最新人教版选修2-3高中数学2.3.2离散型随机变量的方差教学设计
高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案
2.32离散型随机变量的方差学习目标1、理解各种分布的方差2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题自主学习：课本1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ⋅⋅⋅321,,这些值对应的概率是n p p p p ⋅⋅⋅,,,321则________________________________________________________叫做这个离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =.4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =.5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．100和0.08B ．20和0.4C ．10和0.2D ．10和0.82.设掷1颗骰子的点数为X ,则( )A. 2() 3.5,() 3.5E X D X ==B. 35() 3.5,()12E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X ==3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( )A. 0.2B. 0.196C.0.8D.0.8124. 已知随机变量X 的分布列为则X 的标准差()X σ= A. 3.56 B. C. 3.2 D. 5.王非从家乘车到学校,途中有3个交通岗,设在个交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25,则王非上学路上遇红灯的数学期望是___________,方差是_______________. 6.已知随机变量X 的分布列为且() 1.1E X =,设,则()____________D X =7.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为21,ξξ，它们的分布列如下：试对这两名工人的技术水平进行比较。
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
人教A版高中数学选修2-3_2.3《离散型随机变量的方差》优质教学设计(5页)
《离散型随机变量的方差》教学设计高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差外国语学校一、教学内容解析1、教材的地位和作用（1）方差是紧接着均值学习之后又一个度量离散型随机变量的特征数。
通过实例使学生理解取有限值离散型随机变量方差的含义：随机变量的方差刻画了随机变量取值的稳定性。
离散型随机变量的均值刻画了它的平均水平，而方差则是从另一个侧面刻画了随机变量的取值特点。
（2）通过比较使学生知道随机变量的方差与样本的方差的联系与区别：随机变量的方差是常数，但样本的方差是一个随机变量，它随着样本的变化而变化。
并且通过本节的学习让学生再一次领会到从样本到总体的思想，为后续课程连续型随机变量的特例正态分布的学习做好铺垫。
（3）利用方差解决实际问题。
在一些决策问题中，会有很多可供选择方案，那么如何科学地选择好的方案？在随机变量均值相同的情况下比较方差是其中一种方法。
2、教学重点与难点重点：离散型随机变量方差的概念及其实际含义。
难点：如何利用均值与方差在实际问题中作出科学的决策。
二、教学目标设置[知识与技能目标]通过实例，让学生理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。
会计算简单的离散型随机变量的方差，并解决一些实际问题。
[过程与方法目标]经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。
通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
[情感与态度目标]通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。
在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
三、学生评价及教学策略分析1、评价学生学习过程本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身与数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。
2、评价学生的基础知识，基本技能和发现问题、解决问题的能力教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的两点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。
人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差(第1课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）一、教学目标1．核心素养通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.3．学习重点离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.4．学习难点灵活利用公式求期望.二、教学设计1．预习任务任务1阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？任务2根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？任务3何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？任务4随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？2．预习自测1．已知X的分布列为则E(X)等于()A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．02．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝()A．45 B．40 C．30 D．153．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）何为离散型随机变量． （2）离散型性随机变量的分布列． （3）何为样本平均值？怎么计算？．（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？ 2.创设情境 引入新知前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如：某商店为了满足市场需求，要将单价分别为18元/kg ，24元/kg 、36元/kg ，如果按照3：2：1的比例对糖果进行混合销售，其中混合糖果中每颗质量都相等，如何对每千克糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理.进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×61=23（元/kg ）. 问题1：上述分式中36，26和61的意义是什么？在学生思考后，教师指出：上面的平均值其实是一种加权平均数，其中36，26和61表示一种权重系数，简称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例.权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响越大.加权平均数是不同比重数据的平均数.加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过交流，使学生达成共识：36，26和61分别表示价格为18元/kg 、24元/kg 何36元/kg 的糖果在混合糖果中所占的比例.问题2：如果每一颗糖果的质量都相等，则在搅拌均匀的混合糖果中， 任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是24元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是36元/kg 的糖果的概率是多少？学生讨论，得出共识：在混合糖果中，任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是36，恰好是24元/kg 的糖果的概率是26，恰好是36元/kg 的糖果的概率是61.问题3：假如从混合糖果中随机的选取一颗，记X 为该糖果原来的单价，你能写出X 的分布列吗？学生不难得出随机变量X 的分布列为：问题4：能否将混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率来表示呢？由之前的知识，学生得出： 每千克混合糖果的平均价格为：18×63+24×62+36×61=23（元/kg ） 即18×P(X=18）+24×P(X=24）+36×P(X=36）=23（元/kg ） 教师总结：这里混合糖果的平均价格为随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.混合糖果的平均价格既为随机变量X 的均值.（设计意图：用实际问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，设置问题串，层层递进，逐步深入，最终得出结论：离散型随机变量X 取值的平均值为离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和.这样不但可以使学生直观感受到数学与生活的联系，而且可以激发学生的学习兴趣与热情.同时有利于学生进行知识迁移，为下面概括抽象得出科学定义做好铺垫.） 3.概括抽象 构建概念问题5：能否用数学语言表述离散型随机变量的均值这一概念的定义？ 可以使学生自行定义，教师作出修正，最终形成正式的定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（设计意图：使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法）问题6：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数.（设计意图：期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解.）问题7：能给出两点分布与二项分布的均值吗？根据均值的计算公式，学生不难得出：4.例题分析应用新知例1：设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．0.1 C【知识点：期望】详解：a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.点拨：本题主要考查离散型随机变量的均值的计算公式，且要熟知离散型随机变量的概率之和为1.例2：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望.【知识点：期望】详解：解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的.并且取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯.然后学生运用数学期望的定义来解题点拨：求离散型随机变量期望的步骤： （1）确定离散型随机变量ξ的取值.（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否. （3）求出期望.例3：某同学代表班级参加设计比赛，每连续设计10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.①求次同学射击一次中靶的环数的均值是多少？②如果把该同学射击一次所得的环数的2倍再加上5记为该同学的设计成绩Y ，即Y=2X+5，那么试求Y 的均值. 【知识点：分布列、期望及性质】详解：(1)击靶数的分布列，根据期望的计算公式可得出E(X)=9.1(2)写出得分Y 的分布列，并求出E （Y ）=23.2点拨：当X 为随机变量时，若Y=aX+b(a,b 为常数)，则Y 也为随机变量，并称随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(X)+b 练习：设E (X )＝10，E (Y )＝3，则E (3X ＋5Y )＝( ) A ．45 B ．40 C ．30 D ．15【知识点：离散型随机变量期望的性质】 详解：E(3X+5Y)=3E(X)+5E(Y)=45.点拨：随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(x)+b 5.课堂总结均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有()()E aX b aE X b +=+.(1)当0=a 时，()E b b =，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当1=a 时，()()E X b E X b +=+，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；(3)当0=b 时，E aX aE X =（）（），即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.①若X 服从两点分布，则)(X E ＝p ； ②若ξ～),,(p n B 则)(X E ＝np . 6. 随堂检测1．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( ) A.16 B.13 C.12 D.3.52．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．123．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （三）课后作业 (一)基础型1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.642．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E (ξ)的值为( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.223．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是( ) A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.64．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （二）能力型5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13 B.23 C.43 D.346．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)8．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定9．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．11．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(2)平均有多少家煤矿必须整改；(3)至少关闭一家煤矿的概率．12．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．（三）探究型13.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.14.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.15.某企业2014年工作计划中，对每位员工完成工作任务的奖励情况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励 1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2014年所得奖金的数学期望．（四）自助餐1．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()A．5 B．6 C．7 D．82．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()A．706元B．690元3．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)＝()A.34 B.125 C.197 D.134．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35 B.815 C.1415 D.15．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.66．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4 B．5 C．4.5 D．4.757．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为()A．15 B．10 C．20 D．58．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(－X)的值为()A.14B．－14C．54D．－549．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.10．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他随意地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．13．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． （四）参考答案 预习自测 1.C 2.A 3.B 随堂检测 1.D 2.B 3.B 课后作业 基础型 1.C 2.B 3.A 4.B 能力型 5.B 6.B 7.B 8.A9.解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. ∴σ(X 3)＝D X 3＝10×12×12＝ 2.5.10. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)，ξ的数学期望为 E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.11. 解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B (5，0.5)，从而ξ的数学期望E (ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12. 解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η， 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2. 探究型 13.47 14.215.解:P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14； P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋300×14＋750×38＋1 260×14＋1 800×116＝783.75(元)． 自助餐 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.p 10.n ＋12 11.4 760 12.49 13.0.5。
人教A版高中数学选修2-3 2.3《离散型随机变量的方差》教学设计
人教A版高中数学选修2-3 2.3《离散型随机变量的方差》教学设计（3）情感、态度与价值观：培养学生直觉思维中的类比、数据处理、抽象概括建立数学模型等数学核心素养，进一步体会运用概率思想思考和解决问题的乐趣．3．学生学情分析在初中(或必修3)时学生已经学过了统计中样本平均值与方差的概念,现在又刚刚学习了概率论中“离散型随机变量的分布列”与“离散型随机变量的期望”这两块知识，所以学生对于离散型随机变量的方差概念的理解不至于产生大的困难．而且离散型随机变量的方差及标准差的计算，教材没有进一步的展开介绍其他公式，只要求会根据定义求出离散型随机变量的方差(或标准差)．但学生在解决实际问题的过程中，如何利用离散型随机变量思想描述和分析随机现象，通过期望及方差的数值分析来处理问题时存在困难．4．教学策略分析本节课借助于PPT，运用探究式教学．第一环节：展示问题，探寻方法．以投资理财中所承担的风险作为问题情境，让学生探索思考寻找合适的解决问题的手段．第二环节：直觉类比，探求新知．利用直觉类比的方法，对统计中的样本平均值、方差与概率中变量的期望、方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差概念．第三环节：学以致用，归纳提升提进式设计例题，熟练方差计算公式并挖掘出求方差的简便方法，既了解了方差的意义，又掌握了方差的性质及常用分布列中计算方差的公式．5．教学过程第一环节：展示问题，探寻方法概率论中关于离散型随机变量知识的学习已近尾声.大家越来越感到这块知识与现实生活有着千丝万缕的联系，正如英国经济学家所说：概率论是生活的真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们将寸步难行，无所作为。
应用好概率论能使我们保持清醒的头脑，做出更理智的选择以减少不必要的损失。
现在，我们生活在互联网时代，网络电视、网络购物、网络游戏、网络金融等网络平台。
下面有一个关于网络理财投资的案件，请同学们分析帮助作出决策.[引例] LJ 所推出A, B 两款投资额为1百万的理财产品,据统计，它们的月收益12,X X (万元)的概率分布列分别如下表所示：作为理财分析师，请你对A, B 两款产品作出分析，并对不同需求的客户给出建议.(复习期望的概率与计算，通过平均利润来比较两款产品的好坏）.解析:1)(1=X E ，3)(2=X E ，所以B 款比A 款多回报约2万元．提出新问题：如果控制风险，衡量产品的稳定性？思考：哪个量可以刻画产品的稳定性？ （通过引例,复习期望的概念及期望计算公式，但期望值只表示了产品的平均水平，没办法刻画产品的稳定性特征 .从矛盾的冲突中引出新的概念，每一个新知识的产生都有它的实际意义。
[精品]新人教版选修2-3高二数学2.3 3 离散型随机变量的期望与方差(二)优质课教案
![[精品]新人教版选修2-3高二数学2.3 3 离散型随机变量的期望与方差(二)优质课教案](https://img.taocdn.com/s3/m/42750be7bb4cf7ec4afed06f.png)
离散型随机变量的期望与方差第4课时●课题122 离散型随机变量的期望与方差(二)●教目标(一)教知识点1离散型随机变量的方差(Dξ)的概念，标准差(σξ)的概念2离散型随机变量η=ξ+b(其中ξ为随机变量)的方差D(ξ+b)=2·Dξ的推导3服从二项分布的离散型随机变量ξ(即ξ~B(,p))的方差Dξ=pq(二)能力训练要求1会根据离散型随机变量的分布列求出方差值、标准差(σξ)的值2会求随机变量η=ξ+b的方差值(D(ξ+b)=2Dξ),ση的值和服从二项分布的随机变量ξ~B(,p)的方差值、标准差σξ的值的计算3能根据随机变量的方差值、期望值等求出某个变量值时的概率，也就是逆向思维的运用[]4会运用期望和方差的计算公式、方法解决生产生活中实际问题(三)德育渗透目标1通过实例和对初中知识的回顾培养生的直觉思维中的类比能力，培养生的辩证思维能力2培养生要会观察问题、分析问题和解决问题的能力，会用数眼光分析自己周边的事物，抽象概括为数模型，要体现生活与数的关系3培养生的坚强意志、勤于思考、动手动脑等非智力因素培养生的健全的人格，让更多的生有更好的发展●教重点离散型随机变量的方差是随机变量的另一个重要特征数(或数字特征)，也是对随机变量的一种简明扼要的描写随机变量的方差表现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散的程度随机变量ξ的方差就是另一个与ξ密切相关的随机变量(ξ－Eξ)2的均值两个计算方差的简单公式：(1)D(ξ+b)=2Dξ;(2)如果ξ~B(,p),则Dξ=pq(这里q=1－p)●教难点离散型随机变量的方差Dξ的定义引入是教的难点，两个方差的计算公式D(ξ+b)=2Dξ，若ξ~B(,p)则Dξ=pq的证明是另一个难点第一个难点的原因是：由于教书没有引入随机变量函数的一般定义，故只有从初中代数的回顾中提出问题，给出方差定义●教方法建构主义观点在高中数课堂教中的实践法在生已经掌握离散型随机变量分布列及数期望的认知水平上，利用直觉类比的方法对离散型随机变量的期望及初中代数中的一组数据的方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差的概念[]●教具准备投影仪或实物投影仪幻灯片 122(二) A●教过程 Ⅰ课题导入在初中代数中我们曾经过这样一个问题：设在一组数据x 1,x 2,…,x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方分别是(x 1－x )2,(x 2－x )2,…,(x －x )2,那么S 2=n1［(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x －x )2］叫做这组数据的方差(板书)请问对于离散型随机变量ξ所有可能取的值对应的概率分布是否也有方差呢？答案是：“有！”如何定义呢？这就是我们今天习的课题：离散型随机变量的期望与方差(二)——方差(板书课题)Ⅱ．讲授新课 1方差概念的导入［师］如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x 1,x 2,…,x ,…，且取这些值的概率分别是p 1, p 2, …, p , … , (板书)，那么，如何定分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好？义ξ的方差呢？请同们先讨论，然后再总结［生］(稍过片刻后)因为ξ的期望它是反映了离散型随机变量取值的平均水平，这与我们初中所过的一组数据x 1，x 2，…，x 的平均值的意义是相同的，由初中所过的一组数据的方差定义直接类比有：把n1［(x 1－Eξ)2+(x 2－Eξ)2+…+(x －Eξ)2］定义为随机变量ξ的方差［师］初中我们习的一组数据的方差的概念，这一组中的个数是有限的，而这个离散型随机变量ξ的取值是有限还是无限呢？其二，一组数据中每一个出现的频率都是一样的，即为n1，而离散型随机变量ξ所有可能取值对应的概率是否相同呢？请同们再从这两点出发，结合离散型随机变量ξ的期望定义，也要看看初中习的平均数的定义，由几点出发能否得到离散型随机变量ξ的方差的定义呢？(课堂上的术研讨气氛十分浓厚，他们按照划分的习小组进行讨论研究，教师也参与进去，个别指导或旁听或解疑或解答生的问题)［生］(片刻后)我们可以进行这样的类比：一组数据：x 1，x 2，…，x −−→−类比离散型随机变量ξ取值：x 1，x 2，…，x ，…平均值nx x x x n +++=21−−→−类比期望Eξ=x 1p 1+x 2p 2+…+xp +…方差S 2=n1［(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x －x )2］−−→−类比方差：(x 1－Eξ)2p 1+(x 2－Eξ)2p 2+…+(x －Eξ)2p +…［师］刚才这位同的类比是否合理呢？这是完全正确的(开始板书下列内容)：把Dξ=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差Dξ的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ“σ”读作 (国际音标)这就是随机变量ξ的方差和标准差的定义由此可以看出，类比固然可以引导我们走向成功一面，但也会把我们领入歧途我们知道初中习的方差它是说明了这组数据的波动情况，类似地离散型随机变量ξ的方差Dξ和标准差σξ的实际意义是什么呢？［生］这两个数量都是反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度(板书)［师］在习数期望时，我们证明E(ξ+b)=Eξ+b，你们能猜想出D(ξ+b)的式子吗？［生］D(ξ+b)也是满足线性关系，即D(ξ+b)=Dξ+b［师］这仅仅是猜想，你能证明吗？［生］可以，利用定义直接推导(他走上讲台，在黑板上写道) ∵E(ξ+b)=Eξ+bP(η=x+b)=P(ξ=x)(=1，2，3，…，，…)∴D(ξ+b)=［x1+b－E(ξ+b)］2p1+［(x2+b)－E(ξ+b)］2p2+…+［(x+b)－E(ξ+b)］2p+…=(x1+b－Eξ－b)2p1+(x2+b－Eξ－b)2p2+(x3b－Eξ－b)2p3+…+(x+b－Eξ－b)2p+…=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…=2［(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…］=2Dξ(注：该生刚开始时，写［x1－E(ξ+b)］2，［x2－E(ξ+b)］2，…，展开后发现不对，没有办法推下去，这时教师现场指导，考查的随机变量是η=ξ+b，而不是ξ，它所对应的可能值是x1+b，x2+b，…，x+b，…而不是x1，x2，…，x，…，生进行修改，继续推导下去然后教师走到生中间与他们共同研究，发现问题个别指导，达到共识)［师］原你的猜想是D(ξ+b)=Dξ+b，而证明的结果是D(ξ+b)=2Dξ，你是相信哪一个呢？［生］(齐声说)相信证明的结果［师］类比的思想方法在发现中有着十分重要的作用，这一点是不可撼动的但我们要知道事物都是一分为二的，类比固然可以引导我们走向成功，但有的时候也会捉弄我们，把我们领向歧途，本题就是一个事实所以，我们既要习类比与猜想，又要会严密的证明，这样我们思维品质更加优异，更具有辩证性如果离散型随机变量ξ满足二项分布，即ξ~B(，p)，那么Dξ又等于什么？同们能否仿照Eξ的证明方法给出证明？(生跃跃欲试，拿起笔在草稿上飞速书写或相互讨论)［生］我愿意到黑板上推导试试看因为ξ~B(，p)，∴Eξ=p，Dξ=E(ξ－Eξ)2=E［ξ2－2ξEξ+(Eξ)2］=Eξ2－2Eξ·Eξ+(Eξ)2=Eξ2－(Eξ)2而Eξ2=02·0Cn·p0q+12·1 Cn ·p1q－1+22·2Cn·p2·q－2+32·3Cnp3q－3+ (2)nC·pq0(*)∵k2=(k2－k)+k，∴k2knC=(k2－k) knC+k·knC=k(k－1)knC+11C--kn=(k－1) 11C --k n +11C --k n 1=(－1)22C --k n +11C --k n ∴(*)为E ξ2=0+［·(1－1)·01C -n +·01C -n ］p 1q －1+［(－1)02C -n +11C -n ］p 2q －2+［(－1)22C -n +21C -n ］p 3q －3+…+［(－1)22C --k n +11C --k n ］p k q －k +…+［(－1)22C --n n + 11C --n n ］p ·q 0=(－1)p 2［02C -n p 0q －2+12C -n p 1q －3+…+22C --n n p －2q 0］+p ·［01C -n p 0q －1+11C -n p 1q －2+21C -n p 2q －3+…+11C --n n p －1q 0］=(－1)p 2(p +q )－2+p ·(p +q )－1=(－1)p 2+p∴D ξ=E ξ2－(E ξ)2=(－1)p 2+p －(p )2=p －p 2=p (1－p )=pq (q =1－p )即D ξ=pq［师］这位同已经证明的太妙了！请同详细读读他的书写过程你的解法和他的是否相同，如果你没有证出，你的问题症结在何处，正确找出差异，才能更好地进步［生］我看太繁，没有敢往下写，也不知道如何化简(*)式，我没有他的那种毅力[]［生］对于11C C --=k n k n n k 我知道运用，但对于k 2knC ，我就不知道该如何化简了他在黑板写的是拆项(即添项去项)，构造出11C C --=k n k n n k ，然后再运用(k －1)·11C --k n =(－1)22C --k n 这是证明本题的核心所在他的代数推理能力太棒了，我要向他习［师］这两位同都说出真心话，他们对黑板上的同的证明给予了充分的肯定从这里也看出了我们在平时的习中要有恒心，要有信心，要有坚韧不拔的毅力和坚强的意志，见到困难不能低头，只有这样才能把自己的工作和习做的更加出色(生们一起鼓掌)(这种宽松和谐气氛的营造不是老师一个人去说教的，而是靠师生共同去创造的，教师的宽厚待人、谦虚求实、严而有爱、识广博，往往是唤醒沉睡的课堂的关键，教师的精湛的教艺术又是活跃课堂研讨气氛的调和剂，教师的作用是组织者、策划者，而生才是真正的主人)2课本例题［例1］(原课本例5)已知离散型随机变量ξ1和ξ2的概率分布求这两个随机变量ξ1与ξ2的期望、方差与标准差 (教师简要地把表写在黑板上，请同编题，设计问题)［师］按黑板上的表格中的有关数据，哪位同提出求什么问题？ ［生］可以求随机变量ξ1、ξ2的方差与标准差 ［师］对，那我们就一起求解吧！［师］我们先计算出ξ1、ξ2的期望，再利用方差的定义求解 解：E ξ1=1×71+2×71+3×71+4×71+5×71+6×71+7×71=71×(1+2+3+4+5+6+7)=4D ξ1=(1－4)2×71+(2－4)2×71+(3－4)2×71+(4－4)2×71+(5－4)2×71+(6－4)2×71+(7－4)2×71=(32+22+12+02+12+22+32)×71=2×14×71=4∴σξ1=41=ξD =2E ξ2=37×71+38×71+39×71+4×71+41×71+42×71+43×71=71×(37+38+39+4+41+42+43)= 71×282)3.47.3(7=+⨯=4 D ξ2=(37－4)2×71+(38－4)2×71+(39－4)2×71+(4－4)2×71+(41－4)2×71+(42－4)2×71+(43－4)2×71=(032+022+012+02+012+022+032)×71=1001×2×14×251100471===004∴σξ2=512512==ξD =02 ［师］此题中Eξ1=Eξ2，但Dξ1≠Dξ2，ξ1和ξ2都是以相等的概率取各个不同的数值，ξ1取较为分散的数值1，2，3，4，5，6，7，ξ2取较为集中的数值37，38，39，4，41，42，43Eξ1=Eξ2=4，Dξ1=4，Dξ2=004方差比较清楚地指出了ξ2比ξ1取值更集中，由σξ1=2，σξ2=02可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差，这个偏差甚至可以让生从随机变量的分布列通过猜想得到［例2］(原课本P 14例6)甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平(教师先在黑板上列出两张表格，请生命题，但又不同于上题)［师］请同们根据表中提供的数据编拟一道试题［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，各有关数据如表所示，求甲、乙两名射手的击中环数的期望、方差和标准差［师］可以！还有哪位同提出新的问题[]［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，根据所给的数据，问哪个水平高？［师］这个问法比较好，也是目前生产、生活中常见的问题，从实际问题抽象成数问题，这个过程就需要建构要想更好地回答这个问题，必须要计算期望与方差，利用它们分析［生］Eξ1=8×02+9×06+10×02=9，Dξ1=(8－9)2×02+(9－9)2×06+(10－9)2×02=02+0+02=04Eξ2=8×04+9×02+10×04=9，Dξ2=(8－9)2×04+(9－9)2×02+(10－9)2×04=04+0+04=08从上可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1<Dξ2所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得环数比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，得8环和10环的次数要多些［师］ξ1和ξ2所可能取的值是一致的，只是P(ξ=8)，P(ξ=9)，P(ξ=10)的分布情况不一样Eξ1=Eξ2，这时通过Dξ1和Dξ2比较ξ1与ξ2的集中与离散程度，即两名射手射击成绩的稳定状况在许多问题中常常在Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2很接近时用Dξ1和Dξ2比较两个随机变量ξ1和ξ2，并决定取舍下面再看一题(打出幻灯片112 A)请一位同读题，然后谈谈你的解题策略是什么？［生］(读完题后说)要比较它们的质量，首先要看他们的平均抗拉强度是否达标，即它们的数期望是否低于120，再比较它们的方差［生］解：EξA=110×01+120×02+125×04+130×01+135×02=125 EξB=100×01+115×02+125×04+130×01+145×02=125两种钢筋的平均抗拉强度都是125此时我们再看它们与平均强度的偏离程度，即它们的方差大小：DξA=01×(110－125)2+02×(120－125)2+04×(125－125)2+01×(130－125)2+02×(135－125)2=50DξB=01×(110－125)2+02×(115－125)2+04×(125－125)2+01×(130－125)2+02×(145－125)2=165∵DξB>DξA，∴B种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差很大，即取值较分散，所以尽管它们中有的抗拉强度指标很大，但不合格的数量比A 种的要多，故可以认为A 种钢筋比B 种钢筋质量要好［师］这个例子说明，在实际问题中仅靠期望值还不能完善地说明随机变量的分布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度即离散型随机变量的方差请同们注意收集整理这些信息，一定能有更大的收获 Ⅲ课堂练习课本P 15练习题，1、2、3、4题(生板演)Ⅳ课时小结[]［师］今天我们习离散型随机变量的方差，它是随机变量的又一个重要特征数离散型随机变量的方差的公式是Dξ=∑-ni i E x 2)(ξ·p ,即Dξ=E (ξ－Eξ)2特例是①D (ξ+b )=2Dξ;②如果ξ~B (，p )，那么Dξ=p (1－p );③D (ξ=c )=0要灵活运用方差研究有关问题注重以致用Ⅴ．课后作业(一)课本P 16，7、8题(二)预习课本P 17，13抽样方法●板书设计ξ~1。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教版选修2_32
2．3.2 离散型随机变量的方差[学习目标]1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． [知识链接]1．某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5； 乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？答 x －甲＝x －乙＝7，利用样本的方差公式s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，求得： s 2甲＝2.2，s 2乙＝1.2.s 2甲>s 2乙，∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛．2．随机变量的方差与样本的方差有何不同？答 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量． [预习导引]1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1，2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．我们称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差． 2．离散型随机变量方差的性质(1)设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (2)D (c )＝0(其中c 为常数)．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率)； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．要点一 求离散型随机变量的方差例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差． 解 (1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718. P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324，∴D （ξ）＝14918. 规律方法 1.求离散型随机变量X 的方差的基本步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值 ↓写出X 取每个值的概率 ↓写出X 的分布列 ↓由均值的定义求出E （X ） ↓利用公式D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 求值 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝a ξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．跟踪演练1 已知X 的分布列为求：(1)E (X )，D (X )；(2)设Y ＝2X ＋3，求E (Y )，D (Y )．解 (1)E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59.(2)E (Y )＝2E (X )＋3＝73，D (Y )＝4D (X )＝209.要点二 两点分布与二项分布的方差例2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)为3，标准差D （ξ）为62. (1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．解 由题意知，ξ服从二项分布B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)，得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P (A )＝1－P (ξ＞3)＝1－15＋6＋164＝2132.所以需要补种沙柳的概率为2132.规律方法 方差的性质：D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．跟踪演练2 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值． 解 设成功次数为随机变量X ，由题意可知X ～B (100，p )，则D （X ）＝100p （1－p ）. 因为D (X )＝100p (1－p )＝100p －100p 2， 把上式看作一个以p 为自变量的二次函数， 易知当p ＝12时，D (X )有最大值为25.所以D （X ）的最大值为5.即当p ＝12时，成功次数的标准差的值最大，最大值为5.要点三 均值与方差的综合应用例3 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的分布列为则E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．规律方法 解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算．若随机变量X 服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解．跟踪演练3 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数． (1)求X 的分布列； (2)求X 的均值与方差；(3)求“所选3人中女生人数X ≤1”的概率． 解 (1)X 可能的取值为0，1，2. P (X ＝k )＝C k2·C 3－k4C 36，k ＝0，1，2. X 的分布列(2)由(1)，X 的均值与方差为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.(3)由(1)，“所选3人中女生人数X ≤1”的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝45.1．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×1＝4.2．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( )A.158B.154C.52 D ．5 答案 A解析 ξ～B (10，14)，∴D (ξ)＝10×14×(1－14)＝158.3．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5解析 由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5. 4．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 答案 C2．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m ) 答案 D解析 随机变量ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． ∴故选D.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 答案 D解析 因随机变量X ～B (n ，p )， 则E (X )＝np ＝8，D (X )＝np ·(1－p )＝1.6，所以n ＝10，p ＝0.8.5．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. 答案 1解析 D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.答案 59解析 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59.7．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数． (1)若抛掷一次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )． 解 (1)X 服从两点分布∴E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14.(2)由题意知，X ～B (10，12)．∴E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×(1－12)＝52.二、能力提升8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56B. 3.2 C ．3.2 D. 3.56 答案 D解析 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D （ξ）＝ 3.56.9．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29 D ．16答案 A解析 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴E (ξ)＝23n ＝24.∴n ＝36.∴D (ξ)＝36×23×(1－23)＝8.10．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________． 答案 14解析 随机变量X 的所有可能取值为0，1，由题意，得X 的分布列为从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.D (X )＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，因为0<p <1，所以当p ＝12时，D (X )取得最大值，最大值为14.11．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6，9，12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解 ∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，∴E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．三、探究与创新13．(2013·北京理)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5 13，所以X的分布列为故X的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教版选修2-3
§2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξ B （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 六、课后作业： 同步试卷七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。
人教版高中选修(B版)2-32.3.2离散型随机变量的方差课程设计
人教版高中选修(B版)2-32.3.2离散型随机变量的方差课程设计一、课程目标1.理解离散型随机变量的基本概念与特点；2.掌握离散型随机变量的概率分布、期望值、方差等相关概念；3.能够通过实际问题分析并应用离散型随机变量的概率分布、期望值、方差等知识进行计算。
二、教学重点1.离散型随机变量的概念；2.离散型随机变量的概率分布；3.离散型随机变量的期望值；4.离散型随机变量的方差。
三、教学难点1.离散型随机变量的方差的计算方法；2.在实际问题中如何应用离散型随机变量的概率分布、期望值、方差等知识进行计算。
四、教学内容和教学方法（一）教学内容1.离散型随机变量的概念；2.离散型随机变量的概率分布；3.离散型随机变量的期望值；4.离散型随机变量的方差。
1.理论讲解：通过讲解相关的概念、公式、计算方法等内容，让学生具备相关的理论基础；2.实例讲解：通过实际问题的分析和解决，让学生能够将所学知识应用于实际问题的解决中；3.课堂练习：通过在课堂上布置相关的习题，让学生巩固相关的知识点，提高理解与应用能力。
五、教学计划时间内容教学方法第一课时离散型随机变量的概念理论讲解、实例讲解第二课时离散型随机变量的概率分布理论讲解、实例讲解、课堂练习第三课时离散型随机变量的期望值理论讲解、实例讲解、课堂练习第四课时离散型随机变量的方差理论讲解、实例讲解、课堂练习第五课时实际问题应用实例讲解、课堂练习第六课时综合练习课堂练习、复习总结六、教学评估（一）评估方法1.课堂练习：通过在课堂上布置相关的习题，检验学生对所学知识的掌握程度和应用能力；2.作业评估：通过作业的批改与评估，检验学生对所学知识的理解能力和综合运用能力；3.考试评估：通过期末考试的试题设置，检验学生对所学知识的掌握情况。
1.离散型随机变量的概念；2.离散型随机变量的概率分布；3.离散型随机变量的期望值；4.离散型随机变量的方差；5.在实际问题中如何应用离散型随机变量的概率分布、期望值、方差等知识进行计算。
2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)
10
10
10
10
离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
n
等可能事件概率易求分布列;
（2）直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A133 16,
A33Biblioteka 1,P（X=1）=3
C31 A33
,1
2
故X的概率分布列为
X
0
1
3
P
1
1
1
3
2
6
(2)E(X)= 0 1 1 1 3 1 1
32 6
D(X)=0 12 1 112 1 3 12 1 1
X x1 Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
D（Y） (ax1 b aEX b)2 p1 (ax2 b aEX b)2 p2 (axn b aEX b)2 pn
a2 ( x1 - EX )2 p1 a2 ( x2 - EX )2 p2 a2 ( xn - EX )2 pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
3、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 E(X ) p
高中数学2.3.2离散型随机变量的方差教案理新人教B版选修2_3
2.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解一、 课前预习1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差. 离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________.3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D二、 课上学习例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲： 射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y，求).(),(Y D X D 三、 课后练习1.如果随机变量X 服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》73
离散型随机变量的方差
本节课是高中数学选修2-3的内容。
从以下几个方面进行教材分析。
教学背景
离散型随机变量的方差是学生学习了离散型随机变量的分布列期望之后的进一步学习探究，是继期望之后反映随机变量取值分布的又一特征数。
学生之前在初中已经学习过样本的方差和标准差的概念和意义，对概念已有初步的了解，具备了类比推理的横向思维基础在必修三也学习了概率与统计的基础知识具备了进一步学习的能力。
学习方差将为今后学习概率统计知识做好铺垫，对今后学习概率统计学及其相关学科产生深远的影响。
教学目标
知识与技能
1理解随机变量方差和标准差的含义，
2会根据分布列求出随机变量的方差和标准差。
情感态度与价值观
1.体会解决问题的愉悦情绪，感受与他人合作交流的重要性。
2.使学生养成善于分析总结的习惯。
教学重点：
离散型随机变量的方差与标准差的含义。
教学难点：
通过比较两个随机变量的均值与方差的大小，解决实际问题。
教学方法
根据对教材的理解，结合学生的现状，为贯彻启发性教学原则，体现教师为主导，学生为主体的教学思想确定本节课的教法与学法为
从学生的认知规律出发，进行启发诱导，探索发现,提出问题，分组讨论法，合作探究。
充分调动学生的积极性，大胆放手敢于放手发挥学生的主体作用。
引导学生在自主学习与分组讨论过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力。
重视学生学习过程中的参与度，自信心，团队精神与合作意识。
放手让学生通过计算、质疑、讨论等，培养学生善思考会思考，通过观察问题、发现问题、分析和解决问题，提高自学能力。
高中数学选修2-3精品教案7：2.3.2 离散型随机变量的方差教学设计
2.3.2 离散型随机变量的方差整体设计教材分析本课仍是一节概念新授课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．过程与方法了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差．情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的方差、标准差．教学难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题．教学过程复习旧知1．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为ξ的数学期望．2．数学期望的一个性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b.3．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np.教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．探究新知已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18 9 10P 0.2 0.6 0.2ξ28 9 10P 0.4 0.2 0.4试比较两名射手的射击水平高低．提出问题：下面的分析你赞成吗？为什么？∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．设计意图：展示错解，引出课题活动结果：不对，显然两名选手的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．教师指出：初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，S 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]叫做这组数据的方差．类似于这个概念，我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)1．方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是x 1，x 2，…，x i ，…x n ，且取这些值的概率分别是p 1，p 2，…，p i ，…p n ，那么，D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 称为随机变量X 的方差，式中的E (X )是随机变量X 的均值．标准差：D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )．理解新知(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；(2)随机变量X 的方差、标准差也是随机变量X 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 对“探究”的再思考：(1)如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ (2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9， Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9， ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0.8，∴甲射击水平更稳定．若对手在8环左右，派甲参赛，易赢．若对手在9环左右，则派乙参赛，可能超常发挥． 提出问题：前面我们知道若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差为s 2，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的方差为a 2s 2.离散型随机变量X 的方差是否也有类似性质？ 活动结果：同样具有．2．方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X )； 其他：D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2(了解)； 3．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．运用新知例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 P161616161616从而E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5；D (X )＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16≈2.92，D (X )≈1.71.例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P 10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P 20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． 变练演编设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.ξ －1 0 1 P121－2qq 2剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出Eξ、Dξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2p ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－22. 于是，ξ的分布列为ξ －1 0 1 P122－132－ 2 所以Eξ＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，Dξ＝[－1－(1－2)]2×12＋(1－2)2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.教师点评：解答本题时，应防止机械地套用均值和方差的计算公式，出现以下误解：Eξ＝(－1)×12＋0×(1－2q )＋1×q 2＝q 2－12.另外既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，发展逆向思维．变式：若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝35，P (ξ＝x 2)＝25，且x 1<x 2，又知Eξ＝75，Dξ＝625，求ξ的分布列．解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有 Eξ＝35x 1＋25x 2＝75，Dξ＝35x 21＋25x 22－Eξ2＝625， 从而得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 1＋2x 2＝7，3x 21＋2x 22＝11.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，或⎩⎨⎧x 1＝95，x 2＝45.而x 1<x 2，∴x 1＝1，x 2＝2.∴ξ的分布列为：ξ 1 2 P3525达标检测1．设随机变量ξ的分布列为ξ12…nP1n1n…1n求Dξ.解：Eξ＝n ＋12，Dξ＝n 2－112.2．有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ.分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ～B (200,1%)，从而可用公式：Eξ＝np ，Dξ＝npq (这里q ＝1－p )直接进行计算．解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ～B (200,1%)．因为Eξ＝np ，Dξ＝npq ，这里n ＝200，p ＝1%，q ＝99%，所以，E ξ＝200×1%＝2，Dξ＝200×1%×99%＝1.98.课堂小结1．求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由均值的定义求出Eξ； ④根据方差、标准差的定义求出Dξ、D ξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．2．对于两个随机变量ξ1和ξ2，在Eξ1和Eξ2相等或很接近时，比较Dξ1和Dξ2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合问题的需要．补充练习基础练习1．已知ξ～B (n ，p )，且Eξ＝7，Dξ＝6，则p 等于( ) A.17 B.16 C .15 D.14 【解析】Eξ＝np ＝7，Dξ＝np (1－p )＝6，所以p ＝17.【答案】A2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于( )A ．0.2B ．0.8C ．0.196D ．0.804 【解析】D ξ＝10×0.02×0.98＝0.196. 【答案】C3．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好．【解析】Eξ1＝Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定．∴乙机质量好． 【答案】乙4．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案．每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分．学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的均值和标准差．解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B (50,0.8)，η＝2ξ，故成绩的均值为Eη＝E (2ξ)＝2Eξ＝2×50×0.8＝80；成绩的标准差为Dη＝D (2ξ)＝4Dξ＝250×0.8×0.2＝42≈5.7. 拓展练习若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差Dξ的最大值； (2)求2Dξ－1E ξ的最大值．剖析：要求Dξ、2Dξ－1E ξ的最大值，需求Dξ、Eξ关于p 的函数式，故需先求ξ的分布列．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而Eξ＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，Dξ＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2. (1)Dξ＝p －p 2＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，Dξ取得最大值为14.(2)2D ξ－1E ξ＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p)，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时，2D ξ－1E ξ取得最大值2－2 2.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视．设计说明本节课从新课标评价理念出发，以问题作为教学的主线，教师适时点拨为辅助手段，使学生在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法．教学中以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所有学生的学习积极性与主动性．。
[推荐学习]高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案 理 新人教B版选修2-3
![[推荐学习]高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案 理 新人教B版选修2-3](https://img.taocdn.com/s3/m/e922f0a66529647d27285250.png)
[k12]最新K122.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题 【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解 一、 课前预习 1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差.离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________ 2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________. 3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D二、 课上学习[k12]最新K12例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲： 射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为 另一随机变量32-=X Y ，求).(),(Y D X D三、 课后练习1.如果随机变量X服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为： 甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教B版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、教学目标：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
二、课前预习：1 方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么=2S _____________________________________叫做这组数据的方差 2 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 3 标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________. 4 假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么___________________________。
三、例题分析例1 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：例2 某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：k k kC k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，求E(X)和 D(X).例3离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为X服从的分布列为,且0<p<1,q=1-p,求D(X).四、课堂练习1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ2 设离散型随机变量X的分布列为,求D(X).3从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望与方差。
4五、课堂小结。
高中数学新人教版A版精品教案《2.3.2 离散型随机变量的方差》
“离散型随机变量的方差”教学设计授课教师：巫宇霞（北京市日坛中学）授课时间：一、教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的《离散型随机变量的均值与方差》中的内容，属于新授概念课．随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差分别从不同角度刻画了随机变量的特征．随机变量的均值刻画了随机变量取值的平均水平，方差刻画了随机变量取值的离散程度．由于它们反映了随机变量取值的平均水平及稳定性，所以随机变量的均值和方差在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用．本节课内容是在学生学习了离散型随机变量的分布列和均值的基础上进行研究的，后续还要学习连续型随机变量的概率分布规律，本节课也是必修3“统计”与“概率”两章知识的进一步深入和扩展．同时本节课内容反映了类比的思想、统计思维与确定性思维的差异以及用样本估计总体的统计思想．二、学生学情分析学生学习了统计与概率的相关知识，会计算样本的数字特征，并对其作出合理的解释，能分别用样本的频率分布和数字特征估计总体的频率分布和数字特征，初步具有用样本估计总体的思想．能够理解取有限值的离散型随机变量及其分布、均值的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，初步认识分布列对于刻画随机现象的重要性．但是，本节课需要学生通过实例理解取有限值的离散型随机变量方差的概念和含义，如何由样本的方差得到离散型随机变量的方差，如何定性、定量的分析随机变量的稳定性，如何整体把握随机变量的方差对学生来说都是挑战．根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下：：离散型随机变量的方差的含义．教学难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题三、教学目标设置依据课程标准，基于上述分析，我确定本课的教学目标如下：（一）通过对具体实例的分析，归纳概括离散型随机变量的方差的概念和含义，并能利用离散型随机变量的方差解决简单的实际问题；（二）经历从样本到总体的研究过程，体会统计思维与确定性思维的差异，经历从均值到方差的研究过程，体会类比的思想；（三）能用数据呈现的规律解释随机现象，感受数学的应用价值四、教学策略分析根据布鲁纳的学习理论，在教学过程中，学生是一个积极的探究者．教师的作用是要形成一种学生能够独立探究的情境，要让学生自己去思考，参与知识获得的过程以及建立该学科的知识体系的过程．本节课采用发现教学法和问题教学法相结合的教学方法，给学生创设问题情境，组织学生探索活动，让学生提出学习问题和解决这些问题，为学生提供了一个交流、合作、探索、发展的平台，使学生在问题解决中感受数学的价值和魅力．另外，本节课采用图形计算器辅助教学，增强直观性，提高课堂效率．五、教学过程（一）复习回顾师：回顾一下我们之前是如何从样本的平均数得到离散型随机变量的均值？【设计意图】复习离散型随机变量的均值的推导过程，为类比均值得到方差的公式做铺垫．（二）情境引入问题1：要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛．分别让两名同学各射击2021甲击中目标靶的环数的统计表为环数 5 6 7 8 9 10次数 1 2 4 6 5 2乙击中目标靶的环数的统计表为环数 6 7 8 9次数 2 4 8 6如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，要选一名同学参加射击比赛，本班应该派哪位同学参赛？请结合所学知识说明理由．学生1：分别画出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的频率分布折线图根据频率分布折线图，乙击中8环和9环的频率高于甲，所以选乙．学生2：分别计算甲、乙两名同学射击2021平均环数和标准差，甲乙甲、乙两名同学射击的平均环数都是环，但甲的标准差大于乙的标准差，说明乙同学发挥稳定，所以选乙． 学生3：分别画出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的散点图和直线7.9y =乙同学击中目标靶的环数集中在平均数7.9附近，所以乙同学的射击水平更稳定． 追问：统计中我们用一个什么量来刻画样本的稳定性呢？ 生：样本的方差思考：给出这2021本数据的方差公式，并具体说明方差中各个量的含义，进一步说明方差到底是什么？以及方差反映了什么？生：222212201[()()()]20s x x x x x x =-+-++-，||i x x -表示i x 与x 的距离，2)(x x i -表示i x 与x 的距离的平方，n1表示每个样本所占的权重，方差是样本数据到平均数的距离平方和的均值，反映了样本数据偏离于平均数的平均程度． 追问：方差越小，说明什么？【设计意图】采用射击比赛引入本节课内容，激发学生的学习兴趣和探究热情，也为引入取有限值的离散型随机变量的方差的定义和含义做铺垫．思考：总结一下如何对样本数据进行分析，并作出科学合理的解释？生：一方面可以画图，从图形的角度分析数据的分布规律，另一方面可以计算数据的均值、标准差等数字特征，从数的角度分析数据的分布规律．问题2：在与问题1相同的条件下，甲、乙两名同学进行大量的射击试验，得到甲同学击中目标靶的环数1X 的分布列为乙同学击中目标靶的环数2X 的分布列为如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，要选一名同学参加射击比赛，如何根据分布列，作出科学合理的选择？学生1：8)(1=X E ，8)(2=X E ，发现均值相等，因此只根据均值不能区分两名同学的射击水平． 学生2：分别画出两个随机变量的分布列，比较两个图形，可以发现，虽然两名同学射击的平均环数都是8环，第二名同学的射击成绩更集中于8环，第二名同学发挥更稳定．【设计意图】引导学生思考如何选择参加射击比赛代表问题，激发学生学习探究的兴趣，为引入刻画随机变量稳定性的概念—方差做铺垫．生：需要找一个数字特征来刻画随机变量的稳定性． （三）构建概念思考：当样本中出现1m 个1x ，2m 个2x ， ，n m 个n x 时，样本的方差公式是什么？进一步类比随机变量的均值公式的推导过程给出随机变量的方差公式．生：样本中有1m 个1x ，2m 个2x ， ，n m 个n x ，样本的方差12222211122211121222211221[()()()()]()()()()()nn n n m m nn nnn n s x x x x x x x x m m m m m x x x x m m m m m m f x x f x x f x x =-++-++-++-++=-++-++++=-+-++-随着样本容量不断的增加，x越来越接近随机变量的均值)(X E ，i f 越来越接近随机变量取i x 的概率i p ，随机变量的方差21()(())nii i D X x E X p ==-∑．思考：2)(x x i -表示i x 与x 的距离的平方，可以称之为i x （1=i ，2， ,n ）相对于x 的偏离程度，能否具体说明随机变量的方差中各个量的含义，进一步说明方差到底是什么？以及方差反映了什么？ 生：2(())i x E X -描述了i x 相对于均值)(X E 的偏离程度， 21()(())nii i D X x E X p ==-∑表示这些偏离程度的加权平均，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2．3．2离散型随机变量的方差
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入：
1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(
2.若ξB （n,p ），则E ξ=np
二、讲解新课： 1. 方差:
对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,
ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．
2. 标准差:
ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．
3.方差的性质：
（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；
（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )
三、讲解范例：
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
从而
111111
123456 3.5666666
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;
2222221111
(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)6666
11
(5 3.5)(6 3.5) 2.92
66
DX =-⨯+-⨯
+-⨯+-⨯
+-⨯+-⨯≈
1.71X σ=≈.
例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,
DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;
EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2
×0.l
= 160000 .
因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
例3．设随机变量ξ的分布列为
求D ξ
解：（略）12n E ξ+=, 2D 12
ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为
离散型随机变量2ξ的概率分布为
解：47
1
77127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯
=ξE ；
471
)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯
-=ξD ；11==ξσξD 47
1
3.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；
2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .
四、课堂练习：
1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和
答案：
2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
五、小结 ：
⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：
⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确
六、课后作业： 同步试卷 七、板书设计（略）
八、教学反思：
⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤
⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确。