αα=--=-, 故()525155532255f α⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-=-; (2)()()()()1cos 1cos 1cos sin 1cos 11sin sin sin 1cos f αααααααααα+-+++=-=--=---sin 11cos αα=---=-3故sin 2.1cos αα=-20.一半径为4m 的水轮(如图所示),水轮圆心O 距离水面2m ,已知水轮每分钟逆时针转动三圈,且当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P )开始计算时间.(1)将点P 到水面的距离z (单位:m ,在水下,则z 为负数)表示为时间t (单位:s )的函数;(2)点P 第一次到达最高点大约需要多长时间?【答案】(1)4sin 2.106z t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)20 s 3【分析】(1)求出角速度ω、振幅得4sin 210πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭z t ,令0=t 求得ϕ,从而得到z ;(2)令6z =,则4sin 26106t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,再根据t 的范围得到答案.(1)由题意知,每分钟逆时针转3圈,即60s 转动6π弧度,所以角速度10πω=,水轮半径为4,所以振幅为4,故4sin 2,0102ππϕϕ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭z t ,0=t 时,4sin 20ϕ=+=z ,所以1sin ,022πϕϕ=--<<,所以6π=ϕ,4sin 2.106z t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)令6z =,则4sin 26106t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,所以sin 1106t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以21062t k ππππ-=+,2020,3t k k =+∈N , 所以点P 第一次到达最高点需20s 3. 21.已知函数()()()2223321,f x ax a a x a x =--++-∈R (其中a 为常数).(1)若()f x 在[)1,+∞上有两个不同的零点,求实数a 的取值范围; (2)若()y f x =在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,求实数a 的取值范围.【答案】(1)331,,322⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦(2)][(),13,∞∞-⋃+【分析】(1)利用因式分解得到函数()f x 的两个零点,根据所处范围得到不等式组,求得答案;(2)根据函数的零点,采用分类讨论的方法,即讨论两零点的大小关系,再根据要使得()y f x =在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,列出相应的不等关系,解得答案.(1)()()()()()2223321321f x ax a a x a ax x a =--++-=--+,因为有两个不同的零点所以0a ≠,令()0f x =,则123,21x x a a==-, 所以31211321a a a a ⎧⎪⎪-⎨⎪⎪≠-⎩,解得03,1,31.2a a a a ⎧⎪<⎪≥⎨⎪⎪≠-≠⎩且所以13a ,且32a ≠,所以a 的取值范围为331,,322⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.(2)y ()()()321f x ax x a ==--+, 当0a <时,1230,210x x a a=<=-<, 所以31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()y f x f x ==-在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增成立;当0a =时,()33y f x x ==+,所以31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,33y x =+在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增成立,当302a <<时,12321x x a a=>=-,此时()y f x =在22321,2a a a a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦和3,a∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递增,又32a >, 所以()y f x =在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,则232321122a a a a-+-, 解得01a <; 当32a =时,123212x x a a ===-=,所以()y f x =在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,不满足; 当32a >时,12321x x a a =<=-,此时()y f x =在2323,[21,)2a a a a a ∞⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦和上单调递增,又212a ->,所以()y f x =在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,则23323122a a a a-+, 解得3a ,综上a 的取值范围为][(),13,∞∞-⋃+.22.悬链线(Catenary )指的是一种曲线,指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀,柔软(不能伸长)的链条,在重力的作用下所具有的曲线形状,适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数,其解析式为()e e 2x x f x -+=,与之对应的函数()e e 2x xg x --=称为双曲正弦函数,令()()()g x F x f x =.(1)若关于x 的方程()][()2250F f x F g x λ⎡⎤+-=⎣⎦在()0,ln3上有解,求实数λ的取值范围;(2)已知函数()24h x x mx =-+,若对任意的[]02,2x ∈-,总存在不同的12,[1,x x ∈+)∞,使得()()()12012h x h x f x x x +=+成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)1,6λ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭(2)()3,+∞【分析】(1)利用单调性化简方程为()()252f x g x λ=-有解,分离参数,求出函数的值域即可得解;(2)利用单调性的定义证明()f x 的单调性,再由偶函数性质得出()f x 的值域,再分析()()1212h x h x x x ++的取值范围,即可建立不等式求解.(1)()()()222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x x g x F x f x ----====-+++,所以()F x 在R 上单调递增,又()()e e e e x xxxF x F x ----==-+,所以()F x 是R 上的奇函数, ()][()2250F f x F g x λ⎡⎤+-=⎣⎦,即()][()225F f x F g x λ⎡⎤=--⎣⎦,故()][()252F f x F g x λ⎡⎤=-⎣⎦,所以()()252f x g x λ=-,所以22e e e e 5222x x x x λ--+-=-, 所以()()222e e e ee e 5422x xx xx x λ----+-=-=-,令e e x x t -=-在()0,ln3上单调递增,2810,,432t t t λ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭,所以412t t λ=-在80,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以1,6λ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭.(2)任取[]12,0,2x x ∈,且12x x <,则()()()()121211221212e e e 1e e e e 0222ex x x x x x x x x x f x f x +--+--++-=-=<, 所以()e e 2x xf x -+=在[]0,2上单调递增.又()f x 是偶函数,所以[]2,2x ∈-时()()()22e e 0,21,2f x f f -⎡⎤+⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以1x 时,2()4(4)h x x mx m x =-+≥-,当且仅当2x =时取“=",[)12,1,x x ∞∈+,且12x x ≠时,()()()()12121212444h x h x m x m x m x x x x +-+->=-++,当121,1x x =→时,()()122124,h x h x m x x x ∞+→-→++时,()()1212h x h x x x ∞+→++,且()()2211h h x y x +=+在()1,+∞上连续,所以()()1212h x h x x x ++的取值范围为()4,m ∞-+,因为对任意的[]02,2x ∈-,总存在不同的12,[1,x x ∈+)∞,使得()()()12012h x h x f x x x +=+成立,所以()22e e 1,4,2m -⎡⎤+⊆-+⎢⎥⎣⎦∞所以41m -<,解得3m >, 即m 的取值范围为()3,+∞.【点睛】关键点点睛:方程有解问题可转化为两个函数值域的包含关系问题,本题转化后()()()22e e 0,21,2f x f f -⎡⎤+⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()()1212h x h x x x ++的取值范围为()4,m ∞-+,故对任意的[]02,2x ∈-,总存在不同的12,[1,x x ∈+)∞,使得()()()12012h x h x f x x x +=+成立,可建立不等式41m -<求解.。
江苏省盐城市景山中学11-12学年高一上学期期中考试数学试题
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盐城景山中学2011---2012学年度第一学期期中考试高一数学试题一、填空题:(每小题5分计70分)1、已知集合{}{}a B A ,3,2,1==且{}1=⋂B A ,则=⋃B A ▲ 2、角3πα=,角β的终边与角α的终边关于直线x y =对称,则角β的取值集合是 ▲3、函数xx x f --=2)1lg()(的定义域是 ▲ 4、点()3cos ,3sin 在第 ▲ 象限5、已知01<<x -,2x a =,x b -2=,x c lg =,则c b a ,,由小到大的顺序是 ▲6、若31=+-a a ,21212121,---=+=aa n a a m ,则=+n m ▲ 7、函数x y a =()10≠>a a 且在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a 的值为 ▲8、函数92log 2-+=x x y 的一个零点在区间()()Z k k k ∈+1,上,则=k ▲9、+26)3(log =⨯18log 2log 66 ▲10、二次函数c bx ax x f ++=2)(恒满足)2()(f x f ≤且在)1,(+m m 上是单调增函数,则m 的取值范围是 ▲11、函数(]2,1,1)32(∈+=-x x x f ,则=-)1(x f ▲ 12、定义在区间[]22,c c -上的奇函数122)(++=x xa x f 的值域是 ▲13、设函数)(x f 的定义域为D ,如果对于任意的D x D x ∈∈21,存在唯一的,使)(2)()(21为常数C C x f x f =+成立,则称函数)(x f 在D 上均值为C ,给出下列四个函数 ①3x y =,②12-x x y =,③x y lg =,④x y 2=,则满足在其定义域上均值为2的函数有 ▲ (填上所有合题的函数序号).14、下列四个命题:①定义在R 上的函数)(x f 满足)2()2(f f =-,则)(x f 不是奇函数②定义在R 上的函数)(x f 恒满足)()(x f x f =-,则)(x f 一定是偶函数③一个函数的解析式为2x y =,它的值域为{}4,1,0,这样的不同函数共有9个 ④设函数x x x x f -++=)1ln()(2,则对于定义域中的任意)(,2121x x x x ≠, 恒有1)()(2121->--x x x f x f 其中为真命题的序号有 ▲ (填上所有真命题的序号)二、解答题:15、(本小题14分)已知集合{}422<<=x x A ,{}1-==x y x B ,{}a x x y y C <<==0,lg(1)求A C B (2)若C A ⊆,求实数a 的取值范围16、(本小题14分)(1)已知:角θ的终边过点()2,1-,求θsin ,θcos ,θtan 的值(2)已知:2tan =θ,求θθθθcos sin sin cos 3++的值 17、(本小题14分)设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值 分别是M 、m ,集合{}|()A x f x x ==.(1)若{1,2}A =,且(0)2f =,求M 和m 的值;(2)若{1}A =,且1a ≥,记()g a M m =+,求()g a 的最小值.18、(本小题16分)已知函数)(x f 对任意的R y x ∈,,总有)()()(y x f y f x f +=+,且0<x 时,0)(>x f .(1)求证:函数)(x f 是奇函数;(2)求证:函数)(x f 是R 上的减函数;(3)若定义在(-2,2)上的函数)(x f 满足0)1()(<-+-m f m f ,求实数m 的取值范围.19、(本小题16分)经市场调查,某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)销售价格()f t (元)与时间t (天)的函数关系近似满足()100(1)kf t t=+(k 为正的常数),日销售量()g t (件)与时间t (天)的函数关系近似满足()125|25|g t t =--,且第25天的销售金额为13000元.(1)求k 的值;(2)试写出该商品的日销售金额()w t 关于时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式;(3)该商品的日销售金额()w t 的最小值是多少?.20、(本小题16分)已知函数a x x x f -=)((1)讨论函数)(x f 的奇偶性;(2)求函数)(x f 在[]1,1-的最小值)(a g参考答案1、{}321,,2、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,26ππββ 3、{}2,1≠>x x x 且 4、四5、b a c <<6、15±7、28、39、1 10、1≤m11、[)2,0,213∈x x - 12、⎥⎦⎤⎢⎣⎡61,61- 13、①② 14、②③④ 15、[))lg ,(,,1),2,1(a C B A -∞=+∞==…………6分(1){}[)∞+⋃=,21A C B ……………………10分 (2)[)∞+,100………………………………14分 16、(1)552sin =θ 55c o s -=θ 2t a n -=θ…………………7分 (2)1511…………………14分 17、(1)由(0)22f c ==可知,……………………………1分又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=,,故,是方程的两实根 1-b 1+2=a ,c 2=a⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分[]22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时,即……………………………5分 max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时,即……………………………6分(2)2(1)0ax b x c +-+=由题意知,方程有两相等实根x=2, x=1∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+ac a b2111, 即⎩⎨⎧=-=ac a b 21 ……………………………8分∴f (x )=ax 2+(1-2a )x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x==-a a 214-1a 21又a ≥1,故1-⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分∴M=f (-2)=9a-2 …………………………10分m=a a a f 411)212(-=- g (a )=M+m=9a-a 41-1[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的,当时,=431 ………14分18、(1)证明:令0==y x ,则0)0(=f ;令x y -=,则0)()(=-+x f x f ,∴函数)(x f 是奇函数;………………………………5分(2)证明:令21x x <,则021<-x x ,∴0)(21>-x x f ,∴0)()(21>-+x f x f ,∴0)()(21>-x f x f ,∴)()(21x f x f >,∴函数)(x f 是R 上的减函数;………………………………11分(3)∵0)1()(<-+-m f m f ,∴)1()(-<-m f m f∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-121222m m m m ,解得:211<<-m .………………………………16分19、解:(1)由题意,得(25)(25)13000f g ⋅=,即100(1)1251300025k+⋅=,解得1k =……3分(2)1()()()100(1)(125|25|)w t f t g t t t =⋅=+--=100100(101)(125,)150(2530,)100(149)t t t N t t t N t t ⎧++⎪≤<∈⎪⎨≤≤∈⎪+-⎪⎩(3)①当125t ≤<时,)(t w 在[]10,1上单调减,在[]25,10上单调增所以当10t =时,()w t 有最小值12100 ………………10分②当2530t ≤≤时,∵150t t-在[25,30]上递减,∴当30t =时, ()w t 有最小值12400∵12100〈12400,∴当10t =时,该商品的日销售金额()w t 取得最小值为12100 …………………………16分20、(1)当0=a 时,)()(x f x f -=-,所以)(x f 是奇函数当0≠a 时,),()(a f a f ≠-且),()(a f a f -≠-所以)(x f 既不是奇函数也不是偶函数………………………………6分(2)结合图像当0=a 时,1)1()(-=-=f a g当0>a 时,a f a g --=-=1)1()(当2-≤a 时,a f a g +=-=1)1()( 当2222-≤<-a 时,4)2()(2a a f a g -== 当0222<<-a 时,a f a g --=-=1)1()(………………………………14分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->---≤<---≤+=222,12222,42,1)(2a a a a a a a g ………………………………16分。
2023-2024学年江苏省盐城一中高一(上)期末数学试卷【答案版】
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2023-2024学年江苏省盐城一中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={0,2,4},B ={x|y =√3−x ,x ∈Z},则集合A ∩B 中的元素的个数为( ) A .1B .2C .3D .42.已知函数f(x)={log 2x ,x >0f(x +2),x ≤0,则f(−74)的值为( )A .﹣2B .2C .−12D .123.为了得到函数y =sin(3x +π3)的图象,只要把函数y =sin3x 图象上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度B .向右平移π3个单位长度C .向左平移π9个单位长度D .向右平移π9个单位长度4.下列四组数中大小关系正确的是( ) A .log 3.14π<log π3.14 B .0.80.3<0.60.3 C .π﹣0.3<π﹣0.2D .0.1﹣0.7<0.4﹣0.35.已知θ∈R ,则“tan θ>0”是“点(sin θ,cos θ)在第一象限内”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.函数f (x )=e x +4x ﹣3的零点所在的大致区间是( ) A .(−14,0)B .(0,14)C .(14,12)D .(12,34)7.今年8月24日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上;有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c (Bq /L )与时间t (年)近似满足关系式c =k •a t (k ,a 为大于0的常数且a ≠1).若c =16时,t =10;若c =112时,t =20.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度c 为1120时,大约需要( )(参考数据:log 23≈1.58,log 25≈2.32)A .43年B .53年C .73年D .120年8.已知f (x )为R 上的奇函数,f (2)=2,若对∀x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1>x 2时,都有(x 1−x 2)[f(x 1)x 2−f(x 2)x 1]<0,则不等式(x +1)f (x +1)>4的解集为( )A .(﹣3,1)B .(﹣3,﹣1)∪(﹣1,1)C .(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)D .(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.已知a >b >0,则下列结论中正确的有( ) A .a c2>b c2B .1a >1bC .若d <c <0,则ad <bcD .a b <b a10.已知幂函数f (x )=x a 图像经过点(3,19),则下列命题正确的有( )A .函数f (x )为增函数B .函数f (x )为偶函数C .若x >1,则f (x )>1D .若0<x 1<x 2,则f(x 1)+f(x 2)2>f (x 1+x 22)11.已知函数f (x )=2sin (2x +φ)(0<φ<π)的图象关于点(π3,0)成中心对称,则( )A .f (x )在区间(π6,7π12)上单调递减B .函数f (x )在区间[0,π6]上的最大值为√3C .直线x =7π12是函数y =f (x )图象的一条对称轴 D .若f (x )+m =0在[0,π2]上有两个不相等的实根,则m 的取值范围是(−2,−√3]12.已知x 1,x 2为函数f (x )=2024﹣x ﹣|log 3(x ﹣3)|的两个零点,则下列结论中正确的有( ) A .(x 1﹣4)(x 2﹣4)<0 B .0<(x 1﹣3)(x 2﹣3)<1 C .(x 1﹣3)(x 2﹣3)>1D .若x 1<x 2,则2024x 1−3<20241x 2−3三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.求值(278)23−5−log 54= . 14.若函数f (x )=log a (x ﹣2)+1(a >0,且a ≠1)的图象经过定点A ,若点A 在角α的终边OP 上(O 是坐标原点),则tan α= .15.关于x 的不等式ax 2﹣2x +1≤0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是 . 16.已知实数x >0>y ,且1x+2+11−y =16,则x ﹣y 的最小值是 . 四、解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知集合A ={x |x 2﹣x ﹣2≥0},B ={x |4x +1≥0}.(1)求(∁R A)∪B;(2)集合C={x|(x﹣a)(x﹣|a|﹣1)<0},若“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的顶角与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,且OA⊥OB.(1)求sin(π+α)cos(π2+β)cos(π−β)sin(3π2+α)的值;(2)若cosα+cosβ=15,求tanβ的值.19.(12分)已知函数f(x)=x•2x﹣x(k+2)•2﹣x.(1)求实数k的值,使得f(x)为偶函数;(2)当f(x)为偶函数时,设g(x)=22x+2−2x−2f(x)x,若∀x∈[1,2],都有g(x)≤m成立,求实数m的取值范围.20.(12分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,若函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,把横坐标扩大到原来的两倍,得到函数g(x)的图象.(1)求g(x)的解析式,并写出g(x)在[1,2]上的单调递减区间;(2)若g(x)在区间[0,a]上恰有100个零点,求a的取值范围.21.(12分)2021年3月1日,国务院新闻办公室举行新闻发布会,工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施,进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元,每生产1万只还需另投入20万元.若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完,平均每万只的销售收入为R (x )万元,且R(x)={100−kx ,0<x ≤202100x −9000k x 2,x >20.当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时,年利润为300万元. (1)求出k 的值并写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式W (x );(2)当年产量为多少万只时,公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 22.(12分)定义:若对定义域内任意x ,都有f (T +x )>f (x ),(T 为正常数),则称函数f (x )为“T 距”增函数.(1)若f (x )=2x +lgx ﹣x ,x ∈(0,+∞),判断f (x )是否为“1距”增函数,并说明理由; (2)若f(x)=e x 2+k|x|,x ∈(﹣1,+∞),其中k (k ∈R )为常数.若f (x )是“2距”增的数,求f (x )的最小值.2023-2024学年江苏省盐城一中高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={0,2,4},B ={x|y =√3−x ,x ∈Z},则集合A ∩B 中的元素的个数为( ) A .1B .2C .3D .4解:根据y =√3−x 可得3﹣x ≥0,解得x ≤3,即可得B ={x |x ≤3,x ∈Z }, 又A ={0,2,4},所以A ∩B ={0,2},因此集合A ∩B 中的元素的个数为2个. 故选:B .2.已知函数f(x)={log 2x ,x >0f(x +2),x ≤0,则f(−74)的值为( )A .﹣2B .2C .−12D .12解:因为f(x)={log 2x ,x >0f(x +2),x ≤0,所以f(−74)=f(−74+2)=f(14)=log 214=log 22−2=−2.故选:A .3.为了得到函数y =sin(3x +π3)的图象,只要把函数y =sin3x 图象上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度B .向右平移π3个单位长度C .向左平移π9个单位长度D .向右平移π9个单位长度解:为了得到函数y =sin(3x +π3)=sin3(x +π9)的图象,只要把函数y =sin3x 图象上所有的点向左平移π9个单位长度即可.故选:C .4.下列四组数中大小关系正确的是( ) A .log 3.14π<log π3.14 B .0.80.3<0.60.3 C .π﹣0.3<π﹣0.2D .0.1﹣0.7<0.4﹣0.3解:对于A ,log 3.14π>1,log π3.14<1,故log 3.14π>log π3.14,故A 错误; 对于B ,y =x 0.3在第一象限为增函数,故0.80.3>0.60.3,故B 错误; 对于C ,y =πx 为增函数,故﹣0.3<﹣0.2,π﹣0.3<π﹣0.2,故C 正确;对于D,0.40.3>0.10.3,0.10.3>0.10.7,故0.40.3>0.10.7,0.1﹣0.7>0.4﹣0.3,故D错误.故选:C.5.已知θ∈R,则“tanθ>0”是“点(sinθ,cosθ)在第一象限内”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:若tanθ>0,则sinθ和cosθ同号,所以点(sinθ,cosθ)在第一或第三象限,若点(sinθ,cosθ)在第一象限内,则sinθ>0,cosθ>0,所以tanθ=sinθcosθ>0,所以“tanθ>0”是“点(sinθ,cosθ)在第一象限内”的必要不充分条件.故选:B.6.函数f(x)=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是()A.(−14,0)B.(0,14)C.(14,12)D.(12,34)解:∵函数f(x)=e x+4x﹣3在R上是增函数,求解:f(0)=1﹣3=﹣2<0,f(12)=√e−1>0,f(14)=√e4−2=√e4−√164<0,f(1)=e+4﹣3=e+1>0,∴根据零点存在定理,可得函数f(x)=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是(14,12)故选:C.7.今年8月24日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上;有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c=k•a t(k,a为大于0的常数且a≠1).若c=16时,t=10;若c=112时,t=20.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时,大约需要()(参考数据:log23≈1.58,log25≈2.32)A.43年B.53年C.73年D.120年解:由题意得:{16=k⋅a10112=k⋅a20,解得{a=(12)110k=13,所以c=13⋅(12)t10,当c=1120时,得1120=13⋅(12)t10,即(12)t10=140,两边取对数得t10=log12140=log240=3+log25≈3+2.32=5.32,所以t =5.32×10=53.2,即这种有机体体液内该放射性元素浓度c 为1120时,大约需要53年.故选:B .8.已知f (x )为R 上的奇函数,f (2)=2,若对∀x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1>x 2时,都有(x 1−x 2)[f(x 1)x 2−f(x 2)x 1]<0,则不等式(x +1)f (x +1)>4的解集为( )A .(﹣3,1)B .(﹣3,﹣1)∪(﹣1,1)C .(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)D .(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)解:令g (x )=xf (x ), ∵f (x )为R 上的奇函数, ∴g (x )为R 上的偶函数,∵对∀x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1>x 2时,都有(x 1−x 2)[f(x 1)x 2−f(x 2)x 1]<0⇔(x 1−x 2)⋅x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1x 2<0,即g (x )在(0,+∞)上单调递减, 又f (2)=2,∴g (2)=2f (2)=4,∴不等式(x +1)f (x +1)>4(x ≠﹣1),即g (x +1)>g (2)(x ≠﹣1), ∴|x +1|<2且x ≠﹣1,解得﹣3<x <﹣1或﹣1<x <1, 故选:B .二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.已知a >b >0,则下列结论中正确的有( ) A .a c2>b c2B .1a >1bC .若d <c <0,则ad <bcD .a b <b a解:由于c 值不确定,若c =0时,则a c2,b c 2无意义,故A 错误,由于a >b >0,所以0<1a <1b,B 错误,若d <c <0,则﹣d >﹣c >0,又a >b >0,则﹣ad >﹣cb >0,故ad <bc ,C 正确, 若a =3,b =2,则a b =9>b a =8,故D 错误, 故选:C .10.已知幂函数f (x )=x a 图像经过点(3,19),则下列命题正确的有( )A .函数f (x )为增函数B .函数f (x )为偶函数C .若x >1,则f (x )>1D .若0<x 1<x 2,则f(x 1)+f(x 2)2>f (x 1+x 22)解:∵幂函数f (x )=x a 图像经过点(3,19),∴19=3a ,解得a =﹣2, ∴f (x )=x ﹣2=1x 2,x ∈(﹣∞,0)∪(0,+∞), ∴函数f (x )在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,为偶函数, x <1时,f (x )<f (1)=1.可知:A 不正确,B 正确,C 不正确. 画出图象,可知:0<x 1<x 2,则f(x 1)+f(x 2)2>f (x 1+x 22),因此D 正确.故选:BD .11.已知函数f (x )=2sin (2x +φ)(0<φ<π)的图象关于点(π3,0)成中心对称,则( )A .f (x )在区间(π6,7π12)上单调递减B .函数f (x )在区间[0,π6]上的最大值为√3C .直线x =7π12是函数y =f (x )图象的一条对称轴 D .若f (x )+m =0在[0,π2]上有两个不相等的实根,则m 的取值范围是(−2,−√3]解:∵f (x )=2sin (2x +φ)(0<φ<π)的图象关于点(π3,0)成中心对称,∴2π3+φ=kπ,k ∈Z ,又0<φ<π,∴φ=π3,∴f(x)=2sin(2x +π3),对于A ,x ∈(π6,7π12)⇒2x +π3∈(2π3,3π2)⊆[π2,3π2],∴f (x )在区间(π6,7π12)上单调递减,A 正确,对于B ,x ∈[0,π6]⇒2x +π3∈[π3,2π3],故当2x +π3=π2时,即x =π12时,f (x )取最大值2,B 错误,对于C ,f(7π12)=2sin(2×7π12+π3)=2sin(3π2)=−2,故C 正确, 对于D ,x ∈[0,π2]⇒2x +π3∈[π3,4π3],要使f (x )+m =0在x ∈[0,π2]上有两个不相等的实根,则−m2=sin(2x +π3)在x ∈[0,π2]上有两个不相等的实根,因此√32≤−m 2<1,解得m ∈(−2,−√3],故D 正确. 故选:ACD .12.已知x 1,x 2为函数f (x )=2024﹣x ﹣|log 3(x ﹣3)|的两个零点,则下列结论中正确的有( ) A .(x 1﹣4)(x 2﹣4)<0 B .0<(x 1﹣3)(x 2﹣3)<1 C .(x 1﹣3)(x 2﹣3)>1D .若x 1<x 2,则2024x 1−3<20241x 2−3解:对于A 选项,x 1,x 2为函数f (x )=2024﹣x ﹣|log 3(x ﹣3)|的两个零点,如图:将问题化为y =2024﹣x与y =|log 3(x ﹣3)|在(3,+∞)上有两个交点,且横坐标分别为x 1,x 2,由y =2024﹣x在(3,+∞)上递减,且值域为(0,2024﹣3);由y =|log 3(x ﹣3)|={−log 3(x −3),3<x ≤4log 3(x −3),x >4,且x =4时y =0,在(4,+∞)上递增,对应值域为(0,+∞); 在(3,4]上递减,对应值域为[0,+∞); 综上,y =2024﹣x与y =|log 3(x ﹣3)|交点在x =4两侧,即原函数的两个零点分别在区间(3,4)、(4,+∞)上各一个, 故(x 1﹣4)(x 2﹣4)<0恒成立,故A 正确.对于选项B 、C ,不妨设3<x 1<4<x 2,则log 3(x 1﹣3)(x 2﹣3)=log 3(x 1﹣3)+log 3(x 2﹣3)=−2024−x 1+2024−x 2<0,故解得0<(x 1﹣3)(x 2﹣3)<1,故B 正确;C 错误.令g (x )=2024x ,由指数函数单调性得g (x )在R 上单调递增,对于选项D ,若证2024x 1−3<20241x 2−3,则证x 1−3<1x 2−3,(x 1﹣3)(x 2﹣3)<1,显然D 正确. 故选:ABD .三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.求值(278)23−5−log 54= 2 . 解:(278)23−5−log 54=[(32)3]23−5−log 54=(32)2−5log 54−1=94−14=2.故答案为:2.14.若函数f (x )=log a (x ﹣2)+1(a >0,且a ≠1)的图象经过定点A ,若点A 在角α的终边OP 上(O 是坐标原点),则tan α=13. 解:根据题意,对于函数f (x )=log a (x ﹣2)+1,当x =3时,有f (3)=1为定值,则f (x )过定点A (3,1), 点A 在角α的终边OP 上,由三角函数定义可得tanα=y x =13,所以tanα=13. 故答案为:13.15.关于x 的不等式ax 2﹣2x +1≤0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是 (﹣∞,1] . 解:由不等式ax 2﹣2x +1≤0以及x ∈(0,2],可得a ≤2x−1x 2, 依题意可知a ≤(2x−1x 2)max,x ∈(0,2]即可, 令y =2x−1x 2,x ∈(0,2], 又y =2x−1x2=−(1x −1)2+1,令t =1x , 由x ∈(0,2]可得t =1x ∈[12,+∞), 令g (t )=﹣(t ﹣1)2+1,开口向下,对称轴t =1,t ∈[12,+∞),所以g (t )max =g (1)=1,即可得a ≤1;即实数a 的取值范围是(﹣∞,1]. 故答案为:(﹣∞,1]. 16.已知实数x >0>y ,且1x+2+11−y =16,则x ﹣y 的最小值是 21 . 解:因为x >0>y ,所以x +2>0,1﹣y >0, 所以(x +2+1−y)(1x+2+11−y )=1+x+21−y +1−y x+2+1≥2+2√x+21−y ×1−y x+2=4, 当且仅当x+21−y=1−y x+2,即x =10,y =﹣11时等号成立,所以16(x −y +3)≥4,即x ﹣y ≥21,所以x ﹣y 的最小值是21.故答案为:21.四、解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知集合A ={x |x 2﹣x ﹣2≥0},B ={x |4x +1≥0}. (1)求(∁R A )∪B ;(2)集合C ={x |(x ﹣a )(x ﹣|a |﹣1)<0},若“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解:(1)A ={x |x 2﹣x ﹣2≥0}={x |x ≥2或x ≤﹣1},B ={x|4x +1≥0}={x|x ≥−14},故∁R A ={x |﹣1<x <2},(∁R A)∪B ={x|−1<x <2}∪{x|x ≥−14}={x|x >−1};(2)因为|a |+1>a ,所以C ={x |a <x <|a |+1},因为“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,所以C 是A 的真子集, 又|a |+1≥1恒成立,故只能a ≥2, 实数a 的取值范围为[2,+∞).18.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,锐角α和钝角β的顶角与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A ,B 两点,且OA ⊥OB .(1)求sin(π+α)cos(π2+β)cos(π−β)sin(3π2+α)的值; (2)若cosα+cosβ=15,求tan β的值.解:(1)∵平面直角坐标系xOy 中,锐角α和钝角β的顶角与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,∴β=α+π2.sin(π+α)cos(π2+β)cos(π−β)sin(3π2+α)=−sinα⋅(−sinβ)−cosβ⋅(−cosα)=sinα⋅sinβcosβ⋅cosα=tan α•tan β=tan αtan (π2+α)=tan α•(﹣cot α)=﹣1.(2)∵cos α+cos β=cos (β−π2)+cos β=sin β+cos β=15①,∴1+2sin βcos β=125,∴sin βcos β=−1225,∴sin β﹣cos β=√(sinβ−cosβ)2=√1−2sinβcosβ=√1+2425=75,即sin β﹣cos β=75②. 由①②求得sin β=45,cos β=−35,∴tan β=sinβcosβ=−43.19.(12分)已知函数f (x )=x •2x ﹣x (k +2)•2﹣x . (1)求实数k 的值,使得f (x )为偶函数; (2)当f (x )为偶函数时,设g(x)=22x +2−2x −2f(x)x,若∀x ∈[1,2],都有g (x )≤m 成立,求实数m 的取值范围.(1)解:由函数f (x )=x •2x ﹣x (k +2)•2﹣x为R 上的偶函数,则f (﹣x )=f (x ),即﹣x •2﹣x +x (k +2)•2x =x •2x ﹣x (k +2)•2﹣x ,即x (2x +2﹣x )﹣x (k +2)(2x +2﹣x )=0,即x (2x +2﹣x )(﹣1﹣k )=0恒成立, 所以k =﹣1;(2)解:由(1)知f (x )=x •(2x ﹣2﹣x ), 可得g(x)=22x +2−2x −2f(x)x=22x +2−2x −2⋅(2x −2−x )=(2x −2−x )2−2⋅(2x −2−x )+2, 令t =2x ﹣2﹣x ,因为函数t 1=2x ,t 2=−2−x 在x ∈[1,2]都是增函数, 所以函数t =2x ﹣2﹣x在x ∈[1,2]上为递增函数,则t min =32,t max =154,所以y =t 2−2t +2,t ∈[32,154],因为函数y =t 2﹣2t +2的对称轴为t =1,所以函数y =t 2﹣2t +2在[32,154]递增,所以,当t =154时,y max =13716,要使得∀x ∈[1,2],都有g (x )≤m 成立,则m ≥13716, 即实数m 的取值范围[13716,+∞). 20.(12分)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,若函数f (x )的图象上所有点的纵坐标不变,把横坐标扩大到原来的两倍,得到函数g (x )的图象. (1)求g (x )的解析式,并写出g (x )在[1,2]上的单调递减区间; (2)若g (x )在区间[0,a ]上恰有100个零点,求a 的取值范围.解:(1)根据函数f (x )的部分图象,可得A =1,T =(43−13)×2=2,∴ω=π,把点(13,0)代入得,π×13+φ=0+2k π,k ∈Z ,∴φ=−π3+2k π,k ∈Z ,∵|φ|<π2,∴φ=−π3,则f (x )=sin (πx −π3),若函数f (x )的图象上所有点的纵坐标不变,把横坐标扩大到原来的两倍,得到函数g (x )的图象, 则g (x )=sin (π2x −π3),令2k π+π2≤π2x −π3≤2k π+3π2,k ∈Z , ∴4k +53≤x ≤4k +113,k ∈Z ,故函数的减区间为[4k +53,4k +113],k ∈Z ,∵x ∈[1,2],可得函数g (x )的减区间为[53,2];(2)令g (x )=sin (πx 2−π3)=0,则πx 2−π3=k π,k ∈Z ,可得x =2k +23,k ∈Z ,若g (x )在区间[0,a ]上恰有100个零点,则k =0时,x =23是[0,a ]内的第一个零点,故k =99,x =23+198是第100个零点, k =100,x =23+200是第101个零点, 则23+200>a ≥23+198,即5963≤a <6023,即a 的取值范围为[5963,6023).21.(12分)2021年3月1日,国务院新闻办公室举行新闻发布会,工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施,进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元,每生产1万只还需另投入20万元.若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完,平均每万只的销售收入为R (x )万元,且R(x)={100−kx ,0<x ≤202100x −9000k x 2,x >20.当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时,年利润为300万元. (1)求出k 的值并写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式W (x );(2)当年产量为多少万只时,公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 解:(1)∵数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元,每生产1万只还需另投入20万元, 且平均每万只的销售收入为R (x )万元,且R(x)={100−kx ,0<x ≤202100x −9000k x 2,x >20,∴W (x )=xR (x )﹣50﹣20x ,又∵该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时,年利润为300万元, ∴W (5)=500﹣k ×52﹣50﹣20×5=300,解得k =2, ∴W (x )={80x −2x 2−50,0<x ≤202050−20x −18000x,x >20. (2)当0<x ≤20时,W (x )=﹣2x 2+80x ﹣50为二次函数,图象开口向下, 对称轴x =20,故W max (x)=−2×202+80×20−50=750,当x >20时,W (x )=2050−(20x +18000x ) ≤2050−2√20x ⋅18000x=850, 当且仅当20x =18000x,即x =30时,等号成立, 故当年产量为30万只时,公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大,最大利润为850万元. 22.(12分)定义:若对定义域内任意x ,都有f (T +x )>f (x ),(T 为正常数),则称函数f (x )为“T 距”增函数.(1)若f (x )=2x +lgx ﹣x ,x ∈(0,+∞),判断f (x )是否为“1距”增函数,并说明理由; (2)若f(x)=e x 2+k|x|,x ∈(﹣1,+∞),其中k (k ∈R )为常数.若f (x )是“2距”增的数,求f (x )的最小值.(1)解:函数f (x )是“1距”增函数.理由如下: 因为f (x )=2x +lgx ﹣x ,则f (x +1)﹣f (x )=2x +1+lg (x +1)﹣(x +1)﹣2x ﹣lgx +x =(2x+1−2x )+lgx+1x −1=(2x −1)+lg x+1x,当x>0时,可得2x−1>0,lg x+1x=lg(1+1x)>0,所以f(x+1)﹣f(x)>0,即f(x+1)>f(x),所以f(x)是“1距”增函数.(2)解:由f(x)=e x2+k|x|,x∈(﹣1,+∞),因为函数f(x)是“2距”增的数,所以当x>﹣1时,f(x+2)>f(x)恒成立,又因为y=e x为增函数,所以(x+2)2+k(x+2)>x2+k|x|,当x≥0时,(x+2)2+k(x+2)>x2+kx,即4x+4+2k>0恒成立,所以4+2k>0,解得k>﹣2;当﹣1<x<0时,(x+2)2+k(x+2)>x2﹣kx,即4x+4+2kx+2k>0恒成立,所以(x+1)(k+2)>0,解得k>﹣2,综上可得,k>﹣2,所以f(x)=e x2+k|x|,x∈(−1,+∞),k>−2,令t=|x|≥0,则f(x)=e t2+kt,①当−k2≤0时,即k≥0时,当t=0时,f(x)min=1;②当−k2>0时,即﹣2<k<0时,当t=−k2时,f(x)min=e−k24,综上可得,当k≥0时,f(x)min=1;当﹣2<k<0时,f(x)min=e−k2 4.。
2022年-有答案-江苏省盐城市某校等高一(上)期末数学试卷
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2022学年江苏省盐城市某校等高一(上)期末数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知U=R,A={x|x<0},B={−2, −1, 0, 1},则(∁U A)∩B=()A.{1}B.{−2, −1}C.{0, 1}D.⌀2. 已知a=2.11.3,b=log2.11.3,c=sin2021∘,则a、b、c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b3. 已知角α的终边经过点P(3, 4),则5sinα+10cosα的值为()A.11B.10C.12D.134. 命题“∀x∈R,x2≥0”的否定是()A.∀x∈R,x2<0B.∀x∈R,x2≤0C.∃x0∈R,x02<0D.∃x0∈R,x02≥05. 设a与b均为实数,a>0且a≠1,已知函数y=log a(x+b)的图象如图所示,则a+ 2b的值为()A.6B.8C.10D.126. 已知函数f(x)=10−x−lgx在区间(n, n+1)上有唯一零点,则正整数n=()A.7B.8C.9D.107. 已知集合A={x|y=lg(x−x2)},B={y|y=lg(10−2x)},记命题p:x∈A,命题q:x∈B,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8. 古希腊地理学家埃拉托色尼(Eratostℎenes,前275−前193)用下面的方法估算地球的周长(即赤道周长).他从书中得知,位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼(现在的阿斯旺,在北回归线上),夏至那天正午立杆无影;同样在夏至那天,他所在的城市--埃及北部的亚历山大城,立杆可测得日影角大约为7∘(如图),埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地球是圆的,并且因为太阳距离地球很远(现代科学观察得知,太阳光到达地球表面需要8.3s,光速300000km/s),太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识,平行线内错角相等,因此日影角与两地对应的地心角相等,他又派人测得两地距离大约5000希腊里,约合800km;按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为()A. B.5600km C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.下列说法正确的是()A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,c>d,则a+c>b+dC.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a>b>0,c>0,则下列选项正确的是()A.若函数f(x)=x3−x,则函数f(x)在R上是奇函数B.若函数是奇函数,则2a+1=0C.若函数,则∀x1,x2∈R,且x1≠x2,恒有(x1−x2)(f(x1)−f(x2))<0D.若函数f(x)=2x,∀x1,x2∈R,且x1≠x2,恒有函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是()A.B.ω=2C.f(7π−x)=f(x)D.函数f(x)的图象可由y=2sinx先向右平移个单位,再将图象上的所有点的横坐标变为原来的得到函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义:在某些变数存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着确定时,则称最初的变数叫自变量,其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义:“一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”,则下列对应法则f满足函数定义的有()A.f(x2)=|x|B.f(x2)=xC.f(cosx)=xD.f(e x)=x三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,计20分,请把答案写在答题纸的指定位置上.log23×log34×log45×log56×log67×log78=________.已知f(x)=asinx+btanx+5,(a2+b2≠0, a∈R, b∈R),若f(1)=3,则f(−1)=________.设正数x,y满足x+4y=3,则的最小值为________;此时x+y的值为________.已知函数方程f(x)=m有六个不同的实数根x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范围为________.四、解答题:本大题共6小题,共计70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知命题p:函数f(x)=lg(x2−2x+a)的定义域为R,命题q:∀x∈R,x2+4>a.(Ⅰ)命题p是真命题,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题,求实数a的取值范围.在①4sin(2021π−α)=3cos(2021π+α),②,③α,β的终边关于x轴对称,并且4sinβ=3cosβ.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.已知第四象限角α满足_______,求下列各式的值.(Ⅰ);(Ⅱ)sin2α+3sinαcosα.已知函数f(x)=sin2x.(Ⅰ)若,求函数g(x)的单调递增区间:(Ⅱ)当时,函数y=2af(x)+b(a>0)的最大值为1,最小值为−5,求实数a,b的值.沪苏合作的长三角(东台)康养小镇项目正式落户江苏盐城东台−−12月16日,该项目在南京举办签约仪式,该项目由盐城市政府、东台市政府和上海地产集团合作共建,选址在东台沿海经济区,总占地17.1平方公里,其中一期9.7平方公里,规划人口15万人,总投资700亿元,定位于长三角区域康养服务一体化示范区、跨行政区康养政策协同试验区.此消息一出,众多商家目光投向东台.某商家经过市场调查,某商品在过去100天内的销售量(单位:件)和价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且销售量近似地满足g(t)=-(1≤t≤100, t∈N).前40天价格为f(t)=t+22(1≤t≤40, t∈N),后60天价格为f(t)=-+52(41≤t≤100, t∈N).(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系;(Ⅱ)求出该商品的日销售额的最大值.已知函数为奇函数.(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)判定函数f(x)在定义域内的单调性,并用定义证明;(Ⅲ)设t=|2x−1|+1,(x<1),n=f(t),求实数n的取值范围.已知函数f(x)=x2−2ax+4,.(Ⅰ)求函数ℎ(x)=lg(tanx−1)+g(1−2cosx)的定义域;(Ⅱ)若函数,,求函数n(x)=f[m(x)]的最小值;(结果用含a的式子表示)(Ⅲ)当a=0时,是否存在实数b,对于任意x∈R,不等式F(bx2−2x+1)+F(3−2bx)>2(b+1)x−bx2−4恒成立,若存在,求实数b的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案与试题解析2022学年江苏省盐城市某校等高一(上)期末数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集和交集的运算即可.【解答】解:∵A={x|x<0},B={−2, −1, 0, 1},U=R,∴∁U A={x|x≥0},(∁U A)∩B={0, 1}.故选C.2.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【解答】∵ 2.16.3>2.81>2,∴a>4,∵0=log2.61<log2.71.3<log7.12.6=1,∴0<b<6,∵sin2021∘=sin221∘<0,∴c<0,∴a>b>c,3.【答案】B【考点】任意角的三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得sinα和cosα的值,可得5sinα+10cosα的值.【解答】∵角α的终边经过点P(3, 4)=,cosα==,∴5sinα+10cosα=4+6=10,4.【答案】C命题的否定【解析】根据特称命题的否定为全称命题,分别对量词和结论进行否定即可【解答】解:根据特称命题的否定为全称命题可知:命题“∀x∈R,x2≥0”的否定是“∃x0∈R,x02<0“,故选:C5.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数的图象,结合过定点(−3, 0),(0, 2),代入进行求解即可.【解答】由图象知函数为增函数,当x=−3时,即log a(b−3)=6,即b−3=1,当x=2时,y=2a4=7,得a=2,则a+2b=5+2×4=10,6.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则,可得函数f(x)=10−x−lgx在(0, +∞)上是减函数,再通过计算f(9)、f(10)的值,发现f(9)⋅f(10)<0,即可得到零点所在区间.【解答】∵函数f(x)=10−x−lgx在(0, +∞)上是减函数f(9)=10−9−lg3=1−lg9>5,f(10)=l10−10−lg10=−1<0,∴f(9)⋅f(10)<5,根据零点存在性定理,10),∴n=(9)7.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据对数函数的真数大于0求出集合A,结合指数函数的性质和对数函数的性质求出集合B,再根据充分条件、必要条件的定义进行判定.【解答】A={x|y=lg(x−x2)}={x|x−x2>5}={x|0<x<1},B={y|y=lg(10−6x)}={y|y<1},所以p是q的充分不必要条件.8.【答案】D【考点】扇形面积公式【解析】直接利用比例的性质,圆的周长公式的应用求出结果.【解答】由题意知:∠AOB=7∘,对应的弧长为800km,设地球的周长为C,地球的半径为R,则,解得C=,由于C=2πR,所以R=.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】A举反例判断;B用综合法证明;C举反例判断;D用分析法证明.【解答】对于A,当c=0时2>bc7,所以A错;对于B,a>b,⇒a−b>0,所以B对;对于C,当a=c=1,命题不成立;对于D,有分析法证明,,因为a>b成立,所以,所以D对.【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用A根据奇函数定义判断;B根据奇函数定义计算判断;C根据单调函数定义判断;D作差与零比较判断.【解答】对于A,因为∀x∈R3−(−x)=−(x3−x)=−f(x),所以A对;对于B,因为,所以f(−x)=−f(x),即有,⇒6a+1=0;对于C,因为,所以f(x)是增函数;对于D,函数f(x)=2x,∀x1,x6∈R,且x1≠x2,-===> (0)【答案】C,D【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义【解析】根据函数f(x)的部分图象求得A、T、ω和φ的值,利用正弦函数的性质即可得解.【解答】根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知,A=2,T=2×(-)=4π=,故B错误;由点(,0)在函数图像上+φ)=8+φ=kπ,解得φ=kπ−,k∈Z,因为|φ|<π,可得k=1时,当k=0时,故A错误;可得f(x)=2sin(x−)(7π−x)−-x)=2sin()=f(x);y=2sinx先向右平移个单位)的图像,再将图象上的所有点的横坐标变为原来的得到函数y=4sin(2x−,故D正确.【答案】A,D【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据函数的定义分别进行验证即可.【解答】A.设t=x2,则x=±,则方程等价为f(t)=|±,满足函数的定义,B.设t=x2,则x=±,则方程等价为f(t)=±,不满足唯一性,C.设t=cosx,x=kπ,不满足唯一性.D.设t=e x,则x=lnt,则方程等价为f(t)=lnt.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,计20分,请把答案写在答题纸的指定位置上.【答案】3【考点】对数的运算性质【解析】利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解.【解答】log23×log74×log48×log56×log57×log72====6.【答案】7【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意,由函数的解析式可得f(x)+f(−x)=10,即可得f(1)+f(−1)=10,计算可得答案.【解答】根据题意,f(x)=asinx+btanx+5,则有f(x)+f(−x)=10,即f(1)+f(−1)=10,若f(1)=7,则f(−1)=7,故答案为:4.【答案】,1【考点】基本不等式及其应用【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【解答】∵x>0,y>0,∴(x+3+4y+7)=1,∴=()(x+3+2y+4)≥)=,当且仅当,即x+y=1时.【答案】(14,)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】作出函数f(x)的图像,可得x1,x2关于x=−2对称,x5,x6关于x=8对称,进而可得(x1+x2)+(x5+x6)=12,|log2x3|=|log2x4|,即x3x4=1,x3+x4=x4+,令g(x)=x+,1<x<4,分析值域即可得出答案.【解答】作出函数f(x)的图像如下:由图可知x1,x2关于x=−6对称,x5,x6关于x=5对称,所以(x1+x2)+(x5+x6)=2×(−5)+2×8=12,由图可知|log8x3|=|log2x7|,即−log2x3=log5x4,所以log2x6+log2x4=5,即log2x3x3=0,解得x3x6=1,由图可知0<m<5,且1<x4<6,所以x3+x4=x8+,令g(x)=x+,1<x<4,g′(x)=3−=,当7<x<4时,g′(x)>0,所以7<g(x)<,所以x3+x6=x4+∈(2,),所以x4+x2+x3+x6+x5+x6∈(14,),四、解答题:本大题共6小题,共计70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】(1)∵命题p是真命题,∴x2−2x+a>2恒成立,∴(x2−2x+a)min=a−2>0,∴a>1,∴实数a的取值范围为(2, +∞),说明:利用△<0求得a的取值范围同样给分;(2)∵命题p与命题q中有且仅有一个是真命题,∴p真q假或p假q真,由(1)可知,当p是真命题时,+∞),又∵当q是真命题时,实数a的取值范围为(−∞,当p真q假时,∴实数a的取值范围为[4,当p假q真时,∴实数a的取值范围为(−∞,综上所述,实数a的取值范围为(−∞, +∞).【考点】复合命题及其真假判断命题的真假判断与应用【解析】(Ⅰ)根据对数函数性质,把问题转化为二次函数恒正问题即可;(Ⅱ)用命题基本概念,通过解不等式组确定参数取值范围.【解答】(1)∵命题p是真命题,∴x2−2x+a>2恒成立,∴(x2−2x+a)min=a−2>0,∴a>1,∴实数a的取值范围为(2, +∞),说明:利用△<0求得a的取值范围同样给分;(2)∵命题p与命题q中有且仅有一个是真命题,∴p真q假或p假q真,由(1)可知,当p是真命题时,+∞),又∵当q是真命题时,实数a的取值范围为(−∞,当p真q假时,∴实数a的取值范围为[4,当p假q真时,∴实数a的取值范围为(−∞,综上所述,实数a的取值范围为(−∞, +∞).【答案】若选择条件①,∵4sin(2021π−α)=3cos(2021π+α),∴2sinα=−3cosα,∴.若选择条件②,∵α是第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,又∵,∴(−cosα)2+cos2α=4,∴,,∴.若选择条件③,∵α是第四象限角,cosα>0,又∵α,β的终边关于x轴对称,∴sinα=−sinβ,cosα=cosβ.又∵4sinβ=2cosβ,∴−4sinα=3cosα,即.(1)∵.(2)∵.【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】若选择条件①,由已知利用诱导公式,同角三角函数基本关系式即可求解tanα;若选择条件②,利用同角三角函数基本关系式即可求解tanα的值;若选择条件③,利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值;(Ⅰ)利用同角三角函数基本关系式化简即可求解.(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式化简即可求解.【解答】若选择条件①,∵4sin(2021π−α)=3cos(2021π+α),∴2sinα=−3cosα,∴.若选择条件②,∵α是第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,又∵,∴(−cosα)2+cos2α=4,∴,,∴.若选择条件③,∵α是第四象限角,cosα>0,又∵α,β的终边关于x轴对称,∴sinα=−sinβ,cosα=cosβ.又∵4sinβ=2cosβ,∴−4sinα=3cosα,即.(1)∵.(2)∵.【答案】(1)函数f(x)=sin2x,则,令,k∈Z,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;(2)因为y=2asin2x+b(a>4),又,所以,因为函数y=4af(x)+b(a>0)的最大值为1,最小值为−5,所以y max=2a+b=1,y min=−7a+b=−5,即,解得.【考点】正弦函数的奇偶性和对称性三角函数的最值【解析】(Ⅰ)求出g(x)的解析式,利用整体代换的方法结合正弦函数的单调区间进行求解即可;(Ⅱ)由x的范围,求出2x的范围,利用正弦函数的有界性求出sin2x的范围,即可得到函数的最大值与最小值,列出方程组,求解a,b即可.【解答】(1)函数f(x)=sin2x,则,令,k∈Z,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;(2)因为y=2asin2x+b(a>4),又,所以,因为函数y=4af(x)+b(a>0)的最大值为1,最小值为−5,所以y max=2a+b=1,y min=−7a+b=−5,即,解得.【答案】该商品的日销售额的最大值为808.5元【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】(Ⅰ)直接由S=f(t)⋅g(t)写出分段函数解析式;(Ⅱ)利用二次函数求最值,取两段函数最大值中的最大者得结论.【解答】当41≤t≤100且t∈N时,S随t的增大而减小,∴S max=S(41)=714.又∵>714,∴.答:该商品的日销售额的最大值为808.5元.【答案】(1)∵函数f(x)是奇函数,∴函数f(x)的定义域关于原点对称.又∵函数f(x)的定义域为{x|(x+2)(x−m)<0}.∴m>8且函数f(x)的定义域为(−2, m).此时f(−x)=log3=−log3=−f(x),∴m=2符合题意.(2)函数f(x)是定义域上的单调递减函数,证明:设x6<x2,且x1,x2为(−2, 2)上的任意两个数,∴f(x8)−f(x2)=log3−log3=log5•,又∵•−1==,∵x1<x2,∴x5−x1>0.又∵−8<x1<x2<6,∴2−x2>4,2+x1>6.∴•>53•>01)−f(x6)>0,即f(x1)>f(x3),∴函数f(x)为(−2, 2)上的单调递减函数.(Ⅲ)∵t=|6x−1|+1=,∴t=|7x−1|+1在(−∞, 4]上单调递减,1)上单调递增∴t=|2x−6|+1在(−∞, 1)上的取值范围为[3,又∵函数f(x)在(−2, 2)上单调递减.∴n=f(t)在[5, 2)上的取值范围为(−∞,即实数n的取值范围为(−∞, −1].【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】(Ⅰ)由奇函数的定义域关于原点对称,即可求解m值;(Ⅱ)函数f(x)是定义域上的单调递减函数,利用单调性的定义证明即可;(Ⅲ)求出t的值域,再由f(x)的单调性即可求得n的取值范围.【解答】(1)∵函数f(x)是奇函数,∴函数f(x)的定义域关于原点对称.又∵函数f(x)的定义域为{x|(x+2)(x−m)<0}.∴m>8且函数f(x)的定义域为(−2, m).此时f(−x)=log3=−log3=−f(x),∴m=2符合题意.(2)函数f(x)是定义域上的单调递减函数,证明:设x6<x2,且x1,x2为(−2, 2)上的任意两个数,∴f(x8)−f(x2)=log3−log3=log5•,又∵•−1==,∵x1<x2,∴x5−x1>0.又∵−8<x1<x2<6,∴2−x2>4,2+x1>6.∴•>53•>01)−f(x6)>0,即f(x1)>f(x3),∴函数f(x)为(−2, 2)上的单调递减函数.(Ⅲ)∵t=|6x−1|+1=,∴t=|7x−1|+1在(−∞, 4]上单调递减,1)上单调递增∴t=|2x−6|+1在(−∞, 1)上的取值范围为[3,又∵函数f(x)在(−2, 2)上单调递减.∴n=f(t)在[5, 2)上的取值范围为(−∞,即实数n的取值范围为(−∞, −1].【答案】(1)根据题意,得,即,∴,k∈Z或,∴函数ℎ(x)的定义域为∪,k∈Z.(2)∵,∴,∴,∴,∴,即1≤m(x)≤(2)令t=m(x),则t∈[5, n(x)=f(t)=t2−2at+4,t∈[1,∵函数f(x)的图象关于直线x=a对称,(1)当a≤1时,f(t)在[4,∴f(t)min=f(1)=5−2a;(2)当a≥4时,f(t)在[1,∴f(t)min=f(2)=8−3a;(3)当1<a<2时,.∴函数n(x)=f[m(x)]的最小值;(Ⅲ)∵,∴F(x)在R上单调递增且为奇函数.又∵对于任意x∈R,不等式F(bx2−2x+3)+F(3−2bx)>8(b+1)x−bx2−2恒成立.∴对于任意x∈R,不等式F(bx2−2x+3)+bx2−2x+5>−F(3−2bx)+2bx−3=F(2bx−3)+2bx−3恒成立.令G(x)=F(x)+x,则G(x)在R上单调递增,又∵G(bx2−2x+1)>G(6bx−3),∴对于任意x∈R,不等式bx2−7x+1>2bx−7在R上恒成立,即bx2−2(b+6)x+4>0在R上恒成立.当b<3时,不合题意;当b=0时,不合题意;当b>0时,则,即,不合题意.综上所述,不存在符合条件的实数b,不等式F(bx2−2x+3)+F(3−2bx)>5(b+1)x−bx2−2恒成立.【考点】函数与方程的综合运用【解析】(Ⅰ)利用函数定义域即为使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,列出不等关系,结合三角不等式的解法求解即可;(Ⅱ)先利用正弦函数的性质求出m(x)的范围,令t=m(x),从而得到函数f(t),利用二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论,分别求解最值即可;(Ⅲ)求出F(x)的解析式,判断它的单调性与奇偶性,令G(x)=F(x)+x,从而得到G(x)的单调性,将不等式恒成立转化为bx2−2(b+1)x+4>0在R上恒成立,然后对b的范围进行分类讨论,分别求解即可求解.【解答】(1)根据题意,得,即,∴,k∈Z或,∴函数ℎ(x)的定义域为∪,k∈Z.(2)∵,∴,∴,∴,∴,即1≤m(x)≤(2)令t=m(x),则t∈[5, n(x)=f(t)=t2−2at+4,t∈[1,∵函数f(x)的图象关于直线x=a对称,(1)当a≤1时,f(t)在[4,∴f(t)min=f(1)=5−2a;(2)当a≥4时,f(t)在[1,∴f(t)min=f(2)=8−3a;(3)当1<a<2时,.∴函数n(x)=f[m(x)]的最小值;(Ⅲ)∵,∴F(x)在R上单调递增且为奇函数.又∵对于任意x∈R,不等式F(bx2−2x+3)+F(3−2bx)>8(b+1)x−bx2−2恒成立.∴对于任意x∈R,不等式F(bx2−2x+3)+bx2−2x+5>−F(3−2bx)+2bx−3=F(2bx−3)+2bx−3恒成立.令G(x)=F(x)+x,则G(x)在R上单调递增,又∵G(bx2−2x+1)>G(6bx−3),∴对于任意x∈R,不等式bx2−7x+1>2bx−7在R上恒成立,即bx2−2(b+6)x+4>0在R上恒成立.当b<3时,不合题意;当b=0时,不合题意;当b>0时,则,即,不合题意.综上所述,不存在符合条件的实数b,不等式F(bx2−2x+3)+F(3−2bx)>5(b+ 1)x−bx2−2恒成立.。
2023-2024学年江苏省盐城市上冈中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
![2023-2024学年江苏省盐城市上冈中学高一(上)期末数学试卷【答案版】](https://img.taocdn.com/s3/m/ac2a48b23086bceb19e8b8f67c1cfad6185fe905.png)
2023-2024学年江苏省盐城市上冈中学高一(上)期末数学试卷一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ={x |2<x <4},B ={x |3x ﹣7<8﹣2x },则A ∩B =( ) A .{x |3<x <4}B .{x |x >2}C .{x |2<x <3}D .{x |x >3}2.已知sin α<0,且tan α>0,则α的终边所在的象限是( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知a ,b ∈R ,则“a +b >6”是“a >3且b >3”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级γ可定义为γ=0.6lgI .2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震,2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震,则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为( ) A .2B .10C .100D .100005.函数f(x)=cos(x+π2)|x|的部分图像大致是( )A .B .C .D .6.已知α∈[−π2,π2],sinα+cosα=−15,则tan α=( )A .−43B .−34C .34D .437.已知a =log 43,b =sin π3,c =2−cos π3,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a <b <cB .a <c <bC .c <a <bD .b <c <a8.已知函数f(x)=ln x−mx+2−n (m >0,n >0)是奇函数,则1m +2n 的最小值为( )A .32+√2B .32C .32+2√2D .52二、多选题(本题共4小题,每小题5分.在每小题给出的选项中,至少有两项符合题目要求,全部选对得5分,都分选对得2分,有选错的得0分.)9.下列不等式中成立的是( ) A .若a >b >0,则ac 2>bc 2 B .若a >b >0,则a 2>b 2C .若a <b <0,则a 2<abD .若a <b <0,则1a >1b10.下列命题是真命题的有( )A .函数f (x )=sin 2x +cos x +1的值域为[0,94]B .g(x)=√3−log 2(3−x)的定义域为[﹣5,+∞)C .函数f(x)=lnx −2x的零点所在的区间是(2,3)D .对于命题p :∃x ∈R ,使得x 2﹣1>0,则¬p :∀x ∈R ,均有x 2﹣1<011.已知函数f (x )=A cos (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A .函数f (x )的图象关于直线x =π6对称B .函数f (x )的图象关于点(3π2,0)对称 C .函数f (x )在[π12,13π24]的值域为[−√2,2] D .将函数f (x )的图象向右平移π12个单位,所得函数为g (x )=2sin2x12.已知方程x +lnx =0与e x +x =0的根分别为x 1,x 2,则下列说法正确的是( ) A .x 1+x 2>0 B .0<x 1<12C .x 1x 2﹣1<x 1﹣x 2D .lnx 1+e x 2=0三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.) 13.已知幂函数f (x )的图象经过点(2,√22),则f (4)的值为 .14.已知0<α<π2,且sin(α−π3)=14,则sin(5π6−α)= .15.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC ,再分别以点A 、B 、C 为圆心,线段AB 长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π,则其面积是 .16.若方程x 2+2x +m 2+3m =m cos (x +1)+7有且仅有1个实数根,则实数m 的值为 . 四、解答题(本题共6小题,共70分,第17题10分,18-22题每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知集合A ={x |3≤x <6},B ={x |x 2﹣13x +36<0}. (1)分别求A ∩B ,A ∪B ;(2)已知C ={x |a <x ≤a +1},若C ⊆B ,求实数a 的取值范围. 18.(12分)化简下面两个题:(1)已知角α终边上一点P (﹣4,3),求cos(π+α)sin(−π2−α)cos(32π−α)sin(π−α)的值; (2)已知2x =5y =20,求2x +1y的值.19.(12分)函数f(x)=Asin(ωx +α)(A >0,ω>0,−π2<α<π2)的最小正周期是π,且当x =π3时,f (x )取得最大值12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间;(2)存在x ∈[−π4,π4],使得f (x )﹣m <0成立,求实数m 的取值范围.20.(12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型:①f (x )=0.03x +8,②f (x )=0.8x +200,③f (x )=100log 20x +50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少为多少万元? 21.(12分)已知函数f (x )=4x +m •2x ﹣2,x ∈[﹣2,1],m 为实数.(1)当m=1时,求f(x)的值域;(2)设g(x)=2x2+1,若对任意的x1∈[﹣2,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,求m的取值范围.22.(12分)已知x=1是函数g(x)=ax2﹣3ax+2的零点,f(x)=g(x)x.(1)求实数a的值;(2)若方程f(|2x−1|)+k(3|2x−1|)−3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.2023-2024学年江苏省盐城市上冈中学高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ={x |2<x <4},B ={x |3x ﹣7<8﹣2x },则A ∩B =( ) A .{x |3<x <4}B .{x |x >2}C .{x |2<x <3}D .{x |x >3}解:因为B ={x |3x ﹣7<8﹣2x }={x |x <3},又A ={x |2<x <4},所以A ∩B ={x |2<x <3}. 故选:C .2.已知sin α<0,且tan α>0,则α的终边所在的象限是( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解:∵sin α<0,∴α的终边在第三、第四象限或在y 轴负半轴上, ∵tan α>0,∴α的终边在第一或第三象限, 取交集可得,α的终边所在的象限是第三象限角. 故选:C .3.已知a ,b ∈R ,则“a +b >6”是“a >3且b >3”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解:由“a +b >6”推不出“a >3且b >3”,例如a =2,b =5, 由“a >3且b >3”可以推出“a +b >6”,所以“a +b >6”是“a >3且b >3”的必要而不充分条件. 故选:B .4.科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级γ可定义为γ=0.6lgI .2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震,2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震,则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为( ) A .2B .10C .100D .10000解:设里氏3.1级地震所散发出来的能量为I 1,里氏4.3级地震所散发出来的能量为I 2, 则3.1=0.6lgI 1…①,4.3=0.6lgI 2…②, ②﹣①得:1.2=0.6lg I 2I 1,解得:I 2I 1=100.故选:C .5.函数f(x)=cos(x+π2)|x|的部分图像大致是( )A .B .C .D .解:根据题意,函数f(x)=cos(x+π2)|x|=−sinx |x|,其定义域为{x |x ≠0}, 有f (﹣x )=sinx|x|=−f (x ),则f (x )为奇函数,排除A 、C , 在区间(0,π)上,sin x >0,有f (x )=−sinx|x|<0,排除B . 故选:D .6.已知α∈[−π2,π2],sinα+cosα=−15,则tan α=( )A .−43B .−34C .34D .43解:由题意,α∈[−π2,π2],sinα+cosα=−15,∴cos α>0,sin α<0,(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=125,解得:2sinαcosα=−2425, ∴sinα−cosα=−√sin 2α+cos 2α−2sinαcosα=−√1−(−2425)=−75, ∴解得:{sinα=−45cosα=35, ∴tanα=sinαcosα=−43, 故选:A .7.已知a =log 43,b =sin π3,c =2−cosπ3,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <cB .a <c <bC .c <a <bD .b <c <a解:c =2−cos π3=2−12=√22,b =sin π3=√32,c <b ,a =log 43=log 223=log 232, 则只需比较√2,√3,log 23的大小关系, log 23>log 2√8=log 2232=32>√2, 21.6<2√3,而35=243<28=256, 所以35<28,(35)15=3<(28)15=21.6,所以3<21.6<2√3,所以log 23<log 22√3=√3,所以√2<log23<√3,所以c<a<b.故选:C.8.已知函数f(x)=ln x−mx+2−n (m>0,n>0)是奇函数,则1m+2n的最小值为()A.32+√2B.32C.32+2√2D.52解:由于f(x)是奇函数,f(﹣x)+f(x)=0,即ln−x−m−x+2−n+lnx−mx+2−n=ln(−x−m−x+2−n⋅x−mx+2−n)=ln(m2−x2(2−n)2−x2)=0,m2−x2(2−n)2−x2=1,所以m2=(2﹣n)2①,由x−mx+2−n=x−mx−(n−2)>0⇔(x−m)[x−(n−2)]>0②,可知,若m=n﹣2,则②的解集为{x|x≠m,m>0}与f(x)是奇函数矛盾,所以由①得m=2﹣n,m+n=2,其中m>0,n>0,此时m+(n﹣2)=0,②的解集满足奇函数f(x)定义域的要求.所以1m+2n=12(1m+2n)(m+n)=12(3+nm+2mn)≥12(3+2√nm×2mn)=32+√2,当且仅当n=√2m,即n=4﹣2√2,m=2√2−2时等号成立.故选:A.二、多选题(本题共4小题,每小题5分.在每小题给出的选项中,至少有两项符合题目要求,全部选对得5分,都分选对得2分,有选错的得0分.)9.下列不等式中成立的是()A.若a>b>0,则ac2>bc2B.若a>b>0,则a2>b2C.若a<b<0,则a2<ab D.若a<b<0,则1a >1b解:对于A,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;对于B,因为a>b>0,则a+b>0,a﹣b>0,所以a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)>0,即a2>b2,故B正确;对于C,取a=﹣2,b=﹣1,满足a<b<0,但a2=4>2=ab,故C错误;对于D,因为a<b<0,所以b﹣a>0,ab>0,所以1a−1b=b−aab>0,即1a>1b,故D正确.故选:BD.10.下列命题是真命题的有()A.函数f(x)=sin2x+cos x+1的值域为[0,94]B .g(x)=√3−log 2(3−x)的定义域为[﹣5,+∞)C .函数f(x)=lnx −2x的零点所在的区间是(2,3)D .对于命题p :∃x ∈R ,使得x 2﹣1>0,则¬p :∀x ∈R ,均有x 2﹣1<0 解:对于A 选项,f (x )=sin 2x +cos x +1=﹣cos 2x +cos x +2,令t =cos x ,t ∈[﹣1,1],则y =﹣t 2+t +2的开口向下,对称轴为t =12,所以当t =12时,y 取得最大值为−(12)2+12+2=94;当t =﹣1时,y 取得最小值为﹣(﹣1)2﹣1+2=0,所以f (x )的值域为[0,94],A 选项正确.对于B 选项,对于函数g(x)=√3−log 2(3−x), 由{3−x >03−log 2(3−x)≥0,得{x <3log 2(3−x)≤3,解得﹣5≤x <3,所以g (x )的定义域为[﹣5,3),B 选项错误. 对于C 选项,f(x)=lnx −2x 在(0,+∞)上单调递增,f(2)=ln2−1<0,f(3)=ln3−23>0,f(2)f(3)<0,所以函数f(x)=lnx −2x的零点所在的区间是(2,3),C 选项正确.对于D 选项,命题p :∃x ∈R ,使得x 2﹣1>0, 其否定是¬p :∀x ∈R ,均有x 2﹣1≤0,D 选项错误. 故选:AC .11.已知函数f (x )=A cos (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A .函数f (x )的图象关于直线x =π6对称B .函数f (x )的图象关于点(3π2,0)对称 C .函数f (x )在[π12,13π24]的值域为[−√2,2] D .将函数f (x )的图象向右平移π12个单位,所得函数为g (x )=2sin2x解:由图可知,A =2,周期T =4×(2π3−5π12)=π,所以ω=2ππ=2,所以f (x )=2cos (2x +φ), 因为函数f (x )的图象过点(2π3,﹣2),所以f (2π3)=2cos (2•2π3+φ)=﹣2,即cos (4π3+φ)=﹣1,所以4π3+φ=π+2k π,k ∈Z ,即φ=−π3+2k π,k ∈Z ,因为|φ|<π2,所以φ=−π3,所以f (x )=2cos (2x −π3),选项A ,f (π6)=2cos (2•π6−π3)=2,所以函数f (x )的图象关于直线x =π6对称,即选项A 正确;选项B ,f (3π2)=2cos (2•3π2−π3)=﹣1≠0,所以函数f (x )的图象不关于点(3π2,0)对称,即选项B 错误; 选项C ,当x ∈[π12,13π24]时,2x −π3∈[−π6,3π4], 所以cos (2x −π3)∈[−√22,1],2cos (2x −π3)∈[−√2,2],所以函数f (x )在[π12,13π24]的值域为[−√2,2],即选项C 正确;选项D ,将函数f (x )的图象向右平移π12个单位,得到y =2cos[2(x −π12)−π3]=2sin2x =g (x ),即选项D 正确. 故选:ACD .12.已知方程x +lnx =0与e x +x =0的根分别为x 1,x 2,则下列说法正确的是( ) A .x 1+x 2>0 B .0<x 1<12C .x 1x 2﹣1<x 1﹣x 2D .lnx 1+e x 2=0解:对于A 选项,由题意得x 1+lnx 1=0,e x 2+x 2=0, e x 2+x 2=0可变形为e x 2+lne x 2=0, 令f (x )=x +lnx ,则f(x 1)=f(e x 2)=0,又f (x )=x +lnx 在(0,+∞)上单调递增,故e x 2=x 1, 由e x 2+x 2=0,可得x 1+x 2=0,故A 选项错误;对于B 选项,由于f(12)=12+ln 12=12−ln2=ln √e −ln2<0,f (1)=1>0,因为f (x )=x +lnx 在(0,+∞)上单调递增, 由零点存在性定理得12<x 1<1,B 错误;对于C 选项,由AB 选项可知,x 1+x 2=0,由B 选项得12<x 1<1,故x 1x 2−1−x 1+x 2=(x 1+1)(x 2−1)=−(x 1+1)2<0, 故x 1x 2﹣1<x 1﹣x 2,C 正确;对于D 选项,由x 1+lnx 1=0,e x 2=x 1,得e x 2+lnx 1=0,D 正确. 故选:CD .三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.) 13.已知幂函数f (x )的图象经过点(2,√22),则f (4)的值为12. 解:∵幂函数f (x )=x a 过点(2,√22),∴f(2)=2a =√22,解得a =−12, ∴f(x)=x −12,故f(4)=12.故答案为:12.14.已知0<α<π2,且sin(α−π3)=14,则sin(5π6−α)= √154 .解:由于0<α<π2,所以−π3<α−π3<π6,而sin(α−π3)=14,所以cos(α−π3)=√1−(14)2=√154,所以sin(5π6−α)=sin(π2+π3−α)=cos(π3−α)=cos(α−π3)=√154. 故答案为:√154. 15.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC ,再分别以点A 、B 、C 为圆心,线段AB 长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π,则其面积是 2π−2√3 .解:由已知得:AB̂=BC ̂=AC ̂=2π3,则AB =BC =AC =2,故扇形的面积为2π3, 法1:弓形AB 的面积为2π3−√34×22=2π3−√3,可得所求面积为3(2π3−√3)+√34×22=2π−2√3. 法2:由扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍即可得解,所以所求面积为3×2π3−2×√34×22=2π−2√3. 故答案为:2π−2√3.16.若方程x 2+2x +m 2+3m =m cos (x +1)+7有且仅有1个实数根,则实数m 的值为 2 .解:因为方程x 2+2x +m 2+3m =m cos (x +1)+7有且仅有1个实数根,函数y =x 2+2x +m 2+3m 的图象关于直线x =﹣1对称,y =m cos (x +1)+7的图象关于直线x =﹣1对称, 所以方程x 2+2x +m 2+3m =m cos (x +1)+7有且仅有1个实数根﹣1,所以1﹣2+m 2+3m =m +7,解得m =2或m =﹣4;当m =﹣4时,函数y =x 2+2x +4与y =﹣4cos (x +1)+7的图象如下图所示:两个函数图象不止一个公共点,不符合题意,舍去;当m =2时,函数y =x 2+2x +10=(x +1)2+9≥9,y =2cos (x +1)+7≤9,所以两个函数有唯一公共点(﹣1,9),综上,实数m 的值为2.故答案为:2.四、解答题(本题共6小题,共70分,第17题10分,18-22题每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知集合A ={x |3≤x <6},B ={x |x 2﹣13x +36<0}.(1)分别求A ∩B ,A ∪B ;(2)已知C ={x |a <x ≤a +1},若C ⊆B ,求实数a 的取值范围.解:(1)由x 2﹣13x +36<0,可得(x ﹣4)(x ﹣9)<0,解得4<x <9,所以B ={x |4<x <9},所以A ∩B =(4,6),A ∪B =[3,9);(2)由于C ⊆B ,且C 不是空集,所以{a ≥4a +1<9,解得4≤a <8, 即实数a 的取值范围为[4,8).18.(12分)化简下面两个题:(1)已知角α终边上一点P (﹣4,3),求cos(π+α)sin(−π2−α)cos(32π−α)sin(π−α)的值; (2)已知2x =5y =20,求2x +1y的值. 解:(1)角α终边上一点P (﹣4,3),所以sinα=3√(−4)+3=35,cosα=−4√(−4)+3=−45, 所以cos(π+α)sin(−π2−α)cos(32π−α)sin(π−α)=(−cosα)(−cosα)(−sinα)×sinα=−cos 2αsin 2α=−169; (2)由2x =5y =20,得x =log 220,y =log 520,1x =log 202,1y=log 205, 所以2x +1y=2log 202+log 205=log 20(22×5)=1. 19.(12分)函数f(x)=Asin(ωx +α)(A >0,ω>0,−π2<α<π2)的最小正周期是π,且当x =π3时,f (x )取得最大值12. (1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间;(2)存在x ∈[−π4,π4],使得f (x )﹣m <0成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)f (x )的最小正周期为π,所以ω=2ππ=2, 当x =π3时,f (x )取得最大值12,所以A =12, 且sin(2×π3+α)=1,−π2<α<π2,π6<α+2π3<7π6, 所以α+2π3=π2,α=−π6, 所以f(x)=12sin(2x −π6), 由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2,k ∈Z ,解得−π6+kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈Z , 所以单调递增区间为:[−π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z ;(2)若x∈[−π4,π4],则2x−π6∈[−2π3,π3],所以在区间[−π4,π4]上,当2x−π6=−π2,x=−π6时,f(x)取得最小值为−12,依题意,存在x∈[−π4,π4],使得f(x)<m成立,所以m>−1 2.20.(12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y (单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100log20x+50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少为多少万元?解:(1)根据题意可知,符合公司要求的函数f(x)在[3000,9000]上单调递增,且对任意x∈[3000,9000],恒有f(x)⩾100,f(x)⩽x 5.①对于函数f(x)=0.03x+8,f(x)在[3000,9000]上单调递增,当x=3000时,f(3000)=98<100,不符合题意;②对于函数f(x)=0.8x+200,f(x)在[3000,9000]上单调递减,不符合题意;③对于函数f(x)=100log20x+50,f(x)在[3000,9000]上单调递增,当x=3000时,f(3000)>100log2020+50>100,f(x)⩽f(9000)=100log209000+50<100log20160000+50=450,而x5⩾30005=600,所以当x∈[3000,9000]时,f(x)<x5恒成立,符合题意.(2)根据题意可知,100log20x+50⩾350,即log20x⩾3,解得x⩾8000,故公司的投资收益至少为8000万元.21.(12分)已知函数f(x)=4x+m•2x﹣2,x∈[﹣2,1],m为实数.(1)当m=1时,求f(x)的值域;(2)设g(x)=2x2+1,若对任意的x1∈[﹣2,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,求m的取值范围.解:(1)当m=1时,f(x)=4x+2x﹣2,x∈[﹣2,1],令t=2x,14≤t≤2,则y =t 2+t ﹣2在区间[14,2]上单调递增,t =14,y =−2716,t =2,y =4, 所以f (x )的值域为[−2716,4]. (2)对于函数g(x)=2x 2+1(0≤x ≤1), 1≤x 2+1≤2,12≤1x 2+1≤1,1≤2x 2+1≤2, 所以g (x )在区间[0,1]上的值域为[1,2],最小值为1.对于函数f (x )=4x +m •2x ﹣2(﹣2≤x ≤1),令t =2x ,14≤t ≤2,则y =t 2+mt ﹣2的开口向上,对称轴为t =−m 2. 当−m 2≤14,m ≥−12时,函数y =t 2+mt ﹣2在[14,2]上单调递增, y min =(14)2+14m −2=14m −3116, 要使“对任意的x 1∈[﹣2,1],总存在x 2∈[0,1],使得f (x 1)≥g (x 2)成立”,则14m −3116≥1,m ≥474. 当14<−m 2<2,−4<m <−12时,函数y =t 2+mt ﹣2在t =−m 2处取得最小值, 即y min =(−m 2)2−m 22−2=−14m 2−2<0<1,不符合题意. 当−m 2≥2,m ≤−4时,函数函数y =t 2+mt ﹣2在[14,2]上单调递减, y min =22+2m −2=2m +2,要使“对任意的x 1∈[﹣2,1],总存在x 2∈[0,1],使得f (x 1)≥g (x 2)成立”,则2m +2≥1,m ≥−12,与m ≤﹣4矛盾,不符合. 综上所述,m ∈[474,+∞). 22.(12分)已知x =1是函数g (x )=ax 2﹣3ax +2的零点,f(x)=g(x)x . (1)求实数a 的值;(2)若方程f(|2x −1|)+k(3|2x −1|)−3k =0有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围. 解:(1)∵x =1是函数g (x )=ax 2﹣3ax +2的零点∴g (1)=a ﹣3a +2=2﹣2a =0,解之得a =1;(2)由(1)得g (x )=x 2﹣3x +2,则f(x)=x −3+2x, 则方程f(|2x −1|)+k(3|2x −1|)−3k =0可化为|2x−1|+2|2x−1|−3+3k|2x−1|−3k=0,∵x≠0,∴两边同乘|2x﹣1|得:|2x﹣1|2﹣(3+3k)|2x﹣1|+3k+2=0,则此方程有三个不同的实数解.令t=|2x﹣1|则t>0,则t2﹣(3+3k)t+3k+2=0,解之得t=1或t=3k+2,当t=1时,|2x﹣1|=1,得x=1;当t=3k+2时,|2x﹣1|=3k+2,则此方程有两个不同的实数解,则0<3k+2<1,解之得−23<k<−13.则实数k的取值范围为(−23,−13).。
江苏省盐城中学高一数学12月份阶段考试试卷
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盐城中学高一年级12月份阶段考试数学试题(08.12.6)命题人:李国强 审核:陈健 一、填空题:(每题5分,共计70分)1、集合{|13}A x x =≤≤,{|24}B x x =<<,则A ∩B = ▲ .2、若角α和β的两边分别对应平行且方向相反,则当45α=时,β= ▲ .3、在正方体,圆柱,圆台,球中,任意方向上的视图都是全等图形的几何体是 ▲ .4、如图,三棱柱111C B A ABC -中,090=∠ACB ,⊥1CC 平面ABC , 11===CC BC AC ,则直线11C A 和平面1ACB 的距离等于_ ▲___.5、一条直线和两条平行直线中的一条是异面直线 ,则它和另一条 直线的位置关系是__▲___.6、函数f(x)=2231()3x x -++的单调增区间为____▲____.7、若用斜二测画法作ABC ∆的水平放置的平面直观图'''C B A ∆是边长为a 的正三角形,那么原ABC ∆的面积为 ▲ . 8、ln 2251log 625lg100e++= ▲ . 9、如图,正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别是棱C C 1与BC 的中点,则直线EF 与直线C D 1所成角的大小是____▲___10、下列命题中正确的命题的有 ▲ 个.(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则α与β平行; (2)若平面α内的有无数条直线与平面β平行,则α与β平行; (3)平行于同一条直线的两个平面平行;(4)过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行; (5) 过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面。
11、奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2xf xg x a +=-,且(1)2ag =,则(2)f a 等于 ▲ .12、如图,F E ,分别是正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心,则四边形E BFD 1在该ABC D1A1B1C1DEFA BCA 1B 1C 1正方体的面上的射影可能是下图中的______ ▲ ______(要求把可能的序号都填上).13、若()f x 是R 上的减函数,且()f x 的图象经过点(0,3)A 和点(3,1)B -,则不等式|(1)1|2f x +-<的解集是 ▲ .14、若函数)3(log )(2+-=x ax x f a 在[2,4]上是增函数,则实数a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题(14分+14分+15分+15分+16分+16分=90分)15、(14分)如图,在三棱柱111C B A ABC -中,ABC ∆是正三角形,侧棱1AA ⊥平面ABC ,点D 在BC 上,D C AD 1⊥. ①求证:⊥AD 平面11B BCC ; ②求证:1A B ∥平面1ADC .16、(14分)已知函数()23k kf x x x =-+(k R ∈).(1)若集合{|(),}x f x x x R =∈中有且只有一个元素,求k 的值; (2)若函数()f x 在区间(1,)+∞上是增函数,求k 的取值范围.17、(15分)如图,已知点P 是正方形ABCD 所在平面外一点,PA ⊥平面ABCD ,PA AB =,点E 、F 分别在线段PB 、AC 上,满足BE CF =. (1)求PD 与平面ABCD 所成的角的大小; (2)求证:EF CD ⊥;C 1CBA18、(15分)已知常数(0,1)t ∈,函数421 (0)()3(1)t ttx x t f x x x t x +<<⎧=⎨+≤<⎩,满足29()8f t =. (1)求常数t 的值;(2)求不等式()2f x <的解集.19、(16分)如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面ABCD 是菱形,060=∠BAD ,a BB AB ==1,a C B AB 211==,E 为CD 中点.(1)求证:BE AB ⊥1; (2)点F 在线段C B 1上,当1B FFC为多少时,//1AB 平面BEF ,并说明理由.20、(16分)已知函数2()f x ax x =-,()g x =a ,b R ∈).(1)当0b =时,若()f x 在(,2]-∞上单调递减,求a 的取值范围;(2)求满足下列条件的所有整数对(a ,b ):存在0x ,使得0()f x 是()f x 的最大值,0()g x 是()g x 的最小值;(3)对满足(2)中的条件的整数对(a ,b ),奇函数()h x 的定义域和值域都是区间[,]k k -,且[,0]x k ∈-时,()h x =()f x ,求k 的值.1CBA盐城中学高一年级12月份阶段考试 数学试题答题纸(2008、12、6)一、填空题(14×5=70分)1、(2,3]2、045 3.、球 45、相交或异面6、[1,)+∞ 72 8、2 9、060 10、1 11、34- 12、(2)(3) 13、{|12}x x -<< 14、11(,](1,)168+∞二、解答题(共90分)15、证明:(1)因为11//AA CC ,1AA ⊥平面ABC ,所以1CC ⊥平面ABC ,AD ⊂平面ABC , 则1CC AD ⊥,又1DC AD ⊥,111CC DC C =所以AD ⊥平面11BCC B .(2)连结1AC 交1AC 于点O ,连结OD ,O 为1AC 的中点,由(1)知AD ⊥BC ,又ABC ∆为正三角形,所以D 为BC 的中点,OD 为1A BC ∆的中位线.故1//OD A B又OD ⊂平面1ADC ,1A B ⊄平面1ADC , 所以1//A B 平面1ADC .16、由()f x x =得20,3kx x k +-=由0∆=,解得360()36k k k =-=∴=-或舍, (1) 设121212121212()(2)1,()()020,x x x x k x x f x f x x x k x x -+<<-=<∴+>则12122,22,2k x x x x k ∴>--<-∴≥-.17、(1)PA ABCD PDA PD ⊥∴∠平面,是与平面ABCD 所成角又45PA AB AD PDA ==∴∠=︒,PD ∴与平面ABCD 所成的角为45︒(2)过点E 作//EH PA ,交AB 于H ,连接FH ,则BE BHBP BA=, ,,BE CF BH CFBE CF BP AC BP AC BA CA==∴=∴=//,,,FH AD AD CD CD FH PA CD CD EH CD EFH EF CD∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥又平面,C 1A A1822391(0,1),0,()1,82t t t f t t t ∈∴<<=+==由得(1) 由(1)知2111(0)22()13(1)2x x f x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤<⎪⎩当102x <<时,51()4f x << 当112x ≤<时,由()2f x <,即232,x x +<得1223x ≤< ()2f x ∴<的解集为2(0,)319、20 (1)(2) 2000()042011a a a f x a a b b <<⎧⎧⎪=∴≠⇒⎨⎨+-≥-≤≤⎪⎩⎩时,无最大值必有201,13x a a a b ====-=-于是则或因此符合条件的整数对为(-1,-1)和(-1,3). (2) 对于(2)的整数对(a,b ), 2()2,f x x x =--2[0,]()()()2x k h x h x f x x x ∈=--=--=-当时,1111////,2AC AB C GF AB B C F AB BEF B F AGFC GC==(2)连接交BE 于G ,过G 在平面内作交于,则平面则20()4,00,()4,0,42,201,01b f x ax x a a f x x a aa a a ==->⎧⎪==-≠⎨≥⎪⎩∴<≤≤≤当时,若符合条件,若则故所能求的范围是1111111111,,,,,,//,,,AB BB a AB B C BB AB BB BC BB ABCD BCD BE CD AB CDBE AB BE BB BE ABB A BE AB ====⊥⊥∴⊥∆⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥(1)易得平面又是等边三角形,平面22222,0(),2,3,2 3.2,0[1,1]()[1,1] [3,3]()[3,3]13x x k x h x x x x x x x x x x x x kx h x x h x k k ⎧---≤≤⎪∴=-==--==-⎨-<≤⎪⎩∈-∈-∈-∈-∴==由得由,得由图像可知,时,时,或。
江苏省盐城中学2020-2021学年高一上学期期末检测数学试题
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江苏省盐城中学高一年级第一学期期末检测数学试题(2021.01)命题: 审核:一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项符合要求.)1.设集合2{|0}M x x x =+=,{|10}N x x =+>,则M N =( ▲ )A.}0{B.{1}-C.}10{-,D.}101{,,-2.设命题:(0,)2p x π∃∈,sin x x >,则命题p 的否定为( ▲ )A. (0,),sin 2x x x π∀∉≤ B. (0,),sin 2x x x π∃∈≤ C. (0,),sin 2x x x π∀∈≤ D. (0,),sin 2x x x π∃∉≤3.“tan α=""3πα=的( ▲ )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()2ln f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ▲ ) A.()0,1 B.()1,2 C.()2,e D.(),e +∞5.已知函数()x x f x e e -=-,则()f x ( ▲ )A.是奇函数,且在R 上是增函数B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数6.点P 从点(1,0)A 出发,沿着单位圆周顺时针运动3π弧长到Q 点,则点Q 的坐标为( ▲ )A. 13(,)22--B. 31(,)22-C.13(,22-D. 13(,23- 7.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(1)1f =-,则满足1(2)1f x -≤≤的x 的取值范围是( ▲ )A.]0,2[-B.]0,1[-C.]1,1[-D.]21,21[- 8.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示,则下列结论成立的是( ▲ )A.0a >,0b >,0c <B.0a <,0b >,0c >C.0a >,0b >,0c >D.0a <,0b <,0c >二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题所给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.)9.若3α=rad (rad 为弧度制单位),则下列说法正确的是( ▲ )A.sin cos αα<B.cos 0α<C.tan 1α<-D.α是第二象限角10.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递增的是( ▲ ) A.1y x =- B.lg ||y x = C.2y x = D.1()2x y = 11.下列大小比较正确的是( ▲ )A.cos 43cos 44>B.0.40.3122-⎛⎫> ⎪⎝⎭C.56log 4log 4> 3221>- 12.已知函数()2cos 12cos f x x x =++有下列结论,其中正确的是( ▲ )A.()f x 的周期为πB.()f x 的图象关于直线x π=对称C.()f x 的最小值为1-D.()f x 在[],2ππ-上与直线12y =-有三个交点 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上)13.已知扇形的弧长为3cm ,半径为2cm ,则这个扇形的面积为 ▲ cm 2.14.函数2()lg(68)f x x x =-+-的定义域为 ▲ .15.若0,0,x y x y xy >>+=,则2x y +的最小值为 ▲ .16.已知函数()23sin sin 21cos 4(1cos )x x f x a x x =+++-,()3g x a =,若对任意的10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,都存在2[1,2]x ∈,使得()()12f x g x ≥成立,则实数a 的取值范围为 ▲ .四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域.......内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知角α的终边经过点)1,2(P .(1)求sin ,cos αα的值;(2)求sin()2cos cos()πααπα-++的值.已知集合1{|24},{|||1}.8x A x B x x m =≤≤=-< (1)若2=m ,求AB ; (2)命题A x p ∈:,命题B x q ∈:,若命题p 是命题q 成立的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数R k k x f x x ∈⋅+=-(44)().(1)若函数)(x f 是偶函数,求实数k 的值;(2)若不等式6)(≤x f 对]1,0[∈x 恒成立,求实数k 的取值范围.已知函数()sin(2)(0,||)2f x x πϕωϕ=+><,___________________.请在①函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称,②函数)12(π-=x f y 的图象关于原点对称,③函数)(x f 在]3,65[ππ--上单调递减,在]6,3[ππ-上单调递增这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. (1)求函数)(x f 的解析式;(2)若将函数)(x f y =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移3π个单位,得到函数)(x g y =的图象,求函数)(x g 在]2,32[ππ-的值域.21.(本小题满分12分)近日,随着新冠肺炎疫情在多地零星散发,一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡,就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动,减少疫情发生的可能性,某地政府积极制定政策,决定政企联动,鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此,该地政府决定为当地某A 企业春节期间加班追产提供[]()0,20x x ∈(万元)的专项补贴.A 企业在收到政府x (万元)补贴后,产量将增加到(2)t x =+(万件).同时A 企业生产t (万件)产品需要投入成本为72(72)t x t ++(万元),并以每件)406(t+元的价格将其生产的产品全部售出.注:收益=销售金额+政府专项补贴-成本(1)求A 企业春节期间加班追产所获收益)(x R (万元)关于政府补贴x (万元)的函数关系式; (2)当政府的专项补贴为多少万元时,A 企业春节期间加班追产所获收益最大?22.(本小题满分12分)已知函数()2f x x x =-,b 是常数.(1)当2b =时,写出函数()f x 的单调区间;(2)记2()sin cos 1g x x x =-+,若函数()f x 与()g x 在0x x =处同时取得最小值,求整数b 的值; (3)对于满足(2)中条件的b ,记()lg[(21)]h x f x =-.若()h x m =有4个不相等的实数根,记为1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,求1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围.。
2023-2024学年江苏省盐城市亭湖高级中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
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2023-2024学年江苏省盐城市亭湖高级中学高一(上)期末数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知非空集合A ⊆{x ∈N |x 2﹣x ﹣2<0},则满足条件的集合A 的个数是( ) A .1B .2C .3D .42.已知扇形弧长为π3,圆心角为π6,则该扇形面积为 ( )A .π6B .π4C .π3D .π23.已知点P (﹣4,3)是角α终边上的一点,则cos α﹣sin α等于( ) A .75B .−75C .15D .−154.已知函数f(x)={2x (x ≤1)log 12x(x >1),则f (1﹣x )的图象是( )A .B .C .D .5.设a =log 52,e b =12,c =ln32,则( )A .c >a >bB ..c >b >aC ..a >b >cD ..a >c >b6.已知函数f (x )=(2m ﹣1)x m 为幂函数,若函数g (x )=lnx +2f (x )﹣6,则y =g (x )的零点所在区间为( ) A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)7.已知a ∈Z ,关于x 的一元二次不等式x 2﹣8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则a 的值不可能是( ) A .13B .14C .15D .168.已知函数f (x )定义域为(0,+∞),f (1)=e ,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 2>x 1时,有f(x 1)−f(x 2)x 1x 2>e x 2x 1−e x 1x 2.若f (lna )>2e ﹣alna ,则实数a 的取值范围是( )A .(﹣∞,e )B .(e ,+∞)C .(0,1)D .(1,e )二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
江苏省盐城中学11-12学年高一上学期期末考试(化学).pdf
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被过量NaOH溶液完全吸收的是
A.V(NO2): V(O2)=4 : 1B.V(NO2): V(NO)=1 : 0
C.V(NO2): V(NO)=1 : 2
D.V(NO2): V(NO): V(O2)=1 : 1 : 1
.灼烧绿矾的反应方程式如下:
2(FeSO4·7H2O) Fe2O3+SO2↑+SO3↑+14H2O
四氧化二氮组成的火箭推进剂完全反应生成.0kg水,推进剂中联氨的质量kg。
江苏省盐城中学2011—2012学年度第一学期期末考试
高一年级化学答题纸
第Ⅱ卷 非选择题(共78分,每空均2分)
19.(1)
(2) 2KMnO4+ 16HCl(浓)2KCl + MnCl2 + 5Cl2↑ + 8H2O
,它们之间的相互转换关系如下图所示。A为地壳中含量单质。请填空:
(1)单质A的原子的结构示意图为? ,它的最高化合价为 。
(2)B的化学式为 。B和碳反应生成A和E的化学方程式是
(3)C的化学式为 ,D的化学式为? 。 .食盐中含有一定量的镁、铁等杂质,加碘盐中碘的损失主要是由于杂质
、水分、空气中的氧气以及光照、受热而引起的。已知:氧化性:>Fe3+>I2;还原性
第Ⅰ卷 选择题
本大题包括18小题,每小题4分,共72分。每小题只有一个选项符合题意
1.经测定,一瓶气体中只含有CH两种元素,下这瓶气体不可能是
A.一种化合物 B.一种单质和一种化合物的混合物
C.两种化合物 D. 两种单质
.下列说法中错误的是
______________。把该黑色粉末溶解于稀硫酸中,经浓缩、冷却,有晶体析出,该晶体的化学式为_________,其存在
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江苏省盐城中学09-10学年高一上学期期末考试数 学试卷说明:本卷由两部分组成,其中第Ⅰ卷为必做题,第Ⅱ卷为选做题.同学们完成第Ⅱ卷时首先要根据要求作出选择.答卷时间为120分钟,满分150分.填空题将正确答案填入答题纸的相应横线上,解答题请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(必做题,共112分)一、填空题:(共12小题,每小题5分,共计60分) 1.已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =___▲_____.2.函数)1(log 2-=x y 的定义域是___▲_________.3.过点M (-2,m ),N (m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为 ▲ . 4.空间)3,2,1(A ,)7,4,5(B 两点间的距离是____▲_____.5.经过点(2,1)-,且与直线2350x y -+=平行的直线方程是____▲_________.6.在正方体1111D C B A ABCD -中,直线1AD 与平面ABCD 所成的角的大小为____▲_____. 7.圆心为(11),且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ▲ ____. 8.两条平行直线0=-y x 和02=+-y x 距离是___▲________. 9.圆锥底面半径为2,母线长为4,则圆锥的侧面积等于____▲______. 10.圆422=+y x 与圆16)4()3(22=-++y x 的位置关系是_▲____.11.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ▲ . 12.已知正方体棱长为332,则正方体的外接球的体积等于 ▲ . 二.解答题(共4小题,共计56分) 15.(本题12分)设35212,x x y ay a +-==,(其中01a a >≠且). (1)当12y y =时,求x 的值; (2)当12y y >时,求x 的取值范围.16.(本题12分)在正方体1111ABCD A B C D -中.D 1A 1C 1B 1DC(1)求证:11BD AAC C⊥平面; (2)求二面角1C BD C --大小的正切值.17. (本题14分)已知圆C :()2219x y -+=内有一点P (2,2),过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程; (2)当直线l 的倾斜角为45º时,求弦AB 的长.18.(本题14分)如图,已知△ABC 是正三角形,EA 、CD 都垂直于平面ABC ,且EA=AB=2a ,DC=a , F 是BE 的中点. 求证:(1) FDABC ;(2) 平面EAB ⊥平面EDB .第II 卷(选做题,38分)友情提醒:本部分试卷分为A 、B 两类,同学们可以选做A 、B 两类中任何一类,但选择要统一,不可两类混做,多做或混做均不得分。
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某某省某某中学09-10学年高一上学期期末考试数 学试卷说明:本卷由两部分组成,其中第Ⅰ卷为必做题,第Ⅱ卷为选做题.同学们完成第Ⅱ卷时首先要根据要求作出选择.答卷时间为120分钟,满分150分.填空题将正确答案填入答题纸的相应横线上,解答题请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(必做题,共112分)一、填空题:(共12小题,每小题5分,共计60分) 1.已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =___▲_____.2.函数)1(log 2-=x y 的定义域是___▲_________.3.过点M (-2,m ),N (m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为▲. 4.空间)3,2,1(A ,)7,4,5(B 两点间的距离是____▲_____.5.经过点(2,1)-,且与直线2350x y -+=平行的直线方程是____▲_________.6.在正方体1111D C B A ABCD -中,直线1AD 与平面ABCD 所成的角的大小为____▲_____. 7.圆心为(11),且与直线4x y +=相切的圆的方程是▲ ____. 8.两条平行直线0=-y x 和02=+-y x 距离是___▲________. 9.圆锥底面半径为2,母线长为4,则圆锥的侧面积等于____▲______. 10.圆422=+y x 与圆16)4()3(22=-++y x 的位置关系是_▲____. 11.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是▲. 12.已知正方体棱长为332,则正方体的外接球的体积等于▲. 二.解答题(共4小题,共计56分)15.(本题12分)设35212,x x y a y a +-==,(其中01a a >≠且).(1)当12y y =时,求x 的值;(2)当12y y >时,求x 的取值X 围.16.(本题12分)在正方体1111ABCD A B C D -中.D 1C 1(1)求证:11BD AAC C⊥平面; (2)求二面角1C BD C --大小的正切值.17. (本题14分)已知圆C :()2219x y -+=内有一点P (2,2),过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程; (2)当直线l 的倾斜角为45º时,求弦AB 的长.18.(本题14分)如图,已知△ABC 是正三角形,EA 、CD 都垂直于平面ABC ,且EA=AB=2a ,DC=a , F 是BE 的中点. 求证:(1) FDABC ;(2) 平面EAB ⊥平面EDB .第II 卷(选做题,38分)友情提醒:本部分试卷分为A 、B 两类,同学们可以选做A 、B 两类中任何一类,但选择要统一,不可两类混做,多做或混做均不得分。
江苏省盐城市高一上学期数学期末考试试卷
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江苏省盐城市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题;共20分)1. (2分) (2017高一上·广东月考) 已知,,等于()A .B .C .D .2. (2分)与圆x2+y2﹣4x+6y+3=0同圆心,且过(1,﹣1)的圆的方程是()A . x2+y2﹣4x+6y﹣8=0B . x2+y2﹣4x+6y+8=0C . x2+y2+4x﹣6y﹣8=0D . x2+y2+4x﹣6y+8=03. (2分)函数的定义域为,则的定义域为()A .B .C .D .4. (2分)已知,且函数的最小值为b,若函数,则不等式的解集为()A .B .C .D .5. (2分)设函数f(x),g(x)的定义域分别为F、G,且F⊆G.若对任意的x∈F,都有g(x)=f(x),则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知函数f(x)=2x(x≤0),若g(x)为f(x)在R上一个延拓函数,且g(x)是偶函数,则函数g(x)的解析式是()A . g(x)=2|x|B . g(x)=log2|x|C .D .6. (2分)已知直线l的方程为x﹣y﹣a2=0(a≠0),则下列叙述正确的是()A . 直线不经过第一象限B . 直线不经过第二象限C . 直线不经过第三象限D . 直线不经过第四象限7. (2分)圆与圆的位置关系是()A . 相交B . 外切C . 内切D . 相离8. (2分)(2018·宁德模拟) 已知,则()A .B .C .D .9. (2分) (2018高一下·三明期末) 直线与圆的位置关系为()A . 相离B . 相切C . 相交且过圆心D . 相交且不过圆心10. (2分)直线绕原点按顺时针方向旋转所得直线与圆的位置关系是().A . 直线与圆相切B . 直线与圆相交但不过圆心C . 直线与圆相离D . 直线过圆心二、填空题 (共5题;共5分)11. (1分) (2017高一上·林口期中) 若函数f(x)=2x﹣5,且f(m)=3,则m=________.12. (1分)计算:()+log2(log216)=________13. (1分) (2017高一上·武邑月考) 若三条直线,,不能围成一个三角形,则实数的取值范围是________.14. (1分) (2019高一上·拉萨期中) 函数 = , ,则的最大值为________.15. (1分)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为,则f()+f()=________三、解答题 (共4题;共30分)16. (10分)已知集合A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m﹣4≤x≤3m+2}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)求A∩B=B,求实数m的取值范围.17. (5分)填空题(1)圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣15=0的最大距离是________.(2)两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是________.18. (5分) (2018高一上·大连期末) 平面内有两个定点A(1,0),B(1,﹣2),设点P到A、B的距离分别为,且(I)求点P的轨迹C的方程;(II)是否存在过点A的直线与轨迹C相交于E、F两点,满足(O为坐标原点).若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.19. (10分) (2019高三上·上海月考) 我们把定义在上,且满足(其中常数、满足,,)的函数叫做似周期函数.(1)若某个似周期函数满足且图象关于直线对称,求证:函数是偶函数;(2)当,时,某个似周期函数在时的解析式为,求函数,,的解析式;(3)对于(2)中的函数,若对任意,都有,求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题;共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题;共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题;共30分)16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、。
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江苏省盐城中学2011—2012学年度第一学期期末考试
高一年级数学试题(2012.01)
命题人:王琪 刘进 审题人:刘海滨
试卷说明:本场考试时间120分钟,满分150分。
一.填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题纸相应位置上.) 1.=0
150sin ▲ .
2.已知数集M={
2x ,}1,则实数x 的取值范围为 ▲
. 3.函数)3
2cos(3)(π
-
=x x f 的最小正周期是 ▲ .
4.设)2,1(-=a ,)4,3(-=b ,)2,3(=c ,则=⋅+)2( ▲ . 5.若函数)
)(12()(a x x x
x f -+=
为奇函数,则a = ▲ .
6.若函数()f x 是定义在R 上的增函数,则不等式()()82f x f x >-⎡⎤⎣⎦的解集是 ▲ .
那么方程2
2x
x =有一个根位于下列哪个区间 ▲ .(填序号)
①.( 1.2,1)-- ②.(1,0.8)-- ③.(0.8,0.6)-- ④.(0.6,0.4)--
8.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ,则这个圆心角所在的扇形面积为 ▲ 2
cm .
9.设向量a ,b 满足:||1a = , ||2b = ,()0a a b ⋅+=
,则a 与b 的夹角是 ▲ .
10.计算:2
lg 25lg 2lg50(lg 2)+⋅+= ▲ .
11.已知函数2
()23f x x x =-+在区间[0,]t 上有最大值3,最小值2,则t 的取值范围是 ▲ .
12.设函数()f x 是定义域为R ,最小正周期为32π的函数,若cos ,(0)()=2
sin ,(0)
x x f x x x ππ⎧
-≤<⎪
⎨⎪≤<⎩,则
15()4
f π
-
= ▲ . 13.在△ABC 中,∠BAC=900,AB=6,D 在斜边BC 上,且CD=2DB ,则∙的值为 ▲ . 14.若关于x 的方程
kx x x =-2
|
|有三个不等实数根,则实数k 的取值范围是 ▲ . 二.解答题:(本大题共6小题,共80分.请在答题纸相应的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分12分) 已知sin α=25
5,且α是第一象限角. (1)求cos α的值;
(2)求tan(α+π)+sin (5π2
+α)
cos (5π2-α)
的值.
16. (本题满分12分)
(1)已知(1,2),(,1),2a b x u a b ===+ ,2v a b =-
,且//u v ,求实数x ;
(2)已知向量(,1)a m = ,(2,)b m =
的夹角为钝角,求m 的取值范围.
17.(本题满分12分)
已知函数()lg(2)lg(2).f x x x =++- (1)求函数()f x 的定义域; (2)记函数()
()103,f x g x x =+求函数()g x 的值域;
(3)若不等式()f x m >有解,求实数m 的取值范围.
18. (本题满分14分)
函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
在它的某一个周期内的单调减区间是
511[
,]1212
ππ. (1)求()f x 的解析式; (2)将()y f x =的图象先向右平移
6
π个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍
(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为()g x ,求函数()g x 在3[,]88
ππ
上的最大值和最小值.
19. (本题满分14分) 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元? (2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数)(x f P =的表达式; (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利
润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本) 20.(本题满分16分) 已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-. (1)若2m =,求函数()g x 的单调区间;
(2)若方程||()2m f x =在[4,)x ∈-+∞恒有惟一解,求实数m 的取值范围;
(3)若对任意1(,4]x ∈-∞,均存在2[4,)x ∈+∞,使得12()()f x g x =成立,求实数m 的取值范围.
(注:不等式x x
22≥解集为}21|{≥≤x x x 或)
江苏省盐城中学2011—2012学年度第一学期期末考试
高一年级数学答题纸(2012.01)
一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
二、解答题:(本大题共6小题,共80分)。