二次函数的几何最值问题

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二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)-2024中考数学

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题

题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题

题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题

题型03已知点关于直线对称点问题

题型04特殊角度存在性问题

题型05将军饮马模型解决存在性问题

题型06二次函数中面积存在性问题

题型07二次函数中等腰三角形存在性问题

题型08二次函数中直角三角形存在性问题

题型09二次函数中全等三角形存在性问题

题型10二次函数中相似三角形存在性问题

题型11二次函数中平行四边形存在性问题

题型12二次函数中矩形存在性问题

题型13二次函数中菱形存在性问题

题型14二次函数中正方形存在性问题

二次函数常见存在性问题：

(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.

【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.

(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.

(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.

(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.

怎样求解二次函数中的几何最值问题

数

学篇

解题指南

几何图形与二次函数的综合题难度一般较大.在解答此类问题时，同学们要认真观察、分析图形的结构特征，充分挖掘几何图形的性质，再利用二次函数的性质求解.下面笔者就以二次函数中线段最值问题与图形面积最值问题的常见解法举例说明.

一、二次函数中的线段最值问题

常见的二次函数中的线段最值问题有：（1）求某条线段的最值；（2）求几条线段的和的最小值或差的最大值.这类问题侧重于考查二次函数与直线的位置关系、二次函数的性质、平面几何图形的性质.解答此类问题，通常需根据直线与二次函数的位置关系，利用二次函数的对称性转换点或线段的位置，构造出三角形、平行四边形、三点共线的情况等，从而运用三角形、平四边形的性质，以及一些平面几何定理，如“两点间线段最短”“两边之差小于第三边”，求得最值.

例1在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A （-2，-4），O （0，0），B

（2，0）三点.

（1）求抛物线y =ax 2

+bx +c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM +OM 的最小值.分析：题目（1）是一个求二次函数解析式的简单问题，只要把三个点代入解析式，组成方程组求解即可；（2）是在（1）求解出的二次函数解析式的基础上，求对称轴上一点到两个固定点的距离和问题，即“求AM +OM 的最小值”.准确画出二次函数的图象，如图1所示，利用二次函数

的对称性以及对称轴的相关知识，可以得出

OM =BM ，从而将AM +OM 转化为当A 、B 、

M 三点共线时，

两线段和最小.解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y =ax 2+bx +c 中，得方程组的解为，a =-12

中考二次函数中的几何最值问题(二)

A''

二次函数中的几何最值问题（二）

模型一.如图，在平面上有两个定点A 、B ，MN 为定直线上移动的长度一定的线段，若要使四边形AMNB 的周长最小，试确定MN 的位置。

作法：作A 点关于直线的对称点A‘，再将A’向平行于定直线的方向（B 侧）平移一个MN 的长度到A’’,连接A’’B 和直线的交点即为N 点，M 点亦随之确定。

例1. 已知：如图1，直线1y x =--分别交x 轴、y 轴于A 、E 两点，抛物线24

y x bx c

=-++经过点A ，且过点()5,0B ，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，连接BC 。（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）如图2，若在直线BC 上方的抛物线上有一点F ，当BCF ∆的面积最大时，有一线段MN=2（点M 在点N 的左侧）在直线AE 上移动，首尾顺次连接点F 、M 、N 、B 构成四边形

FMNB ，请求出四边形FMNB 的周长最小时点M 的横坐标；

M A

迁移练习1.如图1，已知抛物线34

832--=

x x y 与轴交于和两点（点在点的左侧）与轴相交于点，顶点为. （1）求出点的坐标；

（2）如图1，若线段在x 轴上移动，且点移动后的对应点为.首尾顺次连

接点、、、构成四边形，请求出四边形的周长最小值．

x A B A B y C D ,,A B D OB ,O B ','O B 'O 'B D C ''OBDC ''

OBDC

模型二. 如图，平面上有2条定直线l ，m,A 、B 为直线两侧的2个定点，点M 为直线l 上的动点，点N 为直线m 上的动点，要使得AN+BM+MN 的长度最小，试确定M 、N 的位置.

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题

1、平行于x轴的线段最值问题

1）首先表示出线段两个端点的坐标

2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标

3）得到一个线段长关于自变量的二次函数

4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

2、平行于y轴的线段最值问题

1）首先表示出线段两个端点的坐标

2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标

3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式

4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题

1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴

2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标

3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长

4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）

5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数

6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可

二、二次函数周长最值问题

1、矩形周长最值问题

1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值

2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长

3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值

2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值

1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量

2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长

中考数学《二次函数-几何最值问题》课件

中考第26题专题
------中考数学二次函数几何最值问题
中考第26题专题
2011版新数学课程标准指出：数学教学中应当注意引导学生经历“从生活到数学”的建模过程，运用数学的知识、方法、思想分析和解决实际问题的应用过程，发展学生的应用意识．今天，我们通过近几年重庆中考26题的研究，抽丝剥茧、追本溯源，找到解决双最值问题的解题方法．
两上作一点M，在l2上作点N. 定（4）点A 、B在两直线一内一外使AM+MN+NB最小
两
动
l1
l2
l1
l2
两
B
平
N M
A
行
B
B1
M A1
N A
线
逆向对称
知本源【模型1】
类型3：如图已知直线l1， l2及一点A ，B，在直线l 1
两上作一点M，在l2上作点N. 定（5）点A 、B在两直线一内一外使AN+NM+MB最小
两
动
l1
l2
两
M B
平
N A
行
l1
l2
B M N
A
A1
线逆向对称顺向连接
一、透过“前世”知本源
【造桥选址问题】如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（取定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

二次函数中的几何最值问题

二次函wenku.baidu.com的基本性质
对称性
二次函数的图像关于垂直于 x 轴的直线 x=-b/2a 对称。
增减性
当 a>0 时，二次函数是开口向上的抛物线，函数单调递增；当 a<0 时，二次函数是开口向下的抛物线，函数单调递减。
最值
二次函数有一个最值点，通常用完全平方式求得。
几何最值问题的概念解析
在平面直角坐标系中，如何求一些特定几何形状的最大或最小值？这就是几何最值问题。
二次函数中的几何最值问题
在学习二次函数时，我们会遇到许多几何最值问题。了解这些问题的定义、解决方法和实际应用，可以帮助我们更好地理解二次函数和几何学。
二次函数的定义与图像
定义
由一般式 y=ax²+bx+c （a≠0）所表示的函数称为二次函数。
图像
二次函数的图像是一条平滑的曲线，形状如同平面上的抛物线。
解决几何最值问题的方法
完成平方
将二次项化为完全平方，从而得出最值点坐标。
利用导数
求导数，得出极值点，再求函数值得出最值。
几何最值问题的例题分析
求最大体积
已知一个金字塔底边长为 6 米，高为 8 米，求它的最大体积。
求最小周长
已知一个底边长为 8 米的直角三角形，且其中一个锐角为 30 度，求它的最小周长。

二次函数背景下的几何问题——线段最值问题

二次函数背景下的几何问题——线段最值问

题

线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，主要是求解

一个线段的最大值或最小值。这个问题可以通过二次函数的图像和相

关的数学理论来解决。在解决这类问题时，我们可以利用二次函数的

性质和相关的数学技巧来找到线段的最值点，从而得出最值。

首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx

+ c，其中a、b、c都是常数且a不等于0。根据二次函数的图像特点，我们知道它是一个抛物线，可以是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的。

对于线段最值问题，我们通常要确定线段的端点，然后找出其中

的最大值或最小值点。这可以通过以下步骤来完成：

1.确定二次函数的图像形状：根据二次函数的参数a的值，确定

抛物线是开口向上还是开口向下。

2.确定线段的端点：线段的端点可以是给定的数值，也可以通过求解二次函数的解来确定。根据二次函数的性质，它的两个解（也就是x的值）对应着抛物线与x轴的交点，即抛物线的顶点和x轴的两个交点。

3.求解最值点：对于线段的最大值点，我们需要找到抛物线的顶点，并通过计算确定它的y坐标值。通过二次函数的解析式，我们可以知道抛物线的顶点坐标是(-b/2a, f(-b/2a))。同样的，对于线段的最小值点，我们也可以通过类似的方法来解决。

4.判断最值点是否在线段上：在找到最值点之后，我们需要判断它是否在给定的线段上。这可以通过将最值点的x坐标值与线段的端点的x坐标值进行比较来实现。如果最值点的x坐标值位于线段的端点之间，则最值点就在线段上。

例析二次函数与几何综合题的最值问题

进行分析,最终解决问题．
关键字:二次函数;几何综合题;最值
二次函数的最值问题,主要涉及线段长度、图形
周长及图形面积等最值问题．
线段长度最值及图形周
长最值问题主要是要寻找何时线段最短,通常是找出
刚好关于对称轴对称,因此只需连接 BC 交对称轴于
当 d＞
R ＋r 时,两圆外离;当 R －r＜d ＜R ＋r 时,两圆相
交．
同样,利用“数”与 “形”的结合,还可对 “两圆外切”
“两圆内切”等进行描述．
数学是揭示数量关系和空间形式的科学．
正如华
罗庚所说的 “数缺形时少直观,形缺数时难入微 ”,通
为最小值．
解:(
１)由题意求出 A (－５,
０),
C(
０,
５),直线l 的
表达式为y＝－x＋１．
(
２)抛物线 y ＝－x －４x ＋５的对称轴为直线
２
m ＝－２,连接 CE ,过点 F 作FQ ∥CE 交y 轴于点 Q ,
连接 AQ ．
因为点 C 的坐标为 (
０,
５),点 D 的坐标为 (－４,
得 PA ＋PC 最小? 若存在,请求出点 P 的坐标;若不

二次函数中几何的最值问题

（2）如图1所示；
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°．
∴∠BDC+∠EDO=90°．
又∵∠ODE+∠DEO=90°，
∴∠BDC=∠DE0．
在△BDC和△DOE中， ? ，
∴△BDC≌△DEO．
∴OD=AO=1．
∴D（0，1）．
（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．
∴ = - - = + a- ．
∴当a= 时，的最大值为．
∴点P的坐标为（，）．
6、答案：
（1）y=- x+
（2）（，- ）
试题分析：
（1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m， ?3m+ ），E点的坐标为（m，? m+ ），可得两点间的距离为d=? +2 m，利用二次函数的最值可得m，可得点D的坐标.
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值。
解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，

二次函数中几何图形周长的最值问题题型与解法

C（0，﹣3）．如图，在直线BD和直线BC上是否分别存在点M、N，使得
△AMN的周长最小？若存在，请求出△AMN周长最小值以及M、N的坐标；
若不存在，请说明理由。
A1
做法：
E M
1.作A点关于直线BD的对称点对称点A1，与BD相交于点E 2.作A点关于直线BC的对称点对称点A2，与BD相交于点F
N F
2 两个动点在抛物线上求四边形周长最大值 3 一个动点在一条直线上求三角形周长最小值 4 两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值 5 两个动点分别在两条相交直线上求四边形周长的最小值
三 . 方法总结
第一部分
二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析以及学生对该题的态度
考法和学生情况
1. 根据历年重庆中考试卷分析来看，目前二次函数中几何图形周长的最值问题是必考部分，主要是考查学生点在抛物线上求几何图形的周长最大值的能力，以及点在直线上求几何图形的周长的最小值的能力（“将军饮马”模型的应用能力）。目前出现在中试卷的26题的第2小问，单独考的情况几乎没有，一般都是伴随面积的最值一起考
第二部分基本题型及解法
例题
1. 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值 45°角的直角三角形周长最大值的求法例1：（1）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），

数学人教版九年级上册二次函数最值问题

二次函数（专题二）：最值和特殊几何图形存在性问题

一．二次函数中几何图形最值问题（线段长度和与差、三角形或四边形的周长和面积等）例1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB

是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若

没有，请说明理由.

练习.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为x＝1，B（3，0），C（0，-3）。

（1）求抛物线的解析式。

（2）在对称轴上是否存在一点P，使得点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若线段MN的中点到x轴的距离刚好等于的MN长的一半，求此这条直线的解析式。

二．二次函数中特殊几何图形问题（直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形等）

例1.已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。

练习.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

二次函数中的最值问题(解析版)

二次函数中的最值问题

1.(2023•巴中模拟)如图1，已知抛物线y =ax 2+bx +1经过点A (-1,0)和点B ，且与y 轴交于点

C ；直线y =-12

x +m 经过B 点和点C ．(1)求直线和抛物线的解析式．

(2)若点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，作PF ⎳y 轴，交直线BC 于点F ，当ΔPEF 的周长最大时，求点P 的坐标．

(3)在第(2)问的条件下，直线CP 上有一动点Q ，连接BQ ，求BQ +55

CQ 的最小值．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +1与y 轴交于点C ，

∴C (0,1)，

∵直线y =-12

x +m 经过点B 和点C ，∴m =1，

∴直线的解析式为y =-12x +1，令y =0，则0=-12

x +1，解得x =2，∴B (2,0)，

∵抛物线y =ax 2+bx +1经过点A (-1,0)和点B ，

∴a -b +1=04a +2b +1=0 ，解得a =-12b =12

，∴抛物线的解析式为y =-12x 2+12

x +1；(2)如图1，

设点P p ,-12p 2+12p +1 ，则F p ,-12p +1 ，∴PF =-12p 2+12p +1--12p +1 =-12p 2+p =-12(p -1)2+12

，∵PE ⊥BC ，PF ⎳y 轴，

∴∠PEF=∠BOC=90°，∠PFE=∠BCO，∴ΔPFE∽ΔBCO，

∴PE BO =EF

=PF

BC，

∴PE

2=EF

=PF

12+22

，

∴PE=25

利用二次函数求几何图形中的最值问题

构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.

例1（旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图1），其中AF＝2，BF＝1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积.

分析设矩形PNDM的边DN＝x，NP＝y，则矩形PNDM的面积S＝xy（2

≤x≤4），易知CN＝4－x，EM＝4－y.且有NP BC

＝

（作辅助线构造相似

三角形），即

＝

，所以y＝－

x+5，S＝xy＝－

x2+5x（2≤x≤4），此二

次函数的图象开口向下，对称轴为x＝5，所以当x≤5时，函数的值是随x的增

大而增大，对2≤x≤4来说，当x＝4时，S有最大值S

最大＝－

×42+5×4＝12.

小结：本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.

例2（南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2AD，线段EF＝10.在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

二次函数中的最值问题

典例分析
（1）若点P为直线AC上方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值;
典例分析
（5）连接CD,点P是直线AC上方的一动点，过点P作PE平行于x轴交直线AC于点E， PF平行于CD 交直线AC于点F,求线段PE+PF的最大值；
典例分析
（5）连接CD,点P是直线AC上方的一动点，过点P作PE平行于x轴交直线AC于点E，PF平行于 CD 交直线AC于点F,求线段PE+PF的最大值；
典例分析
（5）连接CD,点P是直线AC上方的一动点，过点P作PE平行于x轴交直线AC于点E，PF平行于
CD 交直线AC于点F,求线段PE+PF的最大值；
课堂小结
1.通过本节课的学习你有哪些收获？ 2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？
二次函数中的最值问题
常见的线段或线段的和差的最值模型有哪些？
典例分析
（1）若点P为直线AC上方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值; 若求四边形PABC面积的最大值呢？
典例分析
（1）若点P为直线AC上方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值;
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典例分析
（1）若点P为直线AC上方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值;

二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法

做法：
1.作A点关于对称轴的对称点对称点B
2.链接CB与对称轴的交点就是我们做要求的G点的位置
G
3.连接AG
G 4.此时的△ACH的周长最小
（2）在直线BC上是否存在点H，使得△ACH的周长最小，若存在，
求出△GAC的周长最小值，并求出点G的坐标；若不存在，请说明
理由。
做法：
M
1.作A点关于直线BD的对
第二部分基本题型及解法
例题
1. 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值 45°角的直角三角形周长最大值的求法例1：（1）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），
B（3，0），C（0，﹣3）．如图，点P是直线BC上方抛物线上一动
点．过点P作PE平行y轴交BC于点E，作PF垂直BC交BC于点F，是否存在点P，使△PEF的周长最大？若存在，求出△PEF周长最大值，并
做法： 1.作A点关于直线OM的对称点对称点A1
A1
2.作A点关于直线OM的对称点对称点A2
3.链接A1A2与OM，ON相交于点P，Q，
P
此时的交点就是我们做要找的吃草和喝
水的位置
4.连接AP，AQ
Q A2
4.此时走的路程最短
例4：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），

二次函数中的几何最值问题

过点′ 作′ ⊥ 于x轴于点E,∵∠E ′ H=∠OBH,
线时， + MN +
H
R
1
∴tan ∠′ H = tan OBH = 2 ,
′
′
∴ ′ = ，′ E=4, ∴ =2, ∴B′ =2,

（图6）
E

,

∴′ ′= ∴′H=

∴′ H=2 +
′
当P，A， ′ 三点共线时，
PA+PB的最小值为A ′ .
依据：两点之间线段最短
依据：两点之间线段最短
一、常见的几何最值问题：
类型3：如图，已知直线l及
点A，在直线l上作点P，
使PA最小.
P
依据：垂线段最短
类型4：如图，已知直线l及点A、B，
在B直线l上，在直线l上作点P，

使PA+ PB最小.
− + = 4,
= −1,
B（3，0），代入得：ቊ
∴ቊ
3 + = 0,
= 3,
∴ = − + 3，当 = 0时， = 3,
∴ M(0，3)
（图2）
典型
例题
（3）如图3，M为y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
且MN⊥ y轴，求 PN+MN+BM的最小值.