2018各地高考真题分类汇编圆锥曲线学生版
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(圆锥曲线与方程)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （圆锥曲线与方程）一、选择题1．（2018浙江）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（ ）A ．(−2，0)，(2，0) B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)1．.答案：B解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).2. （2018上海）设P 是椭圆 ²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）（A ）2（B ）2（C ）2（D ）43．（2018天津文、理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（ ）（A ）22139x y -= （B ）22193x y -=（C ）221412x y -= （D ）221124x y -= 3．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c ，()0c >，则A B x x c ==， 由22221c y a b-=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得22122bc b bc b d c a b --=+，22222bc b bc b d c a b ++==+， 则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率：2229112c b e a a a==++，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=．故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知椭圆C：22214x ya+=的一个焦点为(20)，，则C的离心率为（）A．13B．12C．2D ．224、答案：C解答：知2c=，∴2228a b c=+=，22a=，∴离心率22e=.5．（2018全国新课标Ⅰ理）已知双曲线C：2213xy-=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN△为直角三角形，则|MN|=（）A．32B．3 C．23D．45. 答案：B解答：渐近线方程为：2203xy-=，即3y x=±，∵OMN∆为直角三角形，假设2ONMπ∠=，如图，∴3NMk=，直线MN方程为3(2)y x=-.联立333(2)y xy x⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴33(,)22N-，即3ON=，∴3MONπ∠=，∴3MN=，故选B.6．（2018全国新课标Ⅰ理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M，N两点，则FM FN⋅=（）A．5 B．6 C．7 D．86. 答案：D解答：由题意知直线MN的方程为2(2)3y x=+，设1122(,),(,)M x y N x y，与抛物线方程联立有22(2)34y xy x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得1112xy=⎧⎨=⎩或2244xy=⎧⎨=⎩，∴(0,2),(3,4)FM FN==，∴03248FM FN⋅=⨯+⨯=.7．（2018全国新课标Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A．1-B．2 CD1 7．【答案】D【解析】在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒，设2PF m =，则1222c F F m ==，1PF =，又由椭圆定义可知)1221a PF PF m =+=则离心率212c ce a a===，故选D ．8.(2018全国新课标Ⅱ文、理）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>则其渐近线方程为（ ）A．y = B．y = C．y =D．y = 8．【答案】A【解析】c e a ==，2222221312b c a e a a -∴==-=-=，b a ∴，因为渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为y =，故选A ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.23 B ．12 C ．13D ．14 9．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP得，2tan PAF ∠，2sin PAF ∴∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭， 4a c ∴=，14e =，故选D ．10．（2018全国新课标Ⅲ文）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（ ）AB ．2C ．2D ．10．答案：D解答：由题意c e a ==1ba=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==.故选D.11．（2018全国新课标Ⅲ理）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．211．答案：C解答：∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =； 又因为1||6||PF OP =，所以1||6PF a =； 在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt PF F ∆中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，∴222222222224(6)4644633b c a bb c a b c a c a c+-=⇒+-=⇒-=- 223c a ⇒=3e ⇒=.二、填空1．（2018北京文）已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．1．【答案】()1,0【解析】1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得，24p =，2p =，12p=， ∴焦点坐标为()1,0．2．（2018北京文）若双曲线()222104x y a a -=>5，则a =_________． 2．【答案】4【解析】在双曲线中，2224c a b a =++，且5c e a ==245a +，22454a a +=，216a ∴=，04a a >∴=．3．（2018北京理）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 3．31；2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为3113c a ==-+．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，222πtan 33n m ∴==，222222234m n m m e m m ++∴===，2e ∴=．4. （2018上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。
2018年各地高考真题分类汇编-圆锥曲线---学生版
圆锥曲线1.（2018年全国一·文科4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12 CD2.（2018年全国二·文科6）双曲线，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．3.（2018年全国二·文科11）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A ．B ．CD4.（2018年全国三·文科10）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为AB ．CD ．5.（2018年北京·文科10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.6.（2018年北京·文科12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________. 7.（2018年天津·文科7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 22221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =2y x =±y =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1-2-122221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)C 28.（2018年江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线，则其离心率的值是 ． 9.（2018年浙江2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是 A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2) 10.（2018年浙江17）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．11.（2018年上海2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
2018-2019年全国各地高考真题分类汇编-圆锥曲线---学生版
圆锥曲线1.（2018年全国一·文科4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12CD2.（2018年全国二·文科6）双曲线，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ． 3.（2018年全国二·文科11）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A ．B ．CD4.（2018年全国三·文科10）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为AB ．C ．D ．5.（2018年北京·文科10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.6.（2018年北京·文科12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =_________.7.（2018年天津·文科7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为（A ）22139x y -=（B ）22193x y -= 22221(0,0)x y a b a b -=>>y =y =y =y x =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1-2122221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)C 22（C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 8.（2018年江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐，则其离心率的值是 ． 9.（2018年浙江2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2)10.（2018年浙江17）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．11.（2018年上海2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1， 由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0， 解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8． 故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°， 可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4． 故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P(0，1)，椭圆24x+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），AP=2PB，可得-x 1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=， 所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分） 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ． 所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是 1||(22x FA x ==-. 同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
FM ＝ (0 ， 2) ， FN ＝ (3 ， 4) ．
则 FM FN = （0 ，2 ） ? （3 ， 4 ） =8 ．
故选： D
x2 6.（全国卷一理）（ 11）已知双曲线 C：
y2 1 ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形，则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）
一、选择题
1.（浙江卷）（ 2）双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A ． (- 2 ，0) ，( 2 ， 0) B ． (- 2， 0)， (2， 0) C． (0， - 2 )， (0， 2 ) D． (0， - 2)， (0， 2)
解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4）已知椭圆
C
：
x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为
1 A．
3
1 B．
2
2 C．
2
解：椭圆的一个焦点为（ 2，0），可得 a2-4=4，解得 a
22 D．
3
2 2，
c c 2, e
a
2
．
2
故选： C
5.（全国卷一理）（
8）设抛物线
C： y2=4x 的焦点为
F，过点（ –2， 0）且斜率为
故选： B
x2 7.（全国卷二文）（ 6）双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A ． y 2x
B． y 3x
C． y
2x
2
最新-江苏省2018年高考数学真题分类汇编：圆锥曲线 精品
圆锥曲线1（江苏2004年5分）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为【 】(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 【答案】A 。
【考点】双曲线的性质，抛物线的性质。
【分析】根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程，从而求得c ，最后根据离心率公式求得答案：由抛物线x y 82=，可知p=4，∴准线方程为x =－2。
对于双曲线准线方程为22a x c=-=-，∴228c a ==，4c =。
∴双曲线离心率c e a ===A 。
2.（江苏2018年5分）抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是【】A ．1617 B ．1615 C ．87D ．0 【答案】B 。
【考点】抛物线的性质。
【分析】根据点M 到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M 到准线距离也为1，利用抛物线的方程求得准线方程，从而可求得M 的纵坐标。
根据抛物线的定义可知M 到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1。
又∵抛物线的准线为116y =-，∴M 点的纵坐标为11511616-=。
故选B 。
3.（江苏2018年5分）点P(3,1)-在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为(2, 5)a =-的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A ．33 B ．31 C ．22 D ．21【答案】A 。
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的性质。
【分析】根据过点P 且方向为(2, 5)a =-求得PQ 的斜率，进而可得直线PQ 的方程，把2-=y 代入可求得Q 的坐标，根据光线反射的对称性知直线QF 1的斜率从而得直线QF 1的方程，把0y =代入即可求得焦点坐标，求得c ，根据点P （－3，1）在椭圆的左准线上，求得a 和c 的关系求得a ，则椭圆的离心率可得：如图，过点P （－3，1）的方向(2, 5)a =-， ∴PQ 52k =-，则PQ 的方程为()5132y x+-=-， 即52130x+y+=。
2018年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线
2018年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线（2018湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A. 4B. 6C. 8D. 12（2018浙江理数）（8）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题（2018全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.（2018陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 [C]（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p（2018辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==（2018辽宁文数）（7）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（A ）（B ） 8 （C ） （D ） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒==（2018辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(C)12(D)12【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》试题汇编(含答案解析)
2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》试题汇编（含答案解析）1．（2018•红河州二模）设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率．（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且|MN|=7|F1N|，求a，b．2．（2018•江苏模拟）已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．3．（2018•四川模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（﹣2，0）左顶点A1（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．4．（2018•济宁一模）已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2018•红桥区一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P 横坐标的取值范围及|EF|的最大值．6．（2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a ＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．7．（2018•枣庄二模）已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜1）上的点P（m，1）到其焦点F的距离为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．8．（2018•沈阳三模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）过点A（2，1），且它的焦点F也是椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点F的最小值为2．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设M，N是抛物线C1上的两个动点，且=﹣4．①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标；最大时，求直线MN的方程．②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S△FNS9．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．10．（2018•宣城二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设AB是椭圆的一条弦，斜率为k（k≠0），N（t，0）是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k'，问：t为何值时，k•k'为定值？11．（2018•洛阳一模）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．12．（2018•江西二模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．（1）求E的方程；（2）若A，B，P为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求证：四边形OAPB的面积为定值．13．（2018•虹口区二模）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．14．（2018•揭阳一模）已知A是椭圆T：上的动点，点P（0，），点C与点A关于原点对称．（I）求△PAC面积的最大值；（II）若射线AP、CP分别与椭圆T交于点B、D，且=m，=n，证明：m+n为定值．15．（2018•聊城一模）已知圆x2+y2=4经过椭圆C：的两个焦点和两个顶点，点A（0，4），M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线MN过定点．16．（2018•定远县模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．17．（2018•南充模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．18．（2018•成都模拟）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求的最小值．19．（2018•齐齐哈尔一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．且椭圆C过点（，﹣），离心率e=；点P在椭圆C上，延长PF1与椭圆C交于点Q，点R是PF2中点．（I）求椭圆C的方程；（II）若O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S，求S的最大值．20．（2018•唐山一模）已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为，B为直线l：x=﹣3上的动点，M（m，0）（m＜0），AM ⊥BM．当AB⊥l时，M与F重合．（1）若椭圆Γ的方程；（2）若C为椭圆Γ上一点，满足AC∥BM，∠AMC=60°，求m的值．21．（2018•南平二模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且=5，求直线l方程．22．（2018•洛阳三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．23．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．24．（2018•辽宁模拟）已知M（）是椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2=k2．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．25．（2018•上饶三模）已知椭圆C1：（a＞1）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M．（1）求点M的轨迹C2的方程；（2）当直线AB与椭圆C1相切，交C2于点A，B，当∠AOB=90°时，求AB的直线方程．26．（2018•上海模拟）已知点F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°．圆O的方程是x2+y2=b2．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值；（3）过圆O上任意一点Q（x0，y0）作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．27．（2018•江苏一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，，点A是椭圆的下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l1的斜率．28．（2018•衡阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，直线y=1与C的两个交点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B 两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．29．（2018•太原一模）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F2（2，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2018•成都模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，若抛物线C过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆O的切线为准线，F为抛物线的焦点，点F的轨迹为曲线C′．（1）求曲线C′的方程；（2）过点B作直线L交曲线C′与P，Q两点，P，P′关于x轴对称，请问：直线P′Q 是否过x轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E的坐标31．（2018•秦州区校级一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（2，0），点P（1，﹣）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为﹣1直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|=|F1N|（F1为椭圆的左焦点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．32．（2018•黄山一模）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．33．（2018•陕西一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．34．（2018•朝阳三模）如图，椭圆经过点，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线．35．（2018•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a ＞0，b＞0）的离心率为，且过点（1，）．F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若AF=FC，求的值；（3）设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2=mk1，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．36．（2018•芜湖模拟）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|=2，△PF1F2的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出该定值．37．（2018•马鞍山二模）在直角坐标系中，己知点A（﹣2，0），B（2，0），两动点C（0，m），D（0，n），且mn=3，直线AC与直线BD的交点为P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点F（1，0）作直线l交动点P的轨迹于M，N两点，试求的取值范围．38．（2018•凉山州模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．39．（2018•江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．40．（2018•湖北模拟）如图，已知抛物线x2=2py（p＞0），其焦点到准线的距离为2，圆S：x2+y2﹣py=0，直线l：y=kx+与圆和抛物线自左至右顺次交于四点A、B、C、D，（1）若线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k的值；（2）若直线l′过抛物线焦点且垂直于直线l，直线l′与抛物线交于点M、N，设AD、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ过定点．参考答案与试题解析1．【分析】（1）设出M坐标，通过直线MN的斜率为，转化求解C的离心率．（2）通过原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，推出b2=6a，结合|MN|=7|F1N|，转化求解a，b．【解答】解：（1）根据及题设知，5b2=24ac将b2=a2﹣c2代入5b2=24ac解得或（舍去），故C的离心率为；………………………………………………（4分）（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，3）是线段MF1的中点，故，即b2=6a①………………………………………………（7分）由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|，设N（x1，y1）则，即代入C的方程，得②……………………………………………（10分）将①及代入②得解得故……………………………………………………（12分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．2．【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【解答】解：（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．3．【分析】（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，问题得以解决．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，将PA、PB的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，再由斜率公式化简即可得到定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程为y﹣3=k（x﹣2）．联立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0所以，同理，所以，，所以k AB===，所以AB的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理求解，考查基本的运算能力，属于中档题．4．【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆的方程，可得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），用k表示D的坐标，分析可得=．解可得a2的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（2）假设存在定点M，且设M（0，m），分析易得k AM+k BM=0，即，变形分析可得2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0，结合根与系数的关系分析可得，计算可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则，，∴，．∴=．∴a2=8．所以椭圆C的方程为．（2）假设存在定点M，且设M（0，m），由∠AMO=∠BMO得k AM+k BM=0．∴．即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）=0，∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0．由（1）知，，∴．∴m=4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．5．【分析】（Ⅰ）由题意可得，2b=2，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，可得MN的中点，圆的方程，令y=0，求得与x轴的交点坐标，运用弦长公式，结合．即可得到所求最大值；方法二、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB 的方程，与直线x=4的交点M，N，以MN为直径的圆与x轴相交，可得y M y N＜0，求得，再由弦长公式，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，，得，解得a2=4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y=0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1=4+，x2=4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6．【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解出即可得出．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A（﹣2，0）．设M（x0，y0），利用中点坐标公式可得：B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，联立解出，即可得出直线AB的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解得a=2，c=b=．∴椭圆的方程为：+=1．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．解得：x0=﹣．代入解得：y0=，∴k AB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7．【分析】（Ⅰ）通过点在抛物线上，以及抛物线的定义，列出方程求解可得C的方程；（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），联立直线与抛物线方程，设A（x1，y1），由韦达定理，求出A的坐标，直线PB的斜率为．得到B的坐标，通过直线的向量是否垂直，求出直线l的方程，然后求解定点坐标．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．推出l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k ≠0，设l：y=kx+t，利用直线方程与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，转化求解直线l：y=kx﹣1．即可说明l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②，转化求解l：x=n（y+1）．说明l过定点（0，﹣1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2pm=1，即．由抛物线的定义，得．由题意，．解得，或p=2（舍去）．所以C的方程为y2=x．（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），则y=kx+1﹣k．由消去y并整理得k2x2+[2k（1﹣k）﹣1]x+（1﹣k）2=0．设A（x1，y1），由韦达定理，得，即.=．所以．由题意，直线PB的斜率为．同理可得，即B（（k2﹣1）2，k﹣1）．若直线l的斜率不存在，则．解得k=1，或k=﹣1．当k=1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；当k=﹣1时，直线PA与直线PB的斜率均为﹣1，A，B两点重合，与题意不符．所以，直线l的斜率必存在．直线l的方程为[x﹣（k﹣1）2]，即．所以直线l过定点（0，﹣1）．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．则==．（x1﹣1≠0，否则，x1=1，则A（1，1），或B（1，1），直线l过点P，与题设条件矛盾）由题意，，所以x1=0．这时A，B两点重合，与题意不符．所以l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k≠0，设l：y=kx+t，由直线l不过点P（1，1），所以k+t≠1．由消去y并整理得k2x2+（2kt﹣1）x+t2=0．由判别式△=1﹣4kt＞0，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，则==．由题意，．故（k2﹣1）x1x2+（kt﹣k+1）③将①②代入③式并化简整理得，即1﹣t2﹣kt﹣k=0．即（1+t）（1﹣t）﹣k（t+1）=0，即（1+t）（1﹣t﹣k）=0．又k+t≠1，即1﹣t﹣k≠0，所以1+t=0，即t=﹣1．所以l：y=kx﹣1．显然l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．由题意，判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②则==．由题意，y1y2+（y1+y2）+1=1，即y1y2+（y1+y2）=0③将①②代入③式得﹣t+n=0，即t=n．所以l：x=n（y+1）．显然l过定点（0，﹣1）．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查直线过定点问题，考查分类讨论思想的应用．8．【分析】（I）把A代入抛物线方程求出p，根据椭圆的性质列方程组求出a，b；（II）①设MN方程为y=kx+b，根据根与系数的关系和向量的数量积公式求出b 即可得出结论；②根据弦长公式计算|SR|，求出F到直线MN的距离d，得出三角形的面积关于k的函数，根据单调性得出k的值．【解答】解：（I）把A（2，1）代入抛物线C1可得：4=2p，p=2．∴抛物线C1的方程为x2=4y．故F（0，1），又F（0，1）是椭圆C2：的焦点，且椭圆上的点到焦点F的最小值为2，∴，解得a=3，b=2，∴椭圆C2的标准方程为：=1．（II）①∵直线MN与抛物线交于M，N两点，∴直线MN斜率必存在．设直线MN的方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y可得：x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1x2=﹣4b，∴y1y2==b2，∴=x1x2+y1y2=b2﹣4b=﹣4，即b=2．∴直线MN的方程为y=kx+2．∴直线MN过定点Q（0，2）．②联立方程组，消去y可得：（9+8k2）x2+32kx﹣40=0，设R（x3，y3），S（x4，y4），则x3+x4=﹣，x3x4=﹣，∴|RS|==，又F（0，1）代直线MN的距离d=，=|RS|×d=，∴S△FSR令=t，则t≥，==，∴S△FSR取得最大值，此时k=0．由对勾函数的性质可知当t=时，S△FSQ∴直线MN的方程为y=2．【点评】本题考查了抛物线、椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．9．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得，进而可得，则椭圆的方程可以为以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，据此解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，按直线l的斜率是否存在分2种情况讨论，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，易得△AOB的面积，当直线l的斜率存在时，设ly=kx+m，联立直线与椭圆的方程，用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得△AOB的面积，综合2种情况即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：的离心率为，则，得，，所以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为．（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得，，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则，，所以，，将代入x2+y2=1，得，又因为=，原点到直线l的距离，所以==×==．当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．综上所述，△AOB面积的最大值为1．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意分析直线的斜率是否存在．10．【分析】（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．则，结合．可得当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，∴椭圆方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．由于AB斜率为k存在且k≠0，故，则∵则要使为定值，则当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．【点评】本题考查了椭圆的方程，性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．11．【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a﹣c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k2﹣3）=0，求出，0＜m2＜6，且m2≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．【解答】解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．∴（a+c）（a﹣c）=3，∴b2=a2﹣c2=3．又，解得a=2，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，即4k2+3＞m2，且，又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，将y1，y2代入并整理得m2（4k2﹣3）=0，因为m≠0，，0＜m2＜6，且m2≠3，设d为点O到直线l的距离，则有，，所以，所以三角形面积的取值范围为．【点评】本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．12．【分析】（1）根据题意，由椭圆的焦点坐标可得c的值，结合椭圆的定义可得2a=+=2，即可得a的值，由椭圆的定义计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，按直线AB的斜率是否存在分2种情况讨论：①，直线AB的斜率不为零，②当AB的斜率为零时，分别求出四边形的面积，综合即可得结论．【解答】解：（1）根据题意，椭圆E：+=1的两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．则c=1，又由椭圆经过点，则2a=+=2，即a=，b==1，则E的方程为；（2）证明：根据题意，分2种情况讨论：①，当直线AB的斜率不为零时，可设AB：x=my+t代入得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，△=8（m2+2﹣t2），设P（x，y），由，得，∵点P在椭圆E上，∴，即，∴4t2=m2+2，，原点到直线x=my+t的距离为．∴四边形OAPB的面积：．②当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积，∴四边形OAPB的面积为定值．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．13．【分析】（1）方法一：设切线方程，代入椭圆方程，由M在椭圆方程，利用△=0，即可求得k的值，求得“切线”方程是；方法二：将直线方程代入椭圆方程，由△=0，则直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切；（2）求得直线MA，MB的方程，令x=0，即可求得P和Q点坐标，令x=0，求得D点坐标，由y P+y Q=2y D，即可求得点D是线段PQ的中点；（3）求得交点坐标，即可求得MF1及MF2斜率，根据直线的夹角公式，求得tanθ1=tanθ1，过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等【解答】解：（1）方法一：当n=0时，m=±，则切线方程x=±，满足，当m≠0时，设直线y=k（x﹣m）+n，联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣2）2﹣2=0，由△=16k2（km﹣n）2﹣4×（1+2k2）[2（km﹣2）2﹣2]=0，整理得：（2﹣m2）k2+2mnk+1﹣n2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，1﹣n2=，∴2n2k2+2mnk+=0，则（nk+）2=0，解得：k=﹣，∴切线方程y=﹣（x﹣m）+n，整理得：；综上可知：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；方法二：由直线，整理得：mx+2ny=2，，整理得：（2n2+m2）y2﹣4ny+2﹣m2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，2n2+m2=2，则y2﹣2ny+n2=0，则△=0，∴过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）由椭圆的左顶点A（﹣，0），右顶点B（，0），由直线MA的方程：y=（x+），令x=0，则y P=，同理y Q=，切线方程，令x=0，则y D=y P+y Q===2y D，∴点D是线段PQ的中点；（3）相等，由椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是，则直线MF 1的斜率=，直线MF2的斜率=，则切线的斜率k=，由夹角公式tanθ1=||=，tanθ1=||=，所以所成夹角相等．【点评】本题考查椭圆的标准方程的性质，直线的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查直线夹角公式的应用，中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．14．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），依题意得点C（﹣x1，﹣y1），表示出△PAC面积，即可求出最大值，（Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为y=kx+，根据根与系数的关系可得m，n是方程9x2﹣30x+4x12+9=0的两个根，由韦达定理，m+n=；证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，设其方程为y=kx+，根据根与系数的关系，求出m，n，即可求出m+n的值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），依题意得点C（﹣x1，﹣y1），则S=|OP|•2|x1|=|x1|，△PAC∵点A在椭圆T：+y2=1上，∴|x1|≤2，∴S=|x1|≤1（当且仅当x1=±2时等号成立）△PAC∴△PAC面积的最大值为1；（Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为y=kx+，由，消去y，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，设B（x2，y2），由韦达定理，得，而由=m，得（﹣x1，﹣y1）=m（x2，y2﹣），故﹣x1=mx2，x2=﹣，代入①、②，得，两式相除，得k=，代入④，整理得9m2﹣30m+4x12+9=0；对于射线CP，同样的方法可得9n2﹣30n+4x12+9=0，故m，n是方程9x2﹣30x+4x12+9=0的两个根，由韦达定理，m+n=；当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，由=m，=n，得m=，n=3，这时m+n=；若点A为椭圆T的下顶点（0，﹣1），同理可得m+n=；综上可知m+n为定值，该值为．证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，设其方程为y=kx+，由，消去y，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，设B（x2，y2），由韦达定理，得x1x2=﹣，又k=，代入上式得x2=，由=m，得（﹣x1，﹣y1）=m（x2，y2﹣），故﹣x1=mx2，∴m=﹣=对于射线CP，同样的方法可得n=，∴m+n==．当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，由=m，=n，得m=，n=3，这时m+n=；若点A为椭圆T的下顶点（0，﹣1），同理可得m+n=；综上可知m+n为定值，该值为．【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，向量的基本运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．15．【分析】（Ⅰ）根据题意，由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标，即可得。
2018年全国高考数学圆锥曲线试卷集锦
2018年全国高考数学部分省市圆锥曲线试卷集锦1.<2018•福建理科）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于<A）b5E2RGb CAPA． B．C．3D．5解：抛物线y2=12x的焦点坐标为<3，0）∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，故选A．2.<2018•福建理科）如图，椭圆E：的左焦点为F 1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△A BF2的周长为8．p1EanqFDPw<Ⅰ）求椭圆E的方程．<Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x =4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．DXDiTa9E3d解：<Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．<Ⅱ）由，消元可得<4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P<x0，y0）∴m≠0，△=0，∴<8km）2﹣4×<4k2+3）×<4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P<，）由得Q<4，4k+m）取k=0，m=，此时P<0，），Q<4，），以PQ为直径的圆为<x ﹣2）2+<y﹣）2=4，交x轴于点M1<1，0）或M2<3，0）RTCrpUDGiT 取k=，m=2，此时P<1，），Q<4，0），以PQ为直径的圆为<x﹣）2+<y﹣）2=，交x轴于点M3<1，0）或M4<4，0）5PCzVD7HxA故若满足条件的点M存在，只能是M<1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M<1，0）3.<2018广东理科）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q<0，2）的距离的最大值为3．jLBHrnAILg<1）求椭圆C的方程；<2）在椭圆C上，是否存在点M<m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O ：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．xHA QX74J0X解：<1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1<舍）∴b=1∴椭圆方程为<2）假设M<m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．4．<2018•广东文科）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：<a＞b＞0）的左焦点为F1<﹣1，0），且点P<0，1）在C1上．LDAYtRyKfE<1）求椭圆C1的方程；<2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．解.<1）因为椭圆C1的左焦点为F1<﹣1，0），所以c=1，点P<0，1）代入椭圆，得，即b=1，所以a2=b2+c2=2所以椭圆C1的方程为．<2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，由，消去y并整理得<1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4<1+2k2）<2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+<2km﹣4）x+m2=0因为直线l与抛物线C2相切，所以△=<2km﹣4）2﹣4k2m2=0整理得km=1②综合①②，解得或所以直线l的方程为或．5.<2018•北京文科）已知椭圆C：+=1<a＞b＞0）的一个顶点为A <2，0），离心率为，直线y=k<x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，NZzz6ZB2Ltk<Ⅰ）求椭圆C的方程<Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．解：<Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A <2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；<Ⅱ）直线y=k<x﹣1）与椭圆C联立，消元可得<1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M<x1，y1），N<x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A<2，0）到直线y=k<x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．6.<2018•湖北理科）如图，双曲线﹣=1<a，b＞0）的两顶点为A 1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：dvzfvkwMI1 <Ⅰ）双曲线的离心率e=_________；<Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=_______ __．解：<Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为=∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴bc=a2∴<c2﹣a2）c2=a4∴c4﹣a2c2﹣a4=0∴e4﹣e2﹣1=0∴<Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，7.<2018•湖北理科）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A 与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨<m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．rqyn14ZNXI<I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；<Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m ，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．EmxvxOtOco解：<I）如图1，设M<x，y），A<x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈<0，1）∪<1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为<），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为<），<Ⅱ）如图2、3，∀x1∈<0，1），设P<x1，y1），H<x2，y2），则Q< x2，y2），N<0，y1），SixE2yXPq5∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴kQN=kQH，∴∴kPQ•kPH=∵PQ⊥PH，∴kPQ•kPH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ ⊥PH9.<2018•江西文科）椭圆<a＞b＞0）的左、右顶点分别是A ，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为< ）6ewMyirQFLA．B．C．D．解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c ，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴<2c）2=<a﹣c）<a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选B．10.<2018•江西文科）已知三点O<0，0），A<﹣2，1），B<2，1），曲线C上任意一点M<x，y）满足||=kavU42VRUs <1）求曲线C的方程；<2）点Q<x0，y0）<﹣2＜x0＜2）是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是<0，﹣1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．y6v3ALoS89解：<1）由=<﹣2﹣x，1﹣y），=<2﹣x，1﹣y）可得=<﹣2x，2﹣2y），∴||=，=<x，y）•<0，2）=2y．由题意可得=2y，化简可得 x2=4y．<2）直线PA，PB的方程分别为y=﹣x﹣1、y=x﹣1，曲线C在点Q<x0，y0）<﹣2＜x0＜2）处的切线方程为y=x﹣，且与y轴的交点F<0，﹣）．M2ub6vSTnP由求得xD=，由求得xE=．故xE﹣xD=2，故|FP|=1﹣．故S△PDE=|PF|•|xE﹣xD|=<1﹣）•2=，而S△QAB=×4×<1﹣）=，∴=2，即△QAB与△PDE的面积之比等于2．11.<2018•辽宁理科）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_________．0YujCfmUCw解：因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．由x2=2y，则y=，所以y′=x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x﹣8，y=﹣2x﹣2联立方程组解得x=1，y=﹣4故点A的纵坐标为﹣4．故答案为：﹣4．12.<2018•辽宁理科）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A 1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．eUts8Z QVRd<I）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；<II）设动圆C2：与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b ＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：为定值．sQsAEJkW5T解：<I）设A<x1，y1），B<x2，y2），∵A1<﹣a，0），A2<a，0），则直线A1A的方程为①直线A2B的方程为②由①×②可得：③∵A<x1，y1）在椭圆C0上，∴∴代入③可得：∴；<II）证明：设A′<x3，y3），∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等∴4|x1||y1|=4|x3||y3|∴=∵A，A′均在椭圆上，∴=∴=∴∵t1≠t2，∴x1≠x2．∴∵，∴∴=a2+b2为定值．13.<2018•山东文科）已知双曲线C1：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为< ）GMsIasNXkAA．B．x2=yC．x2=8yD．x2=16y解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点<0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．14.<2018•山东文科）如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．TIrRGchYzg <Ⅰ）求椭圆M的标准方程；<Ⅱ）设直线l：y=x+m<m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m 的值．7EqZcWLZNX解：<I）…①矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程是．<II），由△=64m2﹣20<4m2﹣4）＞0得．设P<x1，y1），Q<x2，y2），则，．当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．①当时，有，，其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，，，由此知，当m=0时，取得最大值．综上可知，当或m=0时，取得最大值．15.<2018•天津文科）已知双曲线C1：与双曲线C：<a＞0，b＞0）有相同的渐近线，且C1的右焦点为F<，0）．则a=_________，b=_________．lzq7IGf02E解：∵双曲线C：<a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，∴=2∵且C1的右焦点为F<，0）．∴c=，由a2+b2=c2解得a=1，b=2故答案为1，216.<2018•天津）已知椭圆，点P<）在椭圆上．<1）求椭圆的离心率；<2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ| =|AO|，求直线OQ的斜率的值．zvpgeqJ1hk解：<1）因为点P<）在椭圆上，所以∴∴∴<2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为<x0，y0），由条件得，消元并整理可得①∵|AQ|=|AO|，A<﹣a，0），y0=kx0，∴∴∵x0≠0，∴代入①，整理得∵∴∴5k4﹣22k2﹣15=0∴k2=5∴17.<2018新课标理科）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为< ）NrpoJac3v1A．B．C．D．解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．18.<2018新课标理科）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为< ）1nowfTG4KIA．B．C．4D．8解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2<a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A<﹣4，2），B<﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．19.<2018新课标理科）设抛物线C：x2=2py<p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；fjnFL Da5Zo<1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为；求p的值及圆F的方程；<2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．tfnNhnE6e5解：<1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，∴圆F的方程为x2+<y﹣1）2=8．<2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018-2021年高考真题圆锥曲线 解答题全集 (学生版+解析版)
2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集 （学生版+解析版）1．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3． 2．（2021•上海）已知Г：x 22+y 2＝1，F 1，F 2是其左、右交焦点，直线l 过点P （m ，0）（m ≤−√2），交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，|BF 1→|＝|PF 1→|，求m 的值； （2）若F 1A →•F 2A →=13，且原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线l 的方程； （3）证明：对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 3．（2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4√5． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P （0，﹣3）的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 交y ＝﹣3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．4．（2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |=√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程．5．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2． （Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |•|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．6．（2021•甲卷）抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M （2，0），且⊙M 与l 相切． （1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．7．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（−√17，0），F 2（√17，0），点M 满足|MF 1|﹣|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．8．（2021•乙卷）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →=9QF →，求直线OQ 斜率的最大值． 9．（2021•甲卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos θ． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1，0），M 为C 上的动点，点P 满足AP →=√2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．10．（2021•乙卷）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为4． （1）求p ；（2）若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值． 11．（2021•上海）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足|P A |﹣|PB |＝20千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现|QA |﹣|QB |＝30千米，|QC |﹣|QD |＝10千米，求|OQ |（精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°） 12．（2020•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 13．（2020•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （﹣4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝﹣4于点P ，Q ．求|PB||BQ|的值．14．（2020•上海）已知双曲线Γ1：x 24−y 2b 2=1与圆Γ2：x 2+y 2＝4+b 2（b ＞0）交于点A （x A ，y A ）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x ＞|x A |的部分． （1）若x A =√6，求b 的值；（2）当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|＝8，求∠F 1PF 2； （3）过点D （0，b 22+2）斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b表示OM →•ON →，并求OM →•ON →的取值范围．15．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →•QP →的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．16．（2020•浙江）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．17．（2020•海南）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12．（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．18．（2020•山东）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．19．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 20．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程． 21．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点． 22．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1（0＜m ＜5）的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积． 23．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．24．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．25．（2019•全国）已知点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点P满足P A1与P A2的斜率之积等于−14，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设过坐标原点的直线l与C交于M，N两点，且四边形MA1NA2的面积为2√2，求l的方程．26．（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD ＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．27．（2019•上海）已知椭圆x28+y24=1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y 轴于M ，直线BF 1交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得S△F 1AB=S△F 1MN ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．28．（2019•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知√3|OA |＝2|OB |（O 为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP ．求椭圆的方程． 29．（2019•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |（O 为原点），且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率． 30．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点．（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．31．（2019•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为C上的点，O 为坐标原点．（1）若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．32．（2019•浙江）如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2． （Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程； （Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．33．（2019•新课标Ⅱ）已知点A （﹣2，0），B （2，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． （i ）证明：△PQG 是直角三角形； （ii ）求△PQG 面积的最大值．34．（2019•北京）已知抛物线C ：x 2＝﹣2py 经过点（2，﹣1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝﹣1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．35．（2019•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为（1，0），且经过点A （0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线l ：y ＝kx +t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若|OM |•|ON |＝2，求证：直线l 经过定点． 36．（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．37．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．38．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值？并说明理由．39．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |＝4，求l 的方程； （2）若AP →=3PB →，求|AB |．40．（2019•上海）已知抛物线方程y 2＝4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|． （1）当P(−1，−83)时，求d （P ）；（2）证明：存在常数a ，使得2d （P ）＝|PF |+a ；（3）P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|＝|P 2P 3|，判断d （P 1）+d （P 3）与2d （P 2）的关系．41．（2018•全国）双曲线x 212−y 24=1，F 1、F 2为其左右焦点，C 是以F 2为圆心且过原点的圆．（1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足F 1M →=2MP →，求M 的轨迹方程．42．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1（x ＜0）上的动点，求△P AB 面积的取值范围．43．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→．证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．44．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点（√3，12），焦点F 1（−√3，0），F 2（√3，0），圆O 的直径为F 1F 2． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为2√67，求直线l 的方程．45．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|． 46．（2018•上海）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． 47．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB |=√13． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx （k ＜0）与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值． 48．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为（b ，0），且|FB |•|AB |＝6√2． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx （k ＞0）与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ （O 为原点），求k 的值． 49．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，焦距为2√2．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若k ＝1，求|AB |的最大值；（Ⅲ）设P （﹣2，0），直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q （−74，14）共线，求k ．50．（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．51．（2018•北京）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ+1μ为定值．52．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．53．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C ：y 2＝2x ，点A （2，0），B （﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM ＝∠ABN ．54．（2018•上海）已知a ∈R ，双曲线Γ：x 2a2−y 2=1（1）若点（2，1）在Γ上，求Γ的焦点坐标（2）若a ＝1，直线y ＝kx +1与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值55．（2018•上海）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米（1）求抛物线的焦点到准线的距离（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集 （学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率ca =√63，又c =√2， 所以a =√3，则b 2＝a 2﹣c 2＝1， 故椭圆的标准方程为x 23+y 2=1；（Ⅱ）证明：先证明必要性，若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN 的方程为x ＝my +√2， 则圆心O （0，0）到直线MN 的距离为d =√2√m +1=1，解得m 2＝1，联立方程组{x =my +√2x 23+y 2=1，可得(m 2+3)y 2+2√2my −1=0，即4y 2+2√2my −1=0， 所以|MN|=√1+m 2⋅√8m 2+164=√2×√244=√3；所以必要性成立； 下面证明充分性，当|MN |=√3时，设直线MN 的方程为x ＝ty +m ， 此时圆心O （0，0）到直线MN 的距离d =√t +1=1，则m 2﹣t 2＝1，联立方程组{x =ty +mx 23+y 2=1，可得（t 2+3）y 2+2tmy +m 2﹣3＝0， 则△＝4t 2m 2﹣4（t 2+3）（m 2﹣3）＝12（t 2﹣m 2+3）＝24， 因为|MN|=√1+t 2⋅√24t 2+3=√3，所以t 2＝1，m 2＝2，因为直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切， 所以m ＞0，则m =√2，则直线MN 的方程为x =ty +√2恒过焦点F （√2，0）， 故M ，N ，F 三点共线， 所以充分性得证．综上所述，M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．2．（2021•上海）已知Г：x 22+y 2＝1，F 1，F 2是其左、右交焦点，直线l 过点P （m ，0）（m ≤−√2），交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，|BF 1→|＝|PF 1→|，求m 的值； （2）若F 1A →•F 2A →=13，且原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线l 的方程； （3）证明：对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 【解答】解：（1）因为Г的方程：x 22+y 2＝1，所以a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 若B 为Г的上顶点，则B （0，1）， 所以|BF 1|=√1+1=√2，|PF 1|＝﹣1﹣m ， 又|BF 1|＝|PF 1|， 所以m =−1−√2；（2）设点A （√2cos θ，sin θ），则F 1A →⋅F 2A →=(√2cosθ+1)(√2cosθ−1)+sin 2θ=2cos 2θ−1+sin 2θ=13， 因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cosθ=−√33，故A(−√63，√63)，设直线l 的方程为y =kx +√63k +√63(k ＞0)， 由原点O 到直线l 的距离为4√1515， 则d =|√63k+√63|√1+k =4√1515，化简可得3k 2﹣10k +3＝0，解得k ＝3或k =13， 故直线l 的方程为y =13x +4√69或y =3x +4√63（舍去，无法满足m ＜−√2）， 所以直线l 的方程为y =13x +4√69；（3）联立方程组{y =kx −kmx 22+y 2=1，可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2mx +2k 2m 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=4k 2m 1+2k2，x 1x 2=2k 2m 2−21+2k2，因为F 1A →∥F 2B →，所以（x 2﹣1）y 1＝（x 1+1）y 2，又y ＝kx ﹣km ， 故化简为x 1−x 2=−21+2k2，又|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√16k 2−8k 2m 2+81+2k2=|−21+2k2|，两边同时平方可得，4k 2﹣2k 2m 2+1＝0， 整理可得k 2=−14−2m 2，当m ＜−√2时，k 2=−14−2m 2＞0，因为点A ，B 在x 轴上方， 所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 3．（2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P （0，﹣3）的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 交y ＝﹣3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【解答】解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），则b ＝2，又因为以四个顶点围成的四边形面积为4√5， 所以12×2a ×2b =4√5，解得a =√5，故椭圆E 的标准方程为x 25+y 24=1；（2）由题意，设直线l 的方程为y ﹣（﹣3）＝k （x ﹣0），即y ＝kx ﹣3， 当k ＝0时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ， 所以k ≠0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），联立方程组{y =kx −3x 25+y 24=1，可得（4+5k 2）x 2﹣30kx +25＝0， 则△＝（﹣30k ）2﹣4×25（4+5k 2）＞0，解得|k |＞1， 所以x 1+x 2=30k 4+5k2，x 1x 2=254+5k2，则y 1y 2＝（kx 1﹣3）（kx 2﹣3）＝k 2x 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+9=−20k 2+364+5k2，y 1+y 2＝（kx 1﹣3）+（kx 2﹣3）＝k （x 1+x 2）﹣6=−244+5k2，直线AB 的方程为y ﹣（﹣2）=y 1−(−2)x 1−0(x −0)，即y =y 1+2x 1x −2，直线AC 的方程为y ﹣（﹣2）=y 2−(−2)x 2−0(x −0)，即y =y 2+2x 2x −2，因为直线AB 交y ＝﹣3于点M ， 所以令y ＝﹣3，则x M =−x 1y 1+2， 故M(−x 1y 1+2，−3)， 同理可得N(−x2y 2+2，−3)，注意到x 1x 2=254+5k2＞0，所以x 1，x 2同号，因为y 1+2＞0，y 2+2＞0，所以x M ，x N 同号， 故|PM |+|PN |＝|x M |+|x N |＝|x M +x N |，则|PM |+|PN |=|x 1y 1+2+x2y 2+2|=|x 1(y 2+2)+x 2(y 1+2)(y 1+2)(y 2+2)| =|x 1(kx 2−3)+x 2(kx 1−3)+2(x 1+x 2)y 1y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2kx 1x 2−(x 1+x 2)y 1y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2k⋅254+5k 2−30k 4+5k2−20k 2+364+5k 2−484+5k2+4|＝5|k |，故|PM |+|PN |＝5|k |，又|PM |+|PN |≤15，即5|k |≤15，即|k |≤3，又|k |＞1， 所以1＜|k |≤3，故k 的取值范围为[﹣3，﹣1）∪（1，3]． 4．（2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |=√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）因为离心率e =2√55，|BF |=√5所以{c a =2√55a =√5a 2=b 2+c 2，解得a =√5，c ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 25+y 2＝1．（2）设M （x 0，y 0）， 则切线MN 的方程为x 0x 5+y 0y ＝1，令x ＝0，得y N =1y 0，因为PN ⊥BF ， 所以k PN •k BF ＝﹣1，所以k PN •（−12）＝﹣1，解得k NP ＝2，设P （x 1，0），则k NP =1y 00−x 1=2，即x 1=−12y 0，因为MP ∥BF ， 所以k MP ＝k BF ， 所以y 0x 0+12y 0=−12，即﹣2y 0＝x 0+12y 0， 所以x 0＝﹣2y 0−12y 0， 又因为x 025+y 02＝1，所以4y 025+25+120y 02+y 02＝1，解得y 0＝±√66，因为y N ＞0， 所以y 0＞0，所以y 0=√66，x 0=−√63−3√6=−5√66，所以−5√66x 5+√66y ＝1，即x ﹣y +√6=0．5．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2． （Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |•|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）， 将直线AB 方程代入抛物线方程可得，k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 则由韦达定理有，x A +x B =2+4k2，x A x B=1，则y A y B ＝﹣4，设直线AM ：y ＝k 1（x +1），其中k 1=yA x A+1，设直线BM ：y ＝k 2（x +1），其中k 2=yB x B +1，则k 1+k 2=y A x A+1+yBx B +1=y A x B +y A +y B x A +y B(x A +1)(x B +1)=k(x A −1)x B +k(x A −1)+k(x B −1)x A +k(x B −1)(x A +1)(x B +1)=0(x A +1)(x B +1)=0， k 1k 2=y A y B (x A +1)(x B +1)=−41+2+4k 2+1=−k21+k 2，设直线l ：y ＝2（x ﹣t ），联立{y =2(x −t)y =k(x −1)，可得x R =k−2t k−2，则|x R −t|=|k−2t k−2−t|=|k−kt k−2|，联立{y =2(x −t)y =k 1(x +1)，可得x P =k 1+2t 2−k 1，则|x P −t|=|k 1+2t 2−k 1−t|=|k 1+k 1t 2−k 1|，同理可得，x Q =k 2+2t 2−k 2，|x Q −t|=|k 2+k 2t2−k 2|，又|RN |2＝|PN |•|QN |，∴|k−kt k−2|2=|k 1+k 1t 2−k 1⋅k 2+k 2t 2−k 2|，即(k−kt k−2)2=k 2(1+t)23k 2+4，∴(1+t)2(t−1)2=3k2+4(k−2)2=3(k−2)2+12(k−2)+16(k−2)2=16(k−2)2+12k−2+3=(4k−2+32)2+3 4≥34（t≠1），∴4（t2+2t+1）≥3（t2﹣2t+1），即t2+14t+1≥0，解得t≥4√3−7或t≤−7−4√3（t≠1）；当直线AB的斜率不存在时，则直线AB：x＝1，A（1，2），B（1，﹣2），M（﹣1，0），∴直线MA的方程为y＝x+1，直线MB的方程为y＝﹣x﹣1，设直线l：y＝2（x﹣t），则P（1+2t，2+2t），Q(2t−13，−2t+23)，R（1，2﹣2t），N（t，0），又|RN|2＝|PN|•|QN|，故(1−t)2+(2−2t)2=√(1+t)2+(2+2t)2⋅√(2t−13−t)2+(−2t+23)2，解得t满足(−∞，−7−4√3]∪[4√3−7，1)∪(1，+∞)．∴直线l在x轴上截距的取值范围为(−∞，−7−4√3]∪[4√3−7，1)∪(1，+∞)．6．（2021•甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），令x＝1，则y=±√2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1，√2p)，Q(1，−√2p)，因为OP⊥OQ，故1+√2p×(−√2p)=0⇒p=1 2，抛物线C的方程为：y2＝x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．（2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得√1+k2=1，解得k=±√33，联立直线A 1A 2与抛物线方程可得x ＝3， 此时直线A 2A 3与⊙M 的位置关系为相切，当A 1，A 2，A 3都不是坐标原点时，即x 1≠x 2≠x 3，直线A 1A 2的方程为x −（y 1+y 2）y +y 1y 2＝0， 此时有，12√1+(y 1+y 2)2=1，即(y 12−1)y 22+2y 1y 2+3−y 12=0，同理，由对称性可得，(y 12−1)y 32+2y 1y 3+3−y 12=0， 所以y 2，y 3是方程(y 12−1)t 2+2y 1t +3−y 12=0 的两根，依题意有，直线A 2A 3的方程为x −（y 2+y 3）y +y 2y 3＝0，令M 到直线A 2A 3的距离为d ，则有d 2=(2+y 2y 3)21+(y 2+y 3)2=(2+3−y 12y 12−1)21+(−2y 1y 12−1)2=1，此时直线A 2A 3与⊙M 的位置关系也为相切， 综上，直线A 2A 3与⊙M 相切．7．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（−√17，0），F 2（√17，0），点M 满足|MF 1|﹣|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，x ≥1，根据题意{c =√172a =2c 2=a 2+b 2，解得{a =1b =4c =√17，∴C 的方程为x 2−y 216=1(x ≥1)； （2）（法一）设T(12，m)，直线AB 的参数方程为{x =12+tcosθy =m +tsinθ，将其代入C 的方程并整理可得，（16cos 2θ﹣sin 2θ）t 2+（16cos θ﹣2m sin θ）t ﹣（m 2+12）＝0，由参数的几何意义可知，|TA |＝t 1，|TB |＝t 2，则t 1t 2=m 2+12sin 2θ−16cos 2θ=m 2+121−17cos 2θ，设直线PQ 的参数方程为{x =12+λcosβy =m +λsinβ，|TP |＝λ1，|TQ |＝λ2，同理可得，λ1λ2=m 2+121−17cos 2β，依题意，m 2+121−17cos 2θ=m 2+121−17cos 2β，则cos 2θ＝cos 2β，又θ≠β，故cos θ＝﹣cos β，则cos θ+cos β＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设T(12，t)，直线AB 的方程为y =k 1(x −12)+t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设12＜x 1＜x 2，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，(16−k 12)x 2+(k 12−2tk 1)x −14k 12+k 1t −t 2−16=0，由韦达定理有，x 1+x 2=k 12−2k 1t k 12−16，x 1x 2=−14k 12+k 1t−t 2−1616−k 12， 又由A(x 1，k 1x 1−12k 1+t)，T(12，t)可得|AT|=√1+k 12(x 1−12)， 同理可得|BT|=√1+k 12(x 2−12)，∴|AT||BT|=(1+k 12)(x 1−12)(x 2−12)=(1+k 12)(t 2+12)k 12−16， 设直线PQ 的方程为y =k 2(x −12)+t ，P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，设12＜x 3＜x 4，同理可得|PT||QT|=(1+k 22)(t 2+12)k 22−16，又|AT ||BT |＝|PT ||QT |，则1+k 12k 12−16=1+k 22k 22−16，化简可得k 12=k 22，又k 1≠k 2，则k 1＝﹣k 2，即k 1+k 2＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． 8．（2021•乙卷）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →=9QF →，求直线OQ 斜率的最大值． 【解答】（1）解：由题意知，p ＝2， ∴y 2＝4x ．（2）由（1）知，抛物线C ：y 2＝4x ，F （1，0）， 设点Q 的坐标为（m ，n ），则QF →=（1﹣m ，﹣n ）， PQ →=9QF →=(9−9m ，−9n) ∴P 点坐标为（10m ﹣9，10n ）， 将点P 代入C 得100n 2＝40m ﹣36， 整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =nm =10n25n 2+9=1025n+9n≤13，当n =35时取最大值． 故答案为：13．9．（2021•甲卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos θ． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1，0），M 为C 上的动点，点P 满足AP →=√2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．【解答】解：（1）由极坐标方程为ρ＝2√2cos θ，得ρ2＝2√2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2+y 2＝2√2x ，即(x −√2)2+y 2＝2，表示圆心为C （√2，0），半径为√2的圆． （2）设点P 的直角坐标为（x ，y ），M （x 1，y 1），因为A （1，0）， 所以AP →=（x ﹣1，y ），AM →=（x 1﹣1，y 1）， 由AP →=√2AM →， 即{x −1=√2(x 1−1)y =√2y 1，解得{x 1=√22(x −1)+1y 1=√22x ，所以M （√22（x ﹣1）+1，√22y ），代入C 的方程得[√22(x −1)+1−√2]2+(√22y)2=2，化简得点P 的轨迹方程是(x −3+√2)2+y 2＝4，表示圆心为C 1（3−√2，0），半径为2 的圆；化为参数方程是{x =3−√2+2cosθy =2sinθ，θ为参数；计算|CC 1|＝|（3−√2）−√2|＝3﹣2√2＜2−√2，所以圆C与圆C1内含，没有公共点．10．（2021•乙卷）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，P A，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△P AB面积的最大值．【解答】解：（1）点F(0，p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p＝2；（2）由（1）知，抛物线的方程为x2＝4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得l PA：y=x12x−x124，l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22，x1x24)，设l AB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴△＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，∴P（2k，﹣b），∵|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√16k2+16b，d p→AB=|2k2+2b|√k+1，∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32①，又点P（2k，﹣b）在圆M：x2+（y+4）2＝1上，故k2=1−(b−4)24，代入①得，S△PAB=4(−b 2+12b−154)32，而y p＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，∴当b＝5时，(S△PAB)max=20√5．11．（2021•上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|P A|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，所以双曲线的标准方程为x 2100−y 2300=1，直线OP ：y =√33x ，联立双曲线方程，可得x =15√22，y =5√62， 即点P 的坐标为（15√22，5√62）．（2）①|QA |﹣|QB |＝30，则a ＝15，c ＝20，所以b 2＝175， 双曲线方程为x 2225−y 2175=1；②|QC |﹣|QD |＝10，则a ＝5，c ＝15，所以b 2＝200， 所以双曲线方程为y 225−x 2200=1，两双曲线方程联立，得Q （√1440047，√297547），所以|OQ |≈19米，Q 点位置北偏东66°． 12．（2020•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3， 由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18， ∴椭圆的方程为x 218+y 29=1，（Ⅱ）：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣12kx ＝0，解得x ＝0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为（12k 2k 2+1，6k 2−32k 2+1），∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为（0，﹣3）， ∴点P 的坐标为（6k2k 2+1，−32k 2+1），由3OC →=OF →，可得点C 的坐标为（1，0），故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k •32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2﹣3k +1＝0， 解得k =12或k ＝1，∴直线AB 的方程为y =12x ﹣3或y ＝x ﹣3． 13．（2020•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （﹣4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝﹣4于点P ，Q ．求|PB||BQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ，则{4a 2+1b 2=1a =2b，解得b 2＝2，a 2＝8，∴椭圆方程为x 28+y 22=1，（Ⅱ）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线方程为y ＝k （x +4）， 由{y =k(x +4)x 28+y 22=1，消y 整理可得（1+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣8＝0， ∴△＝﹣32（4k 2﹣1）＞0， 解得−12＜k ＜12，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−32k21+4k2，x 1x 2=64k 2−81+4k2，则直线AM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2（x +2），直线AN 的方程为y +1=y 2+1x 2+2（x +2），分别令x ＝﹣4， 可得y P =−2(y 1+1)x 1+2−1=−(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2，y Q =−(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2∴|PB |＝|y P |＝|(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2|，QB |＝|y Q |＝|(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2|，∴|PB||BQ|=|[(2k+1)x 1+(8k+4)](x 2+2)[(2k+1)x 2+(8k+4)](x 1+2)|＝|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|∵（2k +1）x 1x 2+（4k +2）（x 1+x 2）+8（2k +1）=32k 2(2k+1)1+4k2，∴|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|＝|(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 2)(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 1)|＝|−(x 1+x 2)+2x 2−(x 1+x 2)+2x 1|＝1，故|PB||BQ|=1．14．（2020•上海）已知双曲线Γ1：x 24−y 2b 2=1与圆Γ2：x 2+y 2＝4+b 2（b ＞0）交于点A （x A ，y A ）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x ＞|x A |的部分． （1）若x A =√6，求b 的值；（2）当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|＝8，求∠F 1PF 2； （3）过点D （0，b 22+2）斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b表示OM →•ON →，并求OM →•ON →的取值范围．【解答】解：（1）由x A =√6，点A 为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立{x A 24−y A 2b2=1x A 2+y A 2=4+b 2，解得y A =√2，b ＝2；（2）由题意可得F 1，F 2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝8，2a ＝4，所以|PF 2|＝8﹣4＝4，因为b =√5，则c =√4+5=3， 所以|F 1F 2|＝6，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=64+16−362×8×4=1116，由0＜∠F 1PF 2＜π，可得∠F 1PF 2＝arccos1116；（3）设直线l ：y =−b2x +4+b22，可得原点O 到直线l 的距离d =|4+b 22|√1+b4=√4+b 2，所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以k OM =2b ，并设OM ：y =2bx 与圆x 2+y 2＝4+b 2联立，可得x 2+4b2x 2＝4+b 2， 可得x ＝b ，y ＝2，即M （b ，2），注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当y A ＞2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由{x A 24−y A 2b2=1x A 2+y A 2=4+b2，可得y A 2=b4a+b2，所以有4＜b44+b2，解得b 2＞2+2√5或b 2＜2﹣2√5（舍去），因为OM →为ON →在OM →上的投影可得，OM →•ON →=4+b 2， 所以OM →•ON →=4+b 2＞6+2√5， 则OM →•ON →∈（6+2√5，+∞）．15．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →•QP →的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．【解答】解：（1）由椭圆的标准方程可知，a 2＝4，b 2＝3，c 2＝a 2﹣b 2＝1， 所以△AF 1F 2的周长＝2a +2c ＝6．（2）由椭圆方程得A （1，32），设P （t ，0），则直线AP 方程为y =321−t (x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q （4，32•4−t 1−t），OP →•QP →=（t ，0）•（t ﹣4，0−32•4−t1−t）＝t 2﹣4t ＝（t ﹣2）2﹣4≥﹣4， 当t ＝2时，（OP →⋅QP →）min ＝﹣4．（3）若S 2＝3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1，即d 2＝3d 1，A （1，32），F 1（﹣1，0），可得直线AB 方程为y =34（x +1），即3x ﹣4y +3＝0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x ﹣4y +m ＝0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m ＝﹣6或12，当m ＝﹣6时，直线l 为3x ﹣4y ﹣6＝0，即y =34（x ﹣2），联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得（x ﹣2）（7x +2）＝0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127，所以M （2，0）或（−27，−127）．当m ＝12时，直线l 为3x ﹣4y +12＝0，即y =34（x +4），联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24＝0，△＝9×（36﹣56）＜0，所以无解，综上所述，M 点坐标为（2，0）或（−27，−127）． 16．（2020•浙江）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）p =116，则p 2=132，则抛物线C 2的焦点坐标（132，0）， （Ⅱ）直线l 与x 轴垂直时，此时点M 与点A 或点B 重合，不满足题意， 设直线l 的方程为y ＝kx +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），由{x 22+y 2=1y =kx +t，消y 可得（2k 2+1）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0， ∴△＝16k 2t 2﹣4（2k 2+1）（2t 2﹣2）＞0，即t 2＜1+2k 2， ∴x 1+x 2=−4kt 1+2k2，∴x 0=12（x 1+x 2）=−2kt 1+2k 2，∴y 0＝kx 0+t =t 1+2k2，∴M （−2kt 1+2k2，t1+2k 2），∵点M 在抛物线C 2上，∴y 2＝2px ，∴p =y 22x =t 2(1+2k 2)22⋅−2kt 1+2k2=t −4k(1+2k 2)， 联立{y 2=2px y =kx +t ，解得x 1=t(1+2k 2)−2k 3，y 1=t −2k2， 代入椭圆方程可得t 2(1+2k 2)28k 6+t 24k 4=1，解得t 2=8k6(1+2k 2)2+2k2。
高三数学-2018年高考题分章节汇编-圆锥曲线方程 精品
2018年高考题分章节汇编 第八章 圆锥曲线方程一、选择题1．(2018年春考·北京卷·理5)设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+22为椭圆”的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件2．(2018年春考·北京卷·理6)已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是 （ C ）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x 3．(2018年春考·北京卷·文5) “ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的（ C ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件4．(2018年高考·上海卷·理15)过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在5．(2018年高考·福建卷·理10)已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ D ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+6．(2018年高考·福建卷·文9)已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ C ）A ．21B ．23 C ．27 D ．57．(2018年高考·广东卷5)若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ B ）A ．3B ．23 C ．38 D ．32 8．(2018年高考·湖北卷·理5文6)双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ A ）A ．163B ．83 C ．316 D ．38 9．(2018年高考·湖南卷·理7文8)已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ D ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º10．(2018年高考·辽宁卷11)已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ B ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2111．(2018年高考·重庆卷·理9文9)若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b b y x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ A ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b12．(2018年高考·江苏卷6)抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 （B ）A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．013．(2018年高考·江苏卷11)点P （-3，1）在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （A ）A ．33B ．31 C ．22 D ．21 14．(2018年高考·山东卷·理12文12)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．415．(2018年高考·天津卷·理5文6)设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ C ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±16．(2018年高考·全国卷Ⅰ·理5)已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ A ）A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 17．(2018年高考·全国卷Ⅰ·文5)已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ A ）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 18．(2018年高考·全国卷II ·理6)已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为 （ C ）A ．563 B ．665 C ．56 D ．65 19．(2018年高考·全国卷II ·文5)抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ D ）A ．2B ．3C ．4D ．520．(2018年高考·全国卷II ·文6)双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （ C ）A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 21．(2018年高考·全国卷Ⅲ·理9文9)已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ C ）A ．43B ．53C D 22．(2018年高考·全国卷Ⅲ·理10文10)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ D ）A ．2 B C ．2 D 1二、填空题1．(2018年春考·北京卷·文10)192522=+y x 的离心率是 ，准线方程是 .42554±=x2. (2018年春考·上海卷7)双曲线116922=-y x 的焦距是 .65 3．(2018年高考·北京卷·文9)抛物线x y 42=的准线方程是 ，焦点坐标是 . )0,1(1-=x4．(2018年高考·上海卷·理5)若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.1922=-y x 5．(2018年高考·上海卷·文7)若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.1208022=+y x 6．(2018年高考·江西卷·理16文16)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）③④7．(2018年高考·重庆卷·理16)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.②③⑤ ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 8．(2018年高考·重庆卷·文16)已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .13422=+y x 9．(2018年高考·浙江卷·理13文13)过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 210．(2018年高考·山东卷·理14文14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.e =三、解答题1．（本小题满分14分）(2018年春考·北京卷·理18)如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b ，且交抛物线)0(22>=p px y 于),(11y x M 、),(22y x N 两点．（1）写出直线l 的截距式方程； （2）证明：by y 11121=+； （3）当p a 2=时，求MON ∠的大小．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，满分14分． （Ⅰ）解：直线l 的截距式方程为.1=+bya x ① （Ⅱ）证明：由①及y 2=2px 消去x 可得0222=-+pab pay by ②点M ，N 的纵坐标y 1, y 2为②的两个根，故.12211.2,22121212121b pa b pay y y y y y pa y y bpay y =--=+=+-=-=+所以 （Ⅲ）解：设OM ，ON 的斜率分别为k 1,k 2,.90,,144,44)4(4)(,4)(2,2,42,)(,2.,2221212122222212*********2121221222111 =∠⊥-=-========-=-====MON ON OM p p x x y y k k p p p p y y x x x x p y y px y px y p pa y y II p a x y k x y k 即所以因此相乘得由知由时当则2．（本小题满分14分）(2018年春考·北京卷·文18)如图，O 为坐标原点，过点P （2，0）且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2=2x 于M （x 1,y 1）,N(x 2, y 2)两点． （1）写出直线l 的方程； （2）求x 1x 2与y 1y 2的值； （3）求证：OM ⊥ON ．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，满分14分． （Ⅰ）解：直线l 的方程为 )0()2(≠-=k x k y ①（Ⅱ）解：由①及y 2=2x 消去y 可得.04)1(22222=++-k x k x k ②点M ，N 的横坐标x 1与 x 2是②的两个根， 由韦达定理得22212122212,2.44x y x y k k x x ====由.4,0,16444)(212121221-=<=⨯==y y y y x x y y 所以注意到得（Ⅲ）证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1, k 2,.,144.,212121222111ON OM x x y y k k x y k x y k ⊥-=-====所以相乘得则 3. (本题满分18分) (2018年春考·上海卷22)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 第3小题满分5分.（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.[解]（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++by b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴ 124422=++b b ， 解得 42=b 或22-=b （舍），由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x . …… 5分 （2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y ， 解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2ka b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+， ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心. …… 18分 4．（本小题共14分）(2018年高考·北京卷·理18文20)如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2.（Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合. 解：（I ）},0,|),{(1<-<<=x kx y kx y x W }.0,|),{(2><<-=x kx y kx y x W（II ）直线.0:,0:21=+=-y kx l y kx l 直线由题意得.0)1(0)1(,1,0,),(,1||,1||1||22222222222222222222222222=+--=+--=+->-∈=+-=++⋅+-d k y x k C P d k y x k d k y x k y x k W y x P d k y x k d k y kx k y kx 的方程为的轨迹所以动点即所以知由即（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为)0(≠=a a x . 由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为)0,32(a，即它们的重心重合.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为).0(≠+=n n mx y由.02)(,0)1(222222222222=-----⎩⎨⎧+==+--d d k n mnx x m k nmx y d k y x k 得由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知且,022≠-m k),,(),,(,.2)(2),,(),,(,,0)()(4)2(443343212122212211212222222y x y x M M n x x m y x mk mn x x y x y x M M d d k n m k mn x 的坐标分别为设则的坐标分别为设++=+-=+>++⨯-+=∆,3030,3030,2)(2)(,2,,,,432143212121434321224343y y y y x x x x y y n x x m n x x m y y x x mk mnx x m k nx m k n x n mx y kx y n mx y kx y ++=++++=+++=++=++=++=-=++-=-=⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧+==所以所以从而得及由 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合. 5．（本题满分14分）(2018年高考·上海卷·理19)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.[解]（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x y x y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则 由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又 椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d 有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d 由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤- 6．（本题满分16分）(2018年高考·上海卷·文21)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.解：（1）抛物线.2,524,222=∴=+-==p pp x px y 于是的准线为 ∴抛物线方程为y 2= 4x .（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），又∵F （1，0）， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.432x y -=-解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得（3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离， 当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44m x my --=即为,04)4(4=---m y m x 圆心M （0，2）到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离；当m=1时，直线AK 与圆M 相切； 当1<m 时，直线AK 与圆M 相交. 7．（本小题满分12分）(2018年高考·福建卷·理21文22)已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅OM ， cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.（I ）解法一：直线323:-=x y l ， ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ② 解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③ 解法二：直线333:-=x y l .设原点关于直线l 对称点为（p ，q ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=.1332232p q p q 解得p=3. ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32=∴c a ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③ （II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k ,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x ,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=,cot 634MON ON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMON MON OM ,634||.632,634sin ||||=⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN即).13(6341||6422+=+k k k 整理得.33,312±=∴=k k当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM . 所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x 解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k ,13122221+-=+∴k k x x∵E （－2，0）是椭圆C 的左焦点，∴|MN|=|ME|+|NE|=.13)1(6262)1312(622)()()(2222212212++=++-⋅=++=+++k k k k a x x a c x c a e x c a e以下与解法一相同.解法三：设M （11,y x ），N （22,y x ）.设直线2:-=ty x m ，代入③，整理得.024)3(22=--+ty y t,32,34221221+-=+=+∴t y y t t y y.)3(242438)34(4)(||222222212121++=+++=-+=-t t t t t y y y y y y ,cot 634MON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMON MON OM.632,634sin ||||=∴=∠⋅∴∆OMN S MON OM=-⋅=+=∆∆∆||||2121y y OE S S S OENOEM OMN .)3(2424222++t t∴222)3(2424++t t =632，整理得.324t t =解得,3±=t 或.0=t故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线方程为.0≠⋅所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x 8．（本小题满分14分）(2018年高考·广东卷17)在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则1212,3.3x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ (1)∵OA ⊥OB ，即12120x x y y +=， (2)又点A ，B 在抛物线上，有221122,y x y x ==，代入（2）化简得121-=x x ∴222221212121211122()[()2](3)3333333y y y x x x x x x x x +==+=+-=⨯+=+， 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y ．（II ）1||||2AOB S OA OB ∆===由（I ）得AOB S ∆==12 1.2=≥==⨯= 当且仅当2212x x =即121x x =-=-时，1AOB S ∆=． 所以△AOB 的面积存在最小值，且最小值为1． 9．（本小题满分12分）(2018年高考·湖北卷·理21文22)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x +y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x +y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ 由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x +y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλ计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 10．（本小题满分14分）(2018年高考·湖南卷·理19文21)已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ. （Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程；（理科无此问） （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由.所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a -设M 的坐标是),,(),(),,(0000a eay e a x AM y x λλ=+=得由 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x（Ⅲ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-.1)1(2,13.220102202200000e a e y c e e x a c x e y e cx y 解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ. 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 11．（本小题满分14分）(2018年高考·辽宁卷21)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca P F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca P F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，③ ④22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分12．（本小题满分14分）(2018年高考·江西卷·理22)如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=③ ④所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有41)1)(1(cos 102110110x x x x x x x x BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 13．（本小题满分12分）(2018年高考·江西卷·文21)如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)则直线MF 的斜率为－k ，).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴xy y x k y y 2200)(由消0)1(002=-+-ky y y ky x 得2200)1(,1k ky x k ky y F F -=∴-=解得).(2142)1()1(1102022022000定值y k ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF-=-=+---+--=--=∴所以直线EF 的斜率为定值（2）,1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线 ).1,)1((,0202200y y E xy y x y y --⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得由 同理可得)).1(,)1((020y y F +-+设重心G （x , y ），则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(3000020202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M F E M).32(2729120>-=x x y y 得消去参数 14．（本小题满分12分）(2018年高考·重庆卷·理21)已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 15．（本小题满分12分）(2018年高考·重庆卷·文21)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 16．(2018年高考·浙江卷·理17文19)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅱ)(文)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c=-=-()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴=== 221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ)(理) 设()0,,||1P m y m >， 当00y >时，120F PF ∠=；当00y ≠时，22102F PF PF M π<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+，直线2PF 的斜率021y k m =-， 021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+0||y =时，12F PF ∠最大，(,,||1Q m m ∴>(Ⅱ)(文)()004,,0P y y -≠设x =001122121102112212000121212350,22tan 115tan y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。
2016-2018年高考数学分类汇编：专题10圆锥曲线 学生版
2016-2018年高考数学分类汇编：专题10 圆锥曲线全国1 (2)全国2 (5)全国3 (6)北京 (10)天津 (12)上海 (16)浙江 (18)江苏 (20)2016~2018三年高考真题分类汇编 专题10 圆锥曲线考纲解读真题链接全国1【2018全国1卷理8】设抛物线C: x y 42=的焦点为F,过点)0,2(-且斜率为32的直线与C 交于M ，N 两点,则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ = A . 5 B . 6 C . 7 D . 8【2018全国1卷理11】已知双曲线C:1322=-y x ,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=A .23B .3C .2√3D .4 【2018全国1卷理19】设椭圆C ：1222=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为)0,2(.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程 (2)设O 为坐标原点,证明:OMB OMA ∠=∠.【2018全国1卷文4】己知椭圆:1C 14222=+y a x 的一个焦点为)0,2(,则C 的离心率为 A.31 B.21C.22D.322【2018全国1卷文20】设抛物线C ：x y 22=，点A )0,2(，B )0,2(-过点A 的直线l 与C 交于M 、N 两点.（1）当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程 （2）证明:∠ABM=∠ABN【2017全国1卷理10】已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为A . 16B . 14C . 12D. 10【2017全国1卷理15为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点。
2012~2018年高考极坐标圆锥曲线真题 学生版
2012~2018极坐标圆锥曲线文科真题目录极坐标文科部分： (1)2018高考真题 (1)一．解答题 (1)2017高考真题 (3)一．解答题（共4小题） (3)2016高考真题 (5)一．解答题 (5)2015高考真题 (7)一．填空题 (7)二．解答题 (7)2014高考真题 (10)一．填空题 (10)二．解答题 (10)2013高考真题 (12)一．填空题 (12)二．解答题 (12)2012高考真题 (15)一．填空题 (15)二．解答题 (15)圆锥曲线部分： (17)2018高考真题 (17)一．选择题 (17)二．填空题 (18)三．解答题 (19)2017高考真题 (25)一．选择题 (25)二．填空题 (26)三．解答题 (27)2016高考真题 (33)一．选择题 (33)二．填空题 (34)三．解答题 (35)2015高考真题 (43)一．选择题 (43)二．填空题 (45)三．解答题 (47)2014高考真题 (59)一．选择题 (59)二．填空题 (61)三．解答题 (62)2013高考真题 (75)一．选择题 (75)二．填空题 (78)三．解答题 (80)2012高考真题 (93)一．选择题 (93)二．填空题 (95)三．解答题 (97)极坐标文科部分：2018高考真题一．解答题（共6小题）1．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y=k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．2．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =4sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．3．（2018•新课标Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ，（θ为参数），过点（0，﹣√2）且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4．（2018•江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin （π6﹣θ）=2，曲线C 的方程为ρ=4cosθ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．2017高考真题一．解答题（共4小题）1．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为 {x =a +4t y =1−t ，（t 为参数）．（1）若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ．2．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |•|OP |=16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为（2，π3），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．3．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =2+t y =kt ，（t为参数），直线l 2的参数方程为{x =−2+m y =m k，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ（cosθ+sinθ）﹣√2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．4．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =−8+t y =t 2（t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．2016高考真题一．解答题（共4小题）1．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =acost y =1+asint （t为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅰ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．2．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x +6）2+y 2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅰ）直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα（t 为参数），l 与C 交与A ，B 两点，|AB |=√10，求l 的斜率．3．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1+12ty =√32t （t 为参数），椭圆C 的参数方程为{x =cosθy =2sinθ（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．4．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）=2√2． （1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．2015高考真题一．填空题（共2小题）1．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为{x=t2y=2√2t（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．2．（2015•湖南）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．二．解答题（共4小题）3．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅰ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．4．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =tcosαy =tsinα（t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2√3cosθ． （1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．5．（2015•江苏）已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin （θ﹣π4）﹣4=0，求圆C的半径．6．（2015•陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+12ty =√32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅰ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．2014高考真题一．填空题（共4小题）1．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程{x =1−√22ty =2+√22t（t 为参数），直线l 与抛物线y 2=4x 相交于AB 两点，则线段AB 的长为 ． 2．（2014•广东）在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C ：{x =2+√22ty =1+√22t（t 为参数）的普通方程为 ．4．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，π6）到直线ρsin(θ−π6)=1的距离是 ．二．解答题（共3小题）5．（2014•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，π2]（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅰ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线l ：y=√3x +2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．6．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：x24+y29=1，直线l：{x=2+ty=2−2t（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅰ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．7．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅰ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．2013高考真题一．填空题（共3小题）1．（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．2．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：{x =2s +1y =s （s 为参数）和直线l 2：{x =aty =2t −1（t 为参数）平行，则常数a 的值为 ． 3．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线{x =t 2y =2t（t 为参数）的焦点坐标是 ．二．解答题（共4小题）4．（2013•新课标Ⅰ）已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5costy =5+5sint （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．5．（2013•新课标Ⅰ）已知动点P 、Q 都在曲线C ：{x =2cosβy =2sinβ（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．6．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t +1y =2t （ 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2t 2y =2t（t 为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．7．（2013•辽宁）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ−π4）=2√2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅰ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为{x=t3+ay=b2t3+1（t∈R为参数），求a，b的值．2012高考真题一．填空题（共4小题）1．（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P 的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，OP →的坐标为 ．2．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为{x =√5cosθy =√5sinθ（θ为参数，0≤θ≤π2）和{x =1−√22t y =−√22t（t 为参数），则曲线C 1和C 2的交点坐标为 ．3．（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C 1：ρ（√2cosθ+sinθ）=1与曲线C 2：ρ=a （a ＞0）的一个交点在极轴上，则a= ．4．（2012•陕西）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为 ．二．解答题（共3小题）5．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφy =3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，π3）．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围．6．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：（x ﹣2）2+y 2=4．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅰ）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．7．（2012•江苏）在极坐标中，已知圆C 经过点P （√2，π4），圆心为直线ρsin （θ﹣π3）=﹣√32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．圆锥曲线部分：2018高考真题一．选择题（共10小题）1．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．√22D ．2√232．（2018•新课标Ⅰ）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±√2xB ．y=±√3xC ．y=±√22xD ．y=±√32x3．（2018•新课标Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°，则C 的离心率为（ ）A ．1﹣√32B ．2﹣√3C ．√3−12D ．√3﹣14．（2018•浙江）双曲线x 23﹣y 2=1的焦点坐标是（ ）A ．（﹣√2，0），（√2，0）B ．（﹣2，0），（2，0）C ．（0，﹣√2），（0，√2） D ．（0，﹣2），（0，2）5．（2018•新课标Ⅰ）直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]6．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（ ） A ．√2B ．2C ．3√22D ．2√27．（2018•上海）设P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A ．2√2B ．2√3C ．2√5D ．4√28．（2018•天津）已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为（ ）A ．x 23﹣y 29=1B ．x 29﹣y 23=1 C ．x 24﹣y 212=1 D ．x 212﹣y 24=19．（2018•全国）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1过点（﹣4，35）和（3，﹣45），则椭圆离心率e=（ ）A ．2√65B ．√65C ．15D ．2510．（2018•全国）过抛物线y 2=2x 的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM →•ON →=（ ）A ．34B ．14C ．﹣14D ．﹣34二．填空题（共8小题）11．（2018•新课标Ⅰ）直线y=x +1与圆x 2+y 2+2y ﹣3=0交于A ，B 两点，则|AB |= ．12．（2018•浙江）已知点P （0，1），椭圆x 24+y 2=m （m ＞1）上两点A ，B 满足AP →=2PB →，则当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大．13．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值为 ．14．（2018•上海）双曲线x24﹣y 2=1的渐近线方程为 ．15．（2018•北京）已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 ．16．（2018•北京）若双曲线x 2a 2﹣y 24=1（a ＞0）的离心率为√52，则a= ．17．（2018•天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．18．（2018•全国）坐标原点关于直线x ﹣y ﹣6=0的对称点的坐标为 ．三．解答题（共9小题）19．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A 的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM=∠ABN．20．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．21．（2018•浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x 上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅰ）若P是半椭圆x2+y24=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．22．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（√3，12），焦点F1（﹣√3，0），F2（√3，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为2√67，求直线l的方程．23．（2018•新课标Ⅰ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜﹣12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|=|FA →|+|FB →|．24．（2018•上海）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：y 2=8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点． （1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t=3，|FQ |=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．25．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，焦距为2√2．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅰ）若k=1，求|AB |的最大值；（Ⅰ）设P （﹣2，0），直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q （﹣74，14）共线，求k ．26．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB |=√13．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅰ）设直线l ：y=kx （k ＜0）与椭圆交于P ，Q 两点，1与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．27．（2018•全国）双曲线x 212﹣y 24=1，F 1、F 2为其左右焦点，C 是以F 2为圆心且过原点的圆．（1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足F 1M →=2MP →，求M 的轨迹方程．2017高考真题一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．322．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（0，√3]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）3．（2017•新课标Ⅰ）若a ＞1，则双曲线x 2a 2﹣y2=1的离心率的取值范围是（ ）A ．（√2，+∞）B ．（√2，2）C ．（1，√2）D ．（1，2）4．（2017•新课标Ⅰ）过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．3√35．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，则C 的离心率为（ ）A ．√63B ．√33 C ．√23 D ．13 6．（2017•浙江）椭圆x 29+y 24=1的离心率是（ ）A ．√133 B ．√53 C ．23 D ．597．（2017•天津）已知双曲线x 2a 2﹣y2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A ．x 24−y 212=1B ．x 212−y 24=1 C ．x 23−y 2=1D ．x 2−y 23=18．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个9．（2017•全国）椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），点P 在C 上，F 2P=2，∠F 1F 2P =2π3，则C 的长轴长为（ ）A ．2B ．2√3C ．2+√3D ．2+2√310．（2017•全国）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F （c ，0），直线y=k （x ﹣c ）与C 的右支有两个交点，则（ ）A ．|k|＜baB ．|k|＞baC ．|k|＜caD ．|k|＞ca二．填空题（共7小题）11．（2017•新课标Ⅰ）双曲线x 2a 2−y 29=1（a ＞0）的一条渐近线方程为y=35x ，则a= ．12．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 ．13．（2017•天津）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC=120°，则圆的方程为 ． 14．（2017•北京）若双曲线x 2﹣y 2m =1的离心率为√3，则实数m= ．15．（2017•上海）设双曲线x 29﹣y 2b2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．16．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 ．17．（2017•全国）直线x −√3y −2=0被圆x 2+y 2﹣2x=0截得的线段长为 ．三．解答题（共10小题）18．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：y=x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．19．（2017•新课标Ⅰ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22+y 2=1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →=√2NM →． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3上，且OP →•PQ →=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．20．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线y=x 2+mx ﹣2与x 轴交于A 、B两点，点C 的坐标为（0，1），当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．21．（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．22．（2017•浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣12，14），B（32，94），抛物线上的点P（x，y）（﹣12＜x＜32），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅰ）求|PA|•|PQ|的最大值．23．（2017•天津）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为b2 2．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=32c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．24．（2017•北京）已知椭圆C 的两个顶点分别为A （﹣2，0），B （2，0），焦点在x 轴上，离心率为√32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．25．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．26．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a+y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，椭圆C 截直线y=1所得线段的长度为2√2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）动直线l ：y=kx +m （m ≠0）交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．27．（2017•全国）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，短轴的一个端点为B，短轴长为4，△ABF的面积为√5−1（1）求a，b；（2）设直线l与C交于P，Q两点，M（2，2），四边形OPMQ为平行四边形，求l的方程．2016高考真题一．选择题（共10小题）1．（2016•新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．342．（2016•新课标Ⅰ）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y=k x（k ＞0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．23．（2016•新课标Ⅰ）圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y +13=0的圆心到直线ax +y ﹣1=0的距离为1，则a=（ ）A ．﹣43B ．﹣34C ．√3D ．24．（2016•新课标Ⅰ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．345．（2016•天津）已知双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2√5，且双曲线的一条渐近线与直线2x +y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）A ．x 24﹣y 2=1B ．x 2﹣y24=1C ．3x 220﹣3y 25=1D ．3x 25﹣3y 220=16．（2016•山东）已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay=0（a ＞0）截直线x +y=0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离7．（2016•北京）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y=x +3的距离为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√28．（2016•四川）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）9．（2016•全国）设直线y=2x﹣4与双曲线C：x2﹣y2b=1的一条渐近线平行，则C的离心率为（）A．√3B．√5C．3D．510．（2016•全国）抛物线y2=14（x﹣1）的准线方程是（）A．x=0B．x=1516C．x=1D．x=1716二．填空题（共11小题）11．（2016•新课标Ⅰ）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2√3，则圆C的面积为．12．（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27﹣y23=1的焦距是．13．（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．14．（2016•新课标Ⅰ）已知直线l：x﹣√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=．15．（2016•天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点M（0，√5）在圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为4√55，则圆C的方程为．16．（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．17．（2016•浙江）已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a=0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．18．（2016•浙江）设双曲线x 2﹣y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是 ．19．（2016•山东）已知双曲线E ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是 ．20．（2016•北京）已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y=0，一个焦点为（√5，0），则a= ，b= ．21．（2016•上海）已知平行直线l 1：2x +y ﹣1=0，l 2：2x +y +1=0，则l 1，l 2的距离 ．三．解答题（共12小题）22．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y=t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（Ⅰ）求|OH||ON|；（Ⅰ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．23．（2016•新课标Ⅰ）已知A 是椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点，斜率为k （k ＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（II）当2|AM|=|AN|时，证明：√3＜k＜2．24．（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x 2+y 2﹣12x ﹣14y +60=0及其上一点A （2，4）．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →+TP →=TQ →，求实数t 的取值范围．25．（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（2016•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅰ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．27．（2016•天津）设椭圆x2a+y23=1（a＞√3）的右焦点为F，右顶点为A，已知1 |OF|+1|OA|=3e|FA|，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．28．（2016•浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y轴的距离等于|AF|﹣1，（Ⅰ）求p的值；（Ⅰ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．29．（2016•山东）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2√2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（Ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明k2k1为定值；（Ⅰ）求直线AB的斜率的最小值．30．（2016•北京）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．31．（2016•上海）双曲线x 2﹣y 2b =1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l过F 2且与双曲线交于A 、B 两点．（1）若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=√3，若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率．32．（2016•四川）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P （√3，12）在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |•|MB |=|MC |•|MD |33．（2016•全国）过椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 的直线l 交C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且A 不在x 轴上．（Ⅰ）求|y 1y 2|的最大值；（Ⅰ）若|AF||FB|=14，求直线l 的方程．2015高考真题一．选择题（共17小题）1．（2015•新课标Ⅰ）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．122．（2015•天津）已知双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （2，0），且双曲线的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=3相切，则双曲线的方程为（ ）A ．x 29﹣y 213=1B ．x 213﹣y 29=1C ．x 23﹣y 2=1D ．x 2﹣y23=13．（2015•天津）如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．524．（2015•浙江）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB=30°，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支5．（2015•上海）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=n n+1（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限lim n→∞y n −1x n−1=（ ）A ．﹣1B ．﹣12C ．1D ．26．（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）A ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1B ．（x +1）2+（y +1）2=1C ．（x +1）2+（y +1）2=2D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=27．（2015•广东）已知椭圆x 225+y 2m=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．98．（2015•四川）过双曲线x 2﹣y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |=（ ）A ．4√33B ．2√3C ．6D ．4√39．（2015•四川）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）10．（2015•陕西）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0）B ．（1，0）C ．（0，﹣1）D ．（0，1）11．（2015•重庆）设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 做A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．±12 B ．±√22C ．±1D ．±√212．（2015•湖南）若双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（ ）A ．√73 B ．54 C ．45 D ．5313．（2015•湖北）将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b （a ≠b ）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则（ ） A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 214．（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（ ） A ．x 2﹣y 24=1 B ．x 24﹣y 2=1 C ．x 2﹣y 22=1 D ．x 22﹣y 2=115．（2015•安徽）直线3x +4y=b 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1=0相切，则b=（ ）A ．﹣2或12B ．2或﹣12C ．﹣2或﹣12D ．2或1216．（2015•福建）已知椭圆E ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．（0，√32]B ．（0，34]C ．[√32，1） D ．[34，1）17．（2015•全国）直线l 与椭圆x 236+y218=1相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为（2，1），则l 的斜率为（ ）A ．√2B ．﹣√2C ．1D ．﹣1二．填空题（共13小题）18．（2015•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 28=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0，6√6）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 ．19．（2015•新课标Ⅰ）已知双曲线过点(4，√3)且渐近线方程为y=±12x ，则该双曲线的标准方程是 ．20．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 21．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y +1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ．22．（2015•浙江）椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （c ，0）关于直线y=b cx的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．23．（2015•上海）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．24．（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为x24﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．25．（2015•北京）已知（2，0）是双曲线x2﹣y2b2=1（b＞0）的一个焦点，则b=．26．（2015•山东）过双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为．27．（2015•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为．28．（2015•湖南）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．29．（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．30．（2015•全国）点（3，﹣1）关于直线x+y=0的对称点为．。
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圆锥曲线
1.（2018年全国一·文科4）已知椭圆C ：22
214
x y a +=的一个焦点为(20)，
，则C 的离心率为 A ．1
3
B ．
12
C
D
2.（2018年全国二·文科6）双曲线
A ．
B ．
C ．
D ．
3.（2018年全国二·文科11）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且
，则的离心率为
A ．
B ．
C
D
4.（2018年全国三·文科10）已知双曲线
，则点到的
渐近线的距离为
A
B ．
C ．
D ．5.（2018年北京·文科10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线2
4y ax =截得的线段长为4，
则抛物线的焦点坐标为_________.
6.（2018年北京·文科12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =_________.
7.（2018年天津·文科7）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的
直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为
（A ）
22
139
x y -=
（B ）22
193
x y -= 22
221(0,0)x y a b a b -=>>y =y =y =y =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 12122
221(00)x y C a b a b
-=>>：，(4,0)C 22
（C ）
22
1412
x y -=
（D ）
22
1124
x y -= 8.（2018年江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐
，则其离心率的值是 ． 9.（2018年浙江2）双曲线2
21 3
=x y -的焦点坐标是
A ．(0)，，0)
B ．(−2，0)，(2，0)
C ．(0，)，(0)
D ．(0，−2)，(0，2)
10.（2018年浙江17）已知点P (0，1)，椭圆24
x +y 2
=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当
m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．
11.（2018年上海2）双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为 。
12.（2018年上海13）设P 是椭圆
²5
x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）2 （D ）4 13.（2018年全国一·文科20）（12分）
设抛物线2
2C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．
14.（2018年全国二·文科20）（12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
2
4C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C
15.（2018年全国三·文科20）（12分）
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
k l 22
143
x y C +=：A B AB (1,)(0)M m m >1
2
k <-
F C P C FP FA FB ++=02||||||FP FA FB =+
16.（2018年北京·文科20）（本小题14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b +=>>.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两
个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；
（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若
C ,
D 和点71(,)44
Q -共线，求k .
17.（2018年天津·文科19）（本小题满分14分）
设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB =
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象
限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．
18.（2018年江苏18）（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1
)2，焦点
12(F F ，圆O 的直径为12F F ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．
19.（2018年浙江21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x
上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2
+2
4
y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．
20.（2018年上海20）设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线
τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧）
，l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点。
（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；
（2）设t =3，
2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。