高考文科数学真题全国卷

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(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷全国甲卷(含部分解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷数学（文）试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ；（2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

2020年高考真题数学(文)(全国卷Ⅰ)含答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝A.{－4，1}B.{1，5}C.{3，5}D.{1，3}2.若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝A.0B.1C.2D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514−B.512−C.514+D.512+4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为A.15 B.25 C.12D.45 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y ＝a ＋bxB.y ＝a ＋bx 2C.y ＝a ＋be xD.y ＝a ＋blnx6.已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.47.设函数f(x)＝cos(ωx ＋6π)在[－π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A.109π B.76π C.43πD.32π8.设alog 34＝2，则4－a ＝ A.116B.19C.18D.169.执行右图的程序框图，则输出的n ＝A.17B.19C.21D.2310.设{a n}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝A.12B.24C.30D.3211.设F1，F2是双曲线C：2213yx−=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为A.72B.3C.52D.212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（5分）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0B．1C ．D．23．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx 6．（5分）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx +）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n＝（）A．17B．19C．21D．2310．（5分）设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．3211．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A ．B．3C ．D．212．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC ＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国卷一文科数学高考试题(word版+详细解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}答案：D解析：2{|340}{|14}A x x x x x =--<=-<<，则交集的定义可得，{13}，A B =，故选D 2．若312i i z =++，则||z =A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：因为312i i 12i (i)1i z =++=++-=+，所以22||=112z +=，故选C3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．14 B．12C．14 D．12 答案：C解析：如图，P ABCD -是正四棱锥，过P 作PO ABCD ⊥平面，O 为垂足，则O 是正方形ABCD 的中心，取BC 的中点E ，则OE BC ⊥，因为PO ABCD ⊥平面，所以BC PO ⊥，又PO OE O =，所以BC POE ⊥平面，因为PE POE ⊂平面，所以PE BC ⊥，设BC a =，PO h =，由勾股定理得PE =1122PBCS BC PE =⋅=212h =，所以221142PE a aPE -=，解得PE =或PE =（舍去)，故选CE OPA B C D4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A ．15B ．25C ．12D ．45答案：A解析：O ，A ，B ，C ，D 中任取3点的取法用集合表示有{,,}O A B ，{,,}O A C ，{,,}O A D ，{,,}O B C ，{,,}O B D ，{,,}O C D ，{,,}A B C ，{,,}A B D ，{,,}A C D ，{,,}B C D ，共有10种取法，其中3点共线的取法有{,,}O A C ，{,,}O B D ，共2种，故取到的3点共线的概率为21105=，故选AODCBA5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i=得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A．y a bx=+B．2y a bx=+C．e xy a b=+D．lny a b x=+答案：D解析：本题考查回归方程及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象，观察散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数函数的图象，故选D。

2020普通高等高等学校统一招生(新课标I)(文数)(含详细答案及解析)(全国1卷高考数学真题)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A. {4,1}-B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若312i i z =++，则||=z （） A. 0 B. 1C.2D. 2【答案】C 【解析】【分析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514- B.512- C.514+ D.512+ 【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（） A. 15B.25 C.12D. 45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.10π9 B. 7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C 【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.设3log 42a =，则4a -=（）A.116B.19C.18D.16【答案】B 【解析】【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=，故选：B .【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的n =（）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =．故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题． 10.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（） A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q qq ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．11.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（）A.72B. 3C.52D. 2【答案】B 【解析】【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.12.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A 【解析】【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.【答案】1 【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5 【解析】【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】2y x = 【解析】【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16.数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.【答案】7 【解析】【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为280.28100=；（2）甲分厂加工100件产品的总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题． 18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =3c ，b =27，求ABC 的面积；（2）若sin A +3sin C =2，求C . 【答案】（1）3；（2）15︒. 【解析】【分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,23,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 32S ac B ==；（2）30A C +=︒，sin 3sin sin(30)3sin A C C C ∴+=︒-+132cos sin sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC ≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为3,3rl rl ππ==2222OD l r =-=，解得1,3r l ==2sin 603AC r ==，在等腰直角三角形APC 中，2622AP AC ==，在Rt PAO 中，2262142PO AP OA =-=-=， ∴三棱锥P ABC -的体积为112363332P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【解析】【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2x e a x =+有两个解，令()(2)2x eh x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1x f x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >，所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xy e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线xy e =的切线斜率，结合图形求得结果.21.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+ 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共10分。

高考全国甲卷：《文科数学》2022年考试真题与答案解析

高考精品文档高考全国甲卷文科数学·2022年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《文科数学》2022年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（） A.{}0,1,2 B.{2,1,0}-- C.{0,1} D.{1,2} 答案：A2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差答案：B3.若1i z =+．则|i 3|z z +=（） A.B.C.D.答案：D4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A.8B.12C.16D.20 答案：B5.将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y轴对称，则ω的最小值是（）A.16B.14C.13D.12 答案：C6.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A.15B.13C.25D.23答案：C7.函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A.B.C.D.答案：A8.当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A.1-B.12-C.12 D.1 答案：B9.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30°，则（） A.2AB AD =B.AB 与平面11AB C D 所成的角为30°C.1AC CB =D.1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒ 答案：D10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（）B.答案：C11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点。

2020年高考真题——数学(文)(全国卷Ⅰ) Word版含答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝A.{－4，1}B.{1，5}C.{3，5}D.{1，3}2.若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝A.0B.12 D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514 B.512 C.514 D.5124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为A.15 B.25 C.12 D.455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(x i，y i)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋be xD.y＝a＋blnx6.已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.47.设函数f(x)＝cos(ωx ＋6π)在[－π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π8.设alog 34＝2，则4－a ＝A.116 B.19 C.18 D.169.执行右图的程序框图，则输出的n＝A.17B.19C.21D.2310.设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝A.12B.24C.30D.3211.设F 1，F 2是双曲线C ：2213y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为A.72 B.3 C.52 D.212.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年全国甲卷数学(文科)高考真题原卷及参考答案

- 1 -既然已经出发，就一定能到达！2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=−−=<⎨⎬⎩⎭∣…，则A B =（）A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}−− C ．{0,1} D ．{1,2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A． B． C． D．2022高考文科数学（全国甲卷）4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．205．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（）A ．16B ．14C ．13D ．126，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A ．15B ．13C ．25D ．23 7．函数()()33cos xxf x x−=−在区间,22ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．当1x =时，函数()ln bf x a x x =+取得最大值2−，则(2)f '=（）A ．1−B ．12−C ．12 D ．19．在长方体1111ABCD A B C D −中，已知1B D与平面ABCD 和平面11AA B B所成的角均为30︒，则（）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11AB C D所成的角为30︒- 3 -既然已经出发，就一定能到达！C ．1AC CB = D ．1B D与平面11BB C C所成的角为45︒10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（）AB． CD．411．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=−，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y += D ．2212x y +=12．已知910,1011,89m m ma b ==−=−，则（） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国高考文科全国卷数学试题及答案

年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷3注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,将答案写在答题卡上;写在本试卷上无效;3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回;一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;1．已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数(2)=-+的点位于z i iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是 A ．月接待游客逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4．已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=A ．79- B ．29- C ． 29D ．795．设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z x y =-的取值范围是A ．-3,0B ．-3,2C ．0,2D ．0,36．函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 A ．π B ．34π C ．2πD ．4π10．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1312．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分; 13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = .14．双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =,则a = .15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ;已知60,3C b c ===,则A =_________;16．设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________;三、解答题：共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答; 一必考题：共60分; 17．12分设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.1求{}n a 的通项公式； 2求数列{}21na n +的前n 项和. 18．12分某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位：℃有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：10,1515,2020,2525,3030,3535,40最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率;1求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位：元,当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率．19．12分如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD．1证明：AC⊥BD；2已知△ACD是直角三角形,AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．12分在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为0,1.当m 变化时,解答下列问题：1能否出现AC ⊥BC 的情况说明理由；2证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21．12分已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++． 1讨论()f x 的单调性； 2当0a <时,证明3()24f x a≤--．二选考题：共10分;请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分;22．选修4―4：坐标系与参数方程10分在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,x t y kt =+⎧⎨=⎩t 为参数,直线2l 的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 为参数,设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C ．1写出C 的普通方程：2以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l：(cos sin )0ρθθ+-=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．23．选修4—5：不等式选讲10分已知函数()||||f x x x =+1--2．1求不等式()f x ≥1的解集；2若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空,求m 的取值范围．年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．5 15．75° 16．1(,)4-+∞三、解答题 17．解： 1因为123(21)2n a a n a n +++-=,故当2n ≥时, 1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-两式相减得(21)2n n a -= 所以2(2)21n a n n =≥- 又由题设可得12a = 从而{}n a 的通项公式为221n a n =- 2记{}21na n +的前n 项和为n S 由1知21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-++--+ 则1111112 (1335212121)n nS n n n =-+-++-=-++ 18．解：1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为216360.690++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为2当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则64504450900Y =⨯-⨯=；若最高气温位于区间20,25,则63002(450300)4450300Y =⨯+--⨯=；若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =⨯+--⨯=-所以,Y 的所有可能值为900,300,-100Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为 19．解：1取AC 的中点O ,连结,DO BO ,因为AD CD =,所以AC DO ⊥又由于ABC ∆是正三角形,故BO AC ⊥从而AC ⊥平面DOB ,故AC BD ⊥2连结EO由1及题设知90ADC ∠=,所以DO AO = 在Rt AOB ∆中,222BO AO AB += 又AB BD =,所以ODABCE222222BO DO BO AO AB BD +=+==,故90DOB ∠=由题设知AEC ∆为直角三角形,所以12EO AC =又ABC ∆是正三角形,且AB BD =,所以12EO BD =故E 为BD 的中点,从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12,即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:120．解：1不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =- 又C 的坐标为0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-,所以不能出现AC BC ⊥的情况 2BC 的中点坐标为21(,)22x ,可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由1可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=,可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --,半径2r =故圆在y轴上截得的弦长为3=,即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值; 21．解：1fx 的定义域为(0,)+∞,1(1)(21)()221x ax f x ax a xx++'=+++=若0a ≥,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞单调递增若0a <,则当1(0,)2x a ∈-时,()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时,()0f x '< 故()f x 在1(0,)2a -单调递增,在1(,)2a-+∞单调递减; 2由1知,当0a <时,()f x 在12x a=-取得最大值,最大值为 111()ln()1224f a a a-=--- 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a---≤--,即11ln()1022a a-++≤ 设()ln 1g x x x =-+,则1()1g x x '=- 当(0,1)x ∈时,()0g x '>；当(1,)x ∈+∞,()0g x '<; 所以()g x 在0,1单调递增,在(1,)+∞单调递减; 故当1x =时,()g x 取得最大值,最大值为(1)0g = 所以当0x >时,()0g x ≤从而当0a <时,11ln()1022a a -++≤,即3()24f x a≤-- 22．解： 1消去参数t 得1l 的普通方程1:(2)l y k x =-；消去参数m t 得2l 的普通方程21:(2)l y x k=+ 设(,)P x y ,由题设得(2),1(2).y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去k 得224(0)x y y -=≠ 所以C 的普通方程为224(0)x y y -=≠2C 的极坐标方程为222(cos sin )4(22,)ρθθθπθπ-=<<≠联立222(cos sin )4,(cos sin )0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得cos sin 2(cos sin )θθθθ-=+ 故1tan 3θ=-,从而2291cos ,sin 1010θθ== 代入222(cos sin )4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M23．解：13,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时,()1f x ≥无解；当12x -≤≤时,由()1f x ≥得,211x -≥,解得12x ≤≤；当2x >时,由()1f x ≥解得2x >所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥2由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+,而 22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+5 4≤且当32x=时,25|1||2|4x x x x+---+=故m的取值范围为5 (,]4 -∞。

2024年高考数学(文科)真题试卷(全国甲卷)

2024年高考数学（文科）真题试卷（全国甲卷）1.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设，则（）A.B. C.2. D.2若集合，，则（）A. B. C. D.3.若满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C.D.4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（） A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为，若，则（） A. B.C.1 D.6.已知双曲线的两个焦点分别为，点B.3（）A.4C.在该双曲线上，则该双曲线的离心率为2 D.7.设函数，则曲线在点积为（）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面A.B.C. D.8.函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.9.已知，则（）A. B. C.D.10.已知直线与圆交于两点，则B.3D.的最小值为（6）A.2C.411.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 12. B.②④D.其中所有真命题的编号是（）A.①③C.①②③①③④在中,内角所对的边分别为，若，，则）（A. B. C. D.13.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．函数在上的最大值是_______________．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,15.，则圆台甲与乙的体积之比为_______________．已知且，则16._______________．曲线与在上有两个不同的交点，则17._______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．的取值范围为（一）必考题：共60分．已知等比数列的前项和为，且 17.1..求17.2.的通项公式；求数列18.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150的前n 项和.件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计9652215018.1.18.2.已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设.为升级改造后抽取的n件产品的优级品率如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k 3.8416.63510.82819.如图，，，，,为的中点.19.1.证明：平面19.2.；求点到20.的距离.已知函数20.1.．求 20.2.的单调区间；当时，证明：当时，21.恒成立．已知椭圆的右焦点为，点在上，且21.1.轴．求21.2.的方程；过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：22.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题轴．号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为22.1..写出22.2.设直线l 的直角坐标方程；：（为参数），若与l相交于两点，若，求23..已知实数满足23.1.．证明：23.2.；证明：．参考答案1.D 解析：先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.依题意得，，故故选：D2.C .解析：根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是故选：C3.D 解析：.画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则故选：D.4.B 解析：解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解..解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为故选：B5.D 解析：.可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和理，或者特殊值法处理.来处理，亦可用等差数列的性质进行处方法一：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，又故选：D方法二：利用等差数列的性质.根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故故选：D方法三：特殊值法.不妨取等差数列公差，则，则故选：D6.C 解析：.由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得由题意，，即可得离心率.设、、，则，，，则，则故选：.C.7.A 解析：借助导数的几何意义计算可得其在点其面积处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得.，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积故选：A.8.B 解析：利用函数的奇偶性可排除A、C .，代入可得，可排除D.，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又故可排除D.故选：B.9.B 解析：，先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.因为，所以，，所以故选：B.10.C 解析：，根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，定理代入计算，即可求解.的最小，结合勾股因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时故选：C11.A 解析：根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③..对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故③正确；对④，若与和所成的角相等，如果，则综上只有①③正确，故选：A.12.C 解析：，故④错误；利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.因为，则由正弦定理得由余弦定理可得.:即，:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则故选：C.13.2 解析：结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. .，当时，，当时，即时，故答案为：.214.先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解析：解.由题可得两个圆台的高分别为，，所以.故答案为：15.64 解析：.将利用换底公式转化成来表示即可求解.由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.16. 解析：将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.令，即，令则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.故答案为：17.1. 解析：因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故.17.2. 解析：由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和18.1.答案见详解解析：略18.2.答案见详解解析：.由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.19.1.证明见详解；解析：由题意得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；19.2. 解析：取的中点，连接，，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，故.又平面，所以平面，易知.在中，，所以.设点到平面的距离为，由，得，得，故点到平面的距离为.20.1.见解析解析：定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为20.2.见解析.解析：，且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证21.1. 解析：设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为21.2.证明见解析. 解析：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以，故，即轴.22.1. 解析：由，将代入，故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.22.2. 解析：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为法1.：直线的斜率为，故倾斜角为，故直线的参数方程可设为，.将其代入中得设两点对应的参数分别为，则，且，故，，解得法2.：联立，得，，解得，设,，则，解得23.1.证明见解析解析：因为，当时等号成立，则，因为，所以23.2.证明见解析;解析：。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)附答案

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此时最大距离为
.
故答案选 B
9.【答案】C
【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般. 先由三视图还原几何体，即可求出表面积.
【解答】
解：由三视图可知该几何体是底面为腰长 2 的等腰直角三角形，一侧棱长为 2 且垂直底面的三棱锥，如下图
（ 2）由（1）可得数列
的通项公式，从而判断出该数列为等差数列，利用等差
数列的求和公式列出关于的方程，求得的值即可.
18.【答案】解：（1）空气质量等级为 1 的概率为
;
空气质量等级为 2 的概率为
;
空气质量等级为 3 的概率为
;
空气质量等级为 4 的概率为
;
(2) 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为
，所以平面
，
又平面
,所以
.
(2) 取靠近的三等分点 ,连结
,
因为在上，且
，所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
又在上，且
,所以
,且
，
从而
,
,所以四边形
为平行四边形，
所以
,所以
,故
四点共面，点在平面内.
【解析】本题考查了线面垂直的判定及性质，四点共面判定等知识，属中档题.
(1)通过
解：由
，得
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 z＝i，故选 D.
3.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查方差的运算，是基础题. 【解答】
解：设
的平均数为，方差
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所以

2022年全国统一高考数学试卷和答案(文科)(乙卷)

2022年全国统一高考数学试卷和答案（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，则M∩N＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，4，6，8}D．{2，4，6，8，10}2．（5分）设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b ＝1D．a＝﹣1，b＝﹣13．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 5．（5分）若x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最大值是（）A．﹣2B．4C．8D．126．（5分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（）A．2B．2C．3D．37．（5分）执行如图的程序框图，输出的n＝（）A．3B．4C．5D．68．（5分）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（）A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 10．（5分）已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．14B．12C．6D．311．（5分）函数f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（）A．﹣，B．﹣，C．﹣，+2D．﹣，+2 12．（5分）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考真题——数学(文)(全国卷Ⅰ)+Word版含解析【KS5U+高考】

绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {x | x2- 3x - 4 < 0}, B = {-4,1, 3, 5}，则A B =（）A. {-4,1}B. {1, 5}C. {3, 5}D. {1, 3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由x2- 3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1, 3, 5}，所以A B ={1, 3}，故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若z =1 + 2i + i3，则|z | = （）A. 0B. 1212 +12 2 b 2- a2 4b 2 b CD. 2【答案】C【解析】【分析】先根据i 2 = -1将 z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．【详解】因为 z = 1+2i + i 3 = 1+2i - i = 1+ i ，所以 z = = ．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．1. 胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.5 -1 4B.5 -1 2C.5 +1 4D.5 +1 2【答案】D【解析】【分析】设CD = a , PE = b ，利用 PO 2 = 1CD ⋅ PE 得到关于a , b 的方程，解方程即可得到答案.2CD = a , PE = b【详解】如图，设，则 PO=由题意 PO 2= 1 ab ，即b 2- a 2 =1 4( ) -2 ⋅ -1 = 0 ，化简得，ab 24 2aaPE 2 - OE 2解得b=1 + 5 （负值舍去）.a 4故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2.为正方形ABCD 的中心，在O，A，B，C，D 中任取3 点，则取到的3 点共线的概率为（）1 2A. B.5 514C. D.25【答案】A【解析】【分析】列出从5 个点选3 个点的所有情况，再列出3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O,A,B,C,D 5 个点中任取3 个有{O, A, B},{O, A, C},{O, A, D},{O, B, C}{O, B, D},{O,C, D},{A, B,C},{A, B, D}{A,C, D},{B,C, D} 共10 种不同取法，3 点共线只有{A,O, C} 与{B,O, D} 共2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为2= 1 .故选：A10 5【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.3. 一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位：°C ）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i , y i )(i = 1, 2,, 20) 得到下面的散点图：由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是（）A. y = a + bxB. y = a + bx 2C. y = a + b e xD. y = a + b ln x【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是y =a +b ln x .故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.4.圆x2+y2- 6x = 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据直线和圆心与点(1, 2) 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆x2+y2- 6x = 0 化为(x - 3)2+y2= 9 ，所以圆心C 坐标为C(3, 0) ，半径为3 ，设P(1, 2) ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为= 2 = 2 .故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.5.数f (x) = cos(ωx +π) 在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）610π7πA. B.96 4π3πC. D.32【答案】C9- | CP |29 -8+= -【解析】【分析】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫ ，即可得到cos ⎛ - 4π ⋅ω + π ⎫ = 0 ，结合⎛ - 4π ,0⎫是 9 ⎪ 9 6 ⎪ 9 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到- 4π⋅ω + π = - π ，即可求得ω = 3， 9 6 2 2再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫，9 ⎪ ⎝ ⎭将它代入函数 f (x ) 可得： cos ⎛ - 4π⋅ω + π ⎫ = 0 9 6 ⎪ ⎝ ⎭又⎛ - 4π ,0⎫是函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点， 9 ⎪ ⎝ ⎭所以-4π ⋅ω ππ，解得：ω = 39622T =2π = 2π = 4π所以函数 f (x ) 的最小正周期为故选：Cω 3 32【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.6. l og 3 4 = 2 ，则4- a= （）1 1 1 1 A.B.C.D.16986【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到log 3 4a= 2 ，即 4a = 9 ，进而求得4-a = 1，得到结果.9【详解】由a log 3 4 = 2 可得log 3 4a= 2 ，所以4a = 9 ，所以有4-a = 1，9故选：B.【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 7. 下面的程序框图，则输出的n =（）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1+ 3 + 5 + + n > 100 的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足1+ 3 + 5 ++ n > 100 的最小正奇数，因为1+ 3 + 5 += 1 (n +1)2 4> 100 ，解得n > 19 ，所以输出的n =21．故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题．8.n } 是等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 = 1 ，a 2 + a 3 +a 4 = 2 ，则a 6 + a 7 + a 8 = （）A. 12B. 24C. 30D. 32(1+ n )⨯⎛ n -1 +1⎫⎪ + n =⎝ 2 2 ⎭1 2 1 2 1 2 n 1 2 3 1 2 3 4 1 1 1 1 6 7 8 1 1 1 1 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a + a + a = q 5(a + a + a ) 可求得结果.678123【详解】设等比数列{a } 的公比为q ，则a + a + a = a (1+ q + q 2)= 1 ， a + a + a = a q + a q 2 + a q 3 = a q (1+ q + q 2) = q = 2 ，因此， a + a + a = a q 5 + a q 6 + a q 7 = a q 5 (1+ q + q 2 )= q 5 = 32 .故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．F , F2y 2 | OP |= 29. 2 是双曲线C : x-= 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在C 上且，3则△PF 1F 2 的面积为（）A.725 B. 3C.2D. 2【答案】B【解析】【分析】由是以 P 为直角直角三角形得到| PF |2 + | PF|2= 16 ，再利用双曲线的定义得到| PF | - | PF | = 2 ，联立即可得到| PF || PF| ，代入 S △= 1 | PF || PF |中计算即可.1212F 1F 2 P 21 2【详解】由已知，不妨设 F 1(-2, 0), F 2 (2, 0) ，则 a = 1, c = 2 ，因为| OP |= 1 = 1| F F | ，21 2所以点 P 在以 F 1F 2 为直径的圆上，即 F 1F 2 P 是以 P 为直角顶点的直角三角形，故| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 ，121 2即| PF |2+ | PF |2 = 16 ，又 | PF | - | PF | = 2a = 2 ，F 1F 2 P3 3 1 2 1 2 所以4 = | PF 1 | - | PF 2 | 2= | PF |2 + | PF |2-2 | PF|| PF |= 16 - 2 | PF 1 || PF 2 | ，解得| PF || PF |= 6 ，所以 S △= 1 | PF || PF|= 3 12故选：BF 1F 2 P 21 2【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.10. , B , C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为4π ，AB = BC = AC = OO 1 ，则球O 的表面积为（） A. 64π B. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO 1 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆O 1 半径为 r ，球的半径为 R ，依题意，得π r 2 = 4π ,∴r = 2 ，由正弦定理可得 AB = 2r sin 60︒ = 2 ，∴OO 1 = AB = 2 ，根据圆截面性质OO 1 ⊥ 平面 ABC ，∴OO ⊥ O A , R = OA === 4 ，1 1∴球O 的表面积 S = 4π R 2 = 64π .故选：AOO 2 + O A 2 1 1 OO 2 + r 2 1⎨⎩⎩ 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.⎧2x + y - 2 ≤ 0,11. y 满足约束条件⎪x - y -1 ≥ 0, 则z =x +7y 的最大值为 .⎪ y +1 ≥ 0,【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数 z = x + 7 y 即： y = - 1 x + 1z ，77其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：⎧2x + y - 2 = 0 ，可得点 A 的坐标为： A (1, 0)，⎨x - y -1 = 0据此可知目标函数的最大值为： z max = 1+ 7 ⨯ 0 = 1 . 故答案：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.x 12. a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4) ，若a ⊥ b ，则m =.【答案】5【解析】【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由a ⊥ b 可得a ⋅ b = 0 ，又因为a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4)，所以a ⋅ b = 1⋅(m +1) + (-1) ⋅ (2m - 4) = 0 ，即 m = 5 ，故答案为：5.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.13. = ln x + x +1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 .【答案】 y = 2x【解析】【分析】设切线的切点坐标为(x 0 , y 0 ) ，对函数求导，利用 y ' |x = 2 ，求出 x 0 ，代入曲线方程求出 y 0 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为( x , y ), y = ln x + x + 1, y ' = 1+ 1 ，y ' |=1 + 1 = 2, x = 1, y 0 0x= 2，所以切点坐标为(1, 2) ，x = x 00 0所求的切线方程为 y - 2 = 2(x -1) ，即 y = 2x . 故答案为： y = 2x .【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14. a } 满足a+ (-1)n a = 3n -1，前 16 项和为 540，则a =.nn +2n1【答案】7n +2 n 【解析】【分析】对 n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a 1 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a 1 方程，求解即可得出结论.【详解】a + (-1)n a = 3n -1，当 n 为奇数时， a n +2 = a n + 3n - 1 ；当n 为偶数时， a n +2 + a n = 3n - 1 . 设数列{a n } 的前n 项和为 S n ，S 16 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 += a 1 + a 3 + a 5= a 1 + (a 1 + 2) + (a 1 + 10) + (a 1 + 24) + (a 1 + 44) + (a 1 + 70)+(a 1 + 102) + (a 1 + 140) + (5 + 17 + 29 + 41)= 8a 1 + 392 + 92 = 8a 1 + 484 = 540 ，∴a 1 = 7 .故答案为： 7 .【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.15. 受了一项加工业务，加工出来产品(单位：件)按标准分为 A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 + a 16+ a 15 + (a 2 + a 4 ) +(a 14 + a 16 )等级ABCD乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4 ，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28 ；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．40【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为= 0.4 ，乙厂加工出10028= 0.28 ；来的一件产品为A 级品的概率为100（2）甲分厂加工100 件产品的总利润为40⨯(90 - 25)+ 20⨯(50 - 25)+ 20⨯(20 - 25)- 20⨯(50 + 25)= 1500 元，所以甲分厂加工100 件产品的平均利润为15 元每件；乙分厂加工100 件产品的总利润为28⨯(90 - 20)+17 ⨯(50 - 20)+ 34⨯(20 - 20)- 21⨯(50 + 20)= 1000 元，所以乙分厂加工100 件产品的平均利润为10 元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出3 A + C = 决策，属于基础题．16. 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 B =150°.（1）若 a = c ，b =2 ，求 ABC 的面积；（2）若 sin A +【答案】（1） sin C =2 ，求 C .2；（2）15︒ .【解析】【分析】（1）已知角 B 和b 边，结合 a , c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出 a , c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将 A = 30︒ - C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得b 2 = 28 = a 2 + c 2 - 2ac ⋅ cos150︒ = 7c 2 ，∴c = 2, a = 2 3,∴△ABC 的面积S = 1ac sin B = ； 2（2） 30︒ ，∴sin A + 3 sin C = sin(30︒ - C ) + 3 sin C= 1 cos C + 3 sin C = sin(C + 30︒) =2， 2 2 20︒ < C < 30︒,∴30︒ < C + 30︒ < 60︒ ， ∴C + 30︒ = 45︒,∴C = 15︒ .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.17. D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO上一点，∠APC =90°．3 7 3 33 3= 3（1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAC ；（2）设 DO =，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）6 .8【解析】【分析】（1）根据已知可得 PA = PB = PC ，进而有△PAC ≅ △PBC ，可得∠APC = ∠BPC = 90，即PB ⊥ PC ，从而证得 PC ⊥ 平面 PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 ABC 边长，在等腰直角三角形 APC 中求出 AP ，在 Rt APO 中，求出 PO ，即可求出结论.【详解】（1） Q D 为圆锥顶点， O 为底面圆心，∴OD ⊥ 平面 ABC ，P 在 DO 上， OA = OB = OC ,∴ PA = PB = PC ，ABC 是圆内接正三角形，∴ AC = BC ， △PAC ≅ △PBC ，∴∠APC = ∠BPC = 90︒ ，即PB ⊥ PC , PA ⊥ PC ， PA PB = P ,∴ PC ⊥ 平面 PAB , PC ⊂ 平面 PAC ，∴平面 PAB ⊥ 平面 PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为π rl =3π , rl = ，OD 2 = l 2 - r 2 = 2 ，解得r = 1, l = ， AC = 2r sin 60 ，在等腰直角三角形 APC 中， AP =2 AC =6 ，22在 Rt PAO 中， PO ==2 ，22 AP 2 - OA 26 - 1 4∴三棱锥 P - ABC 的体积为V= 1PO ⋅ S= 1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ 3 = 6 . P - ABC 3 △ABC3 24 8【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.18. 数 f (x ) = e x - a (x + 2) .（1）当a = 1 时，讨论 f (x ) 的单调性；（2）若 f (x ) 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）(1, +∞) . e 【解析】【分析】（1）将a = 1 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若 f (x ) 有两个零点，即e x- a (x + 2) = 0 有两个解，将其转化为a = ex x + 2有两个解，令h (x ) = e xx + 2(x ≠ -2) ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当a = 1 时， f (x ) = e x - (x + 2) ， f ' (x ) = ex -1，令f ' (x ) < 0 ，解得 x < 0 ，令 f ' (x ) > 0 ，解得 x > 0 ，所以 f (x ) 的减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）若 f (x ) 有两个零点，即e x - a (x + 2) = 0 有两个解，1+2从方程可知， x = 2 不成立，即a = e x x + 2有两个解，ex'e x (x + 2) - e x e x (x +1) 令 h (x ) =(x ≠ -2) ，则有h (x ) =x + 2(x + 2)2=(x + 2)2，令 h ' (x ) > 0，解得 x > -1 ，令h ' (x ) < 0 ，解得 x < -2 或-2 < x < -1 ，所以函数h (x ) 在(-∞, -2) 和(-2, -1) 上单调递减，在(-1, +∞) 上单调递增，且当 x < -2 时， h (x ) < 0 ，而 x → -2+ 时， h (x ) → +∞ ，当 x → +∞时， h (x ) → +∞ ，所以当a =e x x + 2有两个解时，有a > h (-1) = 1 ，e所以满足条件的a 的取值范围是： ( , +∞) .e【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 y = e x 和直线 y = a ( x + 2) 有两个交点，利用过点(-2, 0) 的曲线 y = e x 的切线斜率，结合图形求得结果.19. 、B 分别为椭圆 E ：x 2a 2y= 1（a >1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ．（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.x 2 2【答案】（1）+ y 9= 1；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1) ，即可求得 AG ⋅ G B = a 2 -1 ，结合已知即可求得： a 2 = 9 ，问题得解.AG ⋅ G B = a 2 x 0 ⎝ ⎭y （2）设 P (6, y 0 ) ，可得直线 AP 的方程为： y = y(x + 3) ，联立直线 AP 的方程与椭圆方 9⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ 程即可求得点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ ，同理可得点D 的坐标为 y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2 - 3 -2 y ⎫ 0 , 0 ⎪ ，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得： y 2 +1 y 2 +1⎝ 0 0 y =4 y 0⎭⎛ x - 3 ⎫，命题得证. 3(3 - y 2 )2 ⎪【详解】（1）依据题意作出如下图象：2由椭圆方程 E : + a2 y 2 = 1(a > 1) 可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1)∴ AG = (a ,1) ， GB = (a , -1)∴ -1 = 8 ，∴ a 2 = 9∴ x 2 2椭圆方程为： + y = 19（2）证明：设 P (6, y 0 ) ，则直线 AP 的方程为： y =y 0 - 0 6 - (-3) ( x + 3) ，即： y = y 0 ( x + 3) 9 ⎧ x 2+ 2 = ⎪ 9联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得： ⎨ y ，整理得： ⎪ y = 0 ( x + 3)⎪⎩9 1-3y 2 + 27 0 0 0 0⎝ 0 0 0 0 6 (3 - y )0 ⎩ 0 ⎭ ⎝ 2 0 ⎭ ( y 2 + 9) x 2 + 6 y 2 x + 9 y 2 - 81 = 0 ，解得： x = -3 或 x = 0-3y 2 + 27 y6 y 0y 2 + 9将x =代入直线y = 0 ( x + 3) 可得： y = 2y 2+ 99⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ y 0 + 9所以点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ .y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2- 3 -2 y ⎫ 同理可得：点 D 的坐标为 0 , 0 ⎪ y 2 +1 y 2 +1 ⎝ 0 0 ⎭6 y 0 - ⎛ -2 y 0 ⎫ ⎛ -2 y ⎫y 2 + 9 y 2 +1 ⎪ ⎛ 3y 2 - 3 ⎫ ∴直线CD 的方程为： y - 0 ⎪ = 0 ⎝ 0 ⎭ x - 0 ⎪ ， ⎝ y 2 +1 ⎭ -3y 2 + 27 3y 2- 3 - y 2 +1 ⎭ y 2 + 9 y 2 +12 y 8 y (y 2+ 3)⎛ 03y 2 - 3 ⎫ 8 y⎛ 3y 2 - 3 ⎫ 整理可得： y + 0= y 2 +1 0 0 6 (9 - y 4)x - ⎝ y 2 +1 ⎪ = 0 x - 0 y 2 +1 ⎪ 整理得： y =4 y 0 x + 2 y 0= 4 y 0 ⎛ x - 3 ⎫ 3(3 - y 2) y 2 - 3 3(3 - y 2 )2 ⎪ 00 故直线CD 过定点⎛ 3 ,0 ⎫ 0 ⎝ ⎭ 2 ⎪ ⎝ ⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共 10 分。

2023年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）|2+i2+2i3|＝（）A．1B．2C．D．5【答案】C【解答】解：由于|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|＝．故选：C．2．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁U N ＝（）A．{0，2，4，6，8}B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8}D．U【答案】A【解答】解：由于∁U N＝{2，4，8}，所以M∪∁U N＝{0，2，4，6，8}．故选：A．3．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A．24B．26C．28D．30【答案】D【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．故选：D．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B﹣b cos A＝c，且C＝，则∠B＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，得sin（A﹣B）＝sin C＝sin（A+B），即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin A cos B+sin B cos A，即2sin B cos A＝0，得sin B cos A＝0，在△ABC中，sin B≠0，∴cos A＝0，即A＝，则B＝π﹣A﹣C＝＝．故选：C．5．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴，∴，∴ax﹣x＝x，∴a＝2．故选：D．6．（5分）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则•＝（）A．B．3C．2D．5【答案】B【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，所以＝﹣1，，，＝2×2＝4，则•＝（）•（）＝+++＝﹣1+0+0+4＝3．故选：B．7．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为＝．故选：C．8．（5分）函数f（x）＝x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣3，0）【答案】B【解答】解：f′（x）＝3x2+a，若函数f（x）＝x3+ax+2存在3个零点，则f′（x）＝3x2+a＝0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，即判别式Δ＝0﹣12a＞0，得a＜0，由f′（x）＞0得x＞或x＜﹣，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜，此时f（x）单调递减，即当x＝﹣时，函数f（x）取得极大值，当x＝时，f（x）取得极小值，则f（﹣）＞0，f（）＜0，即﹣（﹣+a）+2＞0，且（﹣+a）+2＜0，即﹣×+2＞0，①，且×+2＜0，②，则①恒成立，由×+2＜0，2＜﹣×，平方得4＜﹣×，即a3＜﹣27，则a＜﹣3，综上a＜﹣3，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．故选：B．9．（5分）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n＝6×6＝36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m＝＝30，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P＝＝＝．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【答案】D【解答】解：根据题意可知＝，∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，又根据“五点法“可得，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．故选：D．11．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（）A．1+B．4C．1+3D．7【答案】C【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有≤3，解可得1﹣3≤z≤1+3，故x﹣y的最大值为1+3．故选：C．12．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．（1，1）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，﹣4）【答案】D【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），，①﹣②得k AB＝＝9×＝9×，即﹣3＜9×＜3⇒，即或，故A、B、C错误，D正确．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考全国乙卷：《文科数学》2020年考试真题与答案解析

高考精品文档高考全国乙卷文科数学·2020年考试真题与答案解析同卷省份河南、山西、江西、安徽甘肃、青海、蒙古、山西吉林、宁夏、新疆、黑龙江高考全国乙卷：2020年《文科数学》考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合则______。

A ．B ．C ．D ．答案：D2．若，则______。

A ．0B ．1CD ．2答案：C3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为______。

2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，A B = {4,1}-{1,5}{3,5}{1,3}312i i z =++||=zABCD答案：C4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为______。

A ．B ．C ．D ．答案：A5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：15251245(,)(1,2,,20)i i x y i =由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是______。

答案：D A ．B ．C ．D ．6．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为______。

A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B7．设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为______。

y a bx =+2y a bx=+exy a b =+ln y a b x=+2260x y x +-=π()cos(6f x x ω=+A．B ．C ．D ．答案：C8．设，则______。

2022年全国甲卷数学(文科)高考真题(含答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=<⎨⎬⎩⎭∣…，则A B =I （） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．20 5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A ．16B ．14C ．13D ．126，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（） A ．15 B ．13 C ．25 D ．237．函数()()33cos x x f x x -=-在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．8．当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1- B ．12- C ．12 D ．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒ C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（）A B ． C D ．411．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-u u u u u ru u r ，则C 的方程为（）A ．2211816x y += B ．22198x y += C ．22132x y += D ．2212x y += 12．已知910,1011,89mmma b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年全国乙卷数学(文科)高考真题文档版(含答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{2,4,6,8,10},{16}M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}2．设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-3．已知向量(2,1)(2,4)==-，a b ，则||-=a b （）A ．2B ．3C ．4D ．54．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65．若x ，y 满足约束条件则2z x y =-的最大值是（）A ．2-B ．4C ．8D ．126．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若||||AF BF =，则||AB =（）A ．2B ．C ．3D ．7．执行右边的程序框图，输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．68．右图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x x y x -+=+B ．321x x y x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1xy x =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则（）A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1B EF ∥平面1A ACD ．平面1B EF ∥平面11A C D10．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，5242a a -=，则6a =（）A ．14B ．12C ．6D ．311．函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-，C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，12．已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A ．13B ．12C ．3D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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